22. modul matematika - fungsi hiperbolik

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

FUNGSI HIPERBOLIK

Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :

sinh coshxe e

dan xe ex x x x

=−

=+− −

2 2

Untuk fungsi hiperbolik yang lain :

1. tanhsinhcosh

xxx

e e

e e

x x

x x= =−

+

−

−

2. cothcoshsinh

xxx

e e

e e

x x

x x= =+

−

−

−

3. seccosh

h xx e ex x= =

− −1 2

4. cscsinh

h xx e ex x= =

+ −1 2

Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :

1. cosh2x - sinh2x = 1

2. 1 - tanh2x = sech2x

3. coth2x - 1 = csch2x

4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

6. cosh x + sinh x = ex.

7. cosh x - sinh x = e-x.

8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x

9. cosh 2x = cosh2x + sinh2x = 2 sinh2x + 1 = 2 cosh2x - 1

10. cosh ( -x ) = cosh x

11. sinh ( -x ) = - sinh x

12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y

14. ( )tanhtanh tanh

tanh tanhx y

x yx y

+ =+

+1

15. ( )tanhtanh tanh

tanh tanhx y

x yx y

− =−

−1

16. tanhtanhtanh

22

1x

xx

=+

17. ( )cosh cosh12

12

1x x= +

18. ( )sinh cosh12

12

1x x= ± −

19. sinh sinh sinh coshx yx y x y

+ =+

−

2

2 2

20. cosh cosh cosh coshx yx y x y

+ =+

−

2

2 2

Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik

Misal y = sinh u. Maka y De e e e

u u ux

u u u u' ' cosh '=

−

=

+=

− −

2 2.

Jadi : cosh sinhu du u C= +∫

Untuk fungsi hiperbolik yang lain:

1. y u y u u u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫cosh ' sinh ' sinh cosh

2. y u y h u u h u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫tanh ' sec ' sec tanh2 2

3. y u y h u u h u du u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫coth ' csc ' csc coth2 2

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

4. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫sec ' sec tanh ' sec tanh sec

5. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫csc ' csc coth ' csc coth csc

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :

1. y = cosh x4.

2. y = ln ( tanh 2x )

3. y = cosh ( 1/x )

4. y = sinh3( 2x )

5. ( )y x x= +4 52cosh

( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :

6. ( )cosh 2 3x dx−∫

7. ( )csch x dx2 3∫

8. coth csc2 2x h x dx∫

9. tanh x dx∫

10. sinh cosh6 x x dx∫