kompetisi matematika 2017 tingkat sma se-sulut … · kompetisi matematika 2017 tingkat sma...

KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMA SE-SULUT

SOLUSI BABAK PENYISIHAN

Rabu, 22 Februari 2017

1 KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

1. Jika 𝛼, 𝛽 dan 𝛾 adalah akar-akar 5𝑥3 + 7𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 maka berapakah nilai 1+𝛼

1−𝛼+

1+𝛽

1−𝛽+

1+𝛾

1−𝛾.

a. 13

7

b. 13

2

c. 0

d. -13

e. 13

Penyelesaian:

Dengan melihat 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 = 0 dan 5𝑥3 + 7𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 didapat 𝐴 = 5, 𝐵 = 7, 𝐶 =

−1 dan 𝐷 = −1.

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝐵

𝐴= −

7

5

𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 =𝐶

𝐴=

−1

5= −

1

5

𝛼𝛽𝛾 = −𝐷

𝐴= −

−1

5=

1

5

1 + 𝛼

1 − 𝛼+

1 + 𝛽

1 − 𝛽+

1 + 𝛾

1 − 𝛾

=(1 + 𝛼)(1 − 𝛽)(1 − 𝛾) + (1 + 𝛽)(1 − 𝛼)(1 − 𝛾) + (1 + 𝛾)(1 − 𝛼)(1 − 𝛽)

(1 − 𝛼)(1 − 𝛽)(1 − 𝛾)

=(1 − 𝛽 + 𝛼 − 𝛼𝛽)(1 − 𝛾) + (1 − 𝛼 + 𝛽 − 𝛼𝛽)(1 − 𝛾) + (1 − 𝛼 + 𝛾 − 𝛼𝛾)(1 − 𝛽)

(1 − 𝛽 − 𝛼 + 𝛼𝛽)(1 − 𝛾)

=(1 − 𝛾 − 𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛼 − 𝛼𝛾 − 𝛼𝛽 + 𝛼𝛽𝛾) + (1 − 𝛾 − 𝛼 + 𝛼𝛾 + 𝛽 − 𝛽𝛾 − 𝛼𝛽 + 𝛼𝛽𝛾) + (1 − 𝛽 − 𝛼 + 𝛼𝛽 + 𝛾 − 𝛽𝛾 − 𝛼𝛾 + 𝛼𝛽𝛾)

1 − 𝛾 − 𝛽 + 𝛽𝛾 − 𝛼 + 𝛼𝛾 + 𝛼𝛽 − 𝛼𝛽𝛾

=3 − 𝛼 − 𝛽 − 𝛾 − 𝛼𝛽 − 𝛼𝛾 − 𝛽𝛾 + 3𝛼𝛽𝛾

1 − 𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 − 𝛼𝛽𝛾

=3 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − (𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾) + 3𝛼𝛽𝛾

1 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) + 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 − 𝛼𝛽𝛾

=3 − (−

75

) − (−15

) + 3 (15

)

1 − (−75

) + (−15

) −15

=

2652

=26

10=

13

5

∴ 1+𝛼

1−𝛼+

1+𝛽

1−𝛽+

1+𝛾

1−𝛾=

𝟏𝟑

𝟓


FMIPA UNSRAT

FMIPA

2. Jika (𝑥 − 2)2 membagi 𝑎𝑥4

+ 𝑏𝑥3 + 4, maka 𝑎𝑏 = ⋯

a. -3

b. 2

c. 4

d. −4

3

e. −3

2

Penyelesaian:

ax4 + bx

3 + 4 = q(x) ⋅ (x − 2)

2 Jelas bahwa q(x) harus merupakan fungsi kuadrat.

Karena koefisien x4 adalah a dan konstanta ruas kiri = 4 maka q(x) = ax

2 + px + 1

ax4 + bx

3 + 4 = (ax

2 + px + 1) ⋅ (x

2 − 4x + 4)

ax4 + bx

3 + 4 = ax

4 + (−4a + p)x

3 + (4a − 4p + 1)x

2 + (4p − 4)x + 4

Dari persamaan di atas didapat:

Berdasarkan koefisien x maka 4p − 4 = 0 sehingga p = 1

Berdasarkan koefisien x2 maka 4a − 4p + 1 = 0 sehingga a =

3

4

Berdasarkan koefisien x3 maka b = −4a + p sehingga b = −2

∴ ab = −3

2

3. Bilangan asli terkecil lebih dari 2017 yang bersisa 1 jika dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 adalah …

a. 2357

b. 2435

c. 2521

d. 2683

e. 2714

Penyelesaian:

Misalkan bilangan yang memenuhi tersebut = x.

x = n ∙ KPK(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) + 1

x = n ∙ 23 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7 + 1

x = 2520n + 1 > 2017

Nilai minimal x didapat jika n = 1

Jadi, bilangan asli terkecil yang memenuhi = 2521


FMIPA UNSRAT

FMIPA

4. Tentukan nilai n terbesar sehingga n + 20 membagi n3 + 2017.

a. 5983

b. 5963

c. 6272

d. 6252

e. 6232

Penyelesaian:

n + 20 membagi n3 + 203 = n3 + 8000 = n3 + 2017 + 5983

Karena n + 20 membagi n3 + 2017 maka n + 20 membagi 5983

nmaks + 20 = 5983

nmaks = 5963

5. Jika 𝑦 = sin 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2), maka 𝑦′ = ⋯

a. cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2) +

𝑒2𝑥+2

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1

𝑒2𝑥+2) sin 𝑥

b. − cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2) +

𝑒2𝑥+2

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1


c. cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2) −

2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1


d. − cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2) +

2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1


e. cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥+2) −

2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1


Penyelesaian :

Mis:

𝑝 = 𝑒2𝑥 + 2 𝑑𝑝

𝑑𝑥= 2𝑒2𝑥

𝑞 = (𝑒2𝑥 + 2)−1 = 𝑝−1 𝑑𝑞

𝑑𝑝= −

1

𝑝2 = −1

(𝑒2𝑥+2)2

𝑣 = tan (1

𝑒2𝑥+2) = tan 𝑞

𝑑𝑣

𝑑𝑞= sec2 𝑞 = sec2 (

1

𝑒2𝑥+2)

𝑑𝑣

𝑑𝑥=

𝑑𝑣

𝑑𝑞∙

𝑑𝑞

𝑑𝑝∙

𝑑𝑝

𝑑𝑥= sec2 (

1

𝑒2𝑥 + 2) ∙ −

1

(𝑒2𝑥 + 2)2 ∙ 2𝑒2𝑥 = −2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥 + 2)2 sec2 (1

𝑒2𝑥 + 2)


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Mis:

𝑢 = sin 𝑥 𝑣 = tan (1

𝑒2𝑥+2)

𝑢′ = cos 𝑥 𝑣′ = −2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥+2)2 sec2 (1

𝑒2𝑥+2)

𝑦′ = 𝑢𝑣′ + 𝑢′𝑣

𝑦′ = sin 𝑥 ∙ −2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥 + 2)2 sec2 (1

𝑒2𝑥 + 2) + cos 𝑥 tan (

1

𝑒2𝑥 + 2)

𝑦′ = cos 𝑥 tan (1

𝑒2𝑥 + 2) −

2𝑒2𝑥

(𝑒2𝑥 + 2)2 sec2 (1

𝑒2𝑥 + 2) sin 𝑥

6. Hasil dari

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ⋯

a. ln9

10

b. ln14

15

c. 0

d. ln10

9

e. ln15

14

Penyelesaian :

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥 = ∫

2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)𝑑𝑥

2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)=

𝐴

𝑥 + 4+

𝐵

𝑥 + 2

2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)=

𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 + 4)

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)

2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)=

𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵𝑥 + 4𝐵

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)

2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)=

(𝐴 + 𝐵)𝑥 + (2𝐴 + 4𝐵)

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)

𝐴 + 𝐵 = 0 × 1 𝐴 + 𝐵 = 0

2𝐴 + 4𝐵 = 2 : 2 𝐴 + 2𝐵 = 1

𝐴 − 𝐵 = −1

𝐴 − 𝐵 = 1


FMIPA UNSRAT

FMIPA

𝐴 + 𝐵 = 0

𝐴 + 1 = 0

𝐴 = −1

Jadi, 𝐴 = −1, 𝐵 = 1 Sehingga 2

(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)=

−1

𝑥 + 4+

1

𝑥 + 2=

1

𝑥 + 2−

1

𝑥 + 4

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥 = ∫ (

1

𝑥 + 2−

1

𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = ln|𝑥 + 2| − ln|𝑥 + 4| = ln

|𝑥 + 2|

|𝑥 + 4|= ln |

𝑥 + 2

𝑥 + 4|

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= [ln |𝑥 + 2

𝑥 + 4|]

2

3

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= (ln |3 + 2

3 + 4|) − (ln |

2 + 2

2 + 4|)

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ln |5

7| − ln |

4

6|

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ln |5

7| − ln |

2

3|

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ln5

7− ln

2

3

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ln

5723

∫2

𝑥2 + 6𝑥 + 8𝑑𝑥

3

2

= ln15

14

7. Jika 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah penyelesaian dari persamaan (1 2 −32 −1 −13 2 1

) (𝑥𝑦𝑧

) = (3

11−5

) , maka 2𝑥 − 𝑦 −

2𝑧 adalah …

a. 1

b. 0

c. -1

d. ½

e. 2

Penyelesaian :

Mis : 𝐴 = (1 2 −32 −1 −13 2 1

) , 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧

) , 𝐵 = (3

11−5

)

det(𝐴) = (−1 − 6 − 12) − (9 − 2 + 4) = −19 − 11 = −30

Metode Cramer

Nilai variabel 𝑥


FMIPA UNSRAT

FMIPA

𝑥 = (3 2 −3

11 −1 −1−5 2 1

) det(𝑥) = (−3 + 10 − 66) − (−15 − 6 + 22) = −59 − 1 = −60

𝑥 =det (𝑥)

det (𝐴)=

−60

−30= 2

Nilai variabel 𝑦

𝑦 = (1 3 −32 11 −13 −5 1

) det(𝑦) = (11 − 9 + 30) − (−99 + 5 + 6) = 32 − (−88) = 120

𝑦 =det (𝑦)

det (𝐴)=

120

−30= −4

Nilai variabel 𝑧

𝑧 = (1 2 32 −1 113 2 −5

) det(𝑧) = (5 + 66 + 12) − (−9 + 22 − 20) = 83 − (−7) = 90

𝑧 =det (𝑧)

det (𝐴)=

90

−30= 3

(𝑥𝑦𝑧

) = (2

−43

)

2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 2(2) − (−4) − 2(3) = 4 + 4 − 6 = 2

8. Diberikan matriks 𝐴 = [0 2

−1 0]. Jumlah elemen-elemen yang ada pada 𝐴2011 adalah …

a. 21009

b. 21008

c. 0

d. −21008

e. −21009

Penyelesaian :

𝐴 = [0 2

−1 0] 𝐴𝑛 = [ 0 2

𝑛+1

2

−2𝑛−1

2 0] , 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4

𝐴2 = [0 2

−1 0] [

0 2−1 0

] = [−2 00 −2

] 𝐴𝑛 = [−2𝑛

2 0

0 −2𝑛

2

] , 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4

𝐴3 = [−2 00 −2

] [0 2

−1 0] = [

0 −42 0

] 𝐴𝑛 = [ 0 −2𝑛+1

2

2𝑛−1

2 0] , 𝑛 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4

𝐴4 = [0 −42 0

] [0 2

−1 0] = [

4 00 4

] 𝐴𝑛 = [2𝑛

2 0

0 2𝑛

2

] , 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4


FMIPA UNSRAT

FMIPA

𝐴2017, dimana 𝑛 = 2017 dan 2017 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4, maka

𝐴2017 = [ 0 22017+1

2

−22017−1

2 0] = [ 0 21009

−21008 0]

Jumlah elemen-elemen dalam 𝐴2017 adalah

= 0 + 21009 − 21008 + 0

= 21009 − 21008

= 21008(2 − 1)

= 21008

9. Diketahui |�⃗�| = √2 , |�⃗⃗�| = √9 , dan |�⃗� + �⃗⃗� | = √5 . Besar sudut antara vektor �⃗� dan vektor �⃗⃗� adalah

…

a. 45°

b. 60°

c. 120°

d. 135°

e. 150°

Penyelesaian :

𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ = | 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗|| 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗| cos 0° = √2 . √2 . 1 = 2

𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ = | 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗|| 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗| cos 0° = √9 . √9 . 1 = 9

( 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗). ( 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗) = | 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗| . | 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗| cos 0° = √5 . √5 . 1 = 5

( 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗). ( 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗) = 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ . 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗

5 = 2 + 2𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ + 9

2𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ = -6

𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ = −3

cos 𝜃 = 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ ∙𝑏 ⃗⃗⃗⃗

| 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ || 𝑏 ⃗⃗⃗⃗ |=

−3

√2 .√9 =-

1

2√2 = 135°

10. Jika f adalah sebuah fungsi yang memenuhi

𝑓 (1

𝑥) +

1

𝑥𝑓(−𝑥) = 2𝑥

Untuk setiap bilangan real tak nol maka 𝑓(1) sama dengan…

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian:

Buat −𝑥 =1

𝑥 maka

𝑓(−𝑥) + (−𝑥)𝑓 (1

𝑥) = −

2

𝑥

Jika di eliminasi persamaan yang ada di soal dengan persamaan yang sudah diganti akan didapat

𝑓(−𝑥) = 𝑥2 −1

𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥

𝑓(1) = 12 +1

1= 2

11. Jika 𝑓(3𝑥 + 5) = 𝑥 dan 𝑔(2017 − 𝑥) = 𝑥 maka nilai 𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(2)) sama dengan…

a. 3021

b. 2016

c. 3022

d. 2017

e. 3023

Penyelesaian:

𝑓(3𝑥 + 5) = 𝑥 misalkan 3𝑥 + 5 = 𝑦 maka 𝑥 =𝑦−5

3 sehingga 𝑓(𝑦) =

𝑦−5

3

𝑔(2017 − 𝑥) = 𝑥 misalkan 2017 − 𝑥 = 𝑦 maka 𝑥 = 2017 − 𝑦 sehingga 𝑔(𝑦) = 2017 − 𝑦

Maka nilai dari 𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) adalah

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) = 𝑓(2017 − 0) + 𝑔 (2 − 5

3)

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) = 𝑓(2017) + 𝑔(−1)

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) =2017 − 5

3+ 2017 − 1

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) =2012

3+ 2016

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) = 1006 + 2016

𝑓(𝑔(0)) + 𝑔(𝑓(1) = 3022

12. Jika 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 = √𝑥2 + 𝑦2, dan cos2 𝜃

𝑎2 +sin2 𝜃

𝑏2 =1

𝑥2+𝑦2 maka hubungan yang paling tepat

diantara pilihan berikut adalah,

a. 𝑥2

𝑏2 −𝑦2

𝑎2 = 1

b. 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1

c. 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

d. 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1


FMIPA UNSRAT

FMIPA

e. 𝑥2+𝑦2

𝑎2𝑏2 = 1

Penyelesaian:

Pertama – tama analisa masalah, dan dapat diperoleh bahwa semua unsur pada pernyataan kedua dan

pernyataan akhir atau pada options jawaban berada dalam keadaan kuadrat. Jadi yang kita lakukan adalah

mengkuadratkan pernyataan pertama kemudian menyederhanakannya “sebanyak mungkin”.

𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 = +√𝑥2 + 𝑦2

𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦2𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑥2 − 𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 2𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦2 − 𝑦2𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 0

𝑥2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃) + 2𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦2(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃) = 0

𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 2𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0

(𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 0

𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 = − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

𝑦= −𝑐𝑜𝑡𝜃

𝑥2

𝑦2 = 𝑐𝑜𝑡2𝜃

𝑥2

𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1

𝑥2

𝑦2+ 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃

𝑠𝑖𝑛2𝜃 =𝑦2

𝑥2 + 𝑦2

𝑐𝑜𝑠2𝜃 =𝑥2

𝑥2 + 𝑦2

subtitusikan ke pernyataan 2

𝑥2

𝑥2 + 𝑦2

𝑎2

+𝑦2

𝑥2 + 𝑦2

𝑏2

=1

𝑥2 + 𝑦2

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1


FMIPA UNSRAT

FMIPA

13. Nilai dari sin2 1° + sin2 3 +sin2 5° + … … + sin2 87° + sin2 89° adalah …

a. 22

b. 221

2

c. 23

d. 221

4

e. 231

4

Penyelesaian:

Yang pertama harus diketahui, yaitu,

sin 𝜃 = cos(90° − 𝜃) untuk 𝜃 positif kurang dari sama dengan 90°. Dengan ini menjadi dasar, maka

dapat membentuk pasangan – pasangan yang tiap – tiap pasangan tersebut bernilai satu seperti di bawah

ini,

sin2 1 +sin2 89° = sin2 1 + cos2 1 = 1

Sekarang yang harus dihitung adalah jumlah pasangan yang ada.

Jika dihitung sampai sin2 7°, maka ada 4 anggota.

Jika dihitung sampai sin2 9°, maka ada 5 anggota.

Kita gunakan pengetahuan ini untuk mencoba konjektur banyaknya anggota pada yang pertama = 7+1

2=

4, dan yang kedua = 9+1

2= 5.

Setelah konjektur ini dikonfirmasi, maka kita gunakan prinsip induksi untuk menghitung jumlah anggota

sampai sin2 89° = 89+1

2= 45.

Dengan 45 anggota, maka diperoleh 22 pasangan dengan satu anggota berada ditengah, anggota ke-23.

Anggota yang ke-2 adalah 2 × (2 − 1) + 1 = 3°


Dengan menggunakan induksi lagi, maka


sin 45° =1

2 , maka jumlahnya adalah 22

1

2

14. lim𝑥→1

√𝑥2015 −1

√𝑥2016 −1= ⋯

a. −1

b. 0

c. 2015

2016

d. 1

e. 2016

2015


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian :

Misalkan 𝑥 = 𝑢2015.2016, maka :

lim𝑢→1

𝑢2016 − 1

𝑢2015 − 1

= lim𝑢→1

(𝑢 − 1)(𝑢2015 + 𝑢2014 + ⋯ + 𝑢 + 1)

(𝑢 − 1)(𝑢2014 + 𝑢2013 + ⋯ + 𝑢 + 1)

=2016

2015

15. Tentukan nilai 𝑘 yang membuat fungsi berikut kontinu pada 𝑥 = 1

𝑓(𝑥) = {−8𝑥2 + 48𝑥 − 40

𝑥 − 1, 𝑥 < 1

−2𝑥 + 𝑘, 𝑥 ≥ 1

a. 35

b. 32

c. 33

d. 34

e. 36

Penyelesaian:

Kontinu pada titik = 1 berarti limit mendekati 1 dari kiri dan kanan bernilai sama saat x = 1

−8𝑥2 + 48𝑥 − 40

𝑥 − 1= −2𝑥 + 𝑘

(−8𝑥 + 40)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)= −2𝑥 + 𝑘

−8𝑥 + 40 = −2𝑥 + 𝑘

−8(1) + 40 = −2(1) + 𝑘

𝑘 = 34

16. Jumlah akar-akar persamaan dari |𝑥|2 − 2017|𝑥| − 4038 = 0 adalah …

a. 2017

b. -2017

c. 2

d. -2

e. 0

Penyelesaian :

Mis: |𝑥| = 𝑎

Maka : 𝑎2 − 2017𝑎 − 4038 = 0

(𝑎 − 2019) ∨ (𝑎 + 2)


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Sehingga 𝑎 = 2019 atau 𝑎 = −2

→ 𝑎 = 2019 ↔ |𝑥| = 2019

𝑥 = 2019 atau 𝑥 = −2019

→ 𝑎 = −2 (tidak memenuhi karena harga mutlak selalu bernilai positif)

∴ 𝑥1 = 2019 dan 𝑥2 = −2019 jadi 𝑥2 + 𝑥2 = 2019 + (−2019) = 0

17. Himpunan penyelesaian dari √4𝑥2 + 25𝑥 − 2 ≥ |3𝑥 + 2| adalah…

a. 3

5≤ 𝑥 ≤ 2

b. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥3

5

c. −2 ≤ 𝑥 ≤3

5

d. 𝑥 ≤3

5 atau 𝑥 ≥ 2

e. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ −3

5

Penyelesaian:

√4𝑥2 + 25𝑥 − 2 ≥ |3𝑥 + 2|

(√4𝑥2 + 25𝑥 − 2)2

≥ |3𝑥 + 2|2

(√4𝑥2 + 25𝑥 − 2)2

≥ (3𝑥 + 2)2

4𝑥2 + 25𝑥 − 2 ≥ 9𝑥2 + 12𝑥 + 4

−5𝑥2 + 13𝑥 − 6 ≥ 0

(−5𝑥 + 3)(𝑥 − 2) ≥ 0

Pembuat nol 𝑥 =3

5 dan 𝑥 = 2

Jadi 𝐻𝑃 =3

5≤ 𝑥 ≤ 2

18. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan luas 10. Titik-titik 𝐷, 𝐸, dan 𝐹 berturut-turut terletak pada sisi-sisi

𝐴𝐵, 𝐵𝐶, dan 𝐶𝐴 dengan 𝐴𝐷 = 2, 𝐷𝐵 = 3. Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐸 dan segiempat 𝐷𝐵𝐸𝐹 mempunyai

luas yang sama. Luas segitiga 𝐴𝐵𝐸 dan 𝐴𝐸𝐶 adalah …

a. 3 dan 7

b. 4 dan 6

c. 5 dan 5

d. 6 dan 4

e. 7 dan 3

3

5

2

(+) (−) (−)


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian:

Misalkan H adalah perpotongan AE dan DF

[𝐴𝐵𝐸] = [𝐴𝐵𝐸𝐹]

[𝐴𝐷𝐻] + [𝐵𝐷𝐻𝐸] = [𝐵𝐷𝐻𝐸] + [𝐸𝐹𝐻]

[𝐴𝐷𝐻] = [𝐸𝐹𝐻]

[𝐴𝐷𝐻] + [𝐴𝐻𝐹] = [𝐸𝐹𝐻] + [𝐴𝐻𝐹]

[𝐴𝐷𝐹] = [𝐴𝐸𝐹]

Karena ΔADF dan ΔAEF memiliki alas yang sama, yaitu 𝐴𝐹 dan memiliki luas yang sama, maka tinggi

keduanya pasti sama. Maka, 𝐴𝐷 = 𝐸𝐹 sehingga 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐹 dan 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶

Karena 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶 maka ΔDBE sebangun dengan ΔABC

Jadi,

𝐵𝐸

𝐸𝐶=

𝐵𝐷

𝐷𝐴=

3

2

[𝐴𝐵𝐸] ∶ [𝐴𝐵𝐶] = 3 ∶ 5

[𝐴𝐵𝐸] = 6

[𝐴𝐸𝐶] = [𝐴𝐵𝐶] − [𝐴𝐵𝐸] = 10 − 6 = 4

∴ Luas segitiga ABE dan segitiga AEC adalah 6 dan 4


FMIPA UNSRAT

FMIPA

19. 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐷𝐸𝐹𝐺 adalah sebuah persegi. Jika 𝐷𝐸 = 3𝐴𝐵, maka perbandingan luas daerah yang

diarsir dengan luas 𝐷𝐸𝐹𝐺 adalah …

a. 3 ∶ 8

b. 4 ∶ 8

c. 5 ∶ 8

d. 6 ∶ 8

e. 7 ∶ 8

Penyelesaian:

𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐺 = 𝐺𝐷 = 3𝐴𝐵

∆𝐴𝐷𝐶 ~ ∆𝐴𝐺𝐹 sehingga

𝐴𝐷

𝐴𝐺=

𝐷𝐻

𝐹𝐺⇔

𝐴𝐷

𝐴𝐷 + 𝐷𝐺=

𝐷𝐻

𝐹𝐺⇔

𝐴𝐷

𝐴𝐷 + 3𝐴𝐷=

𝐷𝐻

3𝐴𝐷⇔

𝐴𝐷

4𝐴𝐷=

𝐷𝐻

3𝐴𝐷⇔ 𝐷𝐻 =

3

4𝐴𝐷

Perbandingan luas:

Luas 𝐷𝐻𝐹𝐺 (trapesium)

Luas 𝐷𝐸𝐹𝐺 (persegi)=

(𝐷𝐻 + 𝐹𝐺

2) 𝐷𝐺

𝐷𝐺2 =𝐷𝐻 + 𝐹𝐺

2𝐷𝐺=

34

𝐴𝐷 + 3𝐴𝐷

2 ∙ 3𝐴𝐷=

5

8


FMIPA UNSRAT

FMIPA

20. Banyaknya cara terpendek dari A ke D jika harus melewati titik B dan titik C adalah …

a. 330

b. 150

c. 126

d. 90

e. 45

Penyelesaian:

𝐴𝐵 =6!

4! 2!= 15

𝐵𝐶 =2!

1! 1!= 2

𝐶𝐷 =3!

2! 1!= 3

Jadi,

𝐴𝐷 = 15 × 2 × 3 = 90

21. Bentuk sederhana dari

1 − ∑ (−1)(𝑖! 𝑖) = ⋯

2017

𝑖=1

a. 1 − 2018!

b. −2018!

c. 2018!

d. 2018! − 1

e. 2018! + 1

D

A

B

C


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian:

∑ (−1)(𝑖! 𝑖)

2017

𝑖=1

= (−1) ∑ (𝑖! 𝑖)

2017

𝑖=1

= (−1)[(1! 1) + (2! 2) + (3! 3) + (4! 4) + ⋯ + (2016! 2016) + (2017! 2017)] = (−1)[((2 − 1)! 1) + ((3 − 1)! 2) + ((4 − 1)! 3) + ((5 − 1)! 4) + ⋯ + ((2017 − 1)! 2016)

+ ((2018 − 1)! 2017)]

= (−1)[(2! − 1!) + (3! − 2!) + (4! − 3!) + (5! − 4!) + ⋯ + (2017! − 2016!) + (2018! − 2017!)]

= (−1)(−1! + 2018!)

= 1! − 2018!

= 1 − 2018!

1 − ∑ (−1)(𝑖! 𝑖)

2017

𝑖=1

= 1 − (1 − 2018!) = 2018!

22. Jika titik (𝑥, 𝑦) memenuhi 2 + 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 8 maka nilai maksimum 𝑦2 − 𝑥2 adalah…

a. 110

b. 111

c. 112

d. 113

e. 114

Penyelesaian:

Persamaan di soal dipecah menjadi 2 yaitu 2 + 𝑥2 ≤ 𝑦

𝑥2 − 𝑦 ≤ −2

Dan 𝑦 ≤ 𝑥 + 6 menjadi 𝑥 − 𝑦 ≥ −8

𝑥 − 𝑦 = −8 → 𝑥 = 𝑦 − 8

A(−2,6)

B(3,11)


FMIPA UNSRAT

FMIPA

(𝑦 − 8)2 − 𝑦 = −2

𝑦2 − 16𝑦 + 64 − 𝑦 = −2

𝑦2 − 17𝑦 + 66 = 0

(𝑦 − 6)(𝑦 − 11) = 0

𝑦 = 6 ∨ 𝑦 = 11

Untuk 𝑦 = 6

𝑥 = 6 − 8 = −2

Untuk 𝑦 = 11

𝑥 = 11 − 8 = 3

Titik 𝐴(−2,6) = 62 − (−2)2 = 32

Titik 𝐵(3,11) = 112 − 32 = 112

23.

Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan.

Dalam daerah tersebut nilai yang dapat dicapai fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20𝑥 − 17𝑦 adalah…

a. −32 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 108

b. −32 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 112

c. −32 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 108

d. −68 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 112

e. −68 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 108


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian:

Pada gambar di soal terdapat 3 buah garis dan 4 buah titik. Garis-garis tersebut yaitu:

𝑥 + 2𝑦 ≥ 4, 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8, 𝑦 ≤ 4

Titik 𝐴(0,2) = 20(0) − 17(2) = −34

Titik 𝐵(0,4) = 20(0) − 17(4) = −68

Titik 𝐶 merupakan perpotongan garis 2𝑥 + 𝑦 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 4 maka:

2𝑥 + 4 = 8

2𝑥 = 8 − 4

𝑥 = 2

Titik 𝐶(2,4) = 20(2) − 17(4) = 40— 68 = 108

Titik 𝐷(4,0) = 20(4) − 17(0) = 80

Jadi nilai yang dapat dicapai fungsi 𝑓(𝑥) = 20𝑥 − 17𝑦 adalah −68 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 108

24. Untuk 0 < 𝑥 < 𝜋, nilai minimum dari 4𝑠𝑖𝑛2𝑥+1

𝑠𝑖𝑛𝑥 adalah…

a. 32

7

b. 4

c. 1

2

d. 3

8

e. 0

B

D

C

A


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Penyelesaian:

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM diperoleh

4 sin2 𝑥 + 1

sin 𝑥= 4 sin 𝑥 +

1

sin 𝑥≥ 2√4 sin 𝑥 ∙

1

sin 𝑥= 2 ∙ 2 = 4

4 sin2 𝑥 + 1

sin 𝑥≥ 4

Kesamaan diperoleh ketika 4 sin2 𝑥+1

sin 𝑥= 4 yang memenuhi syarat Untuk 0 < 𝑥 < 𝜋

Jadi, nilai minimumnya adalah 4.

25. 𝑎 dan 𝑏 merupakan penyelesaian dari log2 𝑎 + log2 𝑏 = 8. Maka nilai maximum dari 𝑎𝑏 = ⋯

a. 10

b. 100

c. 1.000

d. 10.000

e. 100.000

Penyelesaian:

AM ≤ QM

log 𝑎 + log 𝑏

2≤ √

log2 𝑎 + log2 𝑏

2

log 𝑎𝑏

2≤ √

8

2

log 𝑎𝑏 ≤ 2√4

log 𝑎𝑏 ≤ 4

𝑎𝑏 ≤ 104

𝑎𝑏 ≤ 10.000

Jadi, nilai maximum dari 𝑎𝑏 adalah 10.000

26. Banyaknya bilangan bulat antara 900 dan 2016 yang habis dibagi 17 adalah…

a. 51

b. 102

c. 78

d. 60

e. 66

Penyelesain :

Dari soal, bilangan bulat antara 900 dan 2016 yang habis dibagi 17 dapat membentuk barisan

aritmetika yaitu :

901, 918, 935, 952, … , 2006

Diketahui :


FMIPA UNSRAT

FMIPA

Suku pertama : a = 901

Selisih atau beda : b = 17

Suku ke-n : Un = 2006

Mencari nilai n (banyaknya bilangan) dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika : Un

= a + (n-1)b

Maka, diperoleh :

Un = a + (n-1)b

2006 = 901 + (n-1)17

2006 = 901 + 17n – 17

2006 = 884 + 17n

2006 – 884 = 17n

1122 = 17n

n = 66

Jadi, banyaknya bilangan bulat antara 900 dan 2016 yang habis dibagi 17 adalah 66.

27. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil

adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅

a. 3

32

b. 2

9

c. 3

64

d. 4

27

e. 5

36

Penyelesaian:

Misalkan suku pertama barisan geometri tak hingga tersebut adalah a dan rasio r.

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎 𝑟2 + ⋅⋅⋅ = 𝑎

1−𝑟 = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

Suku-suku yang ganjil adalah 𝑎, 𝑎𝑟2, 𝑎𝑟4 ,⋅⋅⋅ yang membentuk barisan tak hingga dengan suku pertama a

dan rasio 𝑟2.

𝑎 + 𝑎 𝑟2 + 𝑎 𝑟4 + 𝑎 𝑟6 + ⋅⋅⋅ = 𝑎

1−𝑟2 − = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

Subtitusikan persamaan (1) ke (𝑎

1−𝑟) (

𝑎

1+𝑟) = 4

(𝑎

1+𝑟) =

2

3

3 = 2 + 2r

r = 1

2

Subtitusikan persamaan di atas ke persamaan (1)

𝑎 = 3

Maka suku ke-6 = 𝑈6 = 𝑎𝑟5 = 3 · 1

2

5= 3 ·

1

32=

3

32


FMIPA UNSRAT

FMIPA

28. Rata-rata nilai ujian dari murid perempuan di suatu kelas adalah 20 lebihnya dari rata-rata murid laki-

laki. Jumlah murid laki-laki 10 lebihnya dari murid perempuan. Jumlah murid dalam kelas itu adalah

100 orang dan rata-rata nilai ujian kelas itu adalah 75. Rata-rata nilai ujian murid perempuan adalah

…

a. 66

b. 68

c. 72

d. 84

e. 86

Penyelesaian:

Misalkan : a = jumlah murid perempuan

b = jumlah murid laki-laki

x = rata-rata nilai ujian murid laki-laki

100 = a + b

100 = a + (10 + a)

100 = 2a + 10

2a = 90

a = 45

a + b = 100

45 + b = 100

b = 55

75 =45(𝑥 + 20) + 55𝑥

100

7500 = 45𝑥 + 900 + 55𝑥

7500 = 100𝑥 + 900

75 = 𝑥 + 9

𝑥 = 66

Rata-rata nilai ujian murid perempuan = 𝑥 + 20 = 66 + 20 = 86

29. Pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi 4a(a + 1) = b(b + 3) sebanyak ...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Penyelesaian:

4𝑎(𝑎 + 1) = 𝑏(𝑏 + 3)

4𝑎2 + 4𝑎 − 𝑏2 − 3𝑏 = 0 (2𝑎 + 𝑏)(2𝑎 − 𝑏) + 6𝑎 − 3𝑏 = 2𝑎 (2𝑎 − 𝑏)(2𝑎 + 𝑏 + 3) = 2𝑎

Karena 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan asli maka 2𝑎 > 𝑏.

Karena 2𝑎 + 𝑏 + 3 > 2𝑎 maka ruas kiri > ruas kanan sehingga kesamaan tidak mungkin terjadi.

∴ jadi, banyaknya pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi ada 0.


FMIPA UNSRAT

FMIPA

30. Tentukan nilai dari

1

(log𝑎 𝑏𝑐) + 1+

1

(log𝑏 𝑎𝑐) + 1+

1

(log𝑐 𝑎𝑏) + 1

a. 2

3

b. 1

c. 3

2

d. 2

e. 3

Penyelesaian:

1

(log𝑎 𝑏𝑐) + 1+

1

(log𝑏 𝑎𝑐) + 1+

1

(log𝑐 𝑎𝑏) + 1

=1

log𝑎 𝑏𝑐 + log𝑎 𝑎+

1

log𝑏 𝑎𝑐 + log𝑏 𝑏+

1

log𝑐 𝑎𝑏 + log𝑐 𝑐

=1

log𝑎 𝑎𝑏𝑐+

1

log𝑏 𝑎𝑏𝑐+

1

log𝑐 𝑎𝑏𝑐

= log𝑎𝑏𝑐 𝑎 + log𝑎𝑏𝑐 𝑏 + log𝑎𝑏𝑐 𝑐

= log𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐

= 1

kompetisi matematika 2017 tingkat sma se-sulut … · kompetisi matematika 2017 tingkat sma...

Documents