22. modul matematika - fungsi hiperbolik
TRANSCRIPT
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :
sinh coshxe e
dan xe ex x x x
=−
=+− −
2 2
Untuk fungsi hiperbolik yang lain :
1. tanhsinhcosh
xxx
e e
e e
x x
x x= =−
+
−
−
2. cothcoshsinh
xxx
e e
e e
x x
x x= =+
−
−
−
3. seccosh
h xx e ex x= =
− −1 2
4. cscsinh
h xx e ex x= =
+ −1 2
Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :
1. cosh2x - sinh2x = 1
2. 1 - tanh2x = sech2x
3. coth2x - 1 = csch2x
4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
6. cosh x + sinh x = ex.
7. cosh x - sinh x = e-x.
8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
9. cosh 2x = cosh2x + sinh2x = 2 sinh2x + 1 = 2 cosh2x - 1
10. cosh ( -x ) = cosh x
11. sinh ( -x ) = - sinh x
12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
14. ( )tanhtanh tanh
tanh tanhx y
x yx y
+ =+
+1
15. ( )tanhtanh tanh
tanh tanhx y
x yx y
− =−
−1
16. tanhtanhtanh
22
1x
xx
=+
17. ( )cosh cosh12
12
1x x= +
18. ( )sinh cosh12
12
1x x= ± −
19. sinh sinh sinh coshx yx y x y
+ =+
−
2
2 2
20. cosh cosh cosh coshx yx y x y
+ =+
−
2
2 2
Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik
Misal y = sinh u. Maka y De e e e
u u ux
u u u u' ' cosh '=
−
=
+=
− −
2 2.
Jadi : cosh sinhu du u C= +∫
Untuk fungsi hiperbolik yang lain:
1. y u y u u u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫cosh ' sinh ' sinh cosh
2. y u y h u u h u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫tanh ' sec ' sec tanh2 2
3. y u y h u u h u du u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫coth ' csc ' csc coth2 2
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
4. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫sec ' sec tanh ' sec tanh sec
5. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫csc ' csc coth ' csc coth csc
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :
1. y = cosh x4.
2. y = ln ( tanh 2x )
3. y = cosh ( 1/x )
4. y = sinh3( 2x )
5. ( )y x x= +4 52cosh
( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :
6. ( )cosh 2 3x dx−∫
7. ( )csch x dx2 3∫
8. coth csc2 2x h x dx∫
9. tanh x dx∫
10. sinh cosh6 x x dx∫