1.4 persamaan schrodinger bergantung waktukimia.unnes.ac.id/kasmui/kuantum/book/5. persamaan...
Post on 14-Oct-2019
46 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1.4 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu
• Mekanika klasik atau mekanika Newton sangat sukses dalam
mendeskripsi gerak makroskopis, tetapi gagal dalam mendeskripsi
gerak mikroskopis.
• Gerak mikroskopis membutuhkan mekanika khusus yang disebut
mekanika kuantum. Gerak partikel mikroskopis adalah gerak
gelombang (menurut de Broglie) maka salah satu metode
membangun mekanika kuantum adalah dengan pendekatan
gelombang, oleh karena itu maka mekanika kuantum juga disebut
mekanika gelombang.
• Perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan mekanika
kuantum adalah bahwa
✓ dalam mekanika klasik state ( posisi, kecepatan, momentum dan
gaya yang bekerja) suatu partikel pada saat tertentu dapat
ditentukan secara eksak dengan menggunakan hukum Newton.
✓ Sedang pada mekanika kuantum, karena adanya prinsip
ketidakpastian pada pengukuran momentum partikel, maka state
suatu partikel tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi orang
hanya dapat menentukan kebolehjadian suatu partikel
menempati state tertentu.
✓ Dalam mekanika kuantum state suatu sistem dapat diperoleh
manakala fungsi gelombang partikel diketahui.
✓ Untuk mengetahui fungsi gelombang orang harus mempunyai
persamaan gelombang partikel mikroskopis. Karena persamaan
gelombang ini diperoleh oleh Schrodinger, maka persamaannya
disebut persamaan Schrodinger.
• Persamaan Schrodinger merupakan jantungnya mekanika kuantum,
karena melalui persamaan Schrodinger inilah fungsi gelombang
dapat diperoleh.
Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang
menyatakan hubungan antara turunan pertama fungsi
gelombang terhadap waktu dengan turunan kedua fungsi
tersebut terhadap koordinat.
Disimpulkan fungsi gelombang merupakan fungsi koordinat dan
waktu.
Persamaan Schrodinger gelombang sebuah partikel satu dimensi.
Persamaannya Schrodinger menggunakan fungsi gelombang fisik,
misal fungsi rambatan gelombang harmonik satu dimensi, yaitu:
F(x , t) = A . e i ( kx t ) (1-7)
Dimana:
k = 2 /
= 2 ;
= panjang gelombang; k = konstanta propagasi gelombang
= frekuensi gelombang; A = amplitudo = konstanta tertentu
Turunan pertama terhadap t:
t
txF
),( = i A . e i ( kx t ) = i F(x,t) (1-8)
Turunan kedua terhadap x: Ingat!
2
2 ),(
dx
txF = i2 k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t) (1-9)
2
2 ),(
dx
txF = k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t) (1-9)
12 1
2
i
Jika turunan pertama dibagi turunan kedua
2
2
2 ),(
),(
k
i
dx
txFt
txF
Jadi
t
txF
),( =
2k
i
2
2 ),(
dx
txF (1-10)
Dalam mekanika kuantum
E = h = E / h
jadi
= 2 = 2 E / h = E
(1-11)
Menurut dualisme de Broglie, p = h / sehingga:
k = 2 / = 2 p / h = p
(1-12)
k = p
2
h
k = 2 /
= 2
Subtitusi (1-11) dan (1-12) ke dalam (1-10) menghasilkan:
t
txF
),( = i
2p
E
2
2 ),(
x
txF
(1-13)
Karena sudah masuk ke daerah kuantum, maka notasi fungsi
gelombangnya diganti (x,t) sehingga (1-13) ditulis:
t
tx
),( = i
2p
E
2
2 ),(
x
tx
(1-14)
E = T + V
E adalah jumlah energi kinetik T dan energi potensial V, jadi
t
tx
),( = i
2p
VT
2
2 ),(
x
tx
(1-15)
Atau jika dipisahkan
t
tx
),( = i
2p
T
2
2 ),(
x
tx
+ i
2p
V
2
2 ),(
x
tx
(1-16)
Jika T diganti p2/ 2m , ( mvp ;2
2
1mvT ;
m
mvmvT .
2
1 )
t
tx
),( = i
m2
1
2
2 ),(
x
tx
+ i
2p
V
2
2 ),(
x
tx
(1-17)
atau jika ruas kiri dan kanan dikalikan ( i )
it
tx
),( =
m2
12 2
2 ),(
x
tx
2
2
p
V
2
2 ),(
x
tx
(1-18)
Sebenarnya (1-18) tersebut sudah merupakan persamaan Schrodinger,
tetapi yang lebih lazim 2
2 ),(
x
tx
di suku kedua ruas kanan diganti
dengan k2 (x,t) yaitu analog dengan (1-9) sehingga (1-18) boleh ditulis:
it
tx
),( =
m2
12 2
2 ),(
x
tx
2
2
p
V k2 (x,t) (1-19)
k2 = p2 / 2
dan karena k = p / , maka (1-19) juga boleh ditulis:
it
tx
),( =
m2
12 2
2 ),(
x
tx
V (x,t) (1-20a)
Persamaan (1-20a) itu adalah persamaan gelombang Schrodinger
bergantung waktu untuk sebuah partikel dalam satu dimensi .
Kadang-kadang beberapa buku menulis (1-20a) dalam bentuk:
i
t
tx
),( =
m2
12 2
2 ),(
x
tx
V (x,t) (1-20b)
Apakah makna fisik ruas kiri persamaan Schrodinger ?
Kita telah tahu bahwa sesuai dengan (1-8) maka:
t
tx
),( = i (x,t)
Ruas kiri dan kanan dikalikan
Jadi
t
tx
),( = (x,t)
padahal = 2
hh
2.2
jadi
t
tx
),( = h (x,t)
Karena h = E, maka:
t
tx
),( = E (x,t) (1-21)
atau
),(
1
tx t
tx
),( = E (1-22)
Jadi makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t).
Bagaimana makna fisik Ruas Kanan ?
Kita telah tahu bahwa makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t).
Jadi ruas kananpun = E (x,t)
m2
1
2
2 ),(
x
tx
V (x,t) = E (x,t) (1-23)
dengan demikian maka:
m2
1
2
2
x
V = E (1-24)
Dalam mekanika kuantum maka
m2
1
2
2
x
V juga disebut operator energi.
Jadi dikenal dua macam operator energi yaitu
t
dan
m2
12
2
x
V.
Pada perkembangan berikutnya nanti operator energi yang lebih populer
adalah m2
122
2
x
V yang juga dikenal dengan nama operator
Hamilton atau �̂�.
Jadi
�̂�= (1-25a)
atau:
�̂� = (1-25b)
Kita tahu bahwa
= operator untuk E
padahal kita juga tahu bahwa E = T + V maka sudah dapat dipastikan
bahwa
= operator untuk T atau operator energi kinetik.
Jadi
�̂� = (1-26)
Tentang Fungsi Gelombang
• Kata state suatu sistem mengacu pada kecepatan & posisi partikel
pada saat tertentu serta gaya yang bekerja pada partikel tersebut.
• Dalam mekanika klasik, tepatnya menurut hukum Newton, massa
tepat state sistem dapat diprediksi secara eksak apabila state sistem
saat ini diketahui.
• Dalam mekanika kuantum, state sistem direpresentasikan oleh
fungsi gelombang yang merupakan fungsi koordinat dan waktu.
• Informasi masa depan suatu sistem dalam mekanika kuantum dapat
dikalkulasi dengan menggunakan persamaan Schrodinger, hanya saja
karena adanya prinsip ketidakpastian pada pengukuran posisi dan
momentum, maka prediksi secara eksak seperti yang terjadi pada
mekanika klasik tidak dapat diberikan oleh fungsi gelombang.
• Fungsi gelombang memuat semua informasi mengenai sistem yang
dideskripsinya.
• tidak dapat memberikan informasi posisi secara tepat seperti
yang dilakukan oleh mekanika klasik.
• Jawaban yang benar terhadap pertanyaan tersebut diberikan oleh
Max Born beberapa saat setelah Schrodinger menemukan
persamaan Schrodinger.
• Born membuat postulat bahwa:
dxtx
2
),( (1-27)
merupakan peluang pada waktu t untuk menemukan partikel
sepanjang sumbu x yang terletak antara x dengan x + dx.
• Fungsi 2
),( tx adalah fungsi kerapatan peluang (probability density)
untuk mendapatkan partikel di sembarang tempat sepanjang sumbu x.
Sebagai contoh:
dianggap bahwa pada sembarang waktu tertentu t0 sebuah partikel
didiskripsi oleh fungsi gelombang = 2
. bxea dengan a dan b adalah
tetapan real.
Jika kita mengukur posisi partikel pada saat t0 , kita dapat memperoleh
sembarang harga x sebab nilai rapat peluangnya yaitu 222 bxea tidak nol,
berapapun harga x-nya.
Nilai x = 0 adalah lebih baik dibandingkan nilai x yang lain karena di titik
asal (x = 0), harga 2
mencapai maksimum.
Untuk membuat hubungan yang tepat antara 2
dengan hasil
pengukuran eksperimental, kita harus mengambil sejumlah sistem
identik yang tidak saling berinteraksi, masing-masing berada dalam
keadaan yang sama. Kemudian kita dapat mengukur posisi masing-
masing sistem.
Jika kita mempunyai n sistem dan membuat n pengukuran, dan jika dnx
adalah banyaknya pengukuran yang dimana kita menjumpai partikel
terletak antara x dan x + dx, maka dnx/n adalah peluang mendapatkan
partikel pada posisi antara x dan x + dx. Jadi:
n
dnx = 2
dx dx
dn
nx1
= 2
dan grafik dx
dn
nx1
versus x adalah kerapatan peluang 2
.
Mekanika Kuantum pada dasarnya dilandasi oleh sifat statistikal
(bagian per bagian atau sampel). Konsekuensinya:
• memahami keadaan sistem pada saat tertentu, kita tidak dapat
memprediksi hasil pengukuran posisi secara pasti.
• Kita hanya dapat memprediksi kemungkinan dari berbagai hasil yang
mungkin.
• Teori Bohr yang menyatakan bahwa elektron beredar pada lintasan
yang berjarak pasti dari inti, merupakan pernyataan yang tidak dapat
diterima oleh mekanika kuantum.
1.5 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung (Bebas) Waktu
Persamaan Schrodinger bebas waktu untuk sebuah partikel dalam
sistem satu dimensi adalah
0 )()V(E 2m
+ d
(x)22
)(
2
xdx
x
h (1-28)
Persamaan (1-28) dapat diturunkan dari persamaan (1-20a) melalui
langkah-langkah sebagai berikut:
Perlu diketahui bahwa ( x , t ) adalah gabungan dari x dan t dan
dinyatakan:
( x , t ) = x . t (1-29)
Jika (1-29) dimasukkan ke dalam (1-20a) diperoleh:
txtxtx
xmti
t)(x,2
22
V + 2
=
(1-30)
Jika kita batasi bahwa fungsi energi potensial hanya merupakan fungsi x
saja dan bebas waktu, maka (1-30) ditulis:
txtxtx
xmti
(x)2
22
V + 2
=
atau
txx
tt
xdx
d
mdt
d
i
(x)2
22
V + 2
=
(1-31)
Jika (1-31) dibagi x setelah itu hasilnya dibagi t maka diperoleh:
tx
txx
t
tx
tx
dx
d
mdt
d
i
11.V +
2 =
11. (x)2
22
(x)2
22
V + 1
2 =
1
dx
d
mdt
d
ix
x
t
t
(1-32)
Lihat kembali
i
),(
1
tx t
tx
),( = E (1-22)
Jika ruas kiri (1-32) dibandingkan dengan (1-22) maka ruas kiri (1-32) itu
adalah E, jadi (1-32) dapat ditulis:
E = V + 1
2 (x)2
22
dx
d
mx
x
atau
xxx
dx
d
m
E = V +
2 (x)2
22
22
22
(x)
2.
2 VE = 0
m
dx
d
mx
xx
2
2
(x)2 )V(E
2 = 0
dx
dm xx
Disusun ulang
Atau jika dibalik akan menjadi
0 )()V(E 2m
+ d
(x)22
)(
2
xdx
x
(1-28)
Persamaan di atas adalah persamaan (1-28) yang kita turunkan.
Selanjutnya untuk mengetahui penyelesaian t kita ikuti langkah berikut:
Seperti ruas kanan, ruas kiri (1-32) = E, maka:
= 1
dt
d
i
t
t
E atau
E i=
1 t
t
d
dt
yang jika diintegralkan:
c + iEt
ln t
jadi
h/. iEtC
t ee = A. /iEte
Konstanta A pada t dapat dilimpahkan pada x pada perkalian (1-29)
sehingga:
t = /iEte
(1-33)
( x , t ) = x . t (1-29)
Jika (1-33) dimasukkan kedalam (1-29) maka kita peroleh bentuk fungsi
gelombang sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yaitu:
( x , t ) = /iEte
. x (1-34)
Tampak bahwa fungsi gelombang partikel merupakan fungsi komplek,
padahal kerapatan peluang adalah 2
),( tx .
Untuk fungsi komplek harga kuadrat absolutnya adalah hasil kali fungsi
itu dengan fungsi konjugatnya.
2
),( tx = *
),( tx . ),( tx (1-35)
*
),( tx adalah fungsi konjugat dari ),( tx yaitu ),( tx yang i-nya diganti i.
1.6 Probabilitas
• kerapatan peluang = 2
),( tx = *
),( tx . ),( tx
• peluang mendapatkan partikel pada segmen sepanjang dx yaitu dari
x sampai x + dx adalah 2
),( tx dx = *
),( tx . ),( tx dx,
• Cara untuk menentukan peluang rentang tertentu misal dari a s/d b
adalah dengan menjumlahkan peluang dari segmen ke segmen
sepanjang antara a dan b. Penjumlahan seperti itu pada dasarnya
adalah pengintegralan. Jadi
P( a < x < b ) = dxa
b
tx 2
),( = b
atx
*
),(. ),( tx . dx (1-36)
Jika interval a s/d b adalah ~ s/d + ~ maka peluang dijumpai partikel
pada interval tersebut pasti = 1,
artinya pasti menjumpai partikel jika kita mencarinya mulai dari posisi ~
s/d + ~.
Jadi dapat ditulis
P( ~ < x < +~ ) = dxtx
~
~
2
),( =
~
~
*
),( tx. ),( tx . dx = 1 (1-37)
Fungsi gelombang partikel yang memenuhi persamaan (1-37) disebut
fungsi gelombang ternormalisasi.
Soal-soal Bab 1
1. Hitunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang
melintas dengan kecepatan 1/137 kali kecepatan cahaya. (dengan
kecepatan tersebut, pendekatan relativistik boleh diabaikan).
2. Fungsi kerja Na adalah 2,28 eV. Tentukan:
a) energi kinetik maksimum dari fotoelektron yang diemisi oleh Na,
jika proses fotolistrik tersebut menggunakan cahaya ultra violet
yang panjang gelombangnya 200 nm.
b) berapa panjang gelombang cahaya maksimal yang masih dapat
menghasilkan fotolistrik terhadap Na ?
3. Ketika J.J Thomson melakukan investigasi terhadap elektron melalui
eksperimen tabung sinar katoda, ia melakukan pengamatan
terhadap sifat-sifat elektron dengan menggunakan pendekatan
mekanika klasik.
a) Jika elektron diakselerasi dengan energi kinetik 1000 eV, dan
melalui celah yang lebarnya 0,1 cm, berapakah besarnya sudut
difraksi dalam gambar 1.1
b) Berapa lebar celah yang diperlukan agar elektron dengan energi
kinetik 1000 eV menghasilkan = 1o ?
4. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang
dinyatakan oleh fungsi:
= / xm b- tb i- 2
e e a
a dan b adalah konstanta dan m adalah massa partikel. Dengan
menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu,
tentukan fungsi energi potensial bagi sistem tersebut.
5. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang
dinyatakan oleh fungsi:
x = b x 2 xce.
Tentukan energi partikel tersebut jika diketahui:
Fungsi energi potensial = V = mxc /2 222
b = konstanta ; c = 2 nm2 ; m = 1,00 . 1030 kg
6. Pada saat tertentu, sebuah partikel dalam sistem satu dimensi,
dideskripsi oleh = (2 / b3 )1/2x.ex/ b dengan b = 3 nm. Jika pada
saat itu diadakan pengukuran terhadap x, maka:
(a) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0,9 dan
0,9001 nm (anggaplah bahwa dx amat kecil dibandingkan dengan 0,9
nm)
(b) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0 dan 2
nm.
(c) Untuk x bernilai berapakah, probabilitas akan minimum? (tidak
perlu dijawab secara kalkulus)
(d) Buktikan bahwa ternormalisasi.
Jawaban:
1. Gelombang de Broglie :
p = h
p = m . v
Dengan memasukkan harga m dan v elektron, p dapat dihitung. Jika p
sudah diketahui, dapat dihitung.
Jika diketahui = c137
1= sm /.1099792,2.137
1 8
smkg
sJ
mv
h
/.1099792,2.137
1.1010938,9
.1062608,6
831
34
smkg
sJ
/.372188262.77.1010938,9
.1062608,631
34
smkg
sJ
/..101.9933
.1062608,624-
34
10103241,3 m
Pengingat satuan:
W = F.S J = N.m
F = m.a N = kg.m/s2
Jadi J = kg.m2/s2
P = F/A Pa = N/ m2 = 9.86923266716 x 10-6 atm
1 atm = 101325.0 Pa
2. Dalam fotolistrik berlaku
a) E foton = h . = h . c = + Ekinetik
dengan memasukkan harga dan dan fungsi kerja maka enegi kinetik dapat dihitung
Diketahui:
Fungsi kerja Na = 2,28 eV = 2,28 x 1.60217733 x 10-19 J
200 nm = 200 x 10-9 m = 2 x 10-7 m
h . c = + Ekinetik
eVnm
smsJ
chEkinetik
.28,2.200
/.1099792,2.1062608,6
.
834
Jm
smsJ.1.6022.1028,2
.102
/.1099792,2.1062608,6 19-
7
834
Jm
mJ.101.602228,2
.102
..101.9864 19-
7
25-
JJ .101.602228,2.109932,0 19-18
JJ .101.602228,2.10932,9 19-19
b) Untuk menghirung ambang gunakan: h . c >
3. Petunjuk jawaban:
a) Untuk menghitung sudut difraksi kita gunakan relasi:
p = p sin
p dihitung dari relasi : p . x = h dengan x = lebar celah
p dihitung dari energi kinetik elektron, ingat : Ek = p2 / 2m
Diketahui:
b) solusinya merupakan kebalikan dari a. Kita telah tahu harga p,
selanjutnya kita cari harga p melalui p = p sin Selanjutnya x
dapat dihitung.
4. Persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah:
),(t)(x,2
),(
22),(
V + 2
= tx
txtx
xmti
(4-6)
Kita selesaikan dulu ruas kiri:
/bmx-ibt-),( 2
e ae = titi
tx
e ae tb i-/bmx- 2
dt
d
i
e ib . ae ibt-/bmx- 2
i
e . aeb ibt-/bmx- 2
b x,t
Dengan demikian persamaan (4-6) menjadi:
b( x, t) ),(t)(x,2
),(
22
V + 2
= tx
tx
xm
Selanjutnya kita selesaikan suku pertama ruas kanan:
2
2
2
2
),(
22
mxm
tx
/ xm b - tb i-
2
22
e e a x
/
2
2 tb i -
22
e d
e a . 2
bmx
dxm
/ tb i -
22
e dx
d .
d e a .
2
bmx
dxm
/ tb i -2
2
e 2bmx
- . d
e a . 2
bmx
dxm
/ tb i -2
2
e . x d
e a 2bm
. 2
bmx
dxm
/2 / tb i -
222
e m 2b
e e a 2bm
. 2
bmxbmx xm
2 / tb i -
2 m 2b 1 e e a
2bm .
2
2
xm
bmx
m 2b
1 2bm
. 2
22
x
m
m 2b
1 . b 2
x
Sekarang persamaan Schrodinger menjadi:
b ( x, t) m 2b
1 . b 2
x
( x, t) ),(t)(x,V + tx
atau
b ( x, t) m 2b
1 . b 2
x
( x, t) ),(t)(x,V + tx
atau
b m 2b
1 . b 2
x
t)(x,V +
Jadi fungsi energi potensialnya adalah:
t)(x,V = b m 2b
1 . b 2
x
= b b + 22 x2 mb =
22 x2 mb
5. Berbeda dengan soal no. 4 yang fungsi gelombangnya merupakan
fungsi x dan t, maka pada soal no. 5 ini fungsi gelombangnya hanya
merupakan fungsi x, sehingga untuk menyelesaikannnya kita gunakan
persamaan Schrodinger tak bergantung waktu (Persamaan 5-1)
0 )()V(E 2m
+ d
(x)22
)(
2
xdx
x
(5-1)
Jika V kita masukkan akan kita peroleh:
2m
+ d
22
)(
2
dx
x(E mxc /2 222 ) ( x )
= 0
Kita selesaikan suku pertama ruas kiri:
d
2
)(
2
dx
x
dx
d
dx
d. bx
2 xce
Langkah-langkhanya:
dx
d
dx
d. bx
2 xce
=bdx
d
dx
d. x
2 xce
= bdx
d 2 xcecx2)
=b. 2cx2 xce
(2cx2-3)
=2bcx2 xce
(2cx2-3)
=2c(2cx2-3). bx2 xce
2c(2cx2-3)x
4c2x2-6cx
Dengan demikian persamaan Schrodinger menjadi:
(-6c+4c2x2 2m
2 mxc /2 222
atau:
-6c+4c2x2 2m
2 mxc /2 222
top related