02 statistika - distribusi. peluang

OLEH :

FAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2009

WIJAYA

S T A T I S T I K A

email : zeamays_hibrida@yahoo.com

II. SEBARAN PELUANG

Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu

percobaan.

Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasil dalam suatu

ruang contoh.

Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S.

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam

dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

Anggota (Titik Contoh) = AAA, AAG, … , GGG

Kejadian = {AAA}, {AAG}, …, {GGG}

II. SEBARAN PELUANG

Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantung pada

letaknya.n !

.r Pn =( n – r ) !

Banyaknya kemungkinan menanam 2 dari 4 tanaman hias untuk

ditanam pada pot plastik satu tanaman dan satu tanaman lagi

pada pot gerabah yaitu sebanyak 12 kemungkinan.

4 ! 1x2x3x4 .r Pn = = = 12

( 4 – 2 ) ! 1x2

II. SEBARAN PELUANG

Kombinasi = Susunan benda yang tidak tergantung pada letaknya.

n !.r Cn =

r! ( n – r ) !

Banyaknya kemungkinan memilih 2 dari 4 mata kuliah pilihan yaitu

sebanyak 6 kemungkinan.

4 ! 1x2x3x4 .r Cn = = = 6

2 ! ( 4 – 2 ) ! (1x2)(1x2)

II. SEBARAN PELUANG

Peluang = frekuensi relatif suatu kejadian.

nP(x = n) =

N

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam

dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

P (A = 0) = 1/8

P (A = 1) = 3/8

P (A = 2) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

II. SEBARAN PELUANG

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit = Tabel

atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu

peubah acak diskrit berikut peluangnya. Grafiknya berbentuk

histogram peluang.

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu

= Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu

peubah acak kontinyu berikut peluangnya

Grafiknya dapat berbentuk linier, simetris, menjulur ke

kanan/kiri. Fungsinya disebut Fungsi Kepekatan Peluang.

II. SEBARAN PELUANG

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam

dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

P (A = 0) = 1/8

P (A = 1) = 3/8

P (A = 2) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

X (Munculnya Angka) 0 1 2 3

f (x) = P ( X = x ) 1/8 3/8 3/8 1/8

II. SEBARAN PELUANG

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang berhasil p dan gagal q,

maka peluang keberhasilan dalam n ulangan yang bebas :

1. Sebaran Peluang Binom

b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x x = 0, 1, 2, …, n

Rata-rata μ = n.p Ragam σ2 = n.p.q

Untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Binom

∑ b (x ; n, p) = p ( 0 ≤ x ≤ n )

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

10% buah mangga yang diekspor tergolong rusak. Sebuah sampel

berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang

diambil itu rusak :

a. 2 buah

b. paling sedikit tiga buah

c. paling banyak 4 buah

d. rata–rata yang rusak

1. Sebaran Peluang Binom

b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x x = 2 n = 20 p = 0,20 q = 0,80

Jawab :

a. Yang rusak 2 buah = P (x = 2)

b (2 ; 20 ; 0,2) = 2C20 . (0,2)2 . (0,8)18

20!b(2 ; 20 ; 0,2) = (0,2)2 (0,8)18 = 0,1369

2! 18!

n r 0,10 0,20 0,25

20 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,0243

2 0,6769 0,2061 0,0913

3 0,8850 0,4551 0,2631

4 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

a. Yang rusak 2 buah = P (x = 2) = P(x ≤ 2) – P(x ≤1)

P (x = 2) = 0,2061 – 0,0692 = 0,1369

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

1. Sebaran Peluang Binom

n r 0,10 0,20 0,25

20 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,0243

2 0,6769 0,2061 0,0913

3 0,8850 0,4551 0,2631

4 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

b. Paling sedikit 3 buah = P (x ≥3) = 1 – P(x ≤2)

P (x ≥2) = 1 – 0,2061 = 0,7939

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

1. Sebaran Peluang Binom

n r 0,10 0,20 0,25

20 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,0243

2 0,6769 0,2061 0,0913

3 0,8850 0,4551 0,2631

4 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

c. Paling banyak 4 buah = P (x ≤ 4) = 0,6733

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

1. Sebaran Peluang Binom

d. Rata-rata = n. p = (20)(0,20) = 4 buah

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

2. Sebaran Peluang Poisson

e–μ μx

P(x ; μ) = x = 1,2, … dan e = 2,718 x !

μ = Rata-rata Ragam σ2 = μ

Contoh :

Rata–rata banyaknya tikus per dam2 di lahan sawah diduga

tersebar 10. Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat

a. paling banyak 5 ekor

b. lebih dari 12 ekor,

c. 8 sampai 11.

Dalam diperhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Poisson

∑ p (x ; μ) = p ( 0 ≤ x ≤ r )

2. Sebaran Peluang Poisson

Tabel Jumlah Peluang Poisson

Rata-rata ( μ )r

9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

5 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,0375

8 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,2320

9 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,3405

10 0,7060 0,6453 0,5830 0,5207 0,4599

11 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,5793

13 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,7813

a. Paling banyak 5 ekor = P (x ≤5) = 0,0671

b. Lebih dari 12 ekor = P (x >12) = 1 – P(x ≤11)

P (x >12) = 1 – 0,6968 = 0,3032

2. Sebaran Peluang Poisson

Tabel Jumlah Peluang Poisson

Rata-rata ( μ )r

9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

5 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,0375

8 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,2320

9 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,3405

10 0,7060 0,6453 0,5830 0,5207 0,4599

11 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,5793

13 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,7813

c. 9 sampai 11 ekor = P (x ≤11) – P(x ≤ 8)

P (x ≤11) – P(x ≤ 8) = 0,6968 – 0,3328 = 0,3640

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu

1. Sebaran Peluang Normal - z

x – μz =

σ

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah (peluang) dari :

a. P(z < -1,46)

b. P(z <2,38)

c. P(1,24 < z < 2,04)

d. P(z > 1,15)

Dalam diperhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Normal-z

1. Sebaran Peluang Normal-z

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah (peluang) dari :

a. P(z < –1,46) = 0,0721

b. P(z <2,38) = 0,9913

c. P(1,24 < z < 2,04) = 0,9793 – 0,8925 = 0,0868

d. P(z > 1,15) = 1 – 0,8749 = 0,1251

Z 0,00 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09

-1,4 0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,0681

1,1 0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,9015

2,0 0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,9817

2,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

1. Sebaran Peluang Normal-z

Contoh 2 :

Rata–rata volume air kemasan “X” setiap gelas 200 ml dengan

simpangan baku 10 ml. Jika volume air menyebar normal,

hitunglah peluang gelas yang berisi :

a. 208 ml.

b. antara 191 dan 209 ml.

c. 187 sampai 207 ml.

d. Jika ada 10.000 gelas, berapa gelas yang berisi > 224 ml.

Jawab :

Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml.

a. 208 ml = P(207,5 < x 208,5)

x – μ 207,5 – 200

z1 = = = 0,75

σ 10

1. Sebaran Peluang Normal-z

x – μ 208,5 – 200

z2 = = = 0,85

σ 10

P(207,5 < x < 208,5) = P(0,75 < z < 0,85)

= P(z < 0,85) – P(z < 0,75) = 0,8023 – 0,7734 = 0,0289

Jawab :

Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml.

a. P(x = 208 ml) = P(207,5 < x < 208,5)

x – μ 207,5 – 200

z1 = = = 0,75

σ 10

1. Sebaran Peluang Normal-z

x – μ 209 – 200

z2 = = = 0,90

σ 10

P(191 < x < 209) = P(–0,90 < z < 0,90)

= P(z < 0,90) – P(z < –0,90) = 0,8159 – 0,1841 = 0,6318

Jawab :

Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml.

b. Antara 191 dan 209 ml = P(191 < x < 209)

x – μ 191 – 200

z1 = = = – 0,90

σ 10

1. Sebaran Peluang Normal-z

x – μ 207,5 – 200

z2 = = = 0,75

σ 10

P(186,5 < x < 207,5) = P(–1,35 < z < 0,75)

= P(z < 0,75) – P(z < –1,35) = 0,7734 – 0,0401 = 0,7333

Jawab :

Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml.

c. 187sampai 207 ml = P(186,5 < x < 207,5)

x – μ 186,5 – 200

z1 = = = – 1,35

σ 10

1. Sebaran Peluang Normal-z

P( x > 224) = 1 – P(x < 224) = 1 – P(z < 2,24)

= 1 – 0,9875 = 0,0125

Jumlah gelas = 10.000 (0,0125) = 125 gelas

Jawab :

Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml.

d. Jika ada 10.000 gelas, volume lebih dari 224 ml

P(x > 224 ml) = 1 – P( x < 224)

x – μ 224 – 200

z = = = 2,24

σ 10

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu

1. Sebaran Peluang Normal - z

2. Sebaran Peluang t - student

3. Sebaran Peluang F

4. Sebaran Peluang X2 (Kai-Kuadrat)