02 1 sistem bilangan

SistemSistem BilanganBilangan

PendahuluanPendahuluan

►►SistemSistem bilanganbilangan didefinisikandidefinisikan sebagaisebagaisekumpulansekumpulan nilainilai yang yang digunakandigunakan untukuntukmelambangkanmelambangkan besaranbesaran..

►►JumlahJumlah mahasiswamahasiswa yang yang hadirhadir dalamdalamkuliah,jumlahkuliah,jumlah matakuliahmatakuliah yang yang diambildiambiloleholeh mahasiswamahasiswa, , nilainilai yang yang didapatdidapatmahasiswamahasiswa untukuntuk suatusuatu ujianujian matakuliahmatakuliah, , semuanyasemuanya menggunakanmenggunakan lambanglambangbilanganbilangan..

PendahuluanPendahuluan

►►SejakSejak lama lama manusiamanusia menggunakanmenggunakan tandatandaatauatau simbolsimbol untukuntuk menggambarkanmenggambarkanbilanganbilangan. .

►►BentukBentuk awalawal penggunaanpenggunaan simbolsimbol adalahadalahdengandengan garisgaris luruslurus. . JumlahJumlah garisgarismenunjukkanmenunjukkan besarnyabesarnya bilanganbilangan. .

►►AdaAda yang yang menggambarkanmenggambarkan kelompokkelompok 6 6 garisgaris vertikalvertikal dengandengan 1 1 garisgaris horisontalhorisontalmelintangmelintang padapada kelompokkelompok garisgaris vertikalvertikaltersebuttersebut untukuntuk menunjukkanmenunjukkan jumlahjumlah hariharidalamdalam 1 1 mingguminggu..

PendahuluanPendahuluan

►►SangatSangat sulitsulit untukuntuk menggambarkanmenggambarkanbilanganbilangan sangatsangat besarbesar ataupunataupun sangatsangatkecilkecil menggunakanmenggunakan pendekatanpendekatan grafisgrafis..

►►PadaPada sekitarsekitar tahuntahun 3400 SM 3400 SM didi MesirMesir dandan3000 SM 3000 SM didi Mesopotamia Mesopotamia merekamerekamembuatmembuat simbolsimbol untukuntuk menggambarkanmenggambarkanbilanganbilangan dalamdalam kesatuankesatuan 10. 10.

PendahuluanPendahuluan

►►IniIni adalahadalah langkahlangkah besarbesar karenakarena dapatdapatmereduksimereduksi jumlahjumlah simbolsimbol yang yang diperlukandiperlukan. . MisalnyaMisalnya duadua belasbelas dapatdapat digambarkandigambarkandengandengan satusatu puluhanpuluhan dandan duadua satuansatuan, , sehinggasehingga hanyahanya memerlukanmemerlukan 3 3 simbolsimbol. . BandingkanBandingkan dengandengan 12 12 simbolsimbolsebelumnyasebelumnya..

PendahuluanPendahuluan

►►OrangOrang RomawiRomawi menggunakanmenggunakan 7 7 buahbuahsimbolsimbol yang yang dapatdapat digunakandigunakan untukuntukmenggambarkanmenggambarkan bilanganbilangan 1 1 sampaisampaidengandengan 1.000.000.1.000.000.

►►I = 1I = 1 V = 5V = 5►►X = 10X = 10 L = 50L = 50►►C = 100C = 100 D = 500D = 500►►M = 1000M = 1000►►TambahanTambahan tandatanda garisgaris didi atasatas simbolsimbol taditadi

diartikandiartikan sebagaisebagai perkalianperkalian 1000.1000.

PendahuluanPendahuluan

►►SistemSistem bilanganbilangan yang paling yang paling banyakbanyakdigunakandigunakan saatsaat iniini adalahadalah sistemsistem Arab.Arab.

►►SistemSistem iniini pertamapertama kali kali dibuatdibuat oleholeh orangorangHindus Hindus dandan digunakandigunakan padapada awalawal abadabad keke--3 3 sebelumsebelum MasehiMasehi. .

►►PengenalanPengenalan simbolsimbol 0, yang 0, yang digunakandigunakanuntukuntuk menunjukkanmenunjukkan nilainilai posisiposisi angkaangkamenjadimenjadi sangatsangat bermanfaatbermanfaat. .

►►SekarangSekarang kitakita menjadimenjadi terbiasaterbiasa dengandenganpuluhanpuluhan, , ratusanratusan, , ribuanribuan, , dandan seterusnyaseterusnya..

PendahuluanPendahuluan

►►DalamDalam sistemsistem bilanganbilangan, , banyakbanyak terjaditerjadiperulanganperulangan berkaliberkali--kali kali penggunaanpenggunaan suatusuatusimbolsimbol. .

►►PadaPada sistemsistem desimaldesimal, , hanyahanya digunakandigunakansimbolsimbol sebanyaksebanyak 10 10 macammacam. . SimbolSimbol iniiniakanakan diulangdiulang--ulangulang untukuntuk menyatakanmenyatakanbilanganbilangan yang yang besarbesar..

PendahuluanPendahuluan

►► PerhatikanPerhatikan bagaimanabagaimana bilanganbilangan 0 0 sampaisampaidengandengan 9 9 diulangdiulang, , dandan setiapsetiap perulanganperulangan, , nilainilaikolomkolom sebelahsebelah kirinyakirinya bertambahbertambah satusatu ((daridari 0 0 menjadimenjadi 1,kemudian 2). 1,kemudian 2).

►► SetiapSetiap terjaditerjadi kenaikankenaikan nilainilai, , sampaisampai nilainilaitertinggitertinggi tercapaitercapai ((yaituyaitu 9), 9), nilainilai dikolomdikolom sebelahsebelahkirinyakirinya bertambahbertambah 1, 1, jadijadi setelahsetelah 9 9 adalahadalah 10. 10. DemikianDemikian seterusnyaseterusnya berulangberulang--ulang.0 ulang.0 -- 9, 10 9, 10 --19, 20 19, 20 -- 29, 30 29, 30 -- 39 39 dstdst

►► AngkaAngka selaluselalu ditulisditulis dengandengan nilainilai tertinggitertinggi padapadabagianbagian paling paling kirikiri daridari bilanganbilangan..

NilaiNilai BasisBasis

►► NilaiNilai basis basis untukuntuk sistemsistem bilanganbilangan adalahadalah cacahcacahhimpunanhimpunan nilainilai berbedaberbeda sebelumsebelum terjaditerjadiperulanganperulangan. .

►► MisalnyaMisalnya, , sistemsistem desimaldesimal adalahadalah berbasisberbasissepuluh,dengansepuluh,dengan nilainilai 0 0 sampaisampai dengandengan 9.9.

►► NilaiNilai basis yang lain basis yang lain misalnyamisalnya: : binerbiner, , oktal,duodesimaloktal,duodesimal, , heksadesimalheksadesimal, , vigesimalvigesimal, , seksagesimalseksagesimal. .

►► SistemSistem desimaldesimal adalahadalah sistemsistem yang paling yang paling dikenaldikenal, , karenakarena iniini adalahadalah sistemsistem yang yang digunakandigunakan dalamdalam perhitunganperhitungan seharisehari--harihari..

SistemSistem BilanganBilangan DesimalDesimal

►►SistemSistem desimaldesimal terdiriterdiri atasatas 10 10 angkaangka atauatausimbolsimbol, , yaituyaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

►►DenganDengan menggunakanmenggunakan simbolsimbol iniini kitakitadapatdapat menyatakanmenyatakan besaranbesaran. .

►►SistemSistem desimaldesimal seringsering dinamakandinamakan jugajugasistemsistem basisbasis--10, 10, karenakarena mempunyaimempunyai 10 10 angkaangka..

Gambar 1.1 PerulanganVertikal dan Horisontal

SistemSistem BilanganBilangan BinerBiner

►►DalamDalam sistemsistem binerbiner, , hanyahanya adaada 2 2 simbolsimbolatauatau angkaangka yaituyaitu 0 0 dandan 1. 1. SistemSistem basisbasis--2 2 iniini dapatdapat dipergunakandipergunakan untukuntuk menyatakanmenyatakanbesaranbesaran yang yang direpresentasikandirepresentasikan dalamdalamdesimaldesimal maupunmaupun sistemsistem bilanganbilangan lain. lain. ContohContoh::

SistemSistem BilanganBilangan OktalOktal

►►SistemSistem oktaloktal adalahadalah sistemsistem basisbasis--8 8 dengandengansimbolsimbol sebanyaksebanyak 8 8 macammacam yaituyaitu: : 0,1,2,3,4,5,6, 0,1,2,3,4,5,6, dandan 7. 7. ContohContoh::

SistemSistem BilanganBilangan HexadesimalHexadesimal

►► SistemSistem heksadesimalheksadesimal adalahadalah sistemsistem basisbasis--16 16 dengandengansimbolsimbol sebanyaksebanyak 16 16 macammacam yaituyaitu: : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dandan F. F. ContohContoh::

►► SistemSistem duodesimalduodesimal adalahadalah sistemsistem berbasisberbasis 12 12 digunakandigunakanoleholeh orangorang RomawiRomawi untukuntuk beberadabeberada keperluankeperluan. .

►► SistemSistem vigesimalvigesimal adalahadalah sistemsistem bilanganbilangan berbasisberbasis 20 20 digunakandigunakan oleholeh orangorang Maya Maya sedangsedang seksagesimalseksagesimalberbasisberbasis 60 60 dandan digunakandigunakan oleholeh orangorang BabyloniaBabylonia

FaktorFaktor BobotBobot

►►FaktorFaktor bobotbobot adalahadalah nilainilai pengalipengali yang yang dikenakandikenakan padapada setiapsetiap posisiposisi kolomkolom dalamdalambilanganbilangan. .

►►MisalnyaMisalnya, , desimaldesimal mempunyaimempunyai faktorfaktor bobotbobotsepuluhsepuluh, yang , yang artinyaartinya setiapsetiap kolomkolomdisebelahdisebelah kirikiri mempunyaimempunyai nilainilai bobotbobotsebesarsebesar sepuluhsepuluh kali kali lebihlebih besarbesar daridarikolomkolom sebelahsebelah kanannyakanannya. .

►►DenganDengan demikiandemikian setiapsetiap bergeserbergeser keke kirikirifaktornyafaktornya menjadimenjadi 10 kali 10 kali lipatlipat..

FaktorFaktor BobotBobot

Contoh lagi :

FaktorFaktor BobotBobot

►►BilanganBilangan binerbiner mempunyaimempunyai faktorfaktor bobotbobotsebesarsebesar duadua. . OlehOleh karenakarena ituitu bilanganbilangan101101011022 dapatdapat diuraikandiuraikan menurutmenurut bobotnyabobotnyamenjadimenjadi::

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi BinerBiner

►► PengubahanPengubahan bilanganbilangan desimaldesimal menjadimenjadi bilanganbilangan binerbinerdapatdapat dilakukandilakukan dengandengan membagimembagi duadua bilanganbilangan desimaldesimaltersebuttersebut secarasecara berulangberulang sampaisampai habishabis sambilsambil mencatatmencatatsisasisa hasilhasil bagibagi (modulo). (modulo).

►► SebagaiSebagai contohcontoh bilanganbilangan desimaldesimal 19 19 dapatdapat diubahdiubahmenjadimenjadi bilanganbilangan binerbiner dengandengan caracara yang yang terlihatterlihat padapadaGambarGambar 1.2.1.2.

►► UntukUntuk mengujimenguji hasilhasil konversikonversi tersebuttersebut dapatdapat dilakukandilakukandengandengan caracara sebelumnyasebelumnya. . LihatLihat GambarGambar 1.3.1.3.

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi BinerBiner

Gambar 1.2 Konversi Bilangan Desimal 19 menjadi biner

Gambar 1.3 Pengujian bilangan biner 10011 menjadi bilangan desimal

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi OktalOktal

►►PengubahanPengubahan bilanganbilangan desimaldesimal menjadimenjadibilanganbilangan oktaloktal dapatdapat dilakukandilakukan dengandengancaracara yang yang samasama dengandengan konversikonversi daridaribilanganbilangan desimaldesimal menjadimenjadi bilanganbilangan binerbiner, , dengandengan menggantimengganti bilanganbilangan pembagipembagidengandengan delapandelapan. .

►►SebagaiSebagai contohcontoh bilanganbilangan desimaldesimal 321 321 dapatdapat diubahdiubah menjadimenjadi bilanganbilangan oktaloktaldengandengan caracara yang yang terlihatterlihat padapada GambarGambar1.4.1.4.

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi OktalOktal

►► UntukUntuk mengujimenguji hasilhasil konversikonversi tersebuttersebut dapatdapatdilakukandilakukan dengandengan caracara sebelumnya.Lihatsebelumnya.LihatGambarGambar 1.5.1.5.

Gambar 1.4 Konversi bilangandesimal 321 menjadi oktal

Gambar 1.5 Pengujianbilangan oktal501 menjadibilangan desimal

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi HeksadesimalHeksadesimal

►►Cara Cara pengubahanpengubahan bilanganbilangan desimaldesimalmenjadimenjadi bilanganbilangan oktaloktal dapatdapat diterapkanditerapkanjugajuga untukuntuk mengubahmengubah bilanganbilangan desimaldesimalmenjadimenjadi heksadesimalheksadesimal, , dengandengan caracaramenggantimengganti bilanganbilangan pembagipembagi dengandenganenamenam belasbelas. .

►►SebagaiSebagai contohcontoh bilanganbilangan desimaldesimal 321 321 dapatdapat diubahdiubah menjadimenjadi bilanganbilanganheksadesimalheksadesimal dengandengan caracara yang yang terlihatterlihatpadapada GambarGambar 1.6.1.6.

KoversiKoversi BilanganBilangan DesimalDesimal menjadimenjadi HeksadesimalHeksadesimal

Gambar 1.6 Konversi bilangandesimal 321 menjadiheksadesimal

Hasil konversi inipun dapat diuji kebenarannya dengan cara yang samaseperti sebelumnya. Lihat Gambar 1.7.

Gambar 1.7: Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal

Cara lain Cara lain KonversiKonversi BilanganBilangan

►► SecaraSecara umumumum pengubahanpengubahan suatusuatu bilanganbilangan dalamdalamsistemsistem bilanganbilangan nonnon--desimaldesimal menjadimenjadi suatusuatubilanganbilangan dalamdalam sistemsistem bilanganbilangan nonnon--desimaldesimal lain lain dapatdapat dilakukandilakukan dengandengan mengubahnyamengubahnya terlebihterlebihdahuludahulu keke bilanganbilangan desimaldesimal, , kemudiankemudian diubahdiubah kekesistemsistem bilanganbilangan tujuantujuan. .

►► NamunNamun demikiandemikian pengubahanpengubahan bilanganbilangan binerbinermenjadimenjadi bilanganbilangan oktaloktal ((dandan bilanganbilanganheksadesimalheksadesimal) ) dandan sebaliknyasebaliknya dapatdapat dilakukandilakukansecarasecara langsunglangsung dengandengan caracara sepertisepertiditunjukkanditunjukkan padapada GambarGambar 1.8.1.8.

Cara lain Cara lain KonversiKonversi BilanganBilangan

►► SecaraSecara umumumum pengubahanpengubahan suatusuatu bilanganbilangan dalamdalamsistemsistem bilanganbilangan nonnon--desimaldesimal menjadimenjadi suatusuatubilanganbilangan dalamdalam sistemsistem bilanganbilangan nonnon--desimaldesimal lain lain dapatdapat dilakukandilakukan dengandengan mengubahnyamengubahnya terlebihterlebihdahuludahulu keke bilanganbilangan desimaldesimal, , kemudiankemudian diubahdiubah kekesistemsistem bilanganbilangan tujuantujuan. .

►► NamunNamun demikiandemikian pengubahanpengubahan bilanganbilangan binerbinermenjadimenjadi bilanganbilangan oktaloktal ((dandan bilanganbilanganheksadesimalheksadesimal) ) dandan sebaliknyasebaliknya dapatdapat dilakkandilakkansecarasecara langsunglangsung dengandengan caracara sepertisepertiditunjukkanditunjukkan padapada GambarGambar 1.8.1.8.

Cara lain Cara lain KonversiKonversi BilanganBilangan

Gambar 1.8: Pengubahan bilanganoktal 157 menjadi biner

Cara tersebut dilakukan dengan mengubah setiap digit bilangan oktalmenjadi 3 digit biner (bit). Ingat 8 adalah 23. Sebaliknya untuk mengubahbilangan biner menjadi bilangan oktal dapat ditempuh denganmengelompokkan setiap 3 bit dari bilangan biner dari kanan danmenerjemahkan masing-masing kelompok menjadi bilangan oktal yang sesuai. Lihat Gambar 1.9.

Gambar 1.9: Pengubahan bilanganbiner 10011001 menjadi oktal

Pengubahan bilangan heksadesimal menjadi biner dapat dilakukandengan menerjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal menjadi 4 bit. Bilangan 4 didapat karena 16 (heksadesimal) adalah 24.

ContohContoh ::

►►ContohContoh 1.1 1.1 UbahUbah bilanganbilangan 2BA16 2BA16 menjadimenjadibilanganbilangan desimaldesimal!!

JawabJawab ::

ContohContoh

UbahUbah bilanganbilangan 8458451010 menjadimenjadi bilanganbilangan heksadesimalheksadesimal!!JawabJawab::

ContohContohUbahUbah bilanganbilangan 2B2B1616 menjadimenjadi bilanganbilangan binerbiner!!►► Cara I:Cara I:►► BilanganBilangan setiapsetiap kali kali dibagidibagi dengandengan 2. 2. PerluPerlu diingatdiingat bahwabahwa pembagianpembagian►► dilakukandilakukan dalamdalam bilanganbilangan heksadesimalheksadesimal..

ContohContoh►► Cara II:Cara II:►► SetiapSetiap digit digit bilanganbilangan heksadesimalheksadesimal diterjemahkanditerjemahkan menjadimenjadi 4 bit.4 bit.

ContohContoh

UbahUbah bilanganbilangan binerbiner 110011011 110011011 menjadimenjadi bilanganbilangan heksadesimalheksadesimal!!

►► SetiapSetiap 4 bit 4 bit dikelompokkandikelompokkan untukuntuk diterjemahkanditerjemahkan menjadimenjadimasingmasingmasingmasing

►► 1 digit 1 digit heksadesimalheksadesimal