ALJABAR MATRIKSpertemuan 1

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Aturan main perkuliahan

Batas keterlambatan 30 menit setelah kuliah dimulaiBobot :

TM 20%UTS 30%UAS 50%

Total 13 pert. (UTS setelah pert. 7 & UAS setelah pert. 13)Maksimal 3 kali untuk absenHandphone harap disilent

Definisi Matriks.

Matriks adalah himpunan skalar C bilangan riil atau kompleks yang disusun menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Notasi Matriks.

Matriks kita beri nama dengan huruf besar A,B,C,D, …, secara Lengkap ditulis matrik A = (aij) artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij, i menyatakan baris ke-i dan j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.

Matriks Secara Umum.

Pandangan sebuah matriks A = (aij). i = 1, 2, 3, …, m dan j = 1,2,3,…, n.

A (mxn) = (aij) (mxn) → Ordo.

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nij

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

321

321

33333231

22232221

1131211

.....

.....

.....

Jenis - Jenis Matriks.

1. Matriks baris

Matriks yang elemennya berada pada 1 baris saja

2. Matriks kolom

Matriks yang elemennya berada pada 1 kolom saja.

3. Matriks Bujur Sangkar

Matriks dengan jumlah baris = jumlah kolom

5321A

3

2

2

1

A

544

432

221

A

Jenis - Jenis Matriks.

4. Matriks nol

Matriks yang semua elemennya 0

5. Matriks Diagonal

Matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0

6. Matriks Identitas (satuan)

Matriks diagonal yang elemen – elemen diagonal utamanya semua = 1

00

00A

400

030

002

A

100

010

001

A

Jenis - Jenis Matriks.

7. Matriks skalar

Matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama .

8. Matriks segitiga bawah

Matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama = 0

9. Matriks segitiga atas

Matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama = 0

200

020

002

A

243

023

002

A

100

320

134

A

Jenis - Jenis Matriks.

10. Matriks simetris

Matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

11. Matriks antisimetris / skew-simetris

Matriks yang transposenya adalah negatifnya.

754

542

421

A

864

643

432

A

Operasi Matriks.

1. Kesamaan Matriks

Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila aij = bij

dimana [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

Contoh :

Matriks A dan B diatas memiliki orde yang sama yaitu 3 x 3 jadi nilai yg kita peroleh :

x = 1

y = 2

z = 3

dst,

987

654

321

wvu

tsr

zyx

Operasi Matriks.

2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa

dijumlahkan menjadi matriks [C]

[C] = [A] + [B]

cij = aij + bij

Sifat-sifat penjumlahan Matriks

[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif

[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif

Contoh :

11118

888

542

987

654

321

231

234

221

Operasi Matriks.

3. Perkalian Matriks dengan skalarSuatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k menghasilkan suatu matriks

[D] = k [A] dij = k . aij

Sifat-sifat perkalian skalar matriks:k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

Contoh :

2,

181614

12108

642

987

654

321

2

k

Operasi Matriks.

4. Perkalian Matriks dengan Matriks

Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan matriks baru

[E]mxn = [A]mxp [B]pxn

Contoh :

Sifat – sifat perkalian matriks : [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif [A] [B] ≠ [B] [A] [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

322

5

3

1

1

2

x

22)1(331

25)1(132

xx

xx

122341

152142

xxx

xxx

22124

1515

x

[A] = ; [B] =

[E] = =

231

2

4

2

1

3

x

Transpose Matriks.

Jika matriks [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]T

adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T

Sifat – sifat dari transpose matriks : ( [A]T )T = [A] ( k [A] )T = k [A]T

( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T

( [A] [B] )T = [B]T [A]T

326

3

5

2

4

1

x

236

5

4

3

2

1

x

[A] = [A]T =

Determinan Matriks (D).

Untuk mencari determinan matriks , dapat digunakan beberapa metode , yakni :

1. Aturan Crammer (khusus ordo 2x2)

│A│= (a11a22) – (a12a21)

2. Metode Sarrus (khusus ordo 3x3)

│A│= (a11a23a33+a12a23a31+a13a21a32) - (a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)

3. Minor – Kofaktor

Pandang mariks perukuran (nxn) : A = Aij, dan Mij suatu sub matriks dari A dengan ukuran (n-1 x n-1) dimana baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan