BAB 1

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.

1.1. Pengantar Sistem Persamaan Linear.1.2. Eliminasi Gauss.1.3. Matriks dan Operasi Matriks.1.4. Invers; Aturan Aritmatika Matriks.1.5. Matriks Elementer dan Metode untuk Menentukan A-1.1.6. Hasil Lebih Lanjut pada Sistem Persamaan dan Keterbalikan.1.7. Matriks Diagonal, Matriks Segitiga, dan Matriks simetriks.

1

BAB 2

DETERMINAN

2.1. Fungsi Determinan1. Tentukan banyaknya inversi pada setiap permutasi dari {1, 2, 3, 4, 5}

a) (4 1 3 5 2)→ Banyaknya inversi = 3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5b) (5 3 4 2 1)→ Banyaknya inversi = 4 + 2 + 2 + 1 + 0 = 9c) (3 2 5 4 1)→ Banyaknya inversi = 2 + 1 + 2 + 1 + 0 = 6d) (5 4 3 2 1)→ Banyaknya inversi = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10e) (1 2 3 4 5)→ Banyaknya inversi = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0f) (1 4235)→ Banyaknya inversi = 0 + 2 + 0 + 0 + 0 = 2

2. Kelompokkan setiap permutasi pada latihan 1 sebagai genap atau ganjil.a) (4 1 3 5 2)→ Ganjilb) (5 3 4 2 1)→ Ganjilc) (3 2 5 4 1)→ Genapd) (5 4 3 2 1)→ Genape) (1 2 3 4 5)→ Genapf) (1 4 2 3 5)→ Genap

Untuk latihan 3-12 hitunglah determinanya

3.| 3 5−2 4

|= (3)(4) – (5)(-2) = 12 + 10 = 22

4.|4 18 2

|= (4)(2) – (8)(1) = 8 - 8 = 0

5.|−5 6−7 −2

|= (-5)(-2) – (-7)(6) = 10 + 42 = 52

6.|√2 √6

4 √3|= (√2 )(√3 ) – (4)(√6 ) = √6 - 4 √6 = -3√6

7.|a−3 5−3 a−2

|= (a−3 )(a−2 ) – (-3)(5) = (a

2−5 a+6 ) –(-15) = a2−5 a+21

2

8.

|−2 7 65 1 −23 8 4

|−253

718

=(−2)(1)( 4 )+(7 )(−2 )(3)+(6)(5 )(8 )−(6 )(1)(3 )−(−2 )(−2)(8 )−(7 )(5 )(4 )=(−8)+(−42)+(240)−(18)−(32)−(140 )=0

9.

|−2 1 43 5 −71 6 2

|−231

156

=(−2)(5)(2 )+(1 )(−7 )(1)+(4 )(3 )(6 )−(4 )(5 )(1)−(−2)(−7 )(6 )−(1)(3 )(2)=(−20)+(−7 )+(72 )−(20 )−(84 )−(6)=−65

10.

|−1 1 23 0 −51 7 2

|−131

107

=(−1 )(0 )(2)+(1 )(−5 )(1)+(2)(3)(7 )−(2)(0 )(1)−(−1)(−5)(7 )−(1)(3 )(2 )=(0 )+(−5)+(42)−(0 )−(35 )−(6 )=−4

11.

|3 0 02 −1 51 9 −4

|321

0−19

=(3)(−1)(−4 )+(0 )(5 )(1)+(0)(2 )(9 )−(0 )(−1)(1)−(3 )(5 )(9 )−(0)(2 )(−4 )=(12)+(0)+(0)−(0 )−(135 )−(0)=−123

12. [c −4 32 1 c2

4 c−1 2 ]c −42 14 c−1

¿2 c+ (−16 c2 )+(6c−6 )−12− (c4−c3 )−(−16 )

¿−c4+c3−16 c2+2c+6 c−6−12+16

¿−c4+c3−16 c2+8 c−2

3

13. Tentukan nilai untuk λ di mana det(A) = 0

a)

⌊ λ−2 1−5 λ+4 ⌋=( λ−2)( λ+4 )−(1)(−5)

0=λ2+2 λ−30=( λ−1 )( λ+3 )λ=1 , λ=−3

b)

⌊ λ−4 0 00 λ 20 3 λ−1 ⌋ λ−4

00

0λ3

=( λ−4 )( λ)( λ−1 )+(0 )(2)(0 )+(0 )(0)(3 )−(0)( λ )(0 )−( λ−4 )(2)(3 )−(0)(0 )( λ−1)=( λ3−5 λ2+4 λ )+(0 )+(0 )−(0)−(6 λ−24 )−(0 )¿ ( λ3−5 λ2−2 λ+24 )¿ ( λ+2 )( λ−3)( λ−4 )λ=−2 , λ=3 , λ=4

14. (1,2,3,4 )=0=¿ Genap(1,2,4,3 )=1=¿ Ganjil(1,3,2,4 )=1=¿ Ganjil(1,3,4,2 )=2=¿ Genap(1,4,2,3 )=2=¿ Genap(1,4,3,2 )=2=¿ Genap(2,1,3,4 )=1=¿ Ganjil(2,1,4,3 )=2=¿ Genap(2,3,1,4 )=2=¿ Genap(2,3,4,1 )=3=¿ Ganjil(2,4,1,3 )=3=¿ Ganjil(2,4,3,1 )=4=¿ Genap

(3,1,2,4 )=2=¿ Genap(3,1,4,2 )=3=¿ Ganjil(3,2,1,4 )=3=¿ Ganjil(3,2,4,1 )=4=¿ Genap(3,4,1,2 )=4=¿ Genap(3,4,2,1 )=5=¿ Ganjil(4,1,2,3 )=3=¿ Ganjil(4,1,3,2 )=4=¿ Genap(4,2,1,3 )=4=¿ Genap(4,2,3,1 )=5=¿ Ganjil(4,3,1,2 )=5=¿ Ganjil(4,3,2,1 )=7=¿ Ganjil

15. Gunakan hasil-hasil pada latihan 14 untuk menyusun suatu rumus determinan dari matriks 4 x 4.

16. Gunakan

17. Gunakan definisi determinan untuk menghitung

a)

|

0 0 0 0 −30 0 0 −4 00 0 −1 0 00 2 0 0 05 0 0 0 0

|

=a15 a24 a33 a42a51

¿(−3 )(−4 )(−1 )(2)(5 )¿−120

4

b)

|

5 0 0 0 00 0 0 0 −40 0 3 0 00 0 0 1 00 −2 0 0 0

|

=−a11a25a33a44 a52

¿−(5 )(−4 )(3)(1 )(−2 )¿−120

18. Selesaikan x pada

|x −13 1−x|=|1 0 −3

2 x −61 3 x−5|

|x −13 1−x|=x (1−x )−(−1 ) ×3=x−x2+3

|1 0 −32 x −61 3 x−5|=|1 0 −3

2 x −61 3 x−5|

1 02 x1 3

¿ x2−5 x+0−18+3 x+18−0=x2−2 x

¿−x2+x+3=x2−2 x

¿−2x2+3 x+3=0

x=3 ±√334

19. Tunjukkan bahwa nilai dari determinan

|sin δ cosδ 0

−cos δ sin δ 0sin δ−cosδ sin δ+cos δ 1

|sin δ

−cosδsin δ−cosδ

cos δsin δsin δ+cos δ

Tidak bergantung pada δ

=(sin δ )(sin δ )(1)+(cosδ )(0 )(sin δ−cosδ )+(0)(−cos δ )(sin δ+cos δ )−(0)(sin δ )(sin δ−cos δ )−(sin δ )(0)(sin δ+cos δ )−(cos δ )(−cosδ ) (1 )=sin2δ+0+0−0−0+cos2 δ¿ sin2 δ+cos2δ¿1

20. Buktikan bahwa

2.2. Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris 2.3. Sifat-Sifat Fungsi Determinan 2.4. Ekspansi Kofakto; Aturan Cramer

5

6

BAB 3

VEKTOR PADA RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3

3.1. Pengantar Vektor (Geometrik)3.2. Norma Suatu Vektor; Aritmatika Vektor 3.3. Hasilkali Titik; Proyeksi3.4. Hasilkali Silang 3.5. Garis dan Bidang pada Ruang Berdimensi 2

7

BAB 4

RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

4.1. Ruang Berdimensi n Euclidean.

1. a) v−w=(4,7 ,−3,2 )− (5 ,−2,8,1 )

¿¿

¿ (−1,9 ,−11,1 )

b) 2 u+7 v=[2 (−3,2,1,0 )+7 (4,7 ,−3,2 ) ]¿ (−6,4,2,0 )+ (28,49 ,−21,14 )

¿(−6+28 , 4+49 ,2+(−21 ) , 0+14)

¿(22,53 ,−19 ,14)

c) – u+ (v−4 w )=− (−3 ,2 , 1 ,0 )+ [ (4,7 ,−3 ,2 )−4 (5 ,−2 ,8 ,1 ) ]¿ (3 ,−2 ,−1 ,0 )+¿

¿ (3 ,−2 ,−1 ,0 )+(4−20 ,7−(−8 ) , (−3 )−32, 2−4)

¿ (3 ,−2 ,−1 ,0 )+(−16 , 15 ,−35 ,−2)

¿(−13 ,13 ,−36 ,−2)

d) 6 (u−3v )=6 [ (−3 ,2 ,1 , 0 )−3 (4 ,7 ,−3 , 2 )]

¿6 [(−3 , 2 , 1, 0 )−(12 ,21 ,−9 ,6 )]

¿6(−3−12 , 2−21 , 1−(−9 ) ,0−6)

¿6(−15 ,−19 , 10 ,−6)

¿(30 ,−114 , 60 ,−36)

e) −v−w=−( 4 , 7 ,−3 ,2 )−(5 ,−2 ,8 , 1)

¿ (−4 ,−7 ,3 ,−2 )−(5 ,−2 ,8 ,1)

¿(−4−5 ,−7−(−2 ) ,3−8 ,−2−1)

¿(−9 ,−5 ,−5 ,−3)

f) (6 v−w )−( 4 u+v )=[6 (4,7 ,−3,2 )−(5 ,−2,8,1 ) ]−[4 (−3,2,1,0 )+( 4,7 ,−3,2 )]

¿ [ (24 , 42,−18 ,12 )−(5 ,−2,8,1 ) ]−[ (−12,8,4,0 )+( 4,7 ,−3,2 )]

¿ (24−5 , 42−(−2 ) , (−18 )−8 , 12−1 )−((−12 )+4 , 8+7 , 4+(−3 ) , 0+2)

¿ (19 , 44 ,−26 ,11)−(−8 , 15 , 1, 2)

¿(19−(−8 ) , 44−15 , (−26 )−1 ,11−2)

¿(27 ,29 ,−27 , 9)

8

2. Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor pada latihan 1. Tentukan vektor x yang memenuhi persamaan 5x-2v=2(w-5x)Jawab :5x - 2v = 2 (w - 5x)5x – 2(4, 7, -3, 2) = 2 [(5, -2, 8, 1) – 5x]5x – (8, 14, -6, 4) = 2 (5, -2, 8, 1) – 10x5x + 10x = (10, -4, 16, 2) + (8, 14, -6, 4)15x = (18, 10, 10, 6)

x = (1815

,1015

,1015

,6

15 )

x =

( 65

,23

,23

,25 )

3. Misalkan u1= (−1,3,2,0 ) ,u2=(2,0,4 ,−1 ) , u3= (7,1,1,4 ) ,u4= (6,3,1,2 ). Tentukan skalar-skalar c1 , c2 , c3 , dan c4 Sedemikian rupa sehingga c1u1+c2u2+c3 u3+c4 u4=(0,5,6 ,−3)

4. Tunjukkan bahwa tidak terdapat scalar-skalar c1, c2, dan c3 sedemikian rupa sehingga

c1(1,0,1,0 )+c2(1,0 ,−2,1)+c3 (2,0,1,2)=(1 ,−2,2,3 ) Jawab :

5. a) (−2,5 )

‖u‖=√(−2 )2+(5 )2=√4+25=√29

b) (1 ,2,−2)

‖u‖=√(1 )2+(2 )2+(−2 )2=√1+4+4=√9=3

c) (3 , 4 ,0 ,−12)

‖u‖=√(3 )2+( 4 )2+(0 )2+(−12 )2=√9+16+0+144=√169=13

d) (−2 , 1 ,1 ,−3 , 4)

‖u‖=√(−2 )2+(1 )2+(1 )2+(−3 )2+(4 )2=√4+1+1+9+16=√31

6. Misalkan u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8, -2) dan w = (3, 1, 2, 2). Hitunglah pernyataan berikut:

Jawab :

a. ‖u+v‖=√42+42+102+12

= √16+16+100+1= √133

b. ‖u‖+‖v‖=√42+12+22+32+√02+32+82+(−2 )2

= √16+1+4+9+√0+9+64+4 = √30+√73

9

c. ‖−2 u‖+2‖u‖=√(−8 )2+(−2)2+(−4 )2+(−6 )2+2√4 2 +12+22+32

=√64+4+16+36+2√16+1+4+9

=√120+2√30 =2√30+2√30

=4 √30

d. ‖3 u−5 v+w‖=‖3( 4,1,2,3)−5(0,3,8 ,−2 )+(3,1,2,2 )‖

=‖(12,3,6,9 )−(0 ,15 ,40 ,−10)+(3,1,2,2)‖

=‖(12−0+3 ) ,(3−15+1 ) ,(6−40+2 ),( 9+10+2)‖

=‖(15 ,−11 ,−32 ,21 )‖

=√152+(−11)2+(−32)2+212=√225+121+1024+441

=√1811

e.

1‖w‖

w= 1

√32+12+22+22(3,1,2,2)

=

1

√9+1+4+4(3,1,2,2 )

=

1

√18(3,1,2,2 )

=

13√2

(3,1,2,2)

=( 3

3√2,

13√2

,2

3√2,

23√2 )

=( 1

√2,

13√2

,2

3√2,

23√2 )

f.

‖ 1‖w‖

w‖=√( 1√2 )

2

+( 13√2 )

2

+( 23 √2 )

2

+( 23√2 )

2

=√( 12 )+( 1

18 )+( 418 )+( 4

18 )

=√( 12 )+( 1

18 )+( 418 )+( 4

18 )

=√( 918 )+( 1

18 )+( 418 )+( 4

18 )=√18

18=√1=1

7. Tunjukkan

10

8. Misalkan v = (-2, 3, 0, 6) tentukan semua skalar k, sedemikian rupa sehingga ‖kv‖=5Jawab :

‖kv‖=5‖( (k .(−2)) ,(k . 3) ,(k . 0) ,(k . 6 ))‖=5

‖√(−2k )2+(3 k )2+(0 )2+(6 k )2‖=5

‖√4 k2+9 k2+0+36 k2‖=5

‖√49k2‖=5±7 k=5

k=±57

9. a) u=(2,5 ) , v=(−4,3)

¿ (2 × (−4 )+5 ×3 )=(−8+15 )=7

b)u=(4 ,8 , 2 ) , v=(0 ,1 ,3)

¿ (4 ×0+8× 1+2× 3 )=(0+8+6 )=14

c) u=(3,1,4 ,−5 ) , v=(2,2,−4 ,−3)

¿¿

d) u=(−1,1,0,4 ,−3 ) , v=(−2 ,−2,0,2 ,−1)

¿¿

¿ (2+(−2 )+8+3 )=11

10. (a). Tentukan dua vektor

11. a) d= (u , v )=√(1−2)2+(−2−1)2=√1+9=√10

b) d= (u , v )=√(2−0)2+(−2−4)2+(2+2)2=√4+36+16=√56

c)d= (u , v )=√(0+3)2+(−2−2)2+(−1−4 )2+(1−4)2

¿√9+16+25+9=√59

d)d= (u , v )=√ (3+4 )2+(−3−1 )2+ (−2+1 )2+ (0−5 )2+(−3−0 )2

¿√49+16+1+25+9=√100=10

12. Buktikan bagian (b), (e), (f), dan (g) dari Teorema 4.1.1 untuk u = (2, 0, -3, 1), v = (4, 0, 3, 5), w = (1, 6, 2, -1), k = 5, dan l = -3.

11

Jawab :b. u + (v + w) = (u +v) + w

(2, 0, -3, 1) + [(4, 0, 3, 5) + (1, 6, 2, -1)] = [(2,0,-3,1) + (4,0,3,5)] + (1,6,3,-1)(2, 0, -3, 1) + (5, 6, 5, 4) = (6, 0, 0, 6) + (1, 6, 3, -1)(7, 6, 2, 5) = (7, 6, 2, 5)

e. k(lu) = (kl) u5[-3(2, 0, -3, 1)] = [5(-3)] (2, 0, -3, 1)5 (-6, 0, 9, -3) = -15 (2, 0, -3, 1)(-30, 0, 45, -15) = (-30, 0, 45, -15)

f. k (u + v) = ku + kv5 [(2,0,-3,1) + (4,0,3,5)] = 5 (2, 0, -3, 1) + 5 (4, 0, 3, 5) 5 (6, 0, 0, 6) = (10, 0, -15, 5) + (20, 0, 15, 25)(30, 0, 0, 30) = (30, 0, 0, 30)

g. (k + l) u = ku + lu[5 + (-3)] (2,0,-3,1) = 5 (2, 0, -3, 1) + (-3) (2, 0, -3, 1)2 (2, 0, -3, 1) = (10, 0, -15, 5) + (-6, 0, 9, -3)(4, 0, -6, 2 ) = (4, 0, -6, 2 )

13. Buktikan bagian (b) dan (c) dari Teorema 4.1.2

(b) (u+v) . w = ( (2,0 ,−3,1 )+ (4,0,3,5 )) .(1,6,2 ,−1)

= ((2+4) ,(0+0) ,(−3+3) ,(1+5)). (1,6,2 ,−1 )= ((2+4)1 ,(0+0) .6 ,(−3+3) .2 ,(1+5).−1)= ( (2.1 )+( 4.1 ) ) , (0.6 )+(0.6 ) , (−3.2 )+(3.2 ) , (1.−1 )+(5.−1)¿= u .w+v . w

(c) (k u ) . v = (5 (2,0 ,−3,1 )) .(4,0,3,5)= (5.2 ,5.0 ,5.−3 ,5.1 ) . (4,0,3,5 )= 5 (2.4 ,0.0 ,−3.3 ,1.5 )= k (u . v)

14. Pada setiap bagian berikut, tentukan apakah vektor-vektor berikut orthogonal.a) u = (-1, 3, 2), v = (4, 2, -1)b) u = (u1, u2, u3), v = (0, 0, 0)c) u = (0, 3, -2, 1), v = (5, 2, -1, 0)d) u = (-2, -2, -2), v = (1, 1, -1)e) u = (-1, 3, 2), v = (2, 1,-2, 9)f) u = (a , b), v = (-b , a)

Jawab :

a. u . v = (-1)(4) + (3)(2) + (2)(-1) = (-4) + 6 + (-2) = 0 (Ortogonal)b. u . v = (u1)(0) + (u2)(0) + (u3)(0) = 0+ 0 + 0= 0 (Ortogonal)c. u . v = (0)(5) + (3)(2) + (-2)(-1) + (1)(0) = 0+ 6 + 2+ 0 = 0 ( Tidak Ortogonal)d. u . v = (-2)(1) + (-2)(1) + (-2)(1) = (-2) + (-2) + (-2) = -6 (Tidak Ortogonal)e. u . v = (-4)(2) + (6)(1) + (-10)(-2) + (1)(9)= 27 (Tidak Ortogonal)f. u . v = (a)(-b) + (a)(b) = (-ab) + ab = 0 (Ortogonal)

12

15. a) u=(2,1,3 ) , v=(1,7 , k ) b) u=(k , k ,1 ) , v=(k ,5,6)

u . v=0 u . v=0

(2×1+1×7+3 × k )=0 (k × k+k ×5+1× 6 )=0

9+3 k=0 k 2+5 k+6=0

k=−3 k=−2 , k=−3

16. Tentukan dua vektor dengan norma 1 yang orthogonal terhadap tiga vektor u = (2, 1, -4, 0), v = (-1, -1, 2, 2), dan w = (3, 2, 5, 4)

17. Pada setiap bagian berikut, buktikan bahwa ketidaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku(a) u = (3, 2), v = (4, -1)

(u • v) ≤ ‖u‖‖v‖(3 • 4 + 2 • (-1)) ≤ ‖√32+22‖‖√42+(−1)2‖(10) ≤ √117 = 10 ≤ 10,8 (berlaku ketidaksamaan Cauchy-Schwarz)

(b) u = (-3, 1, 0), v = (2, -1, 3) (u • v) ≤ ‖u‖‖v‖(-3 • 2 + 1 • (-1) + 0 • 3) ≤ ¿(-7) ≤ √140 = -7 ≤ 11,8 (berlaku ketidaksamaan Cauchy-Schwarz)

(c) u = (-4, 2, 1), v = (8, -4, -2) (u • v) ≤ ‖u‖‖v‖(-4 • 8 + 2 • (-4) + 1 • (-2)) ≤ ‖√(−4)2+22+12‖‖√82+(−4 )2+(−2)2‖(-42) ≤ √1764 = -42 ≤ 42 (berlaku ketidaksamaan Cauchy-Schwarz)

(d) u = (0, -2, 2, 1), v = (-1, -1, 1, 1) (u • v) ≤ ‖u‖‖v‖(0 • (-1) + (-2) • (-1) + 2 • 1 + 1 • 1) ≤ ‖√02+(−2)2+22+12‖‖√(−1)2+(−1)2+12+12‖(5) ≤ √36 = 5 ≤ 6 (berlaku ketidaksamaan Cauchy-Schwarz)

18. Pada setiap bagian berikut, buktikan bahwa rumus (8) dan (9) berlaku

a)A=⌊2 −1

3 4 ⌋ , u=⌊31 ⌋ , v=[−26 ]

b)

A=[−1 2 43 1 05 −2 3 ] , u=[−1

25 ] , v=[ 0

2−4 ]

13

19. Selesaikan x1 , x2 ,dan x3 pada sistem linier berikut.(1 ,−1,4 )• ( x1 , x2 , x3 )=10

(3 , 2 ,0 )• ( x1 , x2, x3 )=1

(4 ,−5 ,−1 )• ( x1 , x2 , x3 )=7

20. Tentukan u.v dimana‖u+v‖=1dan ‖u−v‖=5

‖u+v‖=1

√(u+v )2=1u+v=1

‖u−v‖=5

√(u−v )2=5u−v=5

u + v = 1u – v = 5 +2u = 6 u = 3

jadi u.v = (3).(-2) = -6

u + v = 13 + v = 1 v = -2

21. Gunakan Teorema 4.1.6 untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor ortogonal

pada Rn jika ‖u+v‖=‖u−v‖. Interpretasikan hasil ini secara geometris pada R2

22. Rumus-rumus untuk komponen vektor pada Teorema 3.3.3 juga berlaku untuk Rn. jika a = (-1, 1, 2, 3) dan u = (2, 1, 4, -1). Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a.Jawab :a = (-1,1,2,3) dan u = (2,1,4,-1) Komponen vektor u sepanjang a.

u⋅a=(−1 )(2)+(1 )(1)+(2 )(4 )+(3 )(−1)=(−2)+1+8+(−3 )=4‖a‖2=(−1 )2+(1 )2+(2 )2+(3)2=1+1+4+9=15

Proja u =

u⋅a

‖a‖2a

= 415

(−1,1,2,3 )

Komponen vektor u yang orthogonal terhadap a.

u - Proja u = (2,1,4,-1) -

415

(−1,1,2,3 )

= (2,1,4 ,−1)−(− 4

15,

415

,8

15,1215

)

=(3415

,1115

,5215

,−2715

)

14

=

115

(34 ,11 ,52 ,−27 )

23. Tentukan apakah dua garisr=(3,2,3 ,−1 )+t (4,6,4 ,−2) dan r=(0,3,5,4 )+t (1 ,−3 ,−4 ,−2) berpotongan pada R4

Garis-garis tidak berpotongan

24. Tentukan generalisasi dari Teorema 4.1.7 berikut ini. Jika v1, v2, . . . , vr adalah vektor-vektor orthogonal pada Rn yang berpasangan, maka

‖v1+v2+. ..+vr‖2=‖v1‖

2+‖v2‖2+. ..+‖vr‖

2

Jawab :

Misal v1, v2, v3 = (3,2,4)

maka

‖v1+v2+v3‖2=‖v1‖

2+‖v2‖2+.‖v3‖

2

(√(3 )2+(2)2+(4 )2 )2=(√32 )2+(√22)2+(√42 )2

32+22+42=32+22+42

9+4+16=9+4+1629=29

Terbukti ‖v1+v2+. ..+vr‖

2=‖v1‖2+‖v2‖

2+. ..+‖vr‖2

25. Buktikan: jika u dan v adalah matriks-matriks n ×1 dan A adalah matriks n × n, maka ¿

26. Gunakan ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk membuktikan bahwa untuk semua nilai real

dari a, b, dan θ, (a cos θ+ b sin θ)2 ≤a2+b2

Jawab :

(a cos θ+ b sin θ)2 ≤a2+b2

27. Buktikan bahwa jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar

sebarang, makaa) u • (kv) = (u1, u2, u3) • (kv1,kv2,kv3)

= (ku1v1, ku2v2, ku3v3)

= k(u1v2, u2 v2, u3v3)

= k(u • v)b) u • (v + w) = (u1, u2, u3) • {(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)}

= (u1v1, u2v2, u3v3) + (u1w1, u2w2, u3w3) = u • v + u • w

15

28. Buktikan bagian (a) hingga (d) dari Teorema 4.1.1

Jawab :

Misal u = (u1,u2,u3), v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3)

a. u + v = v + u

u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3)

= (v1 + u1 , v2 + u2 , v3 + u3) (komutatif penjumlahan)

= v + u

b. u + (v + w) = (u + v) + w

u + (v + w) =

c. u + 0 = 0 + u = u

u + 0 =d. u + (-u) – 0

29. Buktikan bagian (e) dan (h) dari Teorema 4.1.1

(e) k(lu) = k(l(u1,u2,u3))

= (kl)u

(h) 1u = 1(u1,u2,u3)

= u

30. Buktikan bagian (a) dan (c) dari Teorema 4.1.2

31. Buktikan bagian (a) dan (b) dari Teorema 4.1.4

(a) ‖u‖≥0

Misal u = (u1,u2,u3)

‖u‖=√u12+u2

2+u32

‖u‖≥0

(b) ‖u‖=0

Misal u = (u1,u2,u3)

‖u‖=√u12+u2

2+u32

‖u‖=0

32. Buktikan bagian (a), (b), dan (c) dari Teorema 4.1.5

33. M34. (a). Misalkan u dan v adalah vektor-vektor pada Rn. Tunjukkan bahwa

(b). Hasil pada bagian (a) nyatakan suatu teorema mengenai parallelogram pada R2. Teorema apakah ini

35. (a)

16

36. Pada gambar terlampir vektor-vektor u, v, dan u-v membentuk suatu segitiga pada R2, dan θ nyatakan sudut antara u dan v. sesuai hukum cosines dalam trigonometri bahwa

‖u−v‖2=‖u‖2+‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθApakah menurut anda rumus ini masih berlakujika u dan v adalah vektor-vektor pada R n ? Berikan alasan anda.Jawab :

37. N

38. Transformasi Linear dari Rn ke Rm.39. Sifat-sifat Transformasi Linear dari Rn ke Rm.

17

BAB 5

RUANG VEKTOR UMUM

5.1. Ruang Vektor Real.5.2. Subruang.5.3. Kebebasan Linear.5.4. Basis dan Dimensi.5.5. Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul.5.6. Rank dan Nulitas.

18

BAB 6

RUANG HASILKALI DALAM

6.1. Hasilkali Dalam.6.2. Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam.6.3. Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt; Dekomposisi QR.6.4. Aproksimasi Terbaik; Kuadrat Terkecil.6.5. Matriks Ortogonal; Perubahan Basis.

19

BAB 7

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

7.1. Nilai Eigen dan vektor Eigen.7.2. Diagonalisasi.7.3. Diagonalisasi Ortogonal.

20

BAB 8

TRANSFORMASI LINEAR

8.1. Transformasi Linear Umum.8.2. Kernel dan Range.8.3. Transformasi Linear Invers.8.4. Matriks Transformasi Linear Umum.8.5. Keserupaan.

21