akar-akar persamaan non linier
DESCRIPTION
y. y = f(x). akar. x. 0. x R. Akar-akar Persamaan Non Linier. Diketahui fungsi kontinyu y = f(x) Akar-akar persamaan adalah nilai x yang menyebabkan fungsi f(x)=0. Jadi untuk mencari akar-akar suatu persamaan adalah dengan menyelesaikan persamaan f(x) = 0 untuk x. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Akar-akar Persamaan Non LinierDiketahui fungsi kontinyu y = f(x)Akar-akar persamaan adalah nilai x yang menyebabkan fungsi
f(x)=0.
Jadi untuk mencari akar-akar suatu persamaan adalah dengan menyelesaikan persamaan f(x) = 0untuk x.
y = f(x)
y
x0xR
akar
Metode numerik yang biasa digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan non linier adalah :
1. Metode Pengurung (bracket method)Metode yang memanfaatkan suatu kenyataan bahwa harga fungsi akan berubah tanda disekitar akar. Proses pencarian akar dimulai dengan dua terkaan awal yang mengurung akar sebagai batas bawah dan batas atas.
- Metode Bagidua (bisection method)- Metode Posisi Palsu (false position method)
2. Metode TerbukaDiperlukan satu atau dua terkaan awal yang tidak perlu mengurung akar.ada kemungkinan pencarian akar divergen, tapi jika konvergen laju konvergensinya lebih cepat.
- Metode Newton-Raphson- Metode Secant
Metode Bagidua (bisection method)
xL
xU
f(xL)
f(xU)
xR
xL
xUxL
xU
xR
Akar
xR
2UL
R
XXX
)()(
)()(
UL
ULUUR XfXf
XXXfXX
UR
U
LR
L
XX
Xf
XX
Xf
)()(
Metode Posisi Palsu (false position)
xLxU
f(xL)
f(xU)
xR
Akarf(xU)
xL xU
f(xL)
xR
Akar
Dari hubungan segitiga sebangun XL-f(XL)-XR dan XR-f(XU)-XU, bisa ditulis
Metode Langsung (Iterasi Satu Titik Sederhana)
Dengan menyusun kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x berada diruas kiri persamaan, yaitu x = g(x). ataudalam bentuk persamaan iterasi,
xi+1 = g(xi)misal:
x2 - 2x + 3 = 0 x = (x2 + 3)/2sin(x) = 0 x = xin(x) + x
Kesalahan relatif persen aproksimasi ea:
%100*1
1
i
iia x
xxe
Contoh-1: Gunakan metode langsung untuk menentukan akar persamaan f(x) = e-x - x mulai dengan terkaan awal x0 = 0
Intepretasi grafis Metode Langsung
f(x) = e-x - x
akar
y1(x) = x
y2(x) = e-x
akar
Konvergensi Metode Langsung
y2(x) = g(x)
y1(x) = x
y1(x) = x
y2(x) = g(x)
y1(x) = xy2(x) = g(x)
y1(x) = x
y2(x) = g(x)
A (konvergen) B (konvergen)
C (divergen) D (divergen)
1
)()('
ii
ii xx
xfxf
Metode Newton Raphson
xi
Akar
xi+1
f(xi)
Kemiringan = f ’(xi)
f(xi) - 0
xi – xi+1
)(
)('1
i
iii xf
xfxx
Jika terkaan awal pada akar adalah xi, maka sebuah garis singgung dapat ditarik dari titik [xi, f(xi)]. Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu X biasanya menyatakan terkaan akar yang lebih baik.
Turunan pertama di xi, setara dengan kemiringan, sehingga bisa ditulis :
atau
Metode Secant
)()(
))((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Masalah potensial dalam metode Newton-Raphson adalah evaluasi turunan f ’(xi), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi
xi
Akar
xi+1
f(xi-1)
xi-1
f(xi)
ii
iii xx
xfxfxf
1
1' )()()(
Dengan memasukkan pedekatan turunan ke rumus Newton-Rapson, maka diperoleh rumus metode secant :
Note:metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.
Persamaan Polinom derajat n
nnxaxaxaaxP ...)( 2
210
Polinom derajat n mempunyai TEPAT n akar, yaitu • akar real (positif / negatif)• akar komplek (berpasanga a + bi dan a – bi)• akar yang mempunyai multiplisitas r, dihitung r kali
Cara Menentukan Banyaknya Akar dengan Aturan Descartes
1. Menentukan Akar Real Positif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(x) Np = banyaknya akar real positif
V – Np = 0, 2, 4, . . .
2. Menentukan Akar Real Negatif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(-x) Ng = banyaknya akar real negatif
V – Ng = 0, 2, 4, . . .
3. Menentukan batas-batas akar real positif/negatif R = 1 + max |ai/an| , i = 0,1,2…n-1 akar P(x) terletak pada -R < x <R