1 PENGETAHUAN DASAR MATEMATIKA

1.1 PENDAHULUAN

Banyak model dan permasalahan dalam ilmu ekonomi yang dapat dinyatakan dengan bahasa matematik dan dianalisis pula dengan teknik matematika. Buku ini memperkenalkan, menjelaskan, dan menerapkan metode kuantitatif dengan menggunakan basis dasar dari matematika yang diharapkan menjadi pondasi pengetahuan yang sangat penting dalam ilmu ekonomi dan keuangan. Tujuan penjelasan di dalam buku ini adalah untuk menunjukkan bagaimana bidang teknik matematika bekerja dan bagaimana matematika dapat digunakan untuk memahami struktur tentang berbagai model ilmu ekonomi.

Di dalam bab pengantar ini, pembaca diharapkan bisa memahami kembali beberapa prinsip dasar perhitungan dengan aljabar. Perhitungan aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis secara kuantitatif dengan matematika. Matematika adalah suatu ilmu yang akan menjadi lebih mudah diajarkan dengan membuat contoh, dan oleh karena itu para mahasiswa dihimbau untuk membahas setiap contoh dalam bab ini untuk memastikan bahwa ketrampilan penggunaan alat analisis dengan matematika bisa dikuasai.

1.2 BILANGAN RIIL

Pengenalan bilangan riil: Contoh ada suatu 4 garis G dengan skala tertentu sebagai berikut:

Gambar 1. Garis Bilangan Riil

Dengan gambar 1 tersebut dapat dijelaskan bahwa nilai a pada garis G adalah merupakan bilangan riil. Nilai a sangat ditentukan dengan skala yang dibuat, yakni jarak (0-1) yang juga merupakan skala jarak garis G. Bila dalam garis G dalam gambar 1(b) terdapat a dan b maka dalam matematika dapat dibuat notasi a<b, karena a berada di sebelah kiri b. Bila nilai yang sebenar-nya tidak hanya satu titik, bisa dinyatakan sebagai a ≤ b jika a < b atau a=b.

Evolusi konsep bilangan: Pengembangan bilangan dalam garis 1(d) ditunjukkan bilangan di bawah nol yakni negatif. Maka bila a dinyatakan negatif berarti a<0 (bukan a>0 atau a≥0). Jadi nilai dari -∞ s/d ∞ pada gambar 1(d) disebut sebagai poros bilangan-bilangan riil. Bilangan natural dan integer (Natural numbers and integers): Nilai bilangan 0,1,2,3,… disebut sebagai bilangan natural seperti pada gam-bar 1(c). Sedangkan Nilai bilangan …, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… disebut nilai bilang-an integer (bilangan bulat). Dengan menggunakan nilai angka-angka tersebut pengetahuan dapat dengan lebih mudah dibuat visualisasi dan perhitungan secara kuantitatif. Operasi perhitungan bisa berupa penjumlahan, pe-ngurangan, perkalian maupun pembagian. Contoh perhitungan:

Penjumlahan: 4+4=8

Pengurangan: 10-2=8

Perkalian: 2×4=8

Pembagian: 10÷2=5

Bilangan Rasional (rational number): Dikatakan sebagai bilangan rasional adalah bilangan yang terukur. Misal satu unit barang yang terukur dipecah menjadi beberapa bagian, kemudian disebut sebagai bilangan pecahan, contohnya ½, ⅓, ¼, …dst. Sebutan bilangan rasional bila dibuat rumus menjadi (a/b) bilangan a dan b adalah integer (…, -3, -2, 0, 1, 2, …). Walaupun demikian masih terdapat kekecualian yakni bila b=0 maka (a/0) nilainya tak terdifinisi, karena bilangan nol bisa dikatakan bilangan yang tidak jelas atau nilai nol (kosong). Di samping itu bila hasil bagi bilangan tersebut tidak bisa ditulis dalam desimal tertentu (sangat tergantung pada alat hitung) maka bilangan tersebut dinamakan bilangan irrational (irrational number) contoh perhitungan π (sekitar 22/7) dan 2 . Untuk lebih jelasnya bilangan riil (real number) dibuat diagram sebagai berikut:

Diagram Bilangan Riil

SYMBOL DAN SET BILANGAN SIMBUL

(SYMBOL) SET BILANGAN KETERANGAN Sa∈ a adalah elemen Set S

Sa∉ a adalah bukan elemen Set S

TS ⊂ Set S bagian dari Set T BA∪ Gabungan Set A dan B BA∩ Irisan Set A dan B

A Angka aljabar C Bilangan Komplek C* Bilangan Komplek Positif D Domain Integral N {0,1,2,3,…} Bilangan Natural P {0,1,2,3,…} Integer Positif

Q ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∧∈ 0, qZqpqp

Bilangan Rasional

Q* Nonzero Bilangan Rasional R -∞ < x < ∞ Bilangan Riil R* {x > 0 atau x < 0} Nonzero Bilangan Riil R+ {x > 0} Bilangan Riil Positif R- {x < 0} Bilangan Riil Negatif Z {0,1,-1,2,-2, …} Integer Z+ {0,1,2, …} Integer positif

SYMBOL MATRIK SIMBUL (SYMBOL) KETERANGAN A = [aij] Elemen Matrik baris i kolom j C = [αij] atau C = [cij] Elemen Matrik Kofaktor A′ atau AT Transpose Matrik A A-1 Inverse Matrik A | A | atau DetA Determinan Matrik A AdjA Adjoin Matrik A | J | Determinan Jacobian | H | Determinan Hessian

H Bagian Determinan Hessian

SYMBOL CALCULUS SIMBUL (SYMBOL) KETERANGAN

Fungsi satu variabel y = ƒ(x)

Limit f(x) untuk x mendekati tak terhingga

Limit ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 untuk x mendekati +0

hasilnya ∞

Limit ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 untuk x mendekati -0

hasilnya -∞ dy Diferensial pertama untuk y d2y Diferensial ke dua untuk y

) atau atau (xff(x)dxd

dxdy ′ Derivasi pertama fungsi y = ƒ(x)

) atau atau 22

2

(xf(x)fdxd

dxyd ′′′ Derivasi ke dua fungsi y = ƒ(x)

∫ dxxf )( Integral tak terbatas dari ƒ(x)

∫ba dxxf )( Integral terbatas dari ƒ(x) untuk x =

a sampai dengan x = b

Fungsi lebih dari satu variabel y = ƒ(x1, x2,…,xn )

ix21 atau ,...,, atau f)xxf(xdxd

xy

nii∂

∂ Derivasi parsial pertama dari ƒ untuk

xi , dimana i=1,2,3…,n

jxixfix f

dxd

xxy

jji

atau atau 2

∂∂∂ Derivasi parsial ke dua dari ƒxi

kemudian xj, dimana j=1,2,3…,n

SYMBOL PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN DIFERENSI SIMBUL (SYMBOL) KETERANGAN

yydtdy ′ atau atau & Derivasi periode (t) fungsi y

tyΔ Diferensi pertama untuk yt

ty2Δ Diferensi ke dua untuk yt

yp Partikular Integral

yc Fungsi Komplementer

1.2.1 Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan (Addition and

Subtraction)

Operasi kuantitatif yang menyertakan tanda negatif bisa membingungkan. Untuk memudahkan pemahaman maka terdapat rumusan aturan sebagai berikut 1. a + (−b) = a − b 2. a + (+b) = a + b 3. a − (+b) = a − b 4. a − (−b) = a + b Dengan demikian bilangan bisa berubah tanda karena ada tanda didepan-nya seperti tanda negatif atau positif di depan bilangan x sebagai berikut: 1. +(+x) = x 2. +(-x) = -x 3. –(+x) = -x 4. –(-x) = +x Dapat diartikan pula nantinya dalam operasi tanda bilangan sebagai: 1. tanda(+) kali tanda (+) hasilnya tanda (+) 2. tanda (+) kali tanda (-) hasilnya tanda (-) demikian pula sebaliknya tanda

(-) kali tanda(+) hasilnya tanda (-) 3. tanda (-) kali tanda (-) hasilnya tanda (+)

Contoh beberapa persoalan sebagai berikut: 1. 4 + (−1) = 4 −1 = 3. di depan 1 tandanya (-), di depan (-1) tandanya (+),

maka tanda(-) kali tanda(+) hasilnya tanda(-). 2. 3 − (−2) = 3 + 2 = 5. 3. -3 – 2 = (-1×3)+(-1×2) = -1× (3 + 2)= -1× (5)= -5

1.2.2 Operasi Bilangan Perkalian dan Pembagian (Multiplication and Division)

Kunci dari hasil perkalian atau pembagian selalu ditentukan oleh tanda bi-langan yang akan dioperasikan. Bila didapati tanda negatif(-) gasal maka hasil akhir nilai bilangan akan negatif. Bila didapati tanda negatif genap ma-ka hasil akhir nilai bilangan positif(+). Abstraksi perkalian:

1. a × (−b) =−(a × b) = -ab

1. (−a) × b = −(a × b) = -ab

2. (−a) × (−b) =a × b = ab

Contoh bilangan:

1. 2 x (-5) = -10

2. 2 x 5 = 10

3. -2 x -5 = 10

Abstraksi pembagian:

b1 a

ba

×=

Karena hasil bagi a dengan b juga bisa diselesaikan dengan hasil kali a dengan (1/b), maka tanda nilai hasil (positif atau negatif) perhitungan tidak berbeda dengan tanda hasil perkalian. Contoh perhitungan pembagian adalah sebagai berikut:

1. (−15) ÷ (−3) = 5

2. (−16) ÷2 = −8

3. 2 ÷ (−4) = −1/2.

1.2.3 Hasil Akhir Urut-Urutan Perhitungan

Langkah-langkah perhitungan bilangan tidak seperti membaca teks, artinya tidak selalu yang terdepan diselesaikan terlebih dahulu, ternyata perlu memperhatikan operasi perhitungan apa dulu yang dilakukan. Contoh pertimbangan perhitungan sebagai berikut: 12 + 8 ÷ 4.

Bila tanpa memperhatikan urutan perhitungan berdasarkan bahasa matematika maka perhitungan bisa menjadi 12+8 sama dengan 20 lalu dibagi 4 menjadi 5. Padahal seharusnya perhitungan 8 dibagi 4 didahulukan

hasilnya 2, baru kemudian digunakan untuk menjumlah dengan bilangan 12 jadi hasil akhirnya sebesar 14 bukan 5. Contoh 1.2.3 32 + (2 - 1)3 - (-5 x 2) + 15 – 12 - 2 + 12 ÷ 4 x 2 Langkah Penyelesaian: Hitung nilai yang ada dalam tanda kurung (…), maka hasilnya menjadi: 32 + (1)3 - (-10) + 15 – 12 - 2 + 12 ÷ 4 x 2 Hitung nilai perhitungan pangkat (…)n maka hasilnya menjadi sebagai be-rikut: 9 + 1 + 10 + 15 – 12 - 2 + 12 ÷ 4 x 2 Hitung nilai perkalian atau pembagian dengan cara yang terdepan didahu-lukan, hasilnya adalah sebagai berikut: 9 + 1 + 10 + 15 – 12 - 2 + 6 Hitung nilai penjumlahan dan pengurangan dengan cara terdepan didahulu-kan, maka hasilnya adalah sebagai berikut: 9 + 1 + 10 + 15 – 12 - 2 + 6 = 27 Dari perhitungan tersebut adalah sebagai contoh perhitungan yang meng-arahkan urutan perhitungan sesuai dengan aturan main perhitungan aljabar. Urutan prioritas perhitungan tersebut dapat diringkas menjadi sebagai berikut:

I. Perhitungan dalam kurung (...) kemudian {…} kemudian […]. II. Pangkat atau akar. III. Perkalian dan pembagian (terdepan didahulukan). IV. Penjumlahan dan Pengurangan (terdepan didahulukan).

1.3 BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah suatu jumlah nilai utuh yang dibagi menjadi bebe-rapa bagian. Bila a adalah bilangan utuh dan b adalah pembagi maka dapat dirumuskan menjadi (a/b), dimana nilai b tidak boleh nol (b≠0). Istilah umum dalam matematika a disebut sebagai pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denumerator). Nilai bilangan pecahan pada umumnya ditentukan pada tingkat terendah, misal ½, ¼, dst. Contoh hasil pecahan dari (27/45) belum berada pada posisi pecahan terendah, karena 27 bisa menjadi (3 x 9) dan 45 bisa menjadi (5 x 9), maka bilangan pecahan (27/45) adalah

(3/5). Untuk lebih jelasnya proses penemuan pecahan terendah adalah sebagai berikut:

53

9 x 59 x 3

4527

==

Contoh penyelesaian di atas adalah untuk mencari bilangan pecahan ter-rendah, sedangkan untuk membandingkan dua nilai bilangan pecahan proses penyelesaiannya adalah dengan cara menyamakan pembaginya. Contoh pecahan ½ dengan ¼ lebih besar mana, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

41

21 atau

82

84 simpulkan di dapat sehingga

82

2 x 42 x 1

41 sedangkan

84

4 x 24 x 1

21

>>

====

Dikatakan ½ lebih besar ¼ karena bila dibuat pembaginya sama yakni (4/8) dan (2/8) maka nilai 4 jelas lebih besar 2. Penerapan penyamaan pembagi tersebut juga berlaku untuk operasi pen-jumlahan dan pengurangan bilangan pecahan seperti contoh sebagai beri-kut:

bdfbdebcfadf

fdbdbe

fdbfbc

fdbfda

fe

dc

ba −+

=××××

−××××

+××××

=−+

Contoh operasi bilangan:

70176042526

=−+

=××××

−××××

+××××

=−+70

35752752

723752751

76

53

21

Penerapan operasi perkalian dan pembagian dari bilangan pecahan adalah sebagai berikut: Operasi perkalian:

bdac

dbca

dcx

ba

=××

=

Contoh:

145

75x

21

=

Operasi perkalian berbeda dengan operasi pembagian, cara penyelesaian operasi pembagian dengan mengubah pembagian menjadi perkalian, yakni dengan membalik bilangan pecahan, misal (c/d) menjadi (d/c) atau pembi-lang (numerator) menjadi penyebut (denumerator). Contoh operasi perhi-tungan pembagian adalah sebagai berikut: Bentuk umum:

bcad

cbda

cd x

ba

dc

ba

=××

==÷ (pembagi c/d menjadi pengkali d/c)

Contoh bilangan:

107

5271

57 x

21

75

21

=××

==÷

1.4 PENULISAN BILANGAN PECAHAN MENJADI DESIMAL

Dalam penulisan bilangan pecahan seperti ½, ¼ dst akan tampak menjadi bilangan desimal sebagai 0,5, 0,25 dst. Karena bilangan pecahan tidak semua bisa ditampilkan dengan baik dalam bentuk desimal maka ada kesepakatan penulisan dengan format desimal digit berapa, misal satu digit desimal seperti 0,1; 0,2; 0,3 … dst. Dua digit desimal 0,11; 0,12; 0,23 … dst. Hasil dari pembatasan penulisan tersebut kadang kala membuat nilai bilangan pecahan berbeda dengan yang semestinya, misal (1/3) kemudian format desimal dua digit menjadi 0,33 padahal bisa menjadi 0,33333…dst. Terlebih bila bilangan (1/3) digunakan untuk menghitung perkalian.

Contoh perkalian antara 33 dengan (1/3). Hasil kali cara pecahan (33×(1/3) dan desimal (33×0,33) menjadi sebagai berikut:

10,89 0,33 x 33 desimal dalam sedangkan 1131 x 33 ==

Demikian pula sebaliknya bila nilai 10,89 dibagi (1/3) bila diselesaikan dengan pecahan dan desimal digit 2 akan menjadi sebagai berikut:

Untuk menghindari adanya hasil yang berbeda tersebut operasi perhi-tungan aljabar penggunaan desimal diusahakan sebanyak mungkin. Di samping itu penulisan desimal mencoba memberi tanda titik(.) di atas bilangan seperti contoh sebagai berikut:

3,031 &= artinya tanda titik di atas nilai 3 pada desimal digit pertama bisa ter-

ulang lagi sampai digit berapapun, sehingga bisa dituliskan menjadi 0,333…dst. Contoh lain

0692370,0 menjadi ditulis kemudian 692300,07692307 &&=131

Tanda titik di atas bilangan 7 merupakan awal nilai yang akan terulang dan titik di atas bilangan 0 pada desimal digit ke 7 tanda akhir pengulangan, se-perti hasil penulisan setelah pada desimal digit 14 sebelah kirinya.

Selain penulisan bilangan dalam format desimal terkadang juga dijumpai format lain yakni prosentasi, nominal moneter, dan scientific. Contoh penulisan format bilangan dapat dilihat dalam tabel sebagai berikut: TABEL 1.1. PERBANDINGAN PENULISAN FORMAT BILANGAN PECAHAN DESIMAL 4 PROSENTASI SCIENTIFIC MONETER

1/3 0,3333 33,33% 3.33E-01 Rp0.33 1/40 0,0250 2,50% 2.50E-02 Rp0.03 5 3/7 5,4286 542,86% 5.43E+00 Rp5.43

Penulisan scientific dan moneter sengaja ditulis desimal pemisahnya dalam bentuk titik(.) untuk tanda pemisah desimal internasional, beda dengan tan-da pemisah desimal Indonesia dalam bentuk koma(,). Secara otomatis pe-nulisan desimal 4 dan desimal 2 seperti 5,4286 menjadi 5,43. Kemudian cara membaca format scientific sangat ditentukan keterangan pada E-.. contoh 2.50E-02 (penulisan pemisah desimal dalam titik), maka penulisan desimal format 4 menjadi 0,02500. Perubahan penulisan tersebut dengan menggeser angka sebelum titik (koma) yakni angka 2 digeser ke sebelah kiri dua kali karena ada tanda E-02 sehingga menjadi 0,0250. Jadi bila format scientific 0.123456E+02 format desimal 4 digit menjadi 12,3456 ka-rena ada tanda E+02 penulisan digeser ke kanan setelah tanda titik (koma) desimal.

1.5 PANGKAT DAN EKSPONEN

Bila diketahui x sebagai variabel angka dan n sebagai bilangan integer positif maka hasil kali x sebanyak n kali disebut sebagai operasi pangkat atau eksponen (Power and Indices). Contoh

x.xxxxx5 ××××= Aturan untuk perkalian dan pembagian dua variabel secara aljabar

mempunyai kesamaan, yaitu merupakan suatu penjumlahan atau pengu-

rangan pangkat. Jadi bila variabel yang sama dikalikan maka menghasilkan perhitungan penjumlahan pangkat sebagai berikut:

baba xxx +=× .

Contoh 1.5.1 ( ) ( ) 532 xxxxxxxx =××××=×

Jadi bila variabel yang sama dibagi maka menghasilkan perhitungan

pengurangan pangkat sebagai berikut:

bab

aba x

xxxx −==÷

Contoh 1.5.2

242 1

xxxxxxxxx =×××

×=÷ .

Perhitungan dengan penjumlahan dan pengurangan pangkat:

53232 xxxx ==× +

2242

4

242 1

xxx

xxxx ====÷ −−

Pemindahan letak variabel angka x:

nn x

x−=

1

Sebaliknya:

nn

xx

−=

1

Perkalian x dengan pangkat pecahan:

xxxxx ===×+ 13

132

31

32

Pangkat variabel angka x merupakan perkalian bila:

( ) mnnmnm xxx == × Hasil bagi pangkat variabel angka x merupakan akar pangkat:

n mnm

xx =

Variabel berpangkat nol adalah 1:

.0 bila 1011 ≠=== − xxxxx

Terdapat 2 variabel dalam perhitungan:

mnmnmn

mn

nm

nmn

m

m

yxyx

yx

yx −

×

×

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

karena x ≠ y maka tidak bisa disederhanakan lagi.

Pedoman penulisan pangkat: abba xxx = a-b

b

a

x xx

= abba x)(x = aa x

x−=

1

21

xx = aa xx1

= ab

a b xx = 211

xx

−=

Contoh 1.5.3 Sederhanakan variabel berikut dengan menggunakan rumusan pangkat:

1. .2

3

2

x

x

2. .22

32

yxyx

Penyelesaian:

1. xxxx

x=== − 2

1

23

2

23

2

2. yyxyxyxyx

=== −− 10)23()22(22

32

1.6 PENYEDERHANAAN PENULISAN BILANGAN SECARA ALJABAR

Suatu penulisan bilangan dibuat terminologi sebagai 7x3, dimana: x disebut sebagai variabel dan 7 sebagai koefisien dari x3. Penjelasan:

Nilai 7 dari 7x3 disebut sebagai koefisien hal ini memberikan pengertian nilai variabel x3 akan menjadi 7 kali lebih besar. Karena rumusan hanya 7x3 maka dalam aljabar disebut sebagai monomial. Dalam praktek perhitungan monomial dapat digabungkan. Penggabungan beberapa monomial yang membentuk terminologi baru dalam aljabar disebut sebagai polynomial. Contoh, rumusan aljabar polynomial 3x2 + 4x – 5, terdiri dari 3x2, 4x, dan -5.

Koefisien x2 sebesar 3, koefisien x sebesar 4 dan terakhir nilai konstanta sebesar (-5). Penjumlahan atau pengurangan dua bentuk polynomial tidak bisa secara langsung mengetahui berapa besar koefisien masing-masing terminologi, maka perlu diselesaikan dengan cara penyederhanaan nilai ter-minologi. Contoh, jika 8x + 1 ditambah dengan 10 – 9x maka dapat dite-mukan koefisien x hanya satu, yakni (8x + 1)+( 10 – 9x) = (8 + (-9))x + (1 + 10)= 11 – x, ternyata koefisien x sebesar -1.

Contoh 1.6 Sederhanakan persoalan-persoalan terminologi aljabar berikut:

1. (5x2+3x+1)+(2x2-4x-6)

2. (x4-2x3-x)-(5x3-3x2-10)

Penyelesaian:

1 (5+2)x2+(3-4)x+(1-6)=7x2-x-5

2 (x4)+(-2-5)x3+(-3)x2+(-x)+(10)=x4-7x3-3x2-x+10

1.6.1 Perkalian dan Pembagian Variabel dalam Kurung Bentuk umum Perkalian:

1. a(b+c) hasilnya menjadi ab+ac

2. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Terminologi aljabar:

1. 3(5x2-1)=15x2-3

2. (x-1)(2x+3)=(x)(2x)+(x)(3)+(-1)(2x)+(-1)(3)=2x2+(3x)+(-2x)-3=2x2+x-3

Bentuk umum Pembagian:

cb

ca

cb

ca

cba

22

63

612

6)312(

−=−=−

Terminologi aljabar:

yxyxyx212

63

612

6)312(

−=−=−

1.6.2 Faktorisasi

Faktorisasi merupakan kebalikan dari perhitungan perkalian nilai variabel yang ada dalam kurung. Tujuan dari faktorisasi adalah untuk membuat persamaan sudah ada dikembalikan menjadi persamaan perkalian dalam kurung yang berdekatan dengan variabel tertentu misalnya x. Ada dua macam teknik penyelesaian yang dihadapi:

1. Teknik penyelesaian sederhana:

Dijumpai bila dalam permasalahan hanya ada satu variabel bilangan

dalam kurung, contoh:

a. ax+ac = a(x+c),

b. 4x2 + 8x = 4x(x+2),

2. Teknik penyelesaian dua variabel bilangan dalam kurung, dengan

contoh sebagai berikut:

a. ),)((22 bababa −+=−

b. ),6)(6(636 222 −+=−=− xxxx

c. ),43)(43()4()3(169 2222 xaxaxaxa −+=−=−

d. ),21)(21(9))2(1(9)41(9369 2222 xxxxx −+=−=−=−

Tabel Faktorisasi BENTUK PERSAMAAN FAKTORISASI

1.7. PERSAMAAN ALJABAR

Suatu persamaan aljabar adalah suatu persamaan yang berisi satu atau le-bih nilai bilangan yang tak dikenal, secara umum nilai bilangan yang tidak dikenal tersebut diwakili oleh huruf-huruf x, y, dan z. Sebagai contoh persa-maan x+2=5, persamaan 3y=18, dan persamaan 2x.y=10.

Perbedaan dengan terminologi aljabar adalah nilai x, y, dan z dalam persamaan ditemukan nilai akhirnya sebesar nilai tertentu. Misal x+2=5, maka nilai x dapat diperoleh sebesar x=3. Proses penemuan nilai x tersebut dapat dilihat sebagai berikut:

x+2=5, untuk menghilangkan nilai 2 pada sisi kiri maka ke dua sisi dikurangi 2 menjadi:

x+2-2=5-2, sehingga dapat disederhanakan menjadi: x = 3, berarti nilai x dapat ditemukan sebesar 3.

Untuk membuktikan kebenaran hasil x=3 dapat dihitung lagi dalam persamaan aslinya sebagai berikut:

x+2=5, kemudian x diganti 3 menjadi 3+2=5, terbukti sama 5=5

Contoh persamaan pembagian:

64 y

menjadi sehingga 41644y

4 dengan kanan dan kiri sisi mengalikan dengan anPenyelesai

164y

=

×=×

=

Contoh persamaan akar:

25x

menjadi sehingga,(5)x

menjadi andikuadratk sisi kedua maka x nilai nmendapatka untuk 5,x

pangkat menjadi diubah persamaan anPenyelesai5x

2

2

21

21

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

=

Contoh persamaan logaritma:

Contoh logaritma basis 10

log(x)=2 maka nilai x diperoleh dari

x=102, karena log(x) sebenarnya log basis 10 atau log10 hasilnya

102=100.

Untuk menguji kebenaran persamaan tersebut dapat dihitung

Log(100)=2 atau log(10)2=2 maka terbukti 2=2.

Contoh logaritma basis e (natural)

ln(x)=3, maka nilai x dapat diperoleh dari

x=e3, sedangkan e adalah exponent atau e=2.7182818285 sehingga

x=(2.7182818285)3=20.08553692 Contoh mengubah persamaan logaritma menjadi persamaan pangkat: log(z)=2+0,3 log(x) - 0,5 log(y) persamaan pangkatnya menjadi:

z= 102 x0,3 y-0,5 atau menjadi 5,0100y

z0,3x

=

Contoh mengubah persamaan pangkat menjadi persamaan logaritma

log(x) b log(a) log(y)menjadi sehingga log, di kanan dan kiri sisi ,ax y b

+==

SOAL LATIHAN

1. Selesaikan Persoalan berikut: .425283 325 ×++÷+2. Ubah dalam format desimal persoalan berikut:

151;

72;

111;

43;

85;

53

3. Sederhanakan dalam format pecahan persoalan berikut:

a. .37

53+

b. .37

53−

4. Sederhanakan rumusan berikut:

a. ,1310

103

xx

b. ,1310

103

x

x

c. ,95

103

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x

d. ,1310

3103

yx

yx

e. .333 zyx ××

5. Hitung secara manual bilangan berikut:

433

2

41

45

81;12527;81;16

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6. Sederhanakan persamaan dalam kurung berikut: a. (2x+9)(x-2),

b. (x+2)(x-2),

c. (x-y)(2x+y),

d. ,5.0

)1973( −+ yx

e. (2x+y-3)(x+3y).

7. Cari faktorisasi persamaan berikut:

a. 96x – 32,

b. -21x + 49x2,

c. 4x2 – 49.