A teoria de A teoria de SommerfeldSommerfeldpara metaispara metais

19271927

Orientador: Carl Louis Ferdinand von LindemannOrientados: Wolfgang Pauli, Ernst Guillemin, Werner Heisenberg, Hans Bethe, Petrus Josephus Wilhelmus Debye

Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld(Königsberg, 5 de Dezembro de 1868 — Munique, 26 de abril de 1951) foi um físico alemão que introduziu a constante da estrutura fina em 1919.

A teoria de A teoria de SommerfeldSommerfeld para metaispara metais

Drude Sommerfeld

distribuiçãode Maxwell-Boltzmann

distribuição (quântica)de Fermi-Dirac

PROPRIEDADES DO ESTADO FUNDAMENTAL (T=0) DO GÁS DE ELÉTRONS

“gás de elétrons”, gás de elétrons livres e independentes, gás de Fermi de elétrons livres (“free electron Fermi gas”)

N elétrons num volume V

princípio de exclusão de Pauli.

( ) ( )rrm

rrhεψψ =∇

− 22

2elétron confinado no volume V (pela atração dos íons)

condição de contorno

(1) níveis de energia para um elétron no volume V.(2) preencher os níveis de forma consistente com o

cubo : 3

1

VL =

:1D

• • •

L

L

( ) ( )zyxzyLx ,,,, ψψ =+

( ) ( )zyLxzyx ,,,, +=ψψ

( ) ( )zLyxzyx ,,,, +=ψψ

( ) ( )LZyxzyx += ,,,, ψψ

:3D

CONDIÇÃO DE CONTORNO de Born-von Karmanou CONDIÇÃO DE CONTORNO PERIÓDICA

Solução da eq. de Schrödinger :

( ) rki

ke

Vr

rr

rr .1=ψ , ( )

m

kk

2

22hr

=ε

( ) 12

=∫ rdrrr

ψ

operador momentum : ∇=∂∂

=rh

rhr

irip

xipx ∂

∂=h

yipy ∂

∂=h

zipz ∂

∂=h

( ) ( )rkrpkk

rrh

rrrr ψψ =

um elétron no nível tem um valor bem definido para o momentum( )rk

rrψ

kpr

hr=

( )m

kk

2

22hr

=εm

p

2

2

=ε (forma clássica)

k

πλ

2= (comprimento de onda de Broglie)

Condições de contorno :

1=== LikLikLik zyx eee

1=ize ,2 nz π= n inteiro

zyx nnn ,, inteiros

L

nk

L

nk

L

nk z

z

y

yx

x

πππ 2,

2,

2===

2D : área por ponto =

3D : volume por ponto =

( )2/2 Lπ

( )3/2 Lπ

Uma região do espaço de volume conterákr

Ω

( ) 338/2 ππV

L

Ω=

Ωvalores permitidos para k

r

densidade de níveis no espaço = n° de valores permitidos de

por unidade de volume =

kr

38/ πV

kr

ESTADO FUNDAMENTAL PARA UM SISTEMA DE N ELÉTRONS

2310~NPRINCÍPIO DE EXCLUSÃODE PAULI

“ESFERA DE FERMI” raioFk

volume 3

3

4Fkπ=Ω

n° de valores permitidos de dentro da esfera de Fermi ékr

VkVk FF

2

3

3

3

683

4

πππ

=

De modo a acomodar N elétrons devemos ter

2

3

62

πVk

N F=2

3

3πFkn =

spin

A superfície da esfera de Fermi que separa os níveis ocupados dos níveis vazios é chamada de SUPERFÍCIE DE FERMI

FF kp h=

mkE FF 2/22h=

mpv FF /=

: momentum de Fermi

: energia de Fermi

: velocidade de Fermi

elétrons com maior energia

GÁS DE FERMI GÁS CLÁSSICO (DRUDE)

Fv2

1

3

=m

Tkv B

FFF Evk ,, em termos de n ( )[ ]0/ arou s

( )200

8

0

1

/

1.50,/

/

1020.4,

/

A63.3

ar

eVEscm

arv

ark

s

F

s

F

s

F =×

==−&

1A1~ −&Fk scmvF /10~ 8 eVEF 155.1~ −

(~ 1% c = vel. luz vácuo)

Estado Fundamental : (N elétrons num volume V)

22

22 k

mE

Fkk

∑<

=h

volume por ponto no espaço kr

kr

Vk /8: 3π=∆r

( ) kdkFV

kFk

V

rrr

r ∫∑ =∞→ 38

)(limπ

desde que não varieapreciavelmente em distânciasno espaço-k da ordemde

)(kFr

∫<

=Fkk

m

kkd

VE

282

22

3

hr

π m

kdkk

V

E Fk

24

4

1 22

0

2

3

h

∫= ππ

L/2π

52

2 10

1Fk

mV

E h

π= : densidade de energia do gás de elétrons

( ) ( ) kkFV

kFkk

rrr

rr∆= ∑∑ 38π

3

231

FkV

E

nV

E

N

V

V

E

N

E π=== F

F Em

k

N

E

5

3

10

3 22

==h

energia por elétron no estadofundamental

gás clássico de Drude :

Temperatura de Fermi :

TkEN

EBc

2

3==

FBF TkE = KKTF

54 10,10≈

FBTkN

E

5

3=

PRESSÃO E “BULK MODULUS”

V

Nnnk

m

kENEE

V

EP F

FFF

N

====

∂∂

−= ,3,2

,5

3, 23

22

πh

V

EP

3

2=

compressibilidade : K

Bulk modulus : V

PV

KB

∂∂

−==1

FnEV

EPB

3

2

9

10

3

5===

3

5

3

2

~~−−

⇒ VPVE

PROPRIEDADES TPROPRIEDADES TÉÉRMICAS DO GRMICAS DO GÁÁS DE ELS DE ELÉÉTRONS LIVRESTRONS LIVRESA DISTRIBUIA DISTRIBUIÇÇÃO DE FERMIÃO DE FERMI--DIRAC E APLICADIRAC E APLICAÇÇÕESÕES

( )1

1/ +

= − Tk

N

iBie

f µε

=µ potencial químico

:N

if probabilidade de se encontrar um elétron no nível monoeletrônico i quando o sistema de N elétrons estáem equilíbrio.

(gás de elétrons , spin)kir

:

Princípio da Exclusão de Pauli :cada nível pode conter ou 0 ou 1 elétron

f iiii : número médio de elétrons no nível monoeletrônico iiii

(desprezando spin)

gás elétrons no estado fundamental (T=0)

( )m

kk

2

22hr

=ε ( ) FEk <r

ε,1

( ) FEk >r

ε,0

FE=µlim

0→T

=kf r

−=

2

23

11

F

BF

E

TkE

πµ

temperatura ambiente mudança %01.0≈

FFB

Bexc

T

T

Tk

Tk

N

N==

Nexc número de elétrons termicamente excitados

ambTT ~ 210~ −

N

Nexc

FBTk

)]([)(2 kfkUk

rr

rεε∑=

∑=k

kfNr

r)]([2 ε

)]([)(4 3

kfkkd

V

Uu

rrr

εεπ∫==

)]([4 3

kfkd

nr

r

επ∫=

( ) ( )1

1/ +

= − TkBef µεε

cálculo de integrais da forma

)]([4 3

kFdk r

επ∫∑

sk

kFV ,

)]([1

r

rε

gás de elétrons : )()(2/22 kkmk εεε ==r

h

( ) ( )εεεεπ

επ

FgdkFdkk

kFkd

∫∫∫∞

∞−

∞

== )]([)]([4

0

2

2

3

rrr

com ( )=εg0,

2222

>εε

π hh

mm

0,0 <ε

( ) ( )εεεε FgdkFV sk

∫∑∞

∞−

↔,

)]([1

r

r

×=V

dg1

)( εε [[[[ nº de níveis monoeletrônicos com energiaentre e ]]]]ε εε d+

:)(εg densidade de níveis por unidade de volume(ou densidade de estados)

=)(εg0,

2

3 2

1

>

ε

ε

FF EE

n

0,0 <ε

( )F

FF

E

nmkEg

2

322==

πh

~ εεεε1/2

EF

)(εg

εεεε

Papel da dimensão do sistema

)(εg

1Dε

ε1

~)(g

2D

3D

cte)( =εg

εε ~)(g

)(εg

)(εg

ε

ε

ε

( ) ( )εεεε fgdu ∫∞

∞−

=

( ) ( )εεε fgdn ∫∞

∞−

=

µTkBexpansão de Sommerfeld :

( ) ( ) +

+−+= ∫ )´(6

)()(2

2

0

FBFFF

E

EgTkEgEEdguF π

µεεε

( ) ( ) ( )422

6TOEgTk FB +

π

( ) ( ) ( ) ( )422

0

)´(6

)( TOEgTkEgEdgn FBFF

EF

+

+−+= ∫π

µεε

( )n

VT

uceT

∂∂

== µµ

(1)

(2)

−=

2

23

11

F

BF

E

TkE

πµ

( ) B

F

BFBV kn

E

TkEgTkc

==

23

22

2 ππ

[ver tb Kittel (1976), cap. 6]

B

Drudeclassico

V nkc2

3)( =−

F

B

E

Tk

3

2πé menor por fator

gás elétrons Fermi-Dirac

( )ambientetempá .10~ 2−

DiracFermigas

Vc−)(

clássico-Drude

2TT

cV βγ +=

elétrons fonons

o termo eletrônico é dominante a temperaturas baixas

3TTcV βγ +=

T2

cV/T

γ

Kittel, capítulo 6

mm ≠*

mkF

2

3

3h=γ

( ) TEgTkc FBV γπ

== 22

3( )

F

FF

E

nmkEg

2

322==

πh

Massa efetiva

onde

temos

oexperimentteoria γγ ≠

Lembrando que

(1) Interação dos elétrons de condução com o potencial periódicoda rede cristalina rígida.

massa efetiva na rede

(2) Interação dos elétrons de condução com fônons.

(3) Interação elétron-elétron.

( )?1*

≠m

m

arXivarXiv:0908.1126:0908.1126

Heavy férmionm* ~ 100-1000 m

A TEORIA DE SOMMERFELD PARA CONDUÇÃO EM METAIS

Drude Sommerfeld

Maxwell-Boltzmann Fermi-Dirac

Tkmv

B2

3

2

2

=

( )21

/3 mTkv Bcláss = Fquant vv =

temp. ambiente : scmvclass /10~ 7 scmvquant /10~ 8

(independente de T)

livre caminho médio τFv=l

temp. ambiente A100~ &l

Condutividade térmica (k)

Tkjq ∇−=rr

Vcvk τ23

1=

( ) BclássV nkc2

3= ( ) B

F

B

quantV nkE

Tkc

=

2

2π

( ) mTkv Bcláss /32 = ( )m

Evv FFgás

Fermi222 ==

2

2

3

=

e

k

T

k B

clássσ

22

3

=

e

k

T

k B

gásFermi

πσ

excelente acordo com expt

THERMOPOWER (Q)

TQE ∇=rr

0<Q

ne

cQ V

3

−=

( ) BclásV nkc2

3.= ( ) B

F

B

Fermidegás

V nkE

Tkc

=

2

2π

e

kQ B

Drude2

−=

−=

F

BB

Fermidegás

E

Tk

e

kQ

6

2π

~ expt.

Condutividade DC

Condutividade AC

Coeficiente de Hall

Magnetoresistencia

Plasmon

forma da velocidade eletronica

não desempenha nenhum papel;

resultados iguais

ao do gás clássico de Drude

FALHAS DO MODELO DE GFALHAS DO MODELO DE GÁÁS DE ELS DE ELÉÉTRONSTRONS

gás de elétrons : concordância razoável com a experiência para uma variedade de propriedades dos metais

muitas questões fundamentais sem resposta

PORÉM

PRINCIPAIS DIFICULDADES COM O MODELO DE GÁS DE ELÉTRONS

(1) Coeficientes de Transporte

necRH /1−=( )HTRR HH ,= sinal

(b) Magnetoresistência

gás de elétrons independe de

expt:

( ) xx jEH /=ρ

( )Hρ Hr

( )Hρρ =

(a) coeficiente de Hall

(c) Thermopower

resultado do gás de elétrons tem ordem de grandeza correta para vários metais sinal

)0( <Q

(d) Wiedemann-Franz tecT

k=

σ

( )TfT

k=

σ

(e) Condutividade Elétrica DC

somente via

dependência direcional de

mne /2

0 τσ =

( )Tσσ = τσ

(f) Condutividade elétrica AC

( )ωτ

σωσ

i−=

1

0( ) ( )ω

ωσπωε

i41+=

dependência em ωωωω é mais complicada

(2) Predições Termodinâmicas

( )?1/* ≠mm

vide Fe, Mn, Bi, Sb

(b) Termo cúbico no calor específico

Fônons

(c) compressibilidade de metais

contribuição dos íons e interação elétron-elétron

(a) Termo Linear no calor específico

(a) O que é que determina o n° de elétrons de condução?elementos com mais de uma valência química (?)

(Fe)

(b) Por que alguns elementos são não-metais?

carbono diamante isolantegrafite condutor

(3) Questões Fundamentais

Boro isolanteAl metal

ELÉTRONS LIVRES

APROXIMAÇÕES ELÉTRONS INDEPENDENTES

TEMPO DE RELAXAÇÃO

Rev. Mod. Phys. 59, 287 (1987)

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 2

Problemas 1 e 3

LER TAMBÉM O capítulo 3