8. syawaluddin vol.18 no.2

Upload: firdy-b-putra

Post on 06-Apr-2018

219 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    1/10

    183Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

    Hutahaean

    Abstrak

    Pada paper ini disajikan hasil pemodelan numeris gelombang air dengan menggunakan persamaan kontinuitasdan persamaan momentum dari Euler. Pada persamaan momentum disubstitusikan sifat irotasional aliran airdan persamaan dikerjakan pada permukaan. Persamaan kontinuitas diintegrasikan terhadap kedalaman, dengan

    menggunakan kecepatan rata-rata kedalaman untuk mendapatkan persamaan muka air seperti pada persamaangelombang panjang Airy. Selanjutnya persamaan muka air dan persamaan momentum permukaan diselesaikan secara numeris, dengan merumuskan terlebih dahulu relasi antara kecepatan rata-rata kedalaman dengankecepatan permukaan. Hasil penting dari model adalah bahwa pada perairan dangkal, gelombang sinusoidalberdeformasi menjadi gelombang cnoidal, dimana gelombang cnoidal sudah lama dikenal dengan teori dasarnya

    pertamakali dikembangkan oleh Korteweg dan de Vries yang diperoleh secara intuitif.

    Kata-kata Kunci:Aliran irotasional, gelombang sinusoidal dan gelombang cnoidal.

    Abstract

    This paper presents the result of numerical model of water wave using continuity and Euler s momentum equa-tions. Irrotational characteristic of water flow is substituted into the momentum equation and the resulted equa-tion is worked at water surface .The continuity equation is integrated over water depth using depth average

    velocity to obtain surface water equation like Airys long wave equation. The surface water equation and surfacemomentum equation are solved using numerical method, by first defining the relationship between depth averagevelocity and velocity at water surface. The important result of the model is that sinusoidal wave deforms to formcnoidal wave in shallow water. Where the cnoidal wave has been known for long time ago which its fundamental

    theory was developed on an intuitive basis by Korteweg and de Vries.

    Keywords:Irrotational flow, sinusoidal and cnoidal wave.

    Catatan Teknik (Technical Notes)

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

    Syawaluddin Hutahaean

    Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi BandungJl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]

    ISSN 0853-2982

    Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa SipilJurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil

    1. Pendahuluan

    Persamaan momentum dari Euler, terdiri atas 3 buahpersamaan yaitu persamaan momentum-x, momentum-y dan momentum-z. Ketiga persamaan momentum

    tersebut seharusnya menghasilkan kecepatan yangmemenuhi persamaan kontinuitas. Tetapi pada ketiga

    persamaan tersebut tidak terlihat adanya pembatasanoleh persamaan kontinuitas, seolah-olah bekerja sendiri-sendiri. Karena itu penelitian ini dilakukan dengantujuan untuk mendapatkan persamaan momentum yangmemenuhi persamaan kontinuitas. Dengan persamaanmomentum yang memenuhi persamaan kontinuitastersebut dilakukan pemodelan numeris gelombangsinusoidal tunggal dengan bentuk seperti pada Gambar1.a dihasilkan profil gelombang sinusoidal yang bagianlembahnya mengalami deformasi. Semakin dangkal

    perairan, semakin besar deformasi yang terjadi dan

    pada perairan yang sangat dangkal bagian lembah hi-lang sama sekali sehingga terbentuk gelombang cnoidal

    sempurna, dengan bentuk seperti pada Gambar 1.b.

    gelombanglembah

    gelombangpuncak

    (a) Sketsa profil gelombang sinusoidal

    (b) Sketsa profil gelombang cnoidalGambar 1. Sketsa profil gelombang sinusoidal dan

    cnoidal

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    2/10

    184 Jurnal Teknik Sipil

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

    Adapun profil gelombang cnoidal ini sudah lama dike-nal. Berdasarkan Sarpkaya (1981), teori gelombangcnoidal dikembangkan pertama kali oleh Korteweg dan

    de Vries pada tahun 1895 secara intuitif. Karakteristikgelombang pada teori Korteweg dan de Vries

    dinyatakan dengan fungsi eliptis Jacobian cn karena itudisebut sebagai teori gelombang cnoidal. SelanjutnyaLaitone pada tahun 1961 dan Chappelear pada tahun1962 melakukan pendekatan ke dua dan ke tiga.Pengembangan berikutnya dilakukan oleh Fenton padatahun 1979 dan masih banyak peneliti lain yangmengembangkan teori gelombang cnoidal berdasarkan

    persamaan Korteweg dan de Vries hingga tahun 1985.

    2. Persamaan-persamaan Dasar

    Sebagai persamaan dasar adalah persamaan-persamaan pengatur yang sudah banyak dikenal dan digunakan

    yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan momentumdari Euler.

    Persamaan kontinuitas untuk aliran 3 dimensi dengan

    sistem sumbu seperti pada Gambar 2 adalah,

    Dimana u = u (x, y, z, t) adalah kecepatan horisontal

    pada arah sumbu-x, v = v(x, y, z, t) kecepatan hori-

    sontal pada arah sumbu-y dan w = w(x, y, z, t)

    adalah kecepatan vertikal pada arah sumbu-z.

    Persamaan berikutnya yang digunakan adalah

    persamaan momentum dari Euler yaitu

    a. Persamaan momentum-x

    b. Persamaan momentum-y

    c. Persamaan Momentum-z

    0

    z

    w

    y

    v

    x

    u(1)

    x

    p

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    t

    u

    1(2)

    y

    p

    z

    vw

    y

    vv

    x

    vu

    t

    v

    1(3)

    gz

    p

    z

    ww

    y

    wv

    x

    wu

    t

    w

    1(4)

    h

    SWLx

    zy

    Gambar 2. Sistem koordinat, kedalaman perairandan fluktuasi muka air

    Ketiga persamaan momentum tersebut harusmenghasilkan kecepatan yang memenuhi persamaankontinuitas. Sesungguhnya, persamaan percepatan pada

    ruas kiri persamaan momentum mengandungkarakteristik persamaan kontinuitas yang dapat

    ditunjukkan dengan mudah yaitu sebagai berikut,dimana sebagai contoh digunakan persamaan

    momentum-x.

    Pengerjaan sifat turunan parsial

    Ketiga persamaan turunan parsial tersebut dijumlahkan,

    Suku dalam kurung pada ruas kanan Persamaan (6)

    adalah persamaan kontinuitas. Dengan cara yang samadapat ditunjukkan bahwa ruas kiri persamaanmomentum-y dan momentum-z juga mengandungkarakteristik persamaan kontinuitas. Mengingat persamaan kontinuitas tersebut adalah sama dengannol, maka suku dalam kurung tersebut sering

    dihilangkan, sebagaimana halnya dilakukan padaperumusan persamaan gelombang panjang Airy. Tetapi

    dengan menghilangkan suku tersebut maka persamaanmomentum kehilangan karakteristik persamaankontinuitas yang terkandung didalam suku percepatan.Dengan melepaskan karakteristik persamaankontinuitas maka kecepatan yang dihasilkan ke 3

    persamaan momentum tersebut tidak ada lagi yangmengatur kesebandingannya agar memenuhipersamaan kontinuitas. Karena itu dalam penelitian ini

    tidak dilakukan penghilangan karakteristik persamaan

    kontinuitas pada persamaan momentum.

    Untuk menyederhanakan bentuk diferensial pada percepatan konvektif, maka diferensial pada ruas kiri persamaan diubah dalam bentuk yang mudah dengan

    mengerjakan sifat irotasional aliran air yaitu

    x

    p

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    t

    u

    1(5)

    zwu

    zuw

    zuw

    x

    uu

    x

    uu

    x

    uu

    ,

    y

    vu

    y

    uv

    y

    uv

    , dan

    z

    u

    x

    w

    x

    v

    y

    u

    ,

    x

    w

    z

    u

    ,

    y

    u

    x

    v

    y

    w

    z

    v

    , ,

    danz

    v

    y

    w

    (Dean (1984)), sehingga

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    z

    w

    y

    v

    x

    uu (6)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    3/10

    185Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

    Hutahaean

    momentum-x, y dan z menjadi,

    2.1 Tekanan hidrodinamik

    Berdasarkan Hutahaean (2008), tekanan hidrodinamik

    adalah

    Substitusi persamaan tekanan hidrodinamik

    Dimana u, v dan w adalah kecepatan partikel airpada arah horisontal-x, horisontal-y dan arah vertikal-z

    pada permukaan.

    3. Persamaan Muka Air dan Persamaan

    Distribusi Kecepatan

    Untuk mempermudah perhitungan, maka persamaankontinuitas (Persamaan 1), diintegrasikan terhadap

    kedalaman dengan mendefinisikan terlebih dahulukecepatan rata-rata kedalaman. Sebagai kecepatan rata-

    rata kedalaman adalah kecepatan pada suatu posisi

    vertikalz = z0

    x

    pwvu

    xt

    u

    1

    2

    1 222

    ypwvu

    ytv

    1

    21 222

    gz

    pwvu

    zt

    w

    1

    2

    1 222

    (7)

    (8)

    (9)

    x

    p

    1 wvuxtxtx

    2

    222

    xg

    wvu

    x

    2

    222

    (10)

    y

    p

    1 wvuytyty

    2

    222

    yg

    wvu

    y

    2

    222

    (11)

    xp

    1 dan

    y

    p

    1Ke Persamaan (7) dan (8) menghasilkan persa-

    maan mmentum permukaan (Hutahaean (2008)),

    222

    2

    1

    wvu

    xt

    u x

    g

    (12)

    222

    2

    1

    wvu

    yt

    v y

    g

    (13)

    )( 0zuU ; )( 0zvV )( 0zwW; (14)

    Berdasarkan Hutahaean (2008), untuk gelombang yang

    bergerak pada arah-x

    Dimana G = konstanta, k = bilangan gelombang,

    = 2/T, T = perioda gelombang,

    h/x = kemiringan batimetri pada arah gelombangbergerak. pada Persamaan 17 sedikit berbeda dengan

    yang ada pada Hutahaean (2008), perumusanPersamaan 17 diperoleh dengan menggunakan solusilengkap dari persamaan Laplace dengan perumusan

    disajikan pada lampiran A.

    Dengan menggunakan potensial aliran tersebut, maka

    kecepatan partikel adalah

    Didefinisikan kecepatan rata-rata kedalaman adalah

    Dimanau disebut sebagai koefsien integrasi,H = h +

    . Dengan menggunakan sebagai kecepatan rata-rata

    kedalaman adalah kecepatan pada posisiz = z0 maka

    Mengingat v mempunyai distribusi terhadap kedalaman

    yang sama dengan distribusi u, maka koefisien integrasi

    untuk kecepatan v adalah sama dengan koefisien

    integrasi untuk kecepatan u

    tkxzGekh sincos)( (15)

    )()(

    )(

    zhkzhk

    eez

    )()(

    1 )(

    zhkzhk

    eez

    (16)

    x

    hx

    h

    x

    hx

    h

    1

    1

    1

    1

    2

    1(17)

    u

    x

    tzkxGex

    kh sin)(cos

    hu

    dzuH

    U 1 (18)

    )( 0zuU tzykxkGex

    yx

    kh sin)()cos( 0

    U

    u

    )(

    )(

    0z

    z

    u U

    z

    z

    )(

    )(

    0

    dan

    h h

    u dzz

    z

    UHudz

    UH )(

    )(11

    0

    )(

    )1()(

    0

    1

    zkHu

    (19)

    uv (20)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    4/10

    186 Jurnal Teknik Sipil

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

    Relasi antara kecepatan rata-rata kedalaman dengan

    kecepatan pada posisi z, dapat dihitung denganpersamaan distribusi kecepatan sebagai berikut,

    Persamaan (21) ini digunakan untuk menghitungkecepatan rata-rata kedalaman dari kecepatan

    permukaan u dan v yang dihitung dari persamaan

    momentum, Persamaan (12) dan (13).

    Dengan menggunakan definisi kecepatan rata-ratakedalaman dan koefisien integrasi tersebut, persamaankontinuitas diintegrasikan terhadap kedalaman, dengan

    hasil integrasi adalah sebagai berikut.

    Sedangkan persamaan momentum-x dan momentum-y

    tetap berbentuk seperti pada Persamaan (12) dan (13).

    Persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadapkedalaman dan persamaan momentum permukaandiselesaikan secara numeris dimana pada penelitian inidiferensial ruang diselesaikan dengan metoda selisihhingga, sedangkan diferensial waktu diselesaikandengan metoda prediktor-korektor berbasis integrasi

    numeris dari Newton-Cote (Hutahaean (2007)).

    4. Hasil PersamaanModel diberi input gelombang progressif sinusoidal

    tunggal dengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0,8

    m, pada kedalaman konstan sebesar 6 m dan 3 m.

    Pada Gambar 3 (a), dan (b) diperlihatkan profilgelombang hasil model pada kondisi mula-mula. Mula

    -mula profil gelombang berbentuk sinusoidal sesuaidengan input yang diberikan. Setelah menempuh jarakkurang lebih 300 m terjadi perubahan dimana pada bagian lembah gelombang mengalami penguranganamplitudo. Pada kedalaman 6 m, terlihat pada bagian puncak gelombang juga mengalami sedikit

    pengurangan, diperkirakan hal ini dikarenakanfenomena dispersif. Fenomena lain yang terlihat

    adalah munculnya gelombang-gelombang kecil yangberprofil sinusoidal. Munculnya anak-anak gelombangdikarenakan akibat pelepasan energi gelombang pada

    bagian lembah gelombang.

    Selanjutnya model dikerjakan pada perairan dengankedalaman berubah, yaitu pada bagian 0-150 mkemiringan dasar perairan adalah 4/150, dimanakedalaman mula-mula adalah 5 m, sedangkan pada jarak 150 m kedalaman menjadi 1,0 m, selanjutnyapada jarak 150 m 300 m, kedalaman konstan sebesar

    1,0 m. Gelombang yang digunakan adalah gelombangdengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0,8 m.

    Uz

    z

    zu )(

    )(

    )( 0

    V

    z

    zzv

    )(

    )()(

    0

    (21)

    t

    x

    HUu

    y

    HVv

    (22)

    (b) Profil gelombang pada kedalaman 3 m.

    Gambar 3. Profil gelombang pada kedalamankonstan

    (a) Profil gelombang pada kedalaman 6 m.

    mulamulagelombangprofil

    mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 300

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 50 100 150 200 250 300

    x (m)

    elevarimukaa

    irm)

    mulamulagelombangprofil

    mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 300

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 50 100 150 200 250 300

    x (m)

    elevarimukaair(m)

    mulamulagelombangprofil

    mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 130

    (a) Profil gelombang mula-mula dan setelah menempuh jarak

    130 m

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 50 100 150 200 250 300

    x (m)

    elevarimukaair(m)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    5/10

    187Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

    Hutahaean

    Hasil model pada dasar perairan berubah disajikan padaGambar 4 (a) dan (b). Pada Gambar 4 (a),diperlihatkan bahwa profil gelombang mula-mulaadalah sinusoidal sesuai dengan input yang diberikan.Pada jarak mendekati 150 m, dengan kedalaman hampir

    1,0 m, bagian lembah gelombang mengalami pengurangan amplitudo sedangkan bagian puncakgelombang mengalami penambahan amplitudo ataugelombang mengalami shoaling. Setelah memasukikedalaman 1 m, terbentuk profil gelombang cnoidalsempurna dan bagian lembah gelombang memisah dari bagian puncak gelombang. Pada kedalaman 1 m,amplitudo bagian puncak mencapai lebih dari 1 m,kurang lebih 1,20 m dan gelombang tidak mengalami

    breaking, jadi model belum bisa mensimulasikan breaking. Tetapi bisa juga dikarenakan profil

    gelombang cnoidal ini sudah dikenal sangat stabil.

    Pada bagian terdahulu telah diuraikan bahwa pengembangan model dilakukan denganmempertahankan bagian percepatan pada persamaanmomentum dan pengerjaan tekanan hidrodinamisgelombang pendek. Sehingga belum diketahui

    penyebab terbentuknya gelombang cnoidal. Untukmengetahui penyebab pembentukan gelombang

    cnoidal, maka dikembangkan model dengan anggapangelombang panjang dengan distribusi kecepatanseragam pada seluruh kedalaman dan dengan tekanan

    hidrostatis.

    Dalam hal dikerjakan anggapan gelombang panjangdimana gaya yang bekerja gaya hidrostatis saja dankecepatan partikel seragam pada seluruh kedalaman,maka integrasi persamaan kontinuitas, persamaan

    momentum-x (Persamaan (2)) dan persamaanmomentum-y (Persamaan (3)) terhadap kedalaman

    menghasilkan persamaan,

    U, V, W, adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada

    arah x, y dan z. Kecepatan horisontal permukaan u dan

    v serta kecepatan horisontal pada dasar perairandiambil sama dengan kecepatan rata-rata kedalaman

    yaitu u dan v u = v-h = U dan v = v-h = V.Kecepatan vertikal permukaan dihitung dengan

    menggunakan syarat batas kinematik permukaan

    kedalaman dimana dilakukan perhitungan kecepatan

    vertikal W = w(x, y,z0, t).

    Perhitungan dengan menggunakan keempat persamaantersebut dengan input gelombang sinusoidal dan pada

    kedalaman konstan sebesar 5 m juga memberikan hasildimana gelombang sinusoidal berdeformasi menjadi

    gelombang cnoidal (Gambar 5), dengan laju deformasiyang lebih cepat dari model sebelumnya dan terlihat

    jelas terdapatnya gelombang cnoidal.

    Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa profilgelombang cnoidal dihasilkan oleh persamaanmomentum (Persamaan 2 dan 3) bukan dikarenakanpenggunaan tekanan hidrodinamik (Persamaan (7) dan(8)). Tetapi dikarenakan penggunaan persamaan

    momentum dimana masih terdapat karakteristik persamaan kontinuitas pada suku percepatan atau

    dengan kata lain percepatan yang terjadi masih

    dikontrol oleh persamaan kontinuitas.

    yVH

    xUH

    t (23)

    x

    VVH

    x

    huu

    xuu

    x

    UUH

    Ht

    Uhh

    1

    x

    hvv

    x

    vv hh

    x

    ww

    x

    WWH

    H

    1

    xg

    x

    hww hh

    (24)

    y

    VVH

    y

    huu

    yuu

    y

    UUH

    Ht

    Vhh

    1

    y

    hvv

    yvv hh

    y

    wwy

    WWH

    H

    1

    yg

    y

    hww hh

    (25)

    0z ht

    vdzy

    udzx

    W (26)

    yvxutw

    sedangkan kecepatan

    menggunakan syarat batas kinematik dasar perairan

    y

    hv

    x

    huw hhh

    sedangkanz0adalah posisi

    (b) Profil gelombang pada kedalaman 1 m

    Gambar 4. Profil gelombang, pada dasar perairan

    berubah (a,b)

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 50 100 150 200 250 300

    x (m)

    elevarimuka

    air(m)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    6/10

    188 Jurnal Teknik Sipil

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

    5. Pembahasan

    Persamaan muka air dari gelombang air yang diperolehsecara analitik yaitu dengan mengintegrasikan

    persamaan syarat batas kinematik permukaan dengan

    metoda inversi integral dengan ketelitian O(2)

    (Hutahaean (2010)), adalah:

    ),( tx

    tkxke

    G kh

    coscos)(1

    tkx

    t

    ke

    G kh

    sincos)(2

    tkx

    t

    ke

    G kh

    coscos)(

    2

    12

    3

    tkx

    t

    ke

    G kh

    coscos)(2

    2

    2

    2

    tkxxke

    G kh

    cossin)(

    tkx

    xt

    ke

    G kh

    sinsin)(1

    2

    tkx

    xt

    ke

    G kh

    sinsin)(2

    tkx

    xe

    x

    h

    h

    G kh

    coscos)(2

    1

    tkx

    xt

    ke

    x

    h

    h

    G kh

    sincos)(2

    1

    1

    Suku utama pada Persamaan (27) tersebut adalahsuku ke 1 yaitu suku yang mempunyai amplitudoterbesar. Karena itu persamaan ini dapat didekati

    dengan persamaan, = Acoskxcostdengan turunan-turunan dari persamaan pendekatan ini adalah,

    Persaman-persamaan tersebut disubstitusikan ke

    Persamaan (27),

    tkxxt

    ex

    h

    h

    G kh

    sincos)(1

    2

    1 2

    (27)

    Dimana )()()(

    hkhk ee ,

    )()(

    1 )( hkhk ee

    untuk dasar perairan datar )(cosh2)( hk

    dan )(sinh2)(1 hk

    tkxAt

    sincos ; tkxA

    t coscos2

    2

    2

    tkxkAx

    cossin

    tkxkA

    xt

    sinsin

    2

    ;

    ),( tx tkxkeG kh

    coscos)(1

    tkxA

    k

    e

    G kh

    222

    sincos)(

    ttkxAk

    eG kh

    sincoscos)( 32212

    3

    tkxAk

    eG kh

    222

    2

    2

    coscos)(

    tkxkAkeG kh

    22 cossin)(

    ttkxkxkAk

    eG kh

    222

    1

    2

    sincossincos)(

    tkxkAk

    eG kh

    22 sinsin)(

    tkxkxkAex

    h

    h

    G kh

    2coscossin)(2

    1

    ttkxkxkAk

    ex

    h

    h

    G kh

    222

    1 sincossincos)(2

    1

    tkxkAex

    h

    h

    G kh

    2sincossin)(1

    2

    1

    (28)

    Gambar 5. Hasil persamaan dengan anggapangelombang panjang

    mulamulagelombangprofil

    mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 150

    mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 300

    - 1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 5 0 100 150 200 250 300

    x (m)

    elevarimukaair(m)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    7/10

    189Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

    Hutahaean

    Baik pada Persamaan 27 maupun Persamaan 28, sukuutama yaitu suku yang mempunyai amplitudo terbesaradalah suku ke 1 ruas kanan persamaan. Pada suku

    tersebut terdapat unsur1(). Harga 1() pada saat

    negatif adalah lebih kecil dari pada 1() pada saat positif untuk harga yang sama, sehingga amplitudolembah gelombang akan lebih kecil daripada amplitudo

    puncak gelombang. Kondisi ini menyebabkangelombang menjadi labil sehingga terjadi pelepasanenergi gelombang dari bagian lembah gelombangsecara terus menerus sehingga pada akhirnya terbentuk profil gelombang cnoidal sempurna. Pada perairan

    dangkal ini harga 1() pada saat negatif dapatmenjadi nol.

    Suku yang mempunyai amplitudo terbesar ke 2 pada

    Persamaan (27) dan (28), adalah suku ke 2. Suku ini

    mengandung unsur() yang mempunyai sifat yangsama dengan harga 1() yaitu harga () pada saat

    positif adalah lebih besar dari harga() pada saat negatif, jadi suku ini mempunyai bentuk bagian puncaklebih besar daripada bagian lembah. Selain itu, suku ini

    mengandung unsurcos2kxsin2t yang selalu berhargapositif, dimana suku ini menghasilkan profil gelombang

    cnoidal dengan panjang gelombang setengah dari panjang gelombang sinusoidal seperti diperlihatkan

    pada Gambar 6.

    Dengan demikian baik Persamaan (27) maupun

    Persamaan (28) akan memberikan profil gelombangyang tidak simetri antara bagian puncak dengan bagianlembah gelombang, dimana bagian lembah gelombanglebih kecil dari pada bagian puncak gelombang dan bagain lembah menghilang pada perairan yang sangat

    dangkal.

    Terbentuknya anak-anak gelombang pada bagian belakang gelombang adalah dikarenakan pelepasanenergi gelombang pada saat kurva gelombangseharusnya menurun, tetapi tidak dapat turun karenatertahan oleh air di bawahnya seperti yang dinyatakan

    oleh unsur 1() dan () Berdasarkan Hutahaean(2010), baikPersamaan (27) maupun Persamaan (28)

    mengandung fenomena dispersif.

    6. Kesimpulan

    Dari hasil studi ini didapatkan beberapa kesimpulan

    sebagai berikut.

    1. Kandungan persamaan kontinuitas pada persamaanmomentum sebaiknya dipertahankan, agarkecepatan yang dihasikan memenuhi persamaan

    kontinuitas.

    2. Pemodelan gelombang cnoidal dapat diakukandengan mensubstitusikan sifat irrotasional aliran air

    pada persamaan momentum.

    3. Dengan profil gelombang cnoidal ini makagelombang yang dihadapi oleh bangunan pantai

    adalah lebih kecil dari tinggi gelombang sinusoidal,sehingga perencanaan bangunan pantai denganmenggunakan profil gelombang cnoidal ini akanlebih menghemat biaya. Karena itu perlu ditelitisecara lebih intensif mengenai gelombang cnoidaltersebut selain untuk mendapatkan model

    gelombang yang lebih realistis diperairan pantaijuga agar perencanaan bangunan pantai lebih efisien

    terhadap penggunaan material bangunan dan biaya.

    4. Prospek aplikasi dari karakteristik deformasigelombang sinusoidal ini adalah pada perencanaan breakwater tenggelam, dimana breakwater dapat

    direncanakan untuk mendeformasikan gelombangsinusoidal menjadi gelombang cnoidal dengantinggi gelombang 1/2 dari tinggi mula-mula yang

    berprofil sinusoidal.

    Daftar Pustaka

    Dean, R.G., and Dalrymple, 1984, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists.

    New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

    Hutahaean, S., 2007, Pemodelan Dinamika Gelombangdengan Mengerjakan Persamaan KekekalanEnergi,Jurnal Teknik Sipil, Volume 14, No. 1,

    Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.

    Hutahaean, S., 2008, Persamaan Gelombang NonlinierPada Dasar Perairan Miring,Jurnal Teknik Sipil,Volume 15 No.1, Fakultas Teknik Sipil dan

    Lingkungan, ITB.

    Hutahaean, S., 2010, Pengerjaan Metoda Inversi

    Integral Pada Perumusan Persamaan Muka AirGelombang Air Nonlinier , Jurnal Teknik Sipil,

    Volume 17 No.2, Fakultas Teknik Sipil dan

    Lingkungan, ITB,

    Sarpkaya, T., and Isacson, M., 1981, Mechanics of

    Wave Forces on Offshore Structures, Van

    Nostrand Reinhold Company.Gambar 6. Kurva dari fungsi kuadrat sinusoidal

    0.00

    0.20

    0.40

    0.60

    0.80

    1.00

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    x (m)

    mukaair(m)

    mukaair(m)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    8/10

    190 Jurnal Teknik Sipil

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

    Lampiran A

    Perumusan Persamaan Potensial Aliran

    Hasil penyelesaian persamaan Laplace dengan metoda

    pemisahan variabel adalah (Dean (1984)),

    Mengingat sifat linier persamaan Laplace, maka

    persamaan terakhir dapat ditulis menjadi,

    A, B, CdanD adalah bilangan konstan,

    Syarat batas kinematik dasar perairan,

    ),,( tzx kxBkxA sincos tDeCe kzkz sin ),,( tzx kxAcos tDeCe kzkz sin

    kxBsin tDeCe kzkz sin

    ),,( tzx ),,( tzxA ),,( tzxB (1)),,( tzxA kxAcos tDeCe kzkz sin

    ),,( tzxB kxBsin tDeCe kzkz sin

    a. ),,( tzxA kxAcos tDeCe kzkz sin

    xu

    kxAksin tDeCe kzkz sin

    zw

    kxAkcos tDeCe kzkz sin

    hw

    x

    h

    u h

    kxAkcos tDeCe khkh sin tDeCe khkh sinDiambil kondisi

    2

    2sincos kxkx ,

    persamaan dibagi dengan tkxAk sincos

    khkh DeCe x

    h

    khkh DeCe

    De

    hx

    h

    C kh2

    1

    1

    x

    hCe kh 1

    x

    hDekh 1 atau

    hx

    h

    A

    1

    1

    (2)

    Substitusi Ckepersamaan potensial aliran,

    Didefinisikan konstanta baru GA dimana GA = AD

    DeC khA2

    ),,( tzxA kxADcos teee kzkzkh sin2 ),,( tzxA kxADe

    kh cos tee zhkzhkA sin

    ),,( tzxA teekxeG zhkzhkAkhA sincos

    (3)

    ),,( tzxBb. kxBsin tDeCe kzkz sin

    xu

    kxBkcos tDeCe kzkz sin

    zw

    kxBksin tDeCekzkz

    sin

    hwx

    hu h

    kxBksin tDeCe khkh sin kxBkcos t

    x

    hDeCe khkh sin

    Diambil kondisi2

    2sincos kxkx ,

    persamaan dibagi dengan tkxBk sincos ,

    khkh DeCe x

    hDeCe khkh

    x

    hCe kh 1

    x

    hDekh 1

    hx

    h

    DeC kh

    1

    12 atau kh

    BDeC2

    x

    hxh

    B

    1

    1

    (4)

    ),,( tzxB tDeeeDkxB kzkzkhB sinsin 2 ),,( tzxB teeeekxBDe

    kzkhkzkh

    B

    kh sinsin

    ),,( tzxB teekxBDe zhkzhkBkh sinsin )()( ),,( tzxB teekxeG zhkzhkBkhB sinsin )()(

    (5)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    9/10

    191Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

    Hutahaean

    Substitusi (a.3) dan (a.5) kepersamaan (a.1)

    Jadi diperlukan suatu potensial aliran, dimana pada

    dasar perairan datar dan pada saat berbentuk seperti persamaan (a.6). Persamaan potensial aliran sebagai berikut adalah memenuhi kondisi perairan datar dan

    pada saat coskx = sinkx,

    ),,( tzx teekxeG zhkzhkAkhA sincos teekxeG zhkzhkBkhB sinsin )()(

    Pada saat kxkx sincos

    ),,( tzx teekxeG zhkzhkAkhA sincos teekxeG zhkzhkBkhB sincos )()(

    ),,( tzx eGeeG zhkBBzhkzhkAA )( tkxee khzhk sincos)(

    Pada dasar perairan datar 1 BA

    ),,( tzx eGeeG zhkBBzhkzhkAA )( tkxee khzhk sincos)(

    ),,( tzx tkxeeeGG zhkzhkkhBA sincos)()(

    BA GGG

    ),,( tzx tkxeeGe zhkzhkkh sincos)()( (6)

    ),,( tzx eeeG zhkzhkAkh ' )()( tkxee zhkzhkB sincos)()(

    ),,( tzx tkxeeeG zhkzhkBAkh sincos2' )()( ),,( tzx tkxeeeG zhkzhkBAkh sincos

    2'2 )()(

    ),,( tzx tkxeeGe zhkzhkBAkh sincos2

    )()(

    ,

    x

    hx

    h

    A

    1

    1

    hx

    h

    B

    1

    1

    2

    BA

    x

    hx

    h

    x

    hx

    h

    1

    1

    1

    1

    2

    1(7)

    ),,( tzx tkxeeGe zhkzhkkh sincos)()( ),,( tzx tkxzGekh sincos)( (8)

    )()()( zhkzhk eez Dimana (9)

  • 8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

    10/10

    192 Jurnal Teknik Sipil

    Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal