8. syawaluddin vol.18 no.2

8/2/2019 8. Syawaluddin Vol.18 No.2

1/10

183Vol. 18 No. 2 Agustus 2011

Hutahaean

Abstrak

Pada paper ini disajikan hasil pemodelan numeris gelombang air dengan menggunakan persamaan kontinuitasdan persamaan momentum dari Euler. Pada persamaan momentum disubstitusikan sifat irotasional aliran airdan persamaan dikerjakan pada permukaan. Persamaan kontinuitas diintegrasikan terhadap kedalaman, dengan

menggunakan kecepatan rata-rata kedalaman untuk mendapatkan persamaan muka air seperti pada persamaangelombang panjang Airy. Selanjutnya persamaan muka air dan persamaan momentum permukaan diselesaikan secara numeris, dengan merumuskan terlebih dahulu relasi antara kecepatan rata-rata kedalaman dengankecepatan permukaan. Hasil penting dari model adalah bahwa pada perairan dangkal, gelombang sinusoidalberdeformasi menjadi gelombang cnoidal, dimana gelombang cnoidal sudah lama dikenal dengan teori dasarnya

pertamakali dikembangkan oleh Korteweg dan de Vries yang diperoleh secara intuitif.

Kata-kata Kunci:Aliran irotasional, gelombang sinusoidal dan gelombang cnoidal.

Abstract

This paper presents the result of numerical model of water wave using continuity and Euler s momentum equa-tions. Irrotational characteristic of water flow is substituted into the momentum equation and the resulted equa-tion is worked at water surface .The continuity equation is integrated over water depth using depth average

velocity to obtain surface water equation like Airys long wave equation. The surface water equation and surfacemomentum equation are solved using numerical method, by first defining the relationship between depth averagevelocity and velocity at water surface. The important result of the model is that sinusoidal wave deforms to formcnoidal wave in shallow water. Where the cnoidal wave has been known for long time ago which its fundamental

theory was developed on an intuitive basis by Korteweg and de Vries.

Keywords:Irrotational flow, sinusoidal and cnoidal wave.

Catatan Teknik (Technical Notes)

Deformasi Gelombang Air Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal

Syawaluddin Hutahaean

Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi BandungJl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]

ISSN 0853-2982

Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa SipilJurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil

1. Pendahuluan

Persamaan momentum dari Euler, terdiri atas 3 buahpersamaan yaitu persamaan momentum-x, momentum-y dan momentum-z. Ketiga persamaan momentum

tersebut seharusnya menghasilkan kecepatan yangmemenuhi persamaan kontinuitas. Tetapi pada ketiga

persamaan tersebut tidak terlihat adanya pembatasanoleh persamaan kontinuitas, seolah-olah bekerja sendiri-sendiri. Karena itu penelitian ini dilakukan dengantujuan untuk mendapatkan persamaan momentum yangmemenuhi persamaan kontinuitas. Dengan persamaanmomentum yang memenuhi persamaan kontinuitastersebut dilakukan pemodelan numeris gelombangsinusoidal tunggal dengan bentuk seperti pada Gambar1.a dihasilkan profil gelombang sinusoidal yang bagianlembahnya mengalami deformasi. Semakin dangkal

perairan, semakin besar deformasi yang terjadi dan

pada perairan yang sangat dangkal bagian lembah hi-lang sama sekali sehingga terbentuk gelombang cnoidal

sempurna, dengan bentuk seperti pada Gambar 1.b.

gelombanglembah

gelombangpuncak

(a) Sketsa profil gelombang sinusoidal

(b) Sketsa profil gelombang cnoidalGambar 1. Sketsa profil gelombang sinusoidal dan

cnoidal


2/10

184 Jurnal Teknik Sipil


Adapun profil gelombang cnoidal ini sudah lama dike-nal. Berdasarkan Sarpkaya (1981), teori gelombangcnoidal dikembangkan pertama kali oleh Korteweg dan

de Vries pada tahun 1895 secara intuitif. Karakteristikgelombang pada teori Korteweg dan de Vries

dinyatakan dengan fungsi eliptis Jacobian cn karena itudisebut sebagai teori gelombang cnoidal. SelanjutnyaLaitone pada tahun 1961 dan Chappelear pada tahun1962 melakukan pendekatan ke dua dan ke tiga.Pengembangan berikutnya dilakukan oleh Fenton padatahun 1979 dan masih banyak peneliti lain yangmengembangkan teori gelombang cnoidal berdasarkan

persamaan Korteweg dan de Vries hingga tahun 1985.

2. Persamaan-persamaan Dasar

Sebagai persamaan dasar adalah persamaan-persamaan pengatur yang sudah banyak dikenal dan digunakan

yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan momentumdari Euler.

Persamaan kontinuitas untuk aliran 3 dimensi dengan

sistem sumbu seperti pada Gambar 2 adalah,

Dimana u = u (x, y, z, t) adalah kecepatan horisontal

pada arah sumbu-x, v = v(x, y, z, t) kecepatan hori-

sontal pada arah sumbu-y dan w = w(x, y, z, t)

adalah kecepatan vertikal pada arah sumbu-z.

Persamaan berikutnya yang digunakan adalah

persamaan momentum dari Euler yaitu

a. Persamaan momentum-x

b. Persamaan momentum-y

c. Persamaan Momentum-z

0

z

w

y

v

x

u(1)

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

1(2)

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

1(3)

gz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

1(4)

h

SWLx

zy

Gambar 2. Sistem koordinat, kedalaman perairandan fluktuasi muka air

Ketiga persamaan momentum tersebut harusmenghasilkan kecepatan yang memenuhi persamaankontinuitas. Sesungguhnya, persamaan percepatan pada

ruas kiri persamaan momentum mengandungkarakteristik persamaan kontinuitas yang dapat

ditunjukkan dengan mudah yaitu sebagai berikut,dimana sebagai contoh digunakan persamaan

momentum-x.

Pengerjaan sifat turunan parsial

Ketiga persamaan turunan parsial tersebut dijumlahkan,

Suku dalam kurung pada ruas kanan Persamaan (6)

adalah persamaan kontinuitas. Dengan cara yang samadapat ditunjukkan bahwa ruas kiri persamaanmomentum-y dan momentum-z juga mengandungkarakteristik persamaan kontinuitas. Mengingat persamaan kontinuitas tersebut adalah sama dengannol, maka suku dalam kurung tersebut sering

dihilangkan, sebagaimana halnya dilakukan padaperumusan persamaan gelombang panjang Airy. Tetapi

dengan menghilangkan suku tersebut maka persamaanmomentum kehilangan karakteristik persamaankontinuitas yang terkandung didalam suku percepatan.Dengan melepaskan karakteristik persamaankontinuitas maka kecepatan yang dihasilkan ke 3

persamaan momentum tersebut tidak ada lagi yangmengatur kesebandingannya agar memenuhipersamaan kontinuitas. Karena itu dalam penelitian ini

tidak dilakukan penghilangan karakteristik persamaan

kontinuitas pada persamaan momentum.

Untuk menyederhanakan bentuk diferensial pada percepatan konvektif, maka diferensial pada ruas kiri persamaan diubah dalam bentuk yang mudah dengan

mengerjakan sifat irotasional aliran air yaitu

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

1(5)

zwu

zuw

zuw

x

uu

x

uu

x

uu

,

y

vu

y

uv

y

uv

, dan

z

u

x

w

x

v

y

u

,

x

w

z

u

,

y

u

x

v

y

w

z

v

, ,

danz

v

y

w

(Dean (1984)), sehingga

z

uw

y

uv

x

uu

z

uw

y

uv

x

uu

z

w

y

v

x

uu (6)


3/10


Hutahaean

momentum-x, y dan z menjadi,

2.1 Tekanan hidrodinamik

Berdasarkan Hutahaean (2008), tekanan hidrodinamik

adalah

Substitusi persamaan tekanan hidrodinamik

Dimana u, v dan w adalah kecepatan partikel airpada arah horisontal-x, horisontal-y dan arah vertikal-z

pada permukaan.

3. Persamaan Muka Air dan Persamaan

Distribusi Kecepatan

Untuk mempermudah perhitungan, maka persamaankontinuitas (Persamaan 1), diintegrasikan terhadap

kedalaman dengan mendefinisikan terlebih dahulukecepatan rata-rata kedalaman. Sebagai kecepatan rata-

rata kedalaman adalah kecepatan pada suatu posisi

vertikalz = z0

x

pwvu

xt

u

1

2

1 222

ypwvu

ytv

1

21 222

gz

pwvu

zt

w

1

2

1 222

(7)

(8)

(9)

x

p

1 wvuxtxtx

2

222

xg

wvu

x

2

222

(10)

y

p

1 wvuytyty

2

222

yg

wvu

y

2

222

(11)

xp

1 dan

y

p

1Ke Persamaan (7) dan (8) menghasilkan persa-

maan mmentum permukaan (Hutahaean (2008)),

222

2

1

wvu

xt

u x

g

(12)

222

2

1

wvu

yt

v y

g

(13)

)( 0zuU ; )( 0zvV )( 0zwW; (14)

Berdasarkan Hutahaean (2008), untuk gelombang yang

bergerak pada arah-x

Dimana G = konstanta, k = bilangan gelombang,

= 2/T, T = perioda gelombang,

h/x = kemiringan batimetri pada arah gelombangbergerak. pada Persamaan 17 sedikit berbeda dengan

yang ada pada Hutahaean (2008), perumusanPersamaan 17 diperoleh dengan menggunakan solusilengkap dari persamaan Laplace dengan perumusan

disajikan pada lampiran A.

Dengan menggunakan potensial aliran tersebut, maka

kecepatan partikel adalah

Didefinisikan kecepatan rata-rata kedalaman adalah

Dimanau disebut sebagai koefsien integrasi,H = h +

. Dengan menggunakan sebagai kecepatan rata-rata

kedalaman adalah kecepatan pada posisiz = z0 maka

Mengingat v mempunyai distribusi terhadap kedalaman

yang sama dengan distribusi u, maka koefisien integrasi

untuk kecepatan v adalah sama dengan koefisien

integrasi untuk kecepatan u

tkxzGekh sincos)( (15)

)()(

)(

zhkzhk

eez

)()(

1 )(

zhkzhk

eez

(16)

x

hx

h

x

hx

h

1

1

1

1

2

1(17)

u

x

tzkxGex

kh sin)(cos

hu

dzuH

U 1 (18)

)( 0zuU tzykxkGex

yx

kh sin)()cos( 0

U

u

)(

)(

0z

z

u U

z

z

)(

)(

0

dan

h h

u dzz

z

UHudz

UH )(

)(11

0

)(

)1()(

0

1

zkHu

(19)

uv (20)


4/10



Relasi antara kecepatan rata-rata kedalaman dengan

kecepatan pada posisi z, dapat dihitung denganpersamaan distribusi kecepatan sebagai berikut,

Persamaan (21) ini digunakan untuk menghitungkecepatan rata-rata kedalaman dari kecepatan

permukaan u dan v yang dihitung dari persamaan

momentum, Persamaan (12) dan (13).

Dengan menggunakan definisi kecepatan rata-ratakedalaman dan koefisien integrasi tersebut, persamaankontinuitas diintegrasikan terhadap kedalaman, dengan

hasil integrasi adalah sebagai berikut.

Sedangkan persamaan momentum-x dan momentum-y

tetap berbentuk seperti pada Persamaan (12) dan (13).

Persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadapkedalaman dan persamaan momentum permukaandiselesaikan secara numeris dimana pada penelitian inidiferensial ruang diselesaikan dengan metoda selisihhingga, sedangkan diferensial waktu diselesaikandengan metoda prediktor-korektor berbasis integrasi

numeris dari Newton-Cote (Hutahaean (2007)).

4. Hasil PersamaanModel diberi input gelombang progressif sinusoidal

tunggal dengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0,8

m, pada kedalaman konstan sebesar 6 m dan 3 m.

Pada Gambar 3 (a), dan (b) diperlihatkan profilgelombang hasil model pada kondisi mula-mula. Mula

-mula profil gelombang berbentuk sinusoidal sesuaidengan input yang diberikan. Setelah menempuh jarakkurang lebih 300 m terjadi perubahan dimana pada bagian lembah gelombang mengalami penguranganamplitudo. Pada kedalaman 6 m, terlihat pada bagian puncak gelombang juga mengalami sedikit

pengurangan, diperkirakan hal ini dikarenakanfenomena dispersif. Fenomena lain yang terlihat

adalah munculnya gelombang-gelombang kecil yangberprofil sinusoidal. Munculnya anak-anak gelombangdikarenakan akibat pelepasan energi gelombang pada

bagian lembah gelombang.

Selanjutnya model dikerjakan pada perairan dengankedalaman berubah, yaitu pada bagian 0-150 mkemiringan dasar perairan adalah 4/150, dimanakedalaman mula-mula adalah 5 m, sedangkan pada jarak 150 m kedalaman menjadi 1,0 m, selanjutnyapada jarak 150 m 300 m, kedalaman konstan sebesar

1,0 m. Gelombang yang digunakan adalah gelombangdengan perioda 6 detik dengan amplitudo 0,8 m.

Uz

z

zu )(

)(

)( 0

V

z

zzv

)(

)()(

0

(21)

t

x

HUu

y

HVv

(22)

(b) Profil gelombang pada kedalaman 3 m.

Gambar 3. Profil gelombang pada kedalamankonstan

(a) Profil gelombang pada kedalaman 6 m.

mulamulagelombangprofil

mjarakmenempuhsetelahgelombangprofil 300

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

x (m)

elevarimukaa

irm)



-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

x (m)

elevarimukaair(m)



(a) Profil gelombang mula-mula dan setelah menempuh jarak

130 m

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

x (m)

elevarimukaair(m)


5/10


Hutahaean

Hasil model pada dasar perairan berubah disajikan padaGambar 4 (a) dan (b). Pada Gambar 4 (a),diperlihatkan bahwa profil gelombang mula-mulaadalah sinusoidal sesuai dengan input yang diberikan.Pada jarak mendekati 150 m, dengan kedalaman hampir

1,0 m, bagian lembah gelombang mengalami pengurangan amplitudo sedangkan bagian puncakgelombang mengalami penambahan amplitudo ataugelombang mengalami shoaling. Setelah memasukikedalaman 1 m, terbentuk profil gelombang cnoidalsempurna dan bagian lembah gelombang memisah dari bagian puncak gelombang. Pada kedalaman 1 m,amplitudo bagian puncak mencapai lebih dari 1 m,kurang lebih 1,20 m dan gelombang tidak mengalami

breaking, jadi model belum bisa mensimulasikan breaking. Tetapi bisa juga dikarenakan profil

gelombang cnoidal ini sudah dikenal sangat stabil.

Pada bagian terdahulu telah diuraikan bahwa pengembangan model dilakukan denganmempertahankan bagian percepatan pada persamaanmomentum dan pengerjaan tekanan hidrodinamisgelombang pendek. Sehingga belum diketahui

penyebab terbentuknya gelombang cnoidal. Untukmengetahui penyebab pembentukan gelombang

cnoidal, maka dikembangkan model dengan anggapangelombang panjang dengan distribusi kecepatanseragam pada seluruh kedalaman dan dengan tekanan

hidrostatis.

Dalam hal dikerjakan anggapan gelombang panjangdimana gaya yang bekerja gaya hidrostatis saja dankecepatan partikel seragam pada seluruh kedalaman,maka integrasi persamaan kontinuitas, persamaan

momentum-x (Persamaan (2)) dan persamaanmomentum-y (Persamaan (3)) terhadap kedalaman

menghasilkan persamaan,

U, V, W, adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada

arah x, y dan z. Kecepatan horisontal permukaan u dan

v serta kecepatan horisontal pada dasar perairandiambil sama dengan kecepatan rata-rata kedalaman

yaitu u dan v u = v-h = U dan v = v-h = V.Kecepatan vertikal permukaan dihitung dengan

menggunakan syarat batas kinematik permukaan

kedalaman dimana dilakukan perhitungan kecepatan

vertikal W = w(x, y,z0, t).

Perhitungan dengan menggunakan keempat persamaantersebut dengan input gelombang sinusoidal dan pada

kedalaman konstan sebesar 5 m juga memberikan hasildimana gelombang sinusoidal berdeformasi menjadi

gelombang cnoidal (Gambar 5), dengan laju deformasiyang lebih cepat dari model sebelumnya dan terlihat

jelas terdapatnya gelombang cnoidal.

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa profilgelombang cnoidal dihasilkan oleh persamaanmomentum (Persamaan 2 dan 3) bukan dikarenakanpenggunaan tekanan hidrodinamik (Persamaan (7) dan(8)). Tetapi dikarenakan penggunaan persamaan

momentum dimana masih terdapat karakteristik persamaan kontinuitas pada suku percepatan atau

dengan kata lain percepatan yang terjadi masih

dikontrol oleh persamaan kontinuitas.

yVH

xUH

t (23)

x

VVH

x

huu

xuu

x

UUH

Ht

Uhh

1

x

hvv

x

vv hh

x

ww

x

WWH

H

1

xg

x

hww hh

(24)

y

VVH

y

huu

yuu

y

UUH

Ht

Vhh

1

y

hvv

yvv hh

y

wwy

WWH

H

1

yg

y

hww hh

(25)

0z ht

vdzy

udzx

W (26)

yvxutw

sedangkan kecepatan

menggunakan syarat batas kinematik dasar perairan

y

hv

x

huw hhh

sedangkanz0adalah posisi

(b) Profil gelombang pada kedalaman 1 m

Gambar 4. Profil gelombang, pada dasar perairan

berubah (a,b)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

x (m)

elevarimuka

air(m)


6/10



5. Pembahasan

Persamaan muka air dari gelombang air yang diperolehsecara analitik yaitu dengan mengintegrasikan

persamaan syarat batas kinematik permukaan dengan

metoda inversi integral dengan ketelitian O(2)

(Hutahaean (2010)), adalah:

),( tx

tkxke

G kh

coscos)(1

tkx

t

ke

G kh

sincos)(2

tkx

t

ke

G kh

coscos)(

2

12

3

tkx

t

ke

G kh

coscos)(2

2

2

2

tkxxke

G kh

cossin)(

tkx

xt

ke

G kh

sinsin)(1

2

tkx

xt

ke

G kh

sinsin)(2

tkx

xe

x

h

h

G kh

coscos)(2

1

tkx

xt

ke

x

h

h

G kh

sincos)(2

1

1

Suku utama pada Persamaan (27) tersebut adalahsuku ke 1 yaitu suku yang mempunyai amplitudoterbesar. Karena itu persamaan ini dapat didekati

dengan persamaan, = Acoskxcostdengan turunan-turunan dari persamaan pendekatan ini adalah,

Persaman-persamaan tersebut disubstitusikan ke

Persamaan (27),

tkxxt

ex

h

h

G kh

sincos)(1

2

1 2

(27)

Dimana )()()(

hkhk ee ,

)()(

1 )( hkhk ee

untuk dasar perairan datar )(cosh2)( hk

dan )(sinh2)(1 hk

tkxAt

sincos ; tkxA

t coscos2

2

2

tkxkAx

cossin

tkxkA

xt

sinsin

2

;

),( tx tkxkeG kh

coscos)(1

tkxA

k

e

G kh

222

sincos)(

ttkxAk

eG kh

sincoscos)( 32212

3

tkxAk

eG kh

222

2

2

coscos)(

tkxkAkeG kh

22 cossin)(

ttkxkxkAk

eG kh

222

1

2

sincossincos)(

tkxkAk

eG kh

22 sinsin)(

tkxkxkAex

h

h

G kh

2coscossin)(2

1

ttkxkxkAk

ex

h

h

G kh

222

1 sincossincos)(2

1

tkxkAex

h

h

G kh

2sincossin)(1

2

1

(28)

Gambar 5. Hasil persamaan dengan anggapangelombang panjang




- 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 0 100 150 200 250 300

x (m)

elevarimukaair(m)


7/10


Hutahaean

Baik pada Persamaan 27 maupun Persamaan 28, sukuutama yaitu suku yang mempunyai amplitudo terbesaradalah suku ke 1 ruas kanan persamaan. Pada suku

tersebut terdapat unsur1(). Harga 1() pada saat

negatif adalah lebih kecil dari pada 1() pada saat positif untuk harga yang sama, sehingga amplitudolembah gelombang akan lebih kecil daripada amplitudo

puncak gelombang. Kondisi ini menyebabkangelombang menjadi labil sehingga terjadi pelepasanenergi gelombang dari bagian lembah gelombangsecara terus menerus sehingga pada akhirnya terbentuk profil gelombang cnoidal sempurna. Pada perairan

dangkal ini harga 1() pada saat negatif dapatmenjadi nol.

Suku yang mempunyai amplitudo terbesar ke 2 pada

Persamaan (27) dan (28), adalah suku ke 2. Suku ini

mengandung unsur() yang mempunyai sifat yangsama dengan harga 1() yaitu harga () pada saat

positif adalah lebih besar dari harga() pada saat negatif, jadi suku ini mempunyai bentuk bagian puncaklebih besar daripada bagian lembah. Selain itu, suku ini

mengandung unsurcos2kxsin2t yang selalu berhargapositif, dimana suku ini menghasilkan profil gelombang

cnoidal dengan panjang gelombang setengah dari panjang gelombang sinusoidal seperti diperlihatkan

pada Gambar 6.

Dengan demikian baik Persamaan (27) maupun

Persamaan (28) akan memberikan profil gelombangyang tidak simetri antara bagian puncak dengan bagianlembah gelombang, dimana bagian lembah gelombanglebih kecil dari pada bagian puncak gelombang dan bagain lembah menghilang pada perairan yang sangat

dangkal.

Terbentuknya anak-anak gelombang pada bagian belakang gelombang adalah dikarenakan pelepasanenergi gelombang pada saat kurva gelombangseharusnya menurun, tetapi tidak dapat turun karenatertahan oleh air di bawahnya seperti yang dinyatakan

oleh unsur 1() dan () Berdasarkan Hutahaean(2010), baikPersamaan (27) maupun Persamaan (28)

mengandung fenomena dispersif.

6. Kesimpulan

Dari hasil studi ini didapatkan beberapa kesimpulan

sebagai berikut.

1. Kandungan persamaan kontinuitas pada persamaanmomentum sebaiknya dipertahankan, agarkecepatan yang dihasikan memenuhi persamaan

kontinuitas.

2. Pemodelan gelombang cnoidal dapat diakukandengan mensubstitusikan sifat irrotasional aliran air

pada persamaan momentum.

3. Dengan profil gelombang cnoidal ini makagelombang yang dihadapi oleh bangunan pantai

adalah lebih kecil dari tinggi gelombang sinusoidal,sehingga perencanaan bangunan pantai denganmenggunakan profil gelombang cnoidal ini akanlebih menghemat biaya. Karena itu perlu ditelitisecara lebih intensif mengenai gelombang cnoidaltersebut selain untuk mendapatkan model

gelombang yang lebih realistis diperairan pantaijuga agar perencanaan bangunan pantai lebih efisien

terhadap penggunaan material bangunan dan biaya.

4. Prospek aplikasi dari karakteristik deformasigelombang sinusoidal ini adalah pada perencanaan breakwater tenggelam, dimana breakwater dapat

direncanakan untuk mendeformasikan gelombangsinusoidal menjadi gelombang cnoidal dengantinggi gelombang 1/2 dari tinggi mula-mula yang

berprofil sinusoidal.

Daftar Pustaka

Dean, R.G., and Dalrymple, 1984, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists.

New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

Hutahaean, S., 2007, Pemodelan Dinamika Gelombangdengan Mengerjakan Persamaan KekekalanEnergi,Jurnal Teknik Sipil, Volume 14, No. 1,

Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.

Hutahaean, S., 2008, Persamaan Gelombang NonlinierPada Dasar Perairan Miring,Jurnal Teknik Sipil,Volume 15 No.1, Fakultas Teknik Sipil dan

Lingkungan, ITB.

Hutahaean, S., 2010, Pengerjaan Metoda Inversi

Integral Pada Perumusan Persamaan Muka AirGelombang Air Nonlinier , Jurnal Teknik Sipil,

Volume 17 No.2, Fakultas Teknik Sipil dan

Lingkungan, ITB,

Sarpkaya, T., and Isacson, M., 1981, Mechanics of

Wave Forces on Offshore Structures, Van

Nostrand Reinhold Company.Gambar 6. Kurva dari fungsi kuadrat sinusoidal

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x (m)

mukaair(m)

mukaair(m)


8/10



Lampiran A

Perumusan Persamaan Potensial Aliran

Hasil penyelesaian persamaan Laplace dengan metoda

pemisahan variabel adalah (Dean (1984)),

Mengingat sifat linier persamaan Laplace, maka

persamaan terakhir dapat ditulis menjadi,

A, B, CdanD adalah bilangan konstan,

Syarat batas kinematik dasar perairan,

),,( tzx kxBkxA sincos tDeCe kzkz sin ),,( tzx kxAcos tDeCe kzkz sin

kxBsin tDeCe kzkz sin

),,( tzx ),,( tzxA ),,( tzxB (1)),,( tzxA kxAcos tDeCe kzkz sin

),,( tzxB kxBsin tDeCe kzkz sin

a. ),,( tzxA kxAcos tDeCe kzkz sin

xu

kxAksin tDeCe kzkz sin

zw

kxAkcos tDeCe kzkz sin

hw

x

h

u h

kxAkcos tDeCe khkh sin tDeCe khkh sinDiambil kondisi

2

2sincos kxkx ,

persamaan dibagi dengan tkxAk sincos

khkh DeCe x

h

khkh DeCe

De

hx

h

C kh2

1

1

x

hCe kh 1

x

hDekh 1 atau

hx

h

A

1

1

(2)

Substitusi Ckepersamaan potensial aliran,

Didefinisikan konstanta baru GA dimana GA = AD

DeC khA2

),,( tzxA kxADcos teee kzkzkh sin2 ),,( tzxA kxADe

kh cos tee zhkzhkA sin

),,( tzxA teekxeG zhkzhkAkhA sincos

(3)

),,( tzxBb. kxBsin tDeCe kzkz sin

xu

kxBkcos tDeCe kzkz sin

zw

kxBksin tDeCekzkz

sin

hwx

hu h

kxBksin tDeCe khkh sin kxBkcos t

x

hDeCe khkh sin

Diambil kondisi2

2sincos kxkx ,

persamaan dibagi dengan tkxBk sincos ,

khkh DeCe x

hDeCe khkh

x

hCe kh 1

x

hDekh 1

hx

h

DeC kh

1

12 atau kh

BDeC2

x

hxh

B

1

1

(4)

),,( tzxB tDeeeDkxB kzkzkhB sinsin 2 ),,( tzxB teeeekxBDe

kzkhkzkh

B

kh sinsin

),,( tzxB teekxBDe zhkzhkBkh sinsin )()( ),,( tzxB teekxeG zhkzhkBkhB sinsin )()(

(5)


9/10


Hutahaean

Substitusi (a.3) dan (a.5) kepersamaan (a.1)

Jadi diperlukan suatu potensial aliran, dimana pada

dasar perairan datar dan pada saat berbentuk seperti persamaan (a.6). Persamaan potensial aliran sebagai berikut adalah memenuhi kondisi perairan datar dan

pada saat coskx = sinkx,

),,( tzx teekxeG zhkzhkAkhA sincos teekxeG zhkzhkBkhB sinsin )()(

Pada saat kxkx sincos

),,( tzx teekxeG zhkzhkAkhA sincos teekxeG zhkzhkBkhB sincos )()(

),,( tzx eGeeG zhkBBzhkzhkAA )( tkxee khzhk sincos)(

Pada dasar perairan datar 1 BA

),,( tzx eGeeG zhkBBzhkzhkAA )( tkxee khzhk sincos)(

),,( tzx tkxeeeGG zhkzhkkhBA sincos)()(

BA GGG

),,( tzx tkxeeGe zhkzhkkh sincos)()( (6)

),,( tzx eeeG zhkzhkAkh ' )()( tkxee zhkzhkB sincos)()(

),,( tzx tkxeeeG zhkzhkBAkh sincos2' )()( ),,( tzx tkxeeeG zhkzhkBAkh sincos

2'2 )()(

),,( tzx tkxeeGe zhkzhkBAkh sincos2

)()(

,

x

hx

h

A

1

1

hx

h

B

1

1

2

BA

x

hx

h

x

hx

h

1

1

1

1

2

1(7)

),,( tzx tkxeeGe zhkzhkkh sincos)()( ),,( tzx tkxzGekh sincos)( (8)

)()()( zhkzhk eez Dimana (9)


10/10



8. syawaluddin vol.18 no.2

Documents