January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

LATIHAN SOAL 8- TELESKOPIK

1. (HSMC-USC, 2011) Misalkan .

/ .

/ .

/

. Tentukan nilai dari

Solusi:

Karena

( )( )

, kita memperoleh

(

) (

) (

)

Jadi,

2. (HSCM-USC, 2010) Berapakah nilai dari

Solusi:

Jika k bilangan bulat positif, maka

( )

( )

( )

( )

Sehingga

(

) (

) (

)

3. (HSMC-USC, 2007) Berapakah nilai dari

Solusi:

Perhatikan bahwa

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) (

)

( )

Sehingga, permasalahan ini adalah bentuk teleskopik:

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

(

) (

) (

)

4. (HSMC-USC, 2003) Berapakah nilai dari

(

) (

) (

) (

)

Solusi:

Karena

( )( )

Sehingga

(

) (

) (

) (

)

5. Tentukan hasil dari

√

√

√

√

√

Solusi:

Perhatikan bahwa:

√

√

Sehingga

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

6. Untuk bilangan real dirumuskan suatu fungsi

( )

Maka tentukan hasil dari

∑ ( )

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

Solusi:

Perhatikan bahwa

( ) ( )

Sehingga:

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ⏟

) ( )

7. Nilai dari

Solusi:

Perhatikan bahwa

( )

Sehingga

(

) (

) (

)

8. Tentukan nilai dari

Solusi:

Perhatikan bahwa:

( )

( ) (

)

Sehingga:

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

(

) (

) (

)

(

)

9. Segitiga harmonik (Variasi dari Segitiga Pascal) mempunyai sifat-sifat berikut:

i) Baris ke-n mempunyai n elemen/entri, elemen pertama dan terakhir adalah 1/n.

ii) Tiap-tiap elemen adalah jumlah dari dua elemen dibawahnya langsung (pada

baris sesudahnya).

Beberapa baris segitiga harmonic disajikan dalam gambar berikut:

Semua jumlah dari elemen/entri segitiga harmonik adalah ∑

adalah divergen.

Tentukan jumlah semua elemen/suku pada daerah yang diarsir.

Solusi:

Jumlah dari diagonal pertama dari daerah yang diarsir adalah suatu deret teleskopik,

(

) (

) (

)

Dengan cara yang sama, maka diagonal berikutnya jumlahnya adalah

berikutnya

,

dst. Sehingga

(

) (

) (

)

10. (HSMC-USC, 2014) Barisan bilangan * + didefinisikan sebagai

( )√ √

dimana n bilangan bulat positif. Jumlah n suku pertama barisan * + didefinisikan

sebagai ∑ . Berapa banyak suku-suku dalam barisan yang

merupakan bilangan rasional?

NB:

√ irrasional

Solusi:

Dari

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

√ ( )(√ √ ) √ √

√ ( )

√

√

Kita mempunyai

∑ ∑(

√

√ )

√

Sehingga, rasional jika dan hanya jika bentuk kuadrat sempurna.

Karena √ , kita juga mempunyai

Jadi, diantara ada 43 suku rasional.

11. (HSMC-USC, 2000) Pertidaksamaan berikut berlaku untuk semua bilangan bulat positif

n:

√ √

√ √ √

Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari

∑

√

Solusi:

Dari pertidaksamaan

√ √

√ √ √

Hal ini mengakibatkan:

∑

√ ∑(√ √ )

(√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √

dan

∑

√ ∑(√ √ )

(√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √

Jadi, bilangan bulat terbesar yang kurang dari

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

∑

√

adalah 4.

LATIHAN SOAL 7.A

1. Misalkan sehingga

(

)

( ) ( )

untuk setiap . Buktikan bahwa fungsi konstan.

Solusi:

Subtitusikan , maka .

/ ( ) ( )

Subtitusikan , maka ( ) ( ) ( )

Dari (1) dan (2), maka .

/ ( )

Misalkan , maka .

/ ( ) ( ) .

/ ( )

Perhatikan bahwa

( ) .

/ .

/

( ) ( )

Jelas bahwa ( ) ( ) .

Hal ini menunjukkan bahwa suatu fungsi konstan.

Jadi, terbukti bahwa fungsi konstan.

2. Misalkan adalah bilangan real bukan nol yang berbeda sehingga

Buktikan bahwa ( )

Solusi:

Perhatikan bahwa dari bentuk

maka kita peroleh

Dengan cara yang sama maka kita peroleh

dan

Kalikan ketiga ketaksamaan di atas, maka kita mempunyai

( )( )( ) ( )( )( )

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

Karena adalah bilangan real bukan nol yang berbeda maka

Jadi, terbukti bahwa ( )

3. Jika ( ) ( ) merupakan faktor dari sukubanyak

( )

dengan tidak sama dengan nol maupun satu. Buktikan bahwa

Solusi:

Perhatikan bahwa karena ( ) ( ) merupakan faktor dari sukubanyak

( ), maka menurut teorema faktor maka kita peroleh berturut-turut .

/

( ) .

Dari dua kondisi terakhir, maka kita peroleh:

1.

2.

Dua bentuk ini berturut-turut ekuivalen dengan

dan

.

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, maka kita peroleh

( ) ( )( ) ( )( )

( ), ( ) ( )-

Karena p tidak sama dengan 1, maka jelas bahwa

( ) ( )

( )

Jadi, terbukti bahwa nilai dari

sama dengan – 1 .

4. Misalkan √ √ √ dan

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

√ √ √ √ √ √

Buktikan bahwa

Solusi:

Misalkan √ √

Maka kita peroleh bahwa

√ √(√ √ ) dan

√ √(√ √ )

Perhatikan bahwa

√ √ √ dan √ √ √

Sehingga dari bentuk di atas maka jelas bahwa

Jadi terbukti bahwa

5. Jika memenuhi persamaan

( ) ( )

buktikan bahwa ( ) ( )

Solusi:

Perhatikan bahwa

( ) ( )

Dari bentuk terakhir ini, kuadratkan kedua ruas, maka kita peroleh

( ) ( )

Dari bentuk terakhir, kita kelompokan dalam bentuk

( ) ( )

( ) ( )

Jadi, terbukti bahwa ( ) ( )

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

LATIHAN SOAL 7.B

1. (COMC, 2001) Misalkan ( ) dengan p, q, dan r bilangan

bulat. Buktikan bahwa jika ( ) dan ( )keduanya ganjil maka tidak mungkin

ketiga akar persamaan ( ) semuanya bilangan bulat.

Solusi:

Andaikan ketiga akar dari persamaan ( ) semuanya bilangan bulat, katakan

akar-akar tersebut Maka kita peroleh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Karena ( ) ganjil maka jelas ganjil.

Karena maka k, l, m jelas juga semuanya ganjil.

Perhatikan bahwa

( ) ( )( )( )

Karena k ganjil, maka ( ) genap. Hal ini mengakibatkan bahwa ruas kanan

genap. Ini kontradiksi dengan ( ) ganjil.

Jadi, terbukti bahwa jika ( ) dan ( )keduanya ganjil maka tidak mungkin

ketiga akar persamaan ( ) semuanya bilangan bulat.

2. (JMM, No 11/2009) Buktikan bahwa system persamaan

√

tidak memiliki solusi real taknol ( )

Solusi:

Andaikan persamaan yang diketahui mempunyai solusi real tak-nol ( )

Misalkan

Persamaan pertama ekuivalen dengan

( ) ( ) ( )

Persamaan kedua ekuivalen dengan

( ) ( )

( ) .

Karena maka jelas bahwa

Menurut AM-GM, maka kita mempunyai:

January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]

Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |

√

Perhatikan bahwa:

( )

( )

√

Sehingga ( ) √ ( √ )

Karena jelas dari persamaan yang diketahui pada soal bahwa

Sehingga, √ √

Karena maka kita mempunyai:

Sehingga

Padahal kita mempunyai sehingga haruslah

Hal ini kontradiksi dengan apa yang kita dapat pada bagain terdahulu.

Jadi, terbukti bahwa system persamaan disoal tidak mempunyai solusi real tak-

nol.

3. Diberikan adalah bilangan real serta dan mempunyai tanda

yang sama. Tunjukkan bahwa persamaan kedua akarnya tidak

mungkin terletak pada interval ( )

Solusi:

Jelas bahwa

Karena mempunyai tanda yang sama maka

Misalkan bahwa adalah akar-akar persamaan maka

( )

Sehingga kita mempunyai:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

Andaikan akar-akar persamaan pada soal , terletak pada interval ( )

Maka

( )( ) ( )( ) masing-masing bernilai negatif, sehingga

( )( ) ( )( ) . Hal ini kontradiksi dengan (*)

Jadi, terbukti bahwa persamaan kedua akarnya tidak mungkin

terletak pada interval ( )