1

2

Analisis regresi linier ganda (jamak, majemuk, multipel) digunakan utuk meramalkan pengaruh dua variabel prediktor atau lebih terhadap satu variabel kriterium; atau untuk membuktikan ada tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas (X) atau lebih dengan sebuah variabel terikat (Y).

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ….bkXk

3

Regresi Ganda Dua Prediktor

No. Y X1 X2 YX1 YX2 X1X2 X12 X2

2

ΣY ΣX1 ΣX2 ΣYX1 ΣYX2 ΣX1X2 ΣX12 ΣX2

2

Persamaan umum regresi ganda dua prediktor adalah:

Y = a + b1X1 + b2X2

Nilai-nilai a, b1, dan b2, dapat dicari dengan membuat Tabel Penolong 01 sebagai berikut:

4

Nilai-nilai yang diperoleh dari tabel penolong (ΣY, ΣX1, ΣX2, ΣYX1, ΣYX2, ΣX1X2, ΣX1

2, dan ΣX2

2) selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan tiga bilangan anu sebagai berikut:

ΣY = an + b1 ΣX1 + b2 ΣX2

ΣYX1 = a ΣX1 + b1 ΣX12 + b2 ΣX1X2

ΣYX2 = a ΣX2 + b1 ΣX1X2 + b2 ΣX22

Rumus 1

5

2211 XbXbYa

Rumus 1 di atas dapat disederhanakan, dengan mengambil:

Sehingga persamaan umum regresi ganda dua sekarang menjadi:

y = b1x1 + b2x2

Koefisien b1, b2 dan a dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Σyx1 = b1 Σx12 + b2 Σx1x2

Σyx2 = b1 Σx1x2 + b2 Σx22 Rumus 2

YYydanXXxXXx 222111 ,,

6

Dengan menggunakan x1, x2 dan y yang baru ini juga, koefisien-koefisien a, b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan:

2211

221

22

21

121221

2

221

22

21

221122

1

XbXbYa

xxxx

yxxxyxxb

xxxx

yxxxyxxb

Rumus 3

7

Rumus 2 dan Rumus 3 dapat dicari dengan menggunakan Tabel Penolong 02 berikut:

Y X1 X2 y x1 x2 yx1 yx2 x1x2 x12 x2

2

ΣY ΣX1 ΣX2 Σyx1 Σyx2 Σx1x2 Σx12 Σx2

2

8

Contoh: Pengamatan terhadap 10 keluarga menunjukkan pengeluaran untuk membeli suatu barang (Y, dalam ratusan rupiah), pendapatan (X1, dalam ribuan rupiah) dan besar keluarga (X2, dalam satuan jiwa)

Y 23 7 15 17 23 22 10 14 20 19

X1 10 2 4 6 8 7 4 6 7 6

X2 7 3 2 4 6 5 3 3 4 3

9

No. Y X1 X2 YX1 YX2 X1X2 X12 X2

2

1 23 10 7 230 161 70 100 49

2 7 2 3 14 21 6 4 9

3 15 4 2 60 30 8 16 4

4 17 6 4 102 68 24 36 16

5 23 8 6 184 138 48 64 36

6 22 7 5 154 110 35 49 25

7 10 4 3 40 30 12 16 9

8 14 6 3 84 42 18 36 9

9 20 7 4 140 80 28 49 16

10 19 6 3 114 57 18 36 9

  170 60 40 1122 737 267 406 182

Dengan menggunakan Tabel Penolong 1:

10

Nilai-nilai yang diperoleh dari Tabel Penolong 01 adalah: ΣY=170, ΣX1=60, ΣX2=40, ΣYX1=1122, ΣYX2=737, ΣX1X2=267, ΣX1

2=406, ΣX22=182, dan n=10.

Dengan menggunakan Rumus 1, maka:

170 = 10a + 60b1 + 40b2 Persamaan (1)

1122 = 60a + 406b1 + 267b2 Persamaan (2)

737 = 40a + 267b1 + 182b2 Persamaan (3)

11

Dari Persamaan 1 dan 2, diperoleh:

10 a + 60 b1 + 40 b2 = 170 x 6

60 a + 406 b1 + 267 b2 = 1122 x 1

60 a + 360 b1 + 240 b2 = 1020

60 a + 406 b1 + 267 b2 = 1122 –

– 46 b1 – 27 b2 = – 102 (Persamaan 4)

Dari Persamaan 1 dan 3, diperoleh:

10 a + 60 b1 + 40 b2 = 170 x 4

40 a + 267 b1 + 182 b2 = 737 x 1

40 a + 240 b1 + 160 b2 = 680

40 a + 267 b1 + 182 b2 = 737 –

– 27 b1 – 22 b2 = – 57 (Persamaan 5)

12

Dari Persamaan 4 dan 5, diperoleh:

– 46 b1 – 27 b2 = –102 x 27

– 27 b1 – 22 b2 = –57 x 46

– 1242 b1 – 729 b2 = –2754

– 1242 b1 – 1012 b2 = –2622 –

283 b2 = –132 Jadi b2= –132 / 283 = –0,4664

Dari Persamaan 5, diperoleh:

– 27 b1 – 22 b2 = –57

– 27 b1 – 22 (–0,4664) = –57

– 27 b1 + 10,2608 = –57

– 27 b1 = –57 – 10,2608

–27 b1 = –67,2608

Jadi b1= –67,2608 / –27 = 2,4911

13

Dari Persamaan 1 diperoleh:

10 a + 60 b1 + 40 b2 = 170

10 a + 60 (2,4911) + 40 (-0,4664) = 170

10 a + 149,4660 – 18,6560 = 170

10 a = 170 – 149,4660 + 18,6560

10 a = 39,1900 Jadi a = 39,19 / 10 = 3,9190

Persamaan regresi ganda dua yang diperoleh:

Y = 3,9190 + 2,4911 X1 – 0,4664 X2

14

Dengan menggunakan Tabel Penolong 02:No. Y X1 X2 y x1 x2 yx1 yx2 x1x2 x1

2 x22

1 23 10 7 6 4 3 24 18 12 16 9

2 7 2 3 -10 -4 -1 40 10 4 16 1

3 15 4 2 -2 -2 -2 4 4 4 4 4

4 17 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0

5 23 8 6 6 2 2 12 12 4 4 4

6 22 7 5 5 1 1 5 5 1 1 1

7 10 4 3 -7 -2 -1 14 7 2 4 1

8 14 6 3 -3 0 -1 0 3 0 0 1

9 20 7 4 3 1 0 3 0 0 1 0

10 19 6 3 2 0 -1 0 -2 0 0 1

  170 60 40 102 57 27 46 22

15

Σyx1=102, Σyx2=57, Σx1x2=27, Σx12=46, dan Σx2

2=22.

Dengan menggunakan Rumus 2, maka:46 b1 + 27 b2 = 102 x 27

27 b1 + 22 b2 = 57 x 46

1242 b1 + 729 b2 = 2754

1242 b1 + 1012 b2 = 2622 –

– 283 b2 = 132 Jadi b2= 132 / –283 = –0,4664

17Ydan4X6X 21 ,,

Nilai-nilai yang diperoleh dari Tabel Penolong 02 adalah:

16

46 b1 + 27 b2 = 102

46 b1 + 27 (-0,4664) = 102

46 b1 – 12,5928 = 102

46 b1 = 102 + 12,5928

46 b1 = 114,5928 Jadi b1 = 114,5928/46 = 2,4911

919038656194661417

44664064911217XbXbYa 2211

,,,

,,

Persamaan regresi ganda dua yang diperoleh:Y = 3,9190 + 2,4911 X1 – 0,4664 X2

17

Dengan menggunakan Tabel Penolong 02 dan Rumus 3, maka diperoleh:

91843865619472141744664064912217XbXbYa

46640283132

729101227542622

272246

102275746xxxx

yxxxyxxb

49122283705

729101215392244

272246

572710222xxxx

yxxxyxxb

2211

2

221

22

21

121221

2

2

221

22

21

221122

1

,,,,,

,

,

Persamaan regresi ganda dua yang diperoleh:Y = 3,9184 + 2,4912 X1 – 0,4664 X2

18

Nilai-nilai Σyx1, Σyx2, Σx1x2, Σx12, dan Σx2

2 dapat juga diperoleh dengan menggunakan cara-cara sebagai berikut:

n

XXx

n

XXx

n

XXXXxx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

222

222

212

121

212121

222

111

Rumus 4

19

Dengan menggunakan nilai-nilai yang tercantum pada Tabel Penolong 01, maka:

22

10

40182

n

XXx

4610

60406

n

XXx

2710

6060267

n

XXXXxx

5710

40170737

n

XYYXyx

10210

601701122

n

XYYXyx

2222

222

2212

121

212121

222

111

20

Nilai-nilai yang diperoleh selanjutnya dimasukkan ke dalam persamaan yang tercantum pada Rumus 3, sehingga diperoleh nilai dari koefisien-koefisien b1, b2, dan a.

21

Regresi Ganda Tiga PrediktorPersamaan umum regresi ganda tiga prediktor adalah:

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3

Nilai-nilai a, b1, b2, dan b3 dapat dicari dengan membuat tabel penolong yang berisi: ΣY, ΣX1, ΣX2, ΣX3, ΣYX1, ΣYX2, ΣYX3,

ΣX1X2, ΣX1X3, ΣX2X3, ΣX12, ΣX2

2 dan ΣX32 yang selanjutnya

digunakan untuk menyelesaikan empat persamaan dengan empat bilangan anu sebagai berikut:

ΣY = an + b1 ΣX1 + b2 ΣX2 + b3 ΣX3

ΣYX1 = a ΣX1 + b1 ΣX12 + b2 ΣX1X2 + b3 ΣX1X3

ΣYX2 = a ΣX2 + b1 ΣX1X2 + b2 ΣX22 + b3 ΣX2X3

ΣYX3 = a ΣX3 + b1 ΣX1X3 + b2 ΣX2X3 + b3 ΣX32

Rumus 5

22

332211 XbXbXbYa

Rumus 5 di atas dapat disederhanakan, dengan mengambil:

Sehingga persamaan umum regresi ganda dua sekarang menjadi:

y = b1x1 + b2x2 + b3x3

Koefisien b1, b2, b3 dan a dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Σyx1 = b1 Σx12 + b2 Σx1x2 + b3 Σx1x3

Σyx2 = b1 Σx1x2 + b2 Σx22 + b3 Σx2x3

Σyx3 = b1 Σx1x3 + b2 Σx2x3 + b3 Σx32

Rumus 6

YYydanXXxXXxXXx 333222111 ,,

23

Nilai-nilai Σyx1, Σyx2, Σyx3, Σx1x2, Σx1x3, Σx2x3, Σx12,

Σx22 dan Σx3

2 dapat juga diperoleh dengan menggunakan cara-cara sebagai berikut:

n

XXx

n

XXx

n

XXx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

232

323

222

222

212

121

323232

313131

212121

333

222

111

Rumus 7

24

Nilai-nilai yang diperoleh selanjutnya dimasukkan ke dalam persamaan yang tercantum pada Rumus 6, sehingga diperoleh nilai dari koefisien-koefisien b1, b2, b3, dan a.

25

Regresi Ganda Empat PrediktorPersamaan umum regresi ganda empat prediktor adalah:

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4

Nilai-nilai a, b1, b2, b3 dan b4 dapat dicari dengan membuat tabel penolong yang berisi: ΣY, ΣX1, ΣX2, ΣX3, ΣX4, ΣYX1, ΣYX2, ΣYX3, ΣYX4, ΣX1X2, ΣX1X3, ΣX1X4, ΣX2X3, ΣX2X4, ΣX3X4, ΣX1

2, ΣX22, ΣX3

2 dan ΣX42 yang selanjutnya digunakan untuk

menyelesaikan persamaan sebagai berikut:ΣY = an + b1 ΣX1 + b2 ΣX2 + b3 ΣX3 + b4 ΣX4

ΣYX1 = a ΣX1 + b1 ΣX12 + b2 ΣX1X2 + b3 ΣX1X3 + b4 ΣX1X4

ΣYX2 = a ΣX2 + b1 ΣX1X2 + b2 ΣX22 + b3 ΣX2X3 + b4 ΣX2X4

ΣYX3 = a ΣX3 + b1 ΣX1X3 + b2 ΣX2X3 + b3 ΣX32 + b4 ΣX3X4

ΣYX4 = a ΣX4 + b1 ΣX1X4 + b2 ΣX2X4 + b3 ΣX3X4 + b4 ΣX42

Rumus 8

26

44332211 XbXbXbXbYa

Rumus 8 di atas dapat disederhanakan, dengan mengambil:

Sehingga persamaan umum regresi ganda dua menjadi:

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4

Koefisien b1, b2, b3, b4 dan a dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Σyx1 = b1 Σx12 + b2 Σx1x2 + b3 Σx1x3 + b4 Σx1x4

Σyx2 = b1 Σx1x2 + b2 Σx22 + b3 Σx2x3 + b4 Σx2x4

Σyx3 = b1 Σx1x3 + b2 Σx2x3 + b3 Σx32 + b4 Σx3x4

Σyx4 = b1 Σx1x4 + b2 Σx2x4 + b3 Σx3x4+ b4 Σx42

Rumus 9

YYydanXXxXXxXXxXXx 444333222111 ,,,

27

Nilai-nilai Σyx1, Σyx2, Σyx3, Σyx4, Σx1x2, Σx1x3, Σx1x4, Σx2x3, Σx2x4, Σx3x4, Σx1

2, Σx22, Σx3

2 dan Σx42 dapat juga diperoleh

dengan menggunakan cara-cara sebagai berikut:

n

XXx

n

XXx

n

XXx

n

XXx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XXXXxx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

n

XYYXyx

242

424

232

323

222

222

212

121

434343

424242

323232

414141

313131

212121

444

333

222

111

Rumus 10

28

Nilai-nilai yang diperoleh selanjutnya dimasukkan ke dalam persamaan yang tercantum pada Rumus 9, sehingga diperoleh nilai dari koefisien-koefisien b1, b2, b3, b4, dan a.

29

30

Korelasi adalah istilah statistik yang menyata-kan hubungan linier antara dua variabel atau lebih, yang ditemukan oleh Karl Pearson pada awal 1900. Oleh sebab itu terkenal dengan sebutan Korelasi Pearson Product Moment (PPM).

Korelasi PPM atau disingkat korelasi saja merupakan salah satu teknik korelasi yang paling banyak digunakan dalam penelitian. Besarnya angka korelasi disebut koefisien korelasi yang dinyatakan dengan lambang r.

31

Guna korelasi:

a. Untuk menyatakan ada atau tidaknya hubungan yang signifikan antara variabel satu dengan yang lainnya.

b. Untuk menyatakan besarnya sumbangan variabel satu terhadap yang lainnya yang dinyatakan dalam persen. Dengan demikian, maka r2 disebut koefisien determinasi atau koefisien penentu.

32

Persyaratan yang harus dipenuhi dalam menggunakan korelasi adalah:

1. Variabel yang dihubungkan mempunyai data yang berdistribusi normal.

2. Variabel yang dihubungkan mempunyai data linier.

3. Variabel yang dihubungkan bersifat acak.

4. Variabel yang dihubungkan mempunyai pasangan sama dari subjek yang sama pula.

5. Variabel yang dihubungkan mempunyai data interval atau rasio.

33

Harga r = -1 menyatakan adanya hubungan linier sempurna tak langsung antara X dan Y. Hal ini berarti bahwa titik-titik yang ditentukan oleh Xi, Yi seluruhnya terletak pada garis regresi linier dan harga X yang besar menyebabkan atau berpasangan dengan Y yang kecil, sedangkan harga X yang kecil berpasangan dengan Y yang besar.

Harga r = +1 menyatakan adanya hubungan linier sempurna langsung antara X dan Y. Titik-titik terletak pada garis linier dimana harga X yang besar berpasangan dengan harga Y yang besar sedangkan harga X yang kecil berpasangan dengan harga Y yang kecil

34

Interpretasi nilai r

Nilai r (–1 ≤ r ≤ +1) Interpretasi

0,00 Tidak berkorelasi

0,01 – 0,20 Sangat rendah

0,21 – 0,40 Rendah

0,41 – 0,60 Agak rendah

0,61 – 0,80 Sedang

0,81 – 0,99 Kuat

1,00 Sangat Kuat

35

Koefisien korelasi dari sekumpulan data (X,Y) berukuran n dapat dicari dengan rumus:

n

YYy

n

XXx

n

YXXYxy

yx

xyr:atau

YYnXXn

YXXYnr

222

222

22

2222 Rumus 11

Rumus 12

36

Beberapa rumus lain yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien korelasi r:

y

x

22

2y

2x.y

S

Sbr

YYn

YXXYnbr

S

S1r

Rumus 13

Rumus 15

Rumus 14

37

Dari contoh di Analisis Regresi Bagian Pertama diperoleh data sebagai berikut: n=30, ΣX=1105, ΣY=1001, ΣXY=37094, ΣX2=41029, dan ΣY2=33599

Dengan menggunakan Rumus 11 diperoleh:

8760,0

1001335993011054102930

100111053709430

YYnXXn

YXXYnr

22

2222

38

Dengan menggunakan Rumus 12 diperoleh:

8760,0

9667,1981667,328

8333,223

yx

xyr

9667,19830

100133599

n

YYy

1667,32830

110541029

n

XXx

8333,22330

1001110537094

n

YXXYxy

22

2222

2222

39

Korelasi Multipel

Untuk persamaan regresi linier multipel:

Y = a + b1X1 + b2X2 + ….. + bkXk

Maka R ditentukan oleh rumus:

YYydan

,XXx,XXx,XXx:dengan

y

yxb.....yxbyxb

y

JKR

kkk222111

2kk2211

2reg

Rumus 16

40

Harga-harga yang perlu untuk menghitung R

Y X1 X2 y x1 x2 x1y x2y y2

23 10 7 6 4 3 24 18 36

7 2 3 -10 -4 -1 40 10 100

15 4 2 -2 -2 -2 4 4 4

17 6 4 0 0 0 0 0 0

23 8 6 6 2 2 12 12 36

22 7 5 5 1 1 5 5 25

10 4 3 -7 -2 -1 14 7 49

14 6 3 -3 0 -1 0 3 9

20 7 4 3 1 0 3 0 9

19 6 3 2 0 -1 0 -2 4

170 60 40       102 57 272

41

Berdasarkan perhitungan (lihat Analisis Regresi – Bagian Ketiga), diperoleh: b1 = 2,4911 dan b2 = – 0,4664; sedangkan dari tabel diperoleh Σx1y = 102; Σx2y = 57; dan Σy2 = 272

Dengan menggunakan Rumus 16, diperoleh:

9146,0272

5074,227

272

574664,01024911,2

y

yxbyxb

y

JKR

22211

2reg

42