5.sifatthermalkristal(kuliah)

5/17/2018 5.SifatThermalKristal(Kuliah) - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/5sifatthermalkristalkuliah 1/39



INDIKATOR

Mahasiswa harus dapat :

Menentukan rapat keadaan model Debye. Menghitung temperatur Debye.

Menghitung kapasitas panas fonon.

Menggunakan persamaan Debye untukkapasitas panas fonon.



Materi :

5.1. Kapasitas panas fonon

5.2. Rapat keadaan model Debye 5.3. Temperatur Debye

5.4. Persamaan Debye T3



TIK

Untuk menentukan : Capasitas panas jenis

phonon (Cv pada volume konstant) untuk

menurut model Eintein dan model Debye



Kapasitas Panas Phonon

Model Einstein

Model Debye



Pada BAB IV

jika dalam kristal terdapat phononma a a an terja i u ungan ispersi(diatomik)



Cabang optik

Tidak ada energi

yang melewati

k

2/1

21

112

mmC

2

2

m

c

1

2

m

c

Cabang akustik

0

a

a

Gambar tersebut menunjukkan cabang akustik dancabang optik dari hubungan dispersi untuk kisi lineardiatomik, menunjukkan limit frekuensi sudut pada k = 0

dan kmaks= π/a, dimana massa atom m1 < m2.

Daerah Brillouin I



Kapasitas panas phonon

Kapasitas panas dengan volume konstandidefinisikan sebagai

V

V

T

U C

dimana U adalah energi kristal dan T adalahtemperatur.



Apabila partikel phonon yang mempunyai

frequensi , maka menurut kuantum Planck

besarnya energi adalah

E = h = ћ .

Energi kristal untuk vektor panjang gelombang=

pk

p

pk pk U ,

3

1

,, 111

Artinya :

Setiap harga 1 k mempunyai 3 jenis polarisasi.



Secara umum energi kristal untuk satu kditulis :

pk

p

pk pk U ,,,

Sehingga :

Energi Total Kristal Untuk seluruh nilai k

k p

pk pk tot

p

k k p

pk pk tot

U

U U U

,,

,,



Dimana

kp probabilitas penempatan tingkat energi

phonon

Dari fungsi distribusi Planck didapatharga kp

1/,

T k pk

be

h

Dengan

kb = 1,381 . 10-23 joule/K



Distribusi Planck

Grafik Fungsi Distribusi Plank

Untuk T mendekati linier

0 kbT



• Suatu osilator harmonik yang sama padakeseimbangan termal memiliki perbandinganantara jumlah keadaan N pada keadaan kuantum

n + 1 ke keadaan kuantum n Sehingga

T k

n

n be N

N /1

pecahan dari total N pada keadaan kuantum nadalah

0

/

/

0 s

T k s

T k

s

s

n

b

b

e

e

N

N



• Maka

Kita misalkan

s

T k s

s

T k s

b

b

e

se

/

/

T k be x/ maka

241 x xd x sxdan x s s x s s s

Sehingga Persamaan menjadi

x

x x

x

x

x

x

x

x

sx

s

s

s

s

11

1.

1

1

1

12

2



• Kemudian ganti kembali harga x-nya danhasilnya subtitusikan ke persamaan energikristal, maka persamaannya menjadi

1

1

)1(

1

11 0////

/

T k T k T k T k

T k

bbbb

b

eeeee

e

x

x

1/ T k be

Maka Energi Kristal dapat dituliskan :

kp

T k

pk

pk

kp

pk

bkp

e

U

U

1

/

,

,,



Energi kristal berdasarkan fungsi distribusiplanck yaitu

kpT k

pk

bkpeU 1/

,

Kapasitas Panas pada Temperatur Tinggi ( T>>)

Dengan menggunakan deret taylor makapersamaan di atas menjadi

.....1

.....,1

/

32

T k

e

maka x x xe

b

T k

x

b hh



Sehingga U dapat dinyatakan

kp kp

bb

kp

kp

T k T k

U 1

1

11

kp

bT k U



Atom-atom kristal dianggap bergetar satu sama laindi sekitar titik setimbangnya secara bebas.

Getaran atomn a dian a harmonik sederhana

A. Sehingga Menurut Einsten

yang bebas sehingga mempunyai frekuensi sama

2

sehingga di dalam zat padat terdapat sejumlah N atom

maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik yang

bergetar bebas dengan frekuensi ().



Maka Kapasitas Panas

T Nk dT

d

T

U C bv 3

T Nk T k U b

kp

b 3

v

R adalah konstanta universal gas.

Jadi kapasitas panas phonon untuk temperaturtinggi menurut model Einstein adalah

R Nk C bV 33

bbV

Sesuai dengan eksperiment Dulong & Petit.



Kapasita Panas pada Temperaturrendah

1T k b

Untuk T<< maka

Bila kp = maka model Einstein 3N

jadi

1

3

T k b

e

N U

1

3

T k

v

be

N

dT

d

T

U C



T k

b

b

V be

T k

T k e

N C

hh

hh

22

1

1.3

2

3

1

.2

22

T k

T k

T k

N

b

b

b

e

e

12

.3

22

22

t K T k

T k

b bb

b

ee

e

T k

N

1

1.

3 22

T k b beT k

N

T k

b

vbe

T k

N C

.3 22

Sehingga Cv untuk Suhu rendah



B

E E

k

h maka jika

2/

/

2

2

2/

/

2

22

1

1

3

)1(.

3

T k

T k

Bv

T k

T k

b

v

b

b

b

b

e

e

T k Nk c

e

e

T k

N c

h

h

h

h

h

h

2/

/2

)1(3

T k

T k

E Bv

b

b

e

e

T Nk c

h

h

2/

/2

2/

/2

)1(3

)1(3

T k

T k

E v

T k

T k

E v

b

b

b

b

e

e

T R

c

ee

T Rc

h

h

h

h



Rcv 3

Gambar. Variasi temperature dari cv/3R untuk 1 mol intan

E T /

13

, R

cmakaT v

03

,0 R

cmakaT v



B. Model Debye

• Atom-atom dianggap sebagai osilator harmonis yang tak bebas

Gerakan atom-atom dipengaruhi oleh atom

tetangga

o Menyempurnakan Model Einstein terutama : T <<

untuk T<< maka << berada pada cabangakustik



Model Debye untuk Rapat Keadaan ( Density of

State) D(w) didefinisikan : jumlah keadaan (dN)

tiap rentang energi (dW)

)(

)()(

d

dN D d DdN )(

Energi total

k

p T k

kp

b

kp

e

U

1

dww D

e

U p

T k

kp

b

)(.

1



k

Rapat Keadaan dalam 3 dimensi

3

34 k V bola 3

3

23

4

L

k

N

dimana

32

L

Volume sel primitive kubus dengan sisi L

22 6

.

6

.

N N

2

2

2

Vk

dk

dN

k D

dw

dk Vk

dw

dk

dk

dN

dw

dN w D

2

2

sehingga 3 LV



3

22

2

1

2)(

v

V

v

Vk D

vd

dk vk

1

contoh

DW

d V U 2

3

=vk

k

2

2

6

k V N

d

e

vV

U D

bk

0

32

3

1

23

b T k v

e0

1



Sehingga limit dari integral diatas didapat : ωD

D D

D

vk

L

k

N

3

3

2

3

4

D

B

d

e

vV

T T

U c

k v

0

32

3

1

23h

h

d

edT

d

v

V c

D

Bk v

0

3

32

1

1

12

3h

h



dimana

2

2

1

1

1

1

1

T k e

k ee

dT

d

B

k

Bk k

B

B B

h

hh

h

d

e

e

k v

V c

D

B

B

k

k

B

v

0

2

4

232

2

1

1

2

3

h

h

h

d

T k e

k e

v

V c

D

B

B B

k

Bk v

0

2

23

32

1

1

1

12

3 h

h

hh



Misalkan :dx

k d

k d

dx

h

T xk

k x B

B

B

B h

hh

dx

k

e

eT xk

k v

V c B

k

x

x B

B

v

B

D

h

hh

h

0

2

4

232

2

12

3

4

dx

k

e

e x

k v

VT c B

k

x

x B

B

v

B

D

h

hh

h

0

2

4

232

42

12

3

dx

e

e x

v

T Vk c

B

D

k

x

x

Bv

h

h0

2

4

332

34

12

3



3

32

2

3

2

36

66 D

D

D NvV

vV

k V N

Bila didefinisikan : dan B

D D

k

h

dx

e

e x

v

k Nv

c

T

x

x B

D

v

D

/

0

2

4

332

343

32

12

63

h

sehingga



dx

e

e xT Nk c

T

x

x

D

Bv

D

/

0

2

4

33

34

1

9

h

dx

e

e x

v

T k Nvc

T

x

x

D

Bv

D

/

0

2

4

3332

3432

12

18

h

dx

e

e xT Nk c

T

x

x

D

Bv

D

/

0

2

43

19

D D

B

T

x

x

D

B Bv

k dx

e

e xT

k Nk c

D

1

19

/

0

2

43

3

hh



Kapasitas panas untuk temperatur tinggi

.....!4!2

2111

42

440

2

4

x x

x

ee

xe

e

xe x x x

x

2

2

4

!22

x x

x

Untuk daerah integrasi 0 ≤ x ≤ xD dengan xD << 1

D x3

1 D D X T

Jadi model Debye : untuk suhu tinggi : R Nk c Bv 33

D

Bv dx xk N c0

39Jadi :

3

2

3

3

19 x

T k N c

D

Bv

39

3

33

3 x

T

T k N c Bv



• Kapasitas panas untuk temperatur rendah

dx

e xeT k N c

D

x

x

x

D

Bv

0

4

3

19

1 D D X T

dx

e

xeT k N c

D x

x

x

D

Bv

0

43

1

9

dx xdU xU 34 4

11

1

x x

x

eV dx

e

edV

dU V UV UdV Integral parsial :

misalkan

maka

dx

e

x

e

xT Nk c

x x

D

Bv

0

343

1

4

1

9



0

3

4!341

4 dxe

x x

90

....3

1

2

1

1

14

4

444

Dimana

Dengan fungsi Zeta Reaman

0

1

1

4

T

e

T

e

x

T

xdan

maka3

T

3

4

5

12

T

NK C BV

v

90

.6.4943

T Nk c bv



3

3234 T

NK C B

V ......................................Hukum T3 Debye

34

v

5

4

3R

c

D

T atau

cv/3R

T/Θ

13

, R

cmakaT v

03

,0 R

cmakaT v



Perbandingan fungsi Einstein dan Debye

berdasarkan grafik :

DebyeCv

R

C V

3

Einstein

DT /



Latihan Soal

1.Jelaskan dan tuliskan persamaan tentang capasitaspanas jenis (Cv) phonon pada temperatur rendah

dan temperatur tinggi menurut model

a. Einstein

.

2. Jelaskan anggapan yang dipakai untuk model

Einstein dan Debye.

3.Pada keadaan suhu rendah, diketahui temperatur Debye untuk logam tembaga adalah 340K

Hitunglah kapasitas panas phonon pada suhu 4 K

dan 27 C



Latihan Soal :

1.Tentukan rapat keadaan model Debye.

2.Menghitung temperatur Debye.

3.Menghitung kapasitas panas fonon.4.Gunakan persamaan Debye untuk

kapasitas panas fonon.

5.sifatthermalkristal(kuliah)

Documents