5._analisis_tegangan

8/9/2019 5._Analisis_Tegangan

1/89

ANALISIS TEGANGAN

1


2/89

Mengapa mempelajaritegangan?

• Pada massa batuan terdapat kondisi teganganawal yang arus dimengerti! baik se"aralangsung maupun sebagai kondisi teganganyang diterapkan pada analisis dan desain#

• Selama dilakukan penggalian pada massabatuan kondisi tegangan akan beruba se"aradramatik karena batuan yang tadinyamengalami tegangan tela digali seinggategangan akan diredistribusikan#

• Tegangan merupakan besaran tensor dantensor tidak dijumpai dalam keidupanseari$ari#

©RKW 2


3/89

Skalar! %ektor! dan Tensor

• Skalar merupakan besaran yang anyamemiliki besar &"onto' suu! waktu!massa(#

• Vektor merupakan besaran yang memilikibesar dan ara &"onto' gaya! ke"epatan!per"epatan(

• Tensor merupakan besaran yang memiliki

besar dan ara serta bergantung kepadabidang tempat bekerjanya &"onto'tegangan! regangan! permeabilitas(#

©RKW 3


4/89

)e*nisi Tegangan

• +ntuk setiap ara OP

melalui O dapat dianggapbawa benda dapatdipotong melalui suatubidang ke"il A melalui O dan normal teradap OP#

• Permukaan pada sisi P disebut sisi positif !sedangkan pada sisi lainnyadisebut sisi negatif.

©RKW 4

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O dalam suatu

benda dapat diterangkan sebagai berikut


5/89

)e*nisi Tegangan &Lanjutan(

• E,ek dari gaya$gayainternal di dalam bendaadala sama dengan gayaF yang dialami benda

pada sisi positi,# -uga akanterdapat kopel yang dapatdibaikan karena A dianggap sangat ke"il#

• Nilai limit dari rasio F/ A dengan A mendekati nol

adala vektor tegangan pada titik O yang bekerjapada bidang dengannormal pada ara OP#

©RKW 5


6/89


7/89

0on.ensi Tanda

• Gaya$gaya yangdianggap positi, adalagaya$gaya tekan! yaitu

yang berara sepertiyang ditunjukkan oleF#

• 1al ini berlawanan

dengan kon.ensi yangdigunakan dalam teorielastisitas dan mekanikakontinu#

©RKW %


8/89

0on.ensi Tanda &Lanjutan(

• )alam mekanika batuan! akan lebimemudakan untuk menggunakan tegangantekan bertanda positif karena' & 0ondisi tegangan &tegangan in situ akibat

o.erburden! tekanan pemampatan dalamperalatan$peralatan! dan tekanan 2uida di dalampori( selalu berupa tegangan tekan#

& 0on.ensi ini digunakan juga di dalam mekanikatana dan geologi struktur#

& 3anyak problem dalam mekanika batuanmenyangkut gesekan pada permukaan dandalam kasus ini tegangan normal padapermukaan adala posti,#

©RKW '


9/89


• Peratikan sebuakubus dengan sisiparalel dengan sumbu4! y! dan 5#

• Tegangan$teganganyang bekerja pada sisikubus dapatdinyatakan dengan'

& Tiga tegangan normalσ44! σyy! dan σ55

& Enam tegangan geserτ4y! τy4! τy5! τ5y! τ54! dan τ45

©RKW (


10/89


• Arti subs"ript pada tegangan' & Subscript pertama menunjukkan arah dari

normal bidang dimana tegangan tersebut bekerja#

& Subscript kedua menunjukkan arah daritegangan tersebut#

• Catatan !ntuk tegangan normal" kadang#kadang han$a digunakan satu subscript.

•Sebagai syarat kesetimbangan rotasional! makasemua gaya yang bekerja pada sisi kubus arussetimbang! seingga' τ4y 6 τy4! τy5 6 τ5y! dan τ54 6τ45

©RKW 1


11/89


• 0on.ensi tanda untukkomponen tegangandapat didasarkanpada normal

kedalam &in%ardnormal( yaitunormal dari mukakubus $ang berarahke pusat kubus#

• Tegangan $angsearah dengannormal kedalamadalah positif.

©RKW 11


12/89


• Pada mukahorisontal bagianatas yang paraleldengan bidang 4$y!

normal kedalamberarah ke arahsumbu & negatif #

• Tegangan normal σ&& yang bekerja pada

muka ini searahdengan arah normalkedalam! seinggadianggap positif #

©RKW 12


13/89


14/89

Tegangan )alam )ua)imensi

• Peratikan sebuaelemen bujursangkardengan sisi yang

sangat ke"il padabidang 4$y dan tebal t#

• Elemen ini mengalami

tegangan normal σ4! σy dan tegangan geser τ4y 6 τy4#

©RKW 14


15/89

Tegangan )alam )ua )imensi&Lanjutan(

• Akan ditentukantegangan normal dantegangan geser yangbekerja pada sebuah

bidang yang normaln$amembentuk sudut θ terhadap sumbu ( dimana σ4 bekerja#

• Perlu digunakan prinsip

kesetimbangan gayadalam sebua segitigayang sangat ke"il dengantebal t#

©RKW 15


16/89


• Panjang sisisegitiga' & A3 6 a & /A 6 a sin θ & /3 6 a "os θ

• +ntuk memenuikondisikesetimbangan!

seluru gaya yangbekerja pada ara σ dan τ dalamkeadaan setimbang#

©RKW 1$


17/89


18/89


( ) ( )

sin2)*+s2)2

2

sin2)2

*+s2)

2

2

*+s2)

2

*+s2)12

sin2)*+s2)1

2

/y

y/y/

/y

yy//

y

/y/

τ+

−++=

τ+−++=

−+τ++=

©RKW 1'


19/89


)2+s*)sin)*+s

2)sin2

1 *+s)sin)

22 =−

=

©RKW 1(

,τ .

τ at . -σ/ sinθ a *+sθ t 0 τ/y *+sθ a *+sθ t

0 σy *+sθ a sinθ t - τy/ sinθ a sinθ t

τ . σy-σ/sinθ*+sθ 0 τ/y*+s2θ-sin26

ari trig+n+metri


20/89


*+s2)sin2)2

*+s2)sin2)2

/y

y/

/y

/y

τ+

−

−=τ

τ+

−=τ

©RKW 2


21/89


sin2)*+s2)2

2

/y

y/y/ τ+

−+

+=

*+s2)sin2)2

/y

y/ τ+

−−=τ

©RKW 21

#ersamaan & persamaan

7emungkinkan kita untuk menentukan tegangan normalσ dan tegangan geser τ pada setiap bidang yang

dide8inisikan +leh θ untuk setiap k+mbinasi nilai σx9 σy9

dan τxy:


22/89


• Persamaan$persamaanyang diturunkan untuk σ dan τ dapat juga diliatsebagai persamaan untuk

mengitung σ47 dan τ47y7 pada sebua sistemsumbu /!47!y7 yangmerupakan asil rotasisumbu /!4!y sebesar θ#

• Tegangan σy7 dapatdiitung denganmengganti θ denganθ89:/

©RKW 22


23/89


©RKW 23

;ehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu

menjadi

σ/


24/89


©RKW 24

engan menjumlahkan

σ/


25/89


( ) *+s2)sin2)2

1/yy/?y?/ τ+σ−σ−=τ

©RKW 25

@kspresi untuk tegangan geser tidak berubah

• !rah-arah dimana τ. disebut sumbu-sumbu utamaprincipal axes dan k+mp+nen-k+mp+nen tegangan

pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama

principal stresses dan din+tasikan dengan σ1 dan σ3:

• !kan terdapat satu nilai θ untuk mana tegangan gesertidak ada τ.:


26/89


y/

/y

y/

/y

/yy/

/yy/

/yy/

22tan

2

*+s2)

sin2)

*+s2)sin2)2

*+s2)sin2)2

*+s2)sin2)2

−τ

=θ

−

τ=

τ=

−

τ+

−−=

τ+

−−=τ

©RKW 2$


27/89


• Sudut ;θ merupakan sudut dari sumbu 4yang menunjukkan ara tegangan$tegangan utama σ


28/89


( ) ( )

( ) ( ) 2/y2

y/y/3

2/y

2y/y/1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ

©RKW 2'

Aunjukkan bahBa σ1 dan σ3 dapat dinyatakan sebagai


29/89

Lingkaran Mor

©RKW 2(

*+s2)sin2)2

sin2)*+s2)2

2

/y

y/

/y

y/y/

τ+

−−=τ

τ+

−+

+=

Cihat kembali persamaan untuk menghitung σ dan τ


30/89

Lingkaran Mor &Lanjutan(

©RKW 3

*+s2)sin2)2

33

sin2)*+s2)2

33

2

33

3

/y

y/

/y

y/y/

τ+

−−=τ

τ+

−

=

+

−

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan

menempatkan semua 2θ di sebelah kanan


31/89


©RKW 31

)2sin

2*+s2sin2

2

2)*+s2

2

sin2)*+s2)

2

2

22/y

/yy/

22

y/2

y/

2

/yy/

2y/

τ+

θθτ

−+

−=

+−

τ+

−=

+−

#engkuadratan persamaan yang mengandung σ menghasilkan


32/89


2)*+s

)2*+s)2sin2

2

)2sin2

*+s2)sin2)2

22/y

/yy/

22

y/2

2

/y

y/2

τ+

τ

−−

−=τ

τ+

−−=τ

©RKW 32

#engkuadratan persamaan yang mengandung τ menghasilkan


33/89


2/y

2y/2

2y/

2

2

τ+

−=τ+

+−

©RKW 33

#enjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan

Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?

PERSAMAA !"#$ARA


34/89


( ) ( ) 222 Rbya/ =−+−

©RKW 34

#ersamaan umum lingkaran berbentuk


35/89


2/y

2y/2

2y/

2

2

τ+

−=τ+

+−

2/y

2y/

y/

2

33 jari-=ari

92

33 pusatAitik

39sumbu;istem

τ+

−

+

τ

©RKW 35

#ersamaan

adalah Persamaan !ingkaran dengan


36/89


©RKW 3$


37/89


• +ntuk memplot tegangan geser padaLingkaran Mor! digunakan konvensi tandapositif dan negatif $ang han$a validuntuk keperluan presentasi gra)s#

• Tegangan geser diplot positif jika tegangantersebut akan memutar elemenberla%anan dengan ara putaran jarum jam#

• Tegangan geser diplot negatif jika tegangantersebut akan memutar elemen searah dengan ara putaran jarum jam#

©RKW 3%


38/89


©RKW 3'

0

00

0

0

0

-

-


39/89


©RKW 3(


40/89


• Lingkaran Mor merupakan metodegra*s sederana dan "epat yangdapat digunakan untuk'

& Menentukan besar tegangan normal dantegangan geser pada bidang tertentu#

& Menentukan besar dan ara tegangan$

tegangan utama#

©RKW 4


41/89

Latian <

• Tentukan tegangan normaldan tegangan geser &keara mana?( yang bekerja

pada 3idang • Tentukan besar dan ara

tegangan utama mayor&σ


42/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 42


43/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 43

Per%atikan &i'ang (

ormalnya bersu'ut 3)O

counter clock*ise 'ari ara% beker+anyaσ

x ,sumbu xA.A/

&ersu'ut 3)O counter clock*ise 'ari bi'ang tempat σx beker+a ,&i'ang A

PA0A !"#$ARA MOR 0"/$/R$A (O/.ER (!O($2"SE x 3)O 4 5)O


44/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 44

Per%atikan &i'ang (

ormalnya bersu'ut 5)O

clock*ise 'ari ara% beker+anyaσ

y ,sumbu yA.A/

&ersu'ut 5)O clock*ise 'ari bi'ang tempat σy beker+a ,&i'ang &

PA0A !"#$ARA MOR 0"/$/R$A (!O($2"SE x 5)O 4 1)O


45/89

Latian < &Lanjutan(

• -adi se"ara gra*s'σ 6 ;=#; MPaτ 6 =#9 MPa

• )engan menggunakan persamaan$persamaan

terdaulu'

*+s2)sin2)2

sin2)*+s2)2

2

/yy/

/y

y/y/

τ+

−−=τ

τ+

−+

+=

©RKW 45


46/89

Latian < &Lanjutan(

7#a23:1($5:1($414

sin$$*+s$2

$22

2

$22

sin2)*+s2)2

2

"

/y

y/y/

=++=

+

−+

+=

τ+

−

+

+

=

7#a3:(2'3$:(2'

*+s$$sin$2

$22

*+s2)sin2)2

""

/yy/

−=+−=τ

+

−−=τ

τ+

−−=τ

©RKW 4$


47/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 4%

;e*ara gra8is

σ . 23:2 7#a

τ. 3:( 7#a

engan rumus

σ . 23:1($ 7#a

τ. -3:(2' 7#a

O$

O$?

Latian < &Lanjutan(


48/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 4'

σ1 4 6 MPa

&eker+a pa'a bi'ang yang normalnya bersu'ut 1789O counter clock*ise'ari ara% beker+anya

σx ,sumbu x

A.A/

&eker+a pa'a bi'ang yang bersu'ut 1789O counter clock*ise 'ari bi'ang

tempat beker+anyaσx ,&i'ang A

Latian < &Lanjutan(


49/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 4(

σ3 4 6 MPa

&eker+a pa'a bi'ang yang normalnya bersu'ut 1)789O counter clock*ise'ari ara% beker+anya

σx ,sumbu x

A.A/

&eker+a pa'a bi'ang yang bersu'ut 1)789O counter clock*ise 'ari bi'ang

tempat beker+anyaσx ,&i'ang A


50/89

Latian < &Lanjutan(

• )engan menggunakan persamaan$persamaan terdaulu'

( ) ( )

( ) ( ) 2/y2

y/y/3

2/y

2y/y/1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ

©RKW 5


51/89

Latian < &Lanjutan(

( ) ( )

( ) ( )

7#a4

7#a24

114

$$22

4

1 $22

2

1

4

1

2

1

3

1

391

22391

2/y

2y/y/391

=σ

=σ

±=σ

+−±+=σ

τ+σ−σ±σ+σ=σ

©RKW 51


52/89

Latian < &Lanjutan(

( ) "2""2

"1

"1

1

1

y/

/y1

43:1' '%:3$1'2

43:1''%:3$2

1$

12tan2

$22

$2tan2

2tan2

=θ⇒+=θ

=θ⇒=θ

=θ−

=θ

−τ=θ

−

−

−

©RKW 52


53/89

Latian < &Lanjutan(

"23

"11

5:1' 7#a4

5:1'7#a24

gra8is;e*ara

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ"

23

"11

43:1' 7#a4

43:1'7#a24

rumusari

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ

©RKW 53

O$

O$


54/89

Latian < &Lanjutan(

©RKW 54


55/89

Tegangan dalam = )imensi

• Tegangan$tegangan yangbekerja pada sisi kubus dapatdinyatakan dengan' & Tiga tegangan normal σ44! σyy!

dan σ55

& Enam tegangan geser τ4y! τy4!τy5! τ5y! τ54! dan τ45

• Sebagai syaratkesetimbangan rotasional 'τ4y 6 τy4! τy5 6 τ5y! dan τ54 6 τ45

• Tegangan$tegangan yangbekerja "ukup dinyatakandengan enam komponen

©RKW 55


56/89

Tegangan dalam = )imensi &Lanjutan(

• -adi! kondisi tegangan pada sebua titikdapat dinyatakan dengan matrikstegangan @σ! sebagai berikut'

[ ]

στττστττσ

=

DyDD/

yDy/y

D//y/

:

©RKW 5$

T , i T


57/89

Trans,ormasi Tegangan

•Sumbu$sumbu re,erensi untukpenentuan kondisi tegangandapat dilakukan se"ara bebas#

• Sistem sumbu asal &4!y!5(

• Sistem sumbu baru &l!m!n(

• /rientasi dari sumbu tertentu!relati, teradap sumbu$sumbuasal dide*nsikan ole sebuavektor baris dari cosinusarah#

• Cosinus arah adala proyeksi

dari vektor satuan yangparalel dengan sala satusumbu baru &l" m" atau n(pada sala satu sumbu lama&(" $" atau &(#

©RKW 5%


58/89

Trans,ormasi Tegangan &Lanjutan(

• osinus ara sumbu l' l4 6 "os αl! ly 6 "os βl! l5 6 "os γ l

©RKW 5'


59/89


• osinus ara sumbu m' m4 6 "os αm! my 6 "os βm! m5 6"os γ m

©RKW 5(


60/89


• osinus ara sumbu n' n4 6 "os αn! ny 6 "os βn! n5 6"os γ n

©RKW $


61/89


• Tetraedron /A3 adalabagian dari kubus yangdigunakan untukmenentukan kondisitegangan sebelum ini#

• +ntuk kesetimbangan!material yang diilangkandigantikan ole gayapenyeimbang sebesar t perunit luas yang bekerja

pada A3#• Normal bidang A3! yaitu

/P mempunyai "osinusara &λ4! λy! dan λ5(#

©RKW $1


62/89


• -ika luas A3 adala A!maka proyeksi A3 padabidang$bidang dengannormal sumbu$sumbu 4! y!dan 5 adala'

& /A 6 A4 6 Aλ4 & /A3 6 Ay 6 Aλy & /3 6 A5 6 Aλ5

• Anggap komponen$komponen .ektor traksi t adala t4! ty! t5#

©RKW $2


63/89


64/89


• )engan melakukan al yangsama untuk sumbu$sumbu l!m! dan n diperole'

[ ] [ ] [ ]λ=

λλλ

στττστττσ

=

t

atau

t

t

t

D

y

/

DyDD/

yDy/y

D//y/

D

y

/

©RKW $4


65/89


• @t! @tC! @l! dan @lC adala.ektor$.ektor yangdinyatakan relati, teradapsistem koordinat 4!y!5 danl!m!n#

[ ] [ ] [ ]EEEt

atau

t

t

t

n

m

l

nmnnl

mnmlm

nllml

n

m

l

λ=

λλλ

στττστττσ

=

©RKW $5


66/89


• )ari dasar$dasar analisis .ektor &MA;


67/89


• Matriks @* adala matriks rotasi yang baris$barisnya dibentukole .ektor baris "osinus ara dari sumbu baru teradap sumbu

asal#

• Si,at kas matriks @* adala bawa in.ers$nya sama dengantranspose$nya! atau'

[ ] [ ]A1 RR =−

©RKW $%

• Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan tH dan t;H

serta

H dan

;H


68/89


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

diperluasyangbentukdalamatau

RREmaka

EEEt

karena

ERRRtREt

sehingga

ERRE

dan

EtRttREt

A

A

A

A

=

λ=

λ=λ==

λ=λ⇒λ=λ

=⇒=

©RKW $'


69/89


ττττττ

=

ττττττ

DDD

yyy

///

DyDD/

yDy/y

D//y/

Dy/

Dy/

Dy/

nmnnl

mnmlm

nllml

nml

nml

nml

nnn

mmm

lll

©RKW $(

=adi9 dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan

persamaan di atas9 maka k+mp+nen-k+mp+nen tegangan

akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan


70/89

Tegangan +tama

• Seperti tela diuraikan sebelumnya! bidang utama&principal plane( adala bidang dimana tidak terdapattegangan geser#

• Pada bidang ini anya bekerja tegangan normal yangmerupakan tegangan utama &principal stress(!

sedangkan normal dari bidang tersebut merupakan aradari sumbu utama &principal a(is(#

• 0arena terdapat tiga a"uan ara yang arusdiperitungkan! akan terdapat juga tiga sumbu utama.

• +adi" ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama$ang harus ditentukan untuk menggambarkankondisi tegangan di sebuah titik.

©RKW %


71/89

Tegangan +tama &Lanjutan(

• Misalkan bawa bidang A3 pada pembaasan terdaulumempunyai orientasi sedemikian rupa seingga resultantegangan yang bekerja padanya anya tegangan normal σp#

• 0omponen$komponen traksi pada bidang A3 adala'

λλλ

=

D

y

/

p

D

y

/

t

t

t

λλλ

στττστττσ

=

D

y

/

DyDD/

yDy/y

D//y/

D

y

/

t

t

t

©RKW %1

• #ada pembahasan terdahulu k+mp+nen-k+mp+nen traksi dapat

dihubungkan juga dengan k+ndisi tegangan dan +rientasi bidang


72/89


• )engan mengurangkan kedua persamaan di atas! diperole'

[ ]

33

33

33

D

y

/

pDyDD/

yDpy/y

D//yp/

=

λ

λλ

−ττ

τ−τττ−

©RKW %2

• #ersamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan

simultan yang h+m+gen dalam λ/9 λy9 dan λD:

•#ersamaan di atas akan mempunyai s+lusi n+n-triFial jikadeterminan dari matriks k+e8isien . 9 yang menghasilkan

persamaan pangkat tiga


73/89


( )( )2/yD2D/y2yD/D/yD/yDy/3

2D/

2yD

2/y/DDyy/2

Dy/1

3p22p13p

2>

>

>

dimana

>>>

τ+τ+τ−τττ+=τ+τ+τ−++=

++=

=−+−

©RKW %3

>1 . >nFariant tegangan Stress in2 . >nFariant tegangan Stress in3 . >nFariant tegangan Stress in


74/89


75/89


76/89


78/89


• Prosedur untuk mengitung tegangan$tegangan utama danorientasi dari sumbu utama se"ara sederana adalapenentuan nilai#nilai eigen &eigenvalues( dari matrikstegangan dan vektor eigen &eigenvector( dari setiap nilaieigen &Ingat' MA;


79/89


• 0arena penjumlaan komponen tegangan normal yang salingtegak lurus bersi,at invariant &ingat materi terdahulu(! maka'

Dy/321 ++=++

©RKW %(

• Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitunganbesar dan arah tegangan utama

Latian ;


80/89

Latian ;

σ4 6 #>;F MPa

σy 6 #=:> MPaσ5 6 #> MPa

τ4y 6


81/89

Latian ; &Lanjutan(

( )( ) 7#a:352>

7#a:155>

7#a:22>

2/yD

2D/y

2yD/D/yD/yDy/3

2D/

2yD

2/y/DDyy/2

Dy/1

=τ+τ+τ−τττ+=

=τ+τ+τ−++=

=++=

:35:155:22 p2p

3p =−+−

7#a:5

7#a:%7#a:1

3

2

1

===

©RKW '1

sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung teganganutama menjadi

yang menghasilkan

Latian ; &Lanjutan(


82/89

Latian ; &Lanjutan(

3':%

12:'5%:1

$(2:3422:1

12:'5%:1

:13':$422:1I

12:3134:2'5%:1

12:422:1

:1'$$:%'5%:1

12:422:1

J

'5%:%134:212:

12:$'2:3

:1'$$:%12:

12::13':$

!

yDD/

1y/y

1DD/

yD/y

1DyD

yD1y

−=−

−=

−

−=

ττ

−τ=

=−−

−=−−

−=−τ

ττ−=

=−

−=

−−

=−τ

τ−=

©RKW '2

7en*ari *+sinus arah σ1


83/89

Latian ; &Lanjutan(


84/89

Latian ; &Lanjutan(

2$':112:'5%:1

$(2:422:1

12:'5%:1

:%3':$422:1I

254:1'$$:'5%:112:422:1

:%'$$:%'5%:112:422:1

J

5((:'$$:12:

12:$(2:

:%'$$:%12:

12::%3':$

!

yDD/

2y/y

2DD/

yD/y

2DyD

yD2y

−=

−

−=

−

−=

ττ−τ

=

−=−−=−−−=−τ ττ−=

−=−

=−

−=

−ττ−

=

©RKW '4


Latian ; &Lanjutan(


85/89

Latian ; &Lanjutan(

:((((-:$%4-:$$$431'$: 2222D22y2

2/2 =++−=λ+λ+λ

( )

( )

( ) 132:4*+s$%4:''1:12$':1IJ !I

131:'*+s$$$4:''1:1254:1IJ !J

1':$*+s31'$:''1:15((:IJ ! !

212222D

212222y

212222/

−=−=++=λ

−=−=++=λ

−=−=++=λ

©RKW '5

#eriksa

Latian ; &Lanjutan(


86/89

Latian ; &Lanjutan(

44$:212:'5%:1

3':1422:1

12:'5%:1

:53':$422:1I

(':4'$$:2'5%:112:422:1

:5'$$:%'5%:112:422:1

J

%4(:3'$$:212:

12:3':1

:5'$$:%12:

12::53':$

!

yDD/

3y/y

3DD/

yD/y

3DyD

yD3y

=−

=−

−=

ττ−τ

=

−=−−=−−−=−τ ττ−=

==−

−=

−ττ−

=

©RKW '$


Latian ; &Lanjutan(


87/89

Latian ; &Lanjutan(

:((((:431-:$%52$1%%: 2222D32y3

2/3 =++=λ+λ+λ

( )

( )

( ) $$:2*+s431:$(:$44$:2IJ !I

132:5*+s$%52:$(:$(':4IJ !J

51:'*+s$1%%:$(:$%4(:3IJ ! !

212223D

212223y

212223/

==++=λ

−=−=++=λ

==++=λ

©RKW '%

#eriksa

L ti ; &L j t (


88/89

Latian ; &Lanjutan(

(:

$%4:$3%:$$$4:2%%':31'$:%24$:

2D1D2y1y2/1/

≈=−−+−+−

=λλ+λλ+λλ

1':

431:$%4:$%52:$$$4:$1%%:31'$:

3D2D3y2y3/2/

≈−=−+−−+−

=λλ+λλ+λλ

$:

$3%:431:2%%':$%52:%24$:$1%%:

1D3D1y3y1/3/

≈=−+−+

=λλ+λλ+λλ

©RKW ''

#eriksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama

#eriksa ketegaklurusan sumbu utama terhadap sumbu utama 3

#eriksa ketegaklurusan sumbu utama 3 terhadap sumbu utama 1


89/89

5._analisis_tegangan

Documents