INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIKOLEH :M. Taufiq Yuda Saputra

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KHAIRUNTERNATE

Formula Newton Cotes adalah skema integrasi numerik yang paling sering digunakan. Formula ini didasarkan pada penggantian suatu fungsi yang kompleks atau data tertabulasi dengan suatu fungsi hamparan yang mudah untuk diintegrasi.

Dengan fn(x) adalah suatu polinomial dalam bentuk :

INTEGRASI NUMERIK

Aturan ini cocok jika polinomial adalah orde satu.

Dan bila diselesaikan akan menghasilkan :

Contoh :Lakukan integrasi numerik utk :f(x) = 0,2 + 25x 200.x2 + 675.x3 900.x4 + 400.x5Dengan nilai a = 0 hingga b = 0,8. Nilai eksak integrasi = 1,6405331. ATURAN TRAPESIUM

Penyelesaian :Nilai fungsi :a = 0 f(a=0) = 0,2b = 0,8 f(b=0,8) = 0,232Maka nilai itegrasi numerik :

Tingkat kesalahan relatif :

Ada n+1 titik data (x0, x1, x2,.,xn), sehingga ada n pias yang mempunyai selang seragam :

Bentuk umum integral trapesium dengan banyak pias :

Contoh :Gunakan 2 pias aturan trapesium utk integrasi numerik :f(x) = 0,2 + 25x 200.x2 + 675.x3 900.x4 + 400.x5Dengan nilai a = 0 hingga b = 0,8. Nilai eksak integrasi = 1,640533

2. ATURAN TRAPESIUM BANYAK PIAS

Penyelesaian :n = 2, maka :

Nilai fungsi :a = 0 f(a=0) = 0,2X = 0,4 f(x=0,4) = 2,456b = 0,8 f(b=0,8) = 0,232Nilai integrasi numeriknya :

Tingkat kesalahan relatif :

Integrasi ini dihasilkan bila polinomial orde dua, dengan bentuk persamaan adalah :

Contoh :Gunakan aturan 1/3 Simpson utk integrasi numerik :f(x) = 0,2 + 25x 200.x2 + 675.x3 900.x4 + 400.x5Dengan nilai a = 0 , x = 0,4 hingga b = 0,8. Nilai eksak integrasi = 1,640533

3. ATURAN 1/3 SIMPSON

Penyelesaian :Nilai fungsi :a = 0 f(a=0) = 0,2X = 0,4 f(x=0,4) = 2,456b = 0,8 f(b=0,8) = 0,232Nilai integrasi numeriknya :

Tingkat kesalahan relatif :

Seperti halnya aturan trapesium, maka aturan simpson juga dapat diperbaiki akurasinya dengan membagi selang integrasi menjadi banyka pias yang sama lebar, yaitu :

Dengan bentuk persamaan adalah :

4. ATURAN 1/3 SIMPSON DENGAN BANYAK PIAS

Contoh :Gunakan aturan 1/3 Simpson dengan n = 4 utk integrasi numerik :f(x) = 0,2 + 25x 200.x2 + 675.x3 900.x4 + 400.x5Dengan nilai a = 0 hingga b = 0,8. Nilai eksak integrasi = 1,640533Penyelesaian :n = 4, maka :

Nilai fungsi :a = 0 f(a=0) = 0,2X1 = 0,2 f(x=0,2) = 1,288X2 = 0,4 f(x=0,4) = 2,456X3 = 0,6 f(x=0,6) = 3,464b = 0,8 f(b=0,8) = 0,232

Nilai integrasi numeriknya :

Tingkat kesalahan relatif :

Data yang diperoleh dari suatu percobaan, umumnya mempunyai selang data yang tidak sama. Salah satu cara utk mengevaluasi integrasinya adalah menggunakan aturan trapesium bagi tiap segmen dan kemudian menjumlahkan keseluruhannya.

Dengan hi = lebar dari setiap segmen

Contoh :Lakukan integrasi numerik bagi data seperti dalam tabel berikut :Nilai eksak integrasi = 1,6405335. INTEGRASI DENGAN LEBAR PIAS TIDAK SAMA

xInterval (h)f(x)xInterval (h)f(x)0,00-0,2000000,440,042,8429840,120,121,3097290,540,103,5072960,220,101,3052410,640,103,1819280,320,101,7433930,700,062,3630000,360,042,0749030,800,100,2320000,400,042,456000Nilai integrasi numeriknya :

Tingkat kesalahan relatif :

Berlanjut pertemuan berikutnya