44. analisis distribusi potensial elektrostatis pada

SEMINAR NASIONAL IISDM TEKNOLOGI NUKLIR

YOGY AKARTA, 21-22 DES EMBER 2006ISSN 1978-0176

ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATISPAD A ELEMEN TABUNG AKSELERATOR

ELEKTROSTATIS

DWI PRIYANTORO, BANGUN PRIBADI

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir - BA TANJl. Babarsari Kotak Pos 6101 YKBB Yogyakarta 55281Telepon 0274-484085,489716, Faksimili 0274-489715

Abstrak

ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATIS PADA ELEMEN TABUNG AKSELERATOR

ELEKTROSTATIS. Tabung akselerator elektrostatis disusun dari beberapa elektroda lingkar yang berjarijari sama, dengan pusat segaris. Elektroda-elektroda tersebut dihubungkan ke sumber tegangan bertingkat,yang makin ke belakang makin rendah. Elektroda pertama dihubungkan ke sumber tegangan tinggi, danelektroda terakhir ditanahkan. Analisis secara matematis telah dilakukan untuk mendapatkan distribusipotensial elektrostatis pada elemen elektroda tabung akselerator. Dari analisis diperoleh bahwa distribusipotensial elektrostatis pada elemen elektroda adalah konstan sebesar tegangan yang terpasang.

Kata-kata kunci: analisis distribusi potensial, tabung akselerator elektrostatis

Abstract

THE POTENTIAL DISTRIBUTION ANALYSIS OF ELECTROSTATIC POTENTIAL ON THE

ELEMENT OF ACCELERATOR TUBE. Tube of electrostatic accelerator is formed by some elements ofcircular electrode elements that have same radius which compiled by line. All elements of electrode areinterfaced to source of voltage by high rise. Thefirst electrode is interface to the sourceof high voltage, and

jointed last electrode to the ground. Mathematic analysis have been done to get distribution of electrostaticpotential in the electrode element of accelerator tube. Of the mathematic analyse obtained that distributionof electrostatic potential at electrode element is constant equal to attached voltage.

Keywords: distribution of electrostatic potential,Tube of electrostatic accelerator

adalah jumlah elektroda, atau dapat dinyatakansebagai Tabell.

Tabel 1. Besar tegangan yang dipasang padaelektroda tabung akselerator, VHVmenyatakan tegangan elektode dan mmenyatakan jumlah elektrode.

PENDAHULUAN

Tabung Akselerator tersusun daribeberapa elektroda lingkar berjari-jari sama,dengan pusat segaris. Gambar 1. menunjukkantabung akselerator dengan beberapa elektrodelingkar yang dihubungkan ke sumber tegangan.Elektrode pertama (paling depan) diberitegangan tinggi VHV, elektrode kedua diberitegangan VHJr-LW, elektrode ketiga diberi

tegangan Vmr-2L1V, demikian seterusnya, danelektrode terakhir (paling belakang) ditanahkan.

Besamya penurunan tegangan L1V adalahmemenuhi persamaan mL1 V = VHV dengan m

Ele i=

ktro 1da

Teg VH

ang van

i=2

VHV

1L1V

i=3

VHV

2L1V

i=(m-1) i=

m

VHV - (m-

0

2)LI V

Dwi Priyantoro dkk. 365 Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN


YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006ISSN 1978-0176

~f.!::.,_iJ>-A

kdHl Karena elemen tabung akseleratorberdimensi silinder maka dipilih sistemkoordinat silinder. Dalam sistem koordinat

silinder,

Dengan pemisahan variabel, danmemisalkan :

Persamaan (6) dibagi dengan Persamaan(5) akan diperoleh Persamaan (7).

Dengan menggabungkan Persamaan (1),(2), dan (3) diperoleh Persamaan (4).

1 8 ( 8V) 1 82V 82V-- r- +---+-=0 (4)r 8r 8r r2 8r/l 8Z2

memenuhi Persamaan (4), maka denganmemasukkan Persamaan (5) ke Persamaan (4)dapat diperoleh Persamaan (6) berikut ini,

C!>(¢)Z(z) d (r dR(r) )r dr dr

+ R(r)Z(z) d2C!> (6)r2 d¢2

+ R(r)C!>(¢) d2Z(z) = 0dz2

(2)

(5)

(3)

V = R(r) <P(¢) Z(z)

V= V(r, f/J,z)

2 1 8 ( 8) 1 82 82V = -;.8r r 8r + -;.z 8r/l + 8Z2

dengan r adalah jari-jari tabung, <I> adalah sudutazimuth, dan z adalah panjang elemen tabung.Dalam analisis ini diambil dua asumsi yaitupertama distribusi potensial elektrostatismerupakan fungsi sudut azimuth dan yangkedua tidak merupakan fungsi sudut azimuth.Distribusi potensial secara teknis atau secarapendekatan juga dilakukan.

Dari asumsi pertama, bahwa distribusipotensial dalam elemen elektroda tabungmerupakan fungsi dari r Gari-jari), <I> (sudutazimuth), dan z (panjang elemen tabung), makadistribusi potensial dapat dinyatakan sebagaiPersamaan (3).

Gambar 2. Dalam sistem koordinat silinder, posisisetiap titik pada tabung dapat dinyatakan sebagaiper, <1>, z). Potensial elektrostatis pada elektrodebentuk tabung memenubi persamaan Laplace

(Arfken & Weber, 1995; Jackson, 1999; Sneddon,1956).

Gambar 1. Tabung Akselerator Yang DilengkapiDengan HV

Pada setiap penampang elektrodabermuatan (Wangsness, 1979) terdapatpotensial elektrostatis, sehingga denganmenyusun sejumlah elektrode semacam ini,dapat digunakan untuk mempercepat gerakanpartikel bermuatan. ltulah sebabnya akseleratoryang demikian disebut akselerator elektrostatis.Dalam makalah ini dianalisis secara matematis,

distribusi potensial elektrostatis padapenampang elemen elekrode tabung akselerator.

Analisis Distribusi Potensial Elektrostatis

Distribusi potensial elektrostatis (V) yangtimbul dalam elektroda berbentuk tabung, (lihatGambar 2) memenuhi persamaan Laplace(Arfken & Weber, 1995; Jackson, 1999;Sneddon, 1956),

V2V = 0 (1)

dengan V2 adalah tanda Laplacian dan Vadalahdistribusi potensial dalam tabung.

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir -BA TAN 366 Dwi Priyantoro dkk.



1 d2R(r) 1 dR-----+---R(r) dr2 rR(r) dr

(7)

+ 1 d2<1>(¢)+_I_d2Z(z)=0r2<1>(¢) d¢2 Z(z) dz2

yang memiliki penyelesaian Persamaan (12)berikut.

<1>(¢)= c3 cos n¢ + c4 sin n¢ (12a)

(8)

Persamaan (7) memiliki suku pertamadan suku kedua mengandung variabel r, sukuketiga mengandung variabel r dan variabel ¢,dan suku keempat hanya mengandung variabelz saja.

Fungsi Z(z) dari Persamaan (7) dapatdiselesaikan (Artken & Weber, 1995; Sneddon,1956) dengan mengambil suku keempat sebagaisuatu konstanta, misalkan Il sehingga sukukeempat dapat ditulis sebagai Persamaan (8).

d2Z(z) -k2Z(z)=0dz2

yang merupakan persamaan diferensial linierorder dua, yang memiliki penyelesaian :

atau:

(12b)

dengan C3 dan C4 maupun a3 dan a4 adalahkonstanta sembarang yang ditentukan dengansyarat batas medium elemen tabung akselerator.

Untuk Persamaan (10) yang mengandungvariabel r dapat diselesaikan dengan

memasukkan konstanta Il dan _n2, selanjutnyadengan menata kembali sehingga diperolehPersamaan (13):

d2R(r) +.!. dR(r) + (e _n2)R(r) = 0 (13)dr r dr r2

Z(z) = C1 cosh kz + C2 sinh kz (9a)

atau:

Persamaan (13) merupakan persamaandiferensial Bessel yang mempunyaipenyelesaian (Arfken & Weber, 1995; Sneddon,1956) sebagai berikut :

(10)

dengan C5 dan C6 adalah suatu konstantasembarang yang nilainya tergantung syaratbatas, sedangkan In(kr) dan Nn(kr) berturutturut adalah :

V(r,¢,z) = [c1 coshkz + c2 sinhkz]

x [c3 cosn¢ + c4 sinn¢]

x [CSJn (kr) + c6Nn (kr)]

Fungsi In(kr) dikenal sebagai fungsiBessel jenis pertama dengan orde n dan Nn(kr)adalah fungsi Bessel jenis kedua dengan orde n.

Dari analisis tersebut maka Persamaan

(3) dapat dinyatakan sebagai Persamaan (16)berikut.

(15a)

(15b)

In(kr) =f (-1)' (kr J+2Ss=O s! (n+s)! 2

NnCkr) = (cosmr)Jn(kr)-J n(kr)sinmr

dengan Cj dan C2 maupun aj dan a2 adalahkonstanta sembarang yang nilainya tergantungpada syarat batas medium. Untuk persamaanyang mengandung variabel r dan ¢, dapatdipisahkan, dengan terlebih dahulumemasukkan konstanta k! ke Persamaan (7)dan dengan menyusun kembali sehinggadiperoleh Persamaan (10).

r2 d2R(r) r dR-----+----R(r) dr2 R(r) dr

+_I_d2<1>(¢) +e r2 =0<1>(¢) d¢2

yang mana suku pertama dan kedua hanyamerupakan fungsi r, dan suku ketiga hanyamerupakan fungsi ¢ saja. Fungsi tJJ( ¢) dariPersamaan (10) dapat diselesaikan (Arfken &Weber, 1995; Sneddon, 1956) denganmengambil suku ketiga sebagai suatu konstanta,

dimisalkan - n2, sehingga dapat diperolehPersamaan (11).




atau:

V(r,¢,z) = [al ekz +aZ e-kz]

x [a3 ein¢ + a4 e-in¢]

x [CSJn (kr) +c6Nn (kr)]

Dari asumsi kedua, bahwa distribusi

potensial dalam elemen tabung merupakanfungsi dari r (jari-jari) dan z (panjang elementabung), maka distribusi potensial dapatdinyatakan sebagai,

dengan n = 0, yang mempunyai penyelesaian(Arfken & Web err, 1995; Sneddon, 1956)seperti Persamaan (23).

dengan C7 dan Cs adalah suatu konstantasembarang yang nilainya tergantung pada syaratbatas, sedangkan Jo(kr) adalah fungsi Besseljenis pertama orde 0 dan No(kr) adalah fungsiBessel jenis kedua orde 0, yang berturut-turutadalah sebagai berikut :

Dengan menggabungkan Persamaan (1),(2), dan (17) diperoleh Persamaan (18):

1 a ( aVJ azv-- r- +--=0 (18)r ar ar azz

memenuhi Persamaan (18), maka denganmemasukkan Persamaan (19) ke Persamaan(18) dapat diperoleh Persamaan (20) berikut ini,

Z(z) [ cf R(r) +~ d1(r)] +R(r) d2Z(z) =0 (20)dl- r dr dl

v = R(r) Z(z)

V= V(r,z)

Denganmemisalkan :

pemisahan variabel,

(17)

dan

(19)

(24a)

(24b)

Dari analisis di atas maka penyelesaiandari Persamaan (18) dapat dinyatakan sebagaiPersamaan (25) :

V(r,z) = [cI coshkz + Cz sinhkz](25a)

x [c7JO (kr) + cgNO (kr)]

atau:

V(r,z) = [al ekz + az e-kz]

x [c7JO (kr) +cgNO (kr)]

yang apabila dibagi dengan Persamaan (19)akan diperoleh Persamaan (21) : PEMBAHASAN

yang merupakan persamaan diferensialBessel yang identik dengan Persamaan (13)

Pada Persamaan (21), suku pertama dansuku kedua hanya mengandung variabel r,sedang suku ketiga hanya memuat variabel zsaja.

Suku ketiga Persamaan (21) tetap dapatdipenuhi apabila suku tersebut merupakan suatukonstanta, misal k! yang sama sepertiPersamaan (8) dengan penyelesaian sepertiPersamaan (9). Selanjutnya Persamaan (21)dapat ditulis sebagai Persamaan (22) :

_1_dzR(r) +_I_dJ(r) + lC =0R(r) d? r R(r) dr

(26)

Hal ini tidak diizinkan, karena potensialpada sumbu tabung bemilai tertentu yang tidaksama dengan nol, atau :

(27)V(r)IHO * 0

Distribusi potensial dari elemen elektrodatabung akselerator dapat ditentukan dariPersamaan (16) maupun (25) denganmempertimbangkan syarat batas yang berlaku.Dalam pembahasan ini kedua hal terse but akanditelaah semua. Penentuan distribusi potensialsecara teknis atau secara pendekatan juga akandilakukan.

Pembahasan 1. Dari Persamaan (16)Fungsi Bessel In(kr), dengan n >0 dan rmendekati nol, akan bemilai nol, atau dapatdituliskan sebagai :

(21)

(22)

_1 cf~r)~ dl(r)~ cfZ(z)=0~r) dl r H.r) dr Z(z) dl

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN 368 Dwi Priyantoro dkk.

SEMINAR NASIONAL IISDM TEKNOLOGI NUKLIRYOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006ISSN 1978-0176

Oleh karena itu maka fungsi In(kr) hanyaberlaku untuk n = 0 di mana pada r-+ 0 fungsiJo(kr) bemilai satu, atau dapat ditulis sebagai :

(28)

Gambar 3. menunjukkan fungsi BesselIn(kr) dengan n = 0 dan 1(Kreyszig, 1983).Semua fungsi Bessel In(kr) dengan n :t= 0bemilai no! untuk r=0. Satu-satunya fungsiBessel yang berharga tidak no! pada r=O adalahJo (kr), yang bernilai satu.

Gambar 4.Fungsi Besseljenis kedua atau fungsiNeumann, Nn(kr) yang bemilai minus tak berhingga

pada r menuju nol, Nn(kr)lr->o= - ro(Kreyszig, 1983)

Dari pembahasan di atas, maka distribusipotensial pada elemen tabung akselerator dapatdituliskan sebagai berikut :

V(r,¢,z) =[c} coshkz+c2 sinhkz](30a)

x [c3 cosn¢ + c4 sin n¢][csJo (kr)]

1.4

0.6

0.2

r atau

V(r,¢,z) = [a} ekz + a2 e-kz]

x[a3 ein¢ +a4 e-in¢] [CS Jo(kr)](30b)

·0.2

'0.6

Gambar 3. Fungsi Bessel In(kr) dengan orde n=Odan 1.

Satu-satunya fungsi Bessel yang berhargatidak no! pada r=O adalah Jo (kr), yang mana

bemilai Jo(kr)lr--;()=l (Kreyszig, 1983)Dari Persamaan (16), Fungsi Nn(kr) yang

juga disebut fungsi Neumann, mempunyai nilaiminus tak terhingga pada r menuju no!, ataudapat ditulis sebagai :

(29)

Oleh karena potensial V pada sumbutabung bemilai tertentu, maka konstanta C6

harus bemilai no! atau crO. Gambar 4.

(Kreyszig, 1983) menunjukkan fungsiNeumann Nn(kr) yang memperlihatkan bahwauntuk r mendekati no!, fungsi Neumann bemilaiminus tak terhingga.

1.5

r0.5

ko

B 10

-0.5

-1

Persamaan (30) menunjukkan distribusipotensial pada elemen tabung akselerator, yangmerupakan fungsi dari arah radial r, sudutazimuth ¢, dan arah aksial z sepanjang sumbutabung.

Pembahasan 2. Dari Persamaan (25),Fungsi Bessel No(kr) akan bemilai minus takterhingga pada r menuju no!, atau dapat ditulis:

(31)

sedangkan potensial V pada sumbu tabungberharga tertentu, maka konstanta C8 haruslahbemilai nol. Maka penyelesaian dari Persamaan(25) adalah sebagai berikut :

V(r,z) = [c) coshkz+c2sinhkz] [c7 Jo(kr)] (32a)

atau:

V(r,z)=[a1 ekz +a2 e-kz] [c7 Jo(kr)] (32b)

Persamaan (32) menunjukkan distribusimuatan pada elemen tabung akselerator, yangmerupakan fungsi dari arah radial r dan arahaksial z sepanjang sumbu tabung.

Mengingat tebal dari satu elemen tabungakselerator relatif lebih kecil dari jari-jaritabung, maka pada Persamaan (32) dapatditerapkan syarat batas bahwa pada saat zmendekati tak berhingga, nilai potensial V(r, z)pada perpanjangan sumbu tabung haruslahsama dengan no!, atau dapat ditulis :

-1.5 V(O, z)1 z __ = 0 (33)

Dwi Priyantoro dkk. 369 Sekolah Tinggi Tekno!ogi Nuklir-BATAN

SEMINAR NASIONAL II

SDM TEKNOLOGI NUKLIRYOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006

ISSN 1978-0176

VCr, ¢, z) = [c, coshkz + Cz sinhkz]

x [c3 cos n¢ + c4 sin n¢][csJo(kr)]

Jadi secara teknis, distribusi potensialpada penampang elemen elektroda tabungakselerator, adalah bernilai konstan sebesar

tegangan tinggi yang dipasang pada elektrodatersebut.

KESIMPULAN :

Dari pembahasan 1, 2, dan 3, dapatdiperoleh 3 kesimpulan tentang distribusipotensial elektrostatis dari elemen elektrodatabung akselerator, yaitu :

1. Bila V=V(r¢,z), maka distribusipotensial pada elemen elektroda tabungakselerator secara umum adalah:

yang mengharuskan konstanta a1 dariPersamaan (32) bernilai nol, sehingga diperolehpenyelesaian seperti pada Persamaan (34).

V(r,z) = C e-kz Jo(kr) (34)

dengan c=a2xC7, adalah suatu konstantasembarang. Persamaan (34) mendiskripsikandistribusi potensial elektrostatis pada satuelemen dari tabung akselerator.

Pembahasan 3. Tabung akseleratorelektrostatis yang tersusun atas beberapalempengan elektroda lingkar yang sejajardengan pusat segaris dan dengan radius yangsarna, merupakan gabungan dari potensialelektrostatis masing-masing elektrodapenyusunnya. Potensial elektrostatis dalam satuelemen, (Priyantoro, D., 2004) dapat didekatioleh konduktor bentuk cincin, dengan potensialseperti pada Persamaan (35) berikut ini.

VCr) = VHV (39)

dengan Q adalah muatan cincin, b adalah jarijari cincin, Eo menunjukkan permitivitas, danVHV adalah tegangan yang dipasang padaelemen tersebut. Dengan menggabungkanPersamaan (35) dan persaman (34) makadidapat konstanta c seperti pada Persamaan (36)berikut ini.

1 Q

V(r,z)lr=o = 41f&0 b (35a)

(35b)

atau:

V(r,¢,z)=[a, ekz +az e-kz]

[ in¢ -in¢] [ J (kr)]x a3 e + a4 e Cs 0

2. Bila terjadi simetri pada sumbu azimuthatau V=V(r,z), maka distribusi potensialpada elemen elektroda tabungakselerator adalah:

V(r,z) =[c, coshkz+czsinhkz] [c7 Jo(kr)]

atau:

(36)

Dengan memasukkan Persamaan (36) kePersamaan (34) maka distribusi potensial padaelemen elektroda tabung akselerator menjadiseperti Persamaan (37).

(37)

Untuk keperluan teknis, dapat diterapkansyarat batas bahwa potensial pada dindingelektroda adalah sebesar tegangan tinggi yang

dipasang pada elektroda tersebut, atau dapatditulis :

(38)

sehingga didapatkan konstanta k bernilai noldan diperoleh Persamaan (39) berikut.

V(r,z) = [a, ekz +az e-kz] [c7 Jo(kr)]

3. Secara pendekatan, distribusi potensialpada elemen elektroda tabungakselerator adalah sebesar tegangantinggi yang dipasang pada elementersebut, atau :

VCr) = VHV

SARAN

Untuk mendapatkan konstanta-konstantasembarang pada kesimpulan (1) dan (2) perludilakukan percobaan langsung.

DAFTAR PUST AKA

4. ARFKEN, G. B. and WEBER, H. J., 1995,"Mathematical Methods For Physicists",

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN 370 Dwi Priyantoro dkk.

SEMINAR NASIONAL IISDM TEKNOLOGI NUKLIRYOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006ISSN 1978-0176

Fourth edition, Academic Press, Inc.California, USA.

5. HAYT W. H. Jr., 1993, "ElektromagnetikaTeknologi", (alih bahasa oleh The HouwLiong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 1,Penerbit Erlangga Jakarta.

6. HAYT W. H. Jr., 1989, "ElektromagnetikaTeknologi", (alih bahasa oleh The HouwLiong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 2,Penerbit Erlangga Jakarta.

7. JACKSON, J. D., 1999, "ClassicalElectrodynamics", Third edition, JohnWiley and Sons, Inc.

8. KREYSZIG, E., 1983, "Advanced EngineeringMathematics", Fifth edition, John Wileyand Sons, Inc.

9. PRIYANTORO, D., 2004, "PenentuanTegangan Optimal Akselerator Ion",Thesis, Sekolah PascasaIjana UGM,Yogyakarta.

10. SNEDDON, I. N., 1956, "Specials Functions ofMathematical Physics and Chemistry",First edition, Oliver and Boyd, Edinburgh.

11. WANGSNESS, R. K., 1979, "ElectromagneticFields", John Wiley & Sons, Inc.

TANYAJAWAB

Pertanyaan :I. Bagairnana/apa akibatnya jika distribusi

potensialnya tidak sarna? (Sri Mulyono)2. Aplikasi dari hasil penelitian ini ?

(Wijiyono)

Jawaban :

1. Tinjauan hanya dari segi analsis saja.2. Secara teoritis ada percepatan juga rnedan

listrik sehingga penelitian ini untukrnenentukan V. dirnana

a. E = -v V (r, <1>, z)

Saran:

Perlu diaplikasikan ke penelitian.


44. analisis distribusi potensial elektrostatis pada

Documents