4. tempat kedudukan akar rev

1 |4. Tempat Kedudukan Akar

MODUL AJAR

4. TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

MK. Sistem Pengendalian Otomatis 4 sks – Teknik Fisika ITS

Kuliah Daring Terbuka dan Terpadu

pditt.belajar.kemdikbud.go.id


4. TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

Gambaran Umum Pokok Bahasan Perancangan sistem pengendalian

modern pada awalnya dilakukan dengan

menggunakan metode tempat kedudukan

akar (root locus), dan analisa tanggapan

frekwensi (diagram bode, diagram polar,

diagram Nyquist). Metode ini bisa

digunakan pada ranah waktu dan

frekwensi. Namun metode-metode ini

sangat sulit digunakan untuk sistem-

sistem non-linier. Sistem-sistem non-linier

perlu dilinierisasi sebelum digunakan

metode-metode tersebut. Bab ini akan

membahas secara rinci, bagaimana cara

kerja metode-metode tersebut untuk

menganalisis kestabilan sistem

pengendalian. Contoh-contoh perancangan

kestabilan sistem pengendalian juga

biberikan dengan bantuan program

MATLAB. Bantuan program MATLAB ini

disajikan dengan tujuan untuk dapat

digunakan sebagai pembelajaran

interaktif.

1. Diagram Tempat Kedudukan Akar,

2. Kestabilan sistem berdasarkan tempat

kedudukan akar,

Tujuan Pembelajaran 1. Mahasiswa mampu melakukan ploting tempat kedudukan akar dari sebuah sistem

dinamik

2. Mampu menjelaskan karakteristik sistem berdasarkan letak kedudukan akar,

3. Mampu menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode tempat kedudukan

akar (root locus)

4. Mampu menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan

menggunakan metode letak kedudukan akar


4.1 Pengantar

Masalah terpenting dalam sistem pengendalian linier adalah berhubungan dengan kestabilan.

Kestabilan merupakan suatu kondisi yang diinginkan oleh proses, dan kondisi ini dapat diperoleh

melalui suatu tindakan dalam perencanaan sistem pengendalian. Konsep kestabilan, dapat dijelaskan

melalui pandangan kita terhadap sebuah kerucut lingkaran yang diletakkan tegak diatas bidang

datar. Bila kerucut tersebut berdiri dengan dasarnya di bawah, kemudian puncaknya sedikit

digerakkan, maka kerucut tersebut akan segera kembali ke keadaan setimbang. Tetapi sebaliknya

bila kerucut tersebut diletakkan di atas sisi (selimutnya), maka sedikit gerakan akan mengakibatkan

ia menggelinding, dan tidak ada kecenderungan untuk meninggalkan keadaan yang bersentuhan

antara sisi dan bidang datarnya. Inilah kondisi yang dikatakan tidak stabil. Dalam kondisi seperti apa

sistem tidak stabil? Apabila tidak stabil apa yang harus distabilkan dalam sistem itu?

Setelah membaca pokok bahasan ini, pembelajar akan:

Mampu menganalisa ketabilan sebuah sistem berdasarkan letak dan kedudukan akar dari sistem

tersebut, yaitu dengan:

1. Metode tempat kedudukan akar (root locus) dalam bentuk fungsi alih sebuah

sistem

2. Menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan

metode letak kedudukan akar.

Capaian Pembelajaran:

Capaian pembelajaran untuk pokok bahasan ini:

1. Mahasiswa mampu melakukan ploting tempat kedudukan akar dari sebuah sistem

dinamik

2. Mampu menjelaskan karakteristik sistem berdasarkan letak kedudukan akar,

3. Mampu menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode tempat kedudukan

akar (root locus)

4. Mampu menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan

menggunakan metode letak kedudukan akar

Kerangka pembahasan:

Kerangka pembahasan dari materi ini:

1. Pengantar

2. Diagram Tempat Kedudukan Akar

3. Analisa sistem berdasar Tempat Kedudukan Akar

4. Ringkasan


4.1.1 Prasyarat

Prasyarat untuk membaca modul ini adalah:

1. Pemodelan Sistem Dinamik

2. Sistem open loop

3. Sistem close loop

4.1.2 Peta Konsep

Peta konsep pada Pokok Bahasan ini, dinyatakan dalam bentuk gambar berikut:

Gambar 4.1 Peta Konsep Pokok Bahasan “Perancangan sistem Pengendalian dengan metode

Konvensional

Suatu sistem pengendalian dikatakan stabil jika dan hanya jika semua kutub loop tertutup

berada pada setengah sebelah kiri bidang s.

Dalam pernyataan tersebut di atas, apakah semua sistem / plant berproses menghasilkan produk

juga dalam kondisi yang dikatakan stabil? Pernyataan ini perlu dianalisa dari model matematika

proses / plant tersebut. Apabila tidak stabil, maka apa perlakuan kita terhadap sistem / plant?

Pada sub pokok bahasan ini akan membahas strategi dalam merancang sistem pengendali yang

diterapkan pada sistem / plant agar stabil dan mampu menghasilkan produk seperti yang

diharapkan.

Misalkan “kiln” di pabrik semen, yang membakar bahan mentah semen menjadi terak semen. Kiln

akan menghasil terak semen pada suhu, tekanan tertentu. Apabila suhu terlalu tinggi, maka produk

terak semen akan “gosong”, bila suhu terlalu rendah, maka terak emen belum matang. Pada kondisi


ini maka perlu dirancang suatu kendali terhadap suhu di dalam ruang kiln. Gambar 1-2 di bawah

merupakan ruang di dalam kiln. Pembaran yang terjadi akibat api yang disemburkan pada material

semen.

Sistem kendali yang sesuai dengan plant seperti ini, dapat diperoleh dengan melihat letak kedudukan

akar dari plant. Dan kemudian menentukan di titik mana dalam bidang polar, yang menyebabkan

nilai gain kendali K akan berakibat pada kondisi stabil kritis atau tidak stabil.

Gambar 4.2 Penampakan dalam sebuah kiln (Currey, 2013)

Gambar 4.3 Diagram skematik kiln pada pabrik semen (Currey, 2013)

Diagram skematik Gambar 4-3 di atas menunjukkan skema proses yang terjadi pada kiln. Material

mentah dialirkan dari atas melalui pemanas awal (preheater). Selanjutnya keluar dari preheater

akan mengalami proses di kiln. Dan terakhir semen yang telah sesuai kamatangannya akan

didinginkan pada “Clinker Cooler”.

Semua proses yang terjadi pada masing – masing sub sistem di atas, yitu di preheater, di jlin dan

cooler, perlu dilakukan pengendalian terhadap variable yang berdampak pada kualitas produk

semen. Dalam hal ini adalah pengendalian terhadap suhu. Suhu pada masing – masing sub sistem

harus pada kondisi “Stabil” – sesuai untuk proses pemasakan bahan semen dan sesuai untuk

pendinginan bahan semen yang sudah jadi.


Konsep kestabilan yang dituliskan di atas, merupakan salah satu cara dari analisa model matematika

fungsi respon sistem. Karena sebagian besar sistem loop tertutup linier mempunyai fungsi alih loop

tertutup dalam bentuk yang ditunjukkan pada persamaan (4.1),

)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

1

1

sA

sB

asasasa

bsbsbsb

sR

sC

nn

nn

o

mm

mm

o

…(4-1)

dengan a dan b adalah tetapan yang diperoleh dari parameter sistem. Dan m, n, orde dari polinomial.

Pertama-tama kita harus menfaktorkan polinomial A(s) untuk memperoleh kutup loop tertutup.

Proses ini sangat memakan waktu untuk polinomial derajad dua atau lebih. Suatu kriteria sederhana

yang disebut kriteria Routh memungkinkan kita untuk menentukan jumlah kutup loop tertutup yang

berada pada sebelah kanan bidang s tanpa harus menfaktorkan polinomial.

4.2 Konsep Letak Kedudukan Akar. Pengantar

Suatu metode sederhana untuk mencari akar-akar persamaan karakteristik telah ditemukan

oleh W.R. Even dan digunakan secara luas dalam teknik pengendalian. Metode ini disebut dengan

tempat kedudukan akar (Root-Locus), merupakan suatu metode yang menggambarkan akar-akar

persamaan karakteristik untuk semua nilai dari suatu parameter sistem. Akar-akar untuk suatu nilai

tertentu dari parameter ini selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa

parameter ini biasanya adalah penguatan, tetapi variabel lain dari fungsi alih loop terbuka juga dapat

digunakan. Jika tidak disebutkan, maka dianggap bahwa penguatan fungsi alih loop terbuka

merupakan parameter yang akan diubah di seluruh daerah harganya, yaitu dari nol sampai

takterhingga. Perhatikan blok diagram Gambar 4.4 berikut,

Gambar 4.4 Blok diagram sistem pengendalian secara umum

Fungsi alih loop tertutup sistem,

)()(1

)(

)(

)()(

sHsKG

sKG

sR

sCsT

…(4-2)

fungsi alih loop terbuka sistem,

)())((

)())(()()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsHsKG

…(4-3)

Dimana zi adalah zero dan pi adalah pole, m adalah jumlah zero yang berhingga dan n jumlah pole

berhingga dari fungsi alih loop. Jika n>m, dimana ada (n-m) zero pada takberhingga.

G

(H

(

R

(

C

(


Contoh Soal 4-1,

)4)(3(

)2)(2(2

1

24142

4)(

2

2

ss

jsjs

ss

ssT

Penentuan nilai zero dan pole, adalah:

2

1

,4,3,2,2 2121

k

ppjzjz

Dimana k = adalah gain

Gambar 4.5 Plot letak akar (letak pole dan zero) pada contoh soal 4.1

Contoh Soal 4-2 Berikut ini adalah sebuah sistem loop tertutup

Gambar 4.6 Blok diagram sistem untuk Contoh Soal 4-2

Pada gambar di atas, terlihat bahwa plant mempunyai fungs alih:

Dan letak akar – akar nya dinyatakan dalam gambar berikut ini:

*


Gambar 4.7 Plot letak akar – akar dari Contoh Soal 4-2

Letak akar – akar / pole untuk sistem loop tertutup berada pada s = 0 dan s = -2. Apabila nilai gain K

naik maka letak akar – akar sistem loop tertutup akan naik menuju ke sumbu imajiner +~ dan -~.

4.3 Prosedur dalam Ploting Letak Kedudukan Akar

Persamaan karakteristik fungsi alih loop tertutup adalah,

0)()(1 shsKG atau Kzszszs

pspsps

m

n

)())((

)())((

21

21

…(4-4)

dari persamaan 4.5, untuk suatu titik dalam bidang-s, tempat kedudukan akar untuk nilai 0<K< bila

memenuhi dua kondisi berikut,

berhingga zero dari vektor panjangPerkalian

berhingga pole dari vektor panjangPerkalian K …(4-5)

dan

,5,3,1

)180()()( polesudut )()( zerosudut 0

r

rsHsGsHsG …(4-6)

Langkah-langkah membuat tempat kedudukan

akar :


(1). Jumlah kedudukan (loci). Untuk n>m, jumlah cabang kedudukan tempat kedudukan akar,

adalah sama dengan jumlah pole fungsi alih loop terbuka G(s)H(s). Kedudukan akar adalah simetris

terhadap sumbu real pada bidang-s.

(2). Titik awal dan titik akhir. Jika K dinaikkan dari nol menuju ke takberhingga, kedudukan

awal pole loop tertutup bergerak dari pole loop terbuka (K=0), dan berhenti pada zero loop terbuka

(K). Zero terbentang kearah tempat kedudukan akar- nya, dan pole terbentang kearah

sebaliknya.

(3). Segmen tempat kedudukan akar dalam sumbu real. Untuk K>0, tempat kedudukan akar

terjadi pada suatu segmen tertentu pada sumbu real, jika dan hanya jika ada selisih jumlah pole dan

zero dari fungsi alih loop terbuka yang terebah disisi kanan segmen.

(4). Interseksi sumbu imajiner. Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, tentukan titik

kedudukan akar yang terletak di sumbu-j. Harga K dan dapat diperoleh dari array Routh.

(5). Asymptot (Untuk nm). Untuk sebagian besar sistem perhatikan, n >m. Untuk n>m ada (n-

m) zero pada takberhingga, untuk 0<K<, akhir tempat kedudukan akar (n-m) pada zero

takberhingga.

Titik-titik tempat kedudukan akar terhadap garis lurus dengan sudut sebagi berikut,

,5,3,1180

rmn

r o

…(4-7)

karena s mendekati takberhingga. Berikut adalah tabel sudut asimtotik,

n-m

(selisih

jumlah

pole –

jumlah

zero)

Sudut

Asimtotik

0

1

2

3

4

Tidak-

asimtot

180o

90o

180o,

60o

45o,

135o

Garis lurus menyebar dari suatu titik s pada sumbu real dinyatakan dengan,

mn

sHsGzerosHsGpolea

)()()()(

…(4-8)

(6). Sudut berangkat dan sudut datang. Anggap titik s sebarang didekat pole (untuk

berangkat) atau zero (untuk datang) dan kemudian gunakan persamaan sudut sebagai berikut,


)180(

)180(

0

0

r

r

i

zi

i

pia

i

pi

i

zid

…(4-9)

(7). Titik breakaway dan titik re-entry. Titik-titik pada sumbu real dimana dua atau lebih

cabang tempat kedudukan akar berangkat dari atau datang pada sumbu real. Titik breakaway dapat

ditentukan dengan pernyataan persamaan karakteristik untuk gain K sebagai fungsi s, K=-

1/(G(s)H(s)), dan kemudian menyelesaikan titik breakaway s dari,

0)(

Bssds

sdK …(4-10)

akar-akar real persamaan ini, yang sesuai dengan langkah (3), adalah titik breakaway atau re-entry.

4.4 Analisa Kestabilan Berdasarkan Letak Kedudukan Akar

Kedudukan akar-akar karakteristik dari persamaan karakteristik suatu sistem dalam bidang-

s komplek (s = + j.), bisa digunakan untuk mengetahui apakah suatu sistem stabil atau tidak stabil.

Gambar dibawah menunjukan daerah kestabilan sistem berdasarkan tempat kedudukan akar-akar.

Gambar 4.8 Pembagian daerah dalam bidang komplek

Contoh Soal 4-3:

Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

ss

K

ss

KsHsG

4)4()()(

2

Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.

Jawab :

Kedudukan akar pada sumbu real disebelah kiri dari selisih pole berhingga dan zero.

(n-m) = 2 zero pada tak berhingga.

Dua asimtotik dengan sudut 90o.

Irisan asimtotik pada sumbu real,

D

a

e

r

D

a

e

r

D

a

e

D

a

e


22

04

a

Titik breakaway pada sumbu real diberikan oleh,

20)4( 2 sssds

d

ds

dK

Program MATLAB :

Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K. clg

axis([-6,0,-3,3])

axis('square')

K=0:.01:12;

num=1;

den=[1 4 0];

r=rlocus(num, den,K);

plot(r,'.')

text(-.05,-.10,'x'),text(-4.05,-.10,'x')

grid

Hasil ploting tempat kedudukan akar-akar,

Gambar 4.9 Ploting root locus soal contoh 6

Contoh Soal 4-4 :


12198)4)(3)(1(

)()(23

sss

K

sss

KsHsG


Jawab :



(n-m) = 3 zero pada takberhingga.

Dua asimtotik dengan sudut 180o, 60o.


66,23

134

a


0)12198( 23 sssds

d

ds

dK

akar persamaan ini adalah s1=-3,55 , s2=-1,78, tetapi s1=-3,55 adalah bukan bagian dari

kedudukan akar untuk K>0, maka titik breakaway adalah pada s = -1,78.

Array Routh yang menghasilkan kedudukan pada sumbu j adalah,

08

140128

191

1

2

3

Ks

Ks

s

140

36,4

K

js

Program MATLAB :

Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K. clg

axis([-10,0,-5,5])

axis('square')

K1=10:2:140;

num=1;

den=[1 8 19 12];

r1=rlocus(num, den,K1);

K2=0:.05:10;


r=[r1;r2];

K=[K1,K2];

plot(r,'.')

text(-1.07,-.15,'x'),text(-3.07,-.15,'x'),text(-

4.07,-.15,'x')

hold

m = tan(pi/3);

c=m*8/3;

x=-8/3:.1:0;

y1=m*x + c;

y2=-m*x - c;

plot(x,y1,x,y2)

grid

hold off

Ploting hasil program diatas adalah sebagai berikut,


Gambar 4.10 Plot root locus contoh soal 7

Perhatikan gambar di atas, letak kedudukan akar saat nilai K > 0, berada pada daerah yang ditandai

plot akar warna biru, hijau dan merah. Tititk pada s = -2,66 dinamakan titik breakaway. Dan titik

pada s = -1,78 dinamakan titik asimptotik. Titik breakaway merupakan titik dimana garis asimpot

akan memotong di sumbu real. Sedangkan titik asimptotik merupakan titik dimana letak kedudukan

akar tepat memotong di sumbu real.

Contoh Soal 4-5 :


13197)23)(23)(1(

)()(23

sss

K

jsjss

KsHsG


Jawab :


(n-m) = 3 zero pada takberhingga.

Dua asimtotik dengan sudut 180o, 60o.


33,23

133

a


-10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

xxx

-

2

-1,78


0)13197( 23 sssds

d

ds

dK

akar persamaan ini adalah s1, s2 = -2,33 j0,94, yang menunjukan bukan interseksi dengan

sumbu real.

Sudut pergi dari pole komplek adalah d1= 0-(135+90)+180=-45o, dan

d2=0-(45+90)+180=45o.

Array Routh yang menghasilkan kedudukan pada sumbu j adalah,

07

120137

191

1

2

3

Ks

Ks

s

120

36,4

K

js

Program MATLAB :

Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K.

axis([-10,0,-5,5])

axis('square')

K1=10:1:120;

num=1;

den=[1 7 19 13];


K2=0:.05:10;


r=[r1;r2];

k=[K1,K2];

x=-7/3:.1:0;

m=tan(pi/3);

c=m*7/3

y1=m*x + c;

y2=-m*x -c;

plot(r,'.')

text(-1.1,-.15,'x'),text(-3.1,1.83,'x'),text(-3.1,-

2.18,'x')

hold

plot(x,y1,x,y2)

grid

hold off

Ploting hasil program diatas adalah sebagai berikut,


Gambar 4.11 Plot root locus contoh soal 8

Latihan Soal 4-1:


10167)13)(13)(1(

)()(23

sss

K

jsjss

KsHsG

a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.

b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Latihan Soal 4-2 :


34

)5(

)3)(1(

)5()()(

2

ss

sK

ss

sKsHsG


b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Latihan Soal 4-3:


182710

)5(

)6)(3)(1(

)5()()(

23

sss

sK

sss

sKsHsG


Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

x

x

4. tempat kedudukan akar rev

Documents