tempat kedudukan akar
TRANSCRIPT
Pendahuluan
Tempat Kedudukan Akar (TKA) Metode menetukan kestabilan sistem.
TKA adalah penggambaran posisi-posisi akar-akar sistem pada bidang-s dengan parameter dari 0 hingga tak hingga.
Parameter tersebut pada umumnya adalah nilai gain K pada sistem umpan tertutup
TKA memberikan penjelasan secara grafis kestabilan sistem serta kondisi-kondisi lainnya.
Bilangan Kompleks
Suatu bilangan komlpeks A=+ j dapat digambarkan dalam bidang-s sebagai berikut
Dengan
M = √(2+2)
= tan-1 (/)
j
M
j
s
ROOT LOCUS
• ROOT = akar-akar
• LOCUS = tempat kedudukan
• ROOT LOCUS– Tempat kedudukan akar-akar persamaan
karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses
– Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?
Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS
• Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain)
• Cara 2: Didasarkan pada pengalaman– Mencari harga pole dan zero– Menentukan harga breakaway point, center of
gravity, asimtot
– Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)
Contoh 1
• Perhatikan diagram blok di bawah ini
• Persamaan Karakteristiknya:
atau 1 + OLTF = 0
6
Kc
0.5
R(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
0)1)(13(
1
ss
Kc
Rumus Penentuan Akar
3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0
7
cc KK
rr 313
1
3
2
6
)1(12164, 21
Gambar Root Locus
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3-2/3
Kc AKAR
0 -1; -1/3
1 -2/3 ± (2)/3
5 -2/3 ± (14)/3
10 -2/3 ± (29)/3
20 -2/3 ± (59)/3
50 -2/3 ± (149)/3
-
Sistem SELALU STABIL karenaakar-akarnya selalu beradadi sebelah KIRI
Contoh 2
Persamaan karakteristik:
015,0)1)(13(
1
sss
Kc
9
KcR(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
15,0
5,0
s
Persamaan Karakteristik
015.455.1
015.0)1)(13(
015.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(15.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(
1
23
c
c
c
c
c
Ksss
Ksss
sss
Ksss
sss
K
sss
sss
sss
K
Gambar Root Locus
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
Kc AKAR0 -1; -1/3; -2
1 -2.271; -0.53±0.55i
5 -2.77; -0.281±1.168i
14 -3.3; ± 1.732i
20 -3.586; 0.126±1.97i
30 -3.92; 0.29±2.279i
-
X-2
Sistem ADA BATAS KESTABILANkarena akar-akarnya ada yang beradadi sebelah KANAN
Cara 2
• Persamaan karakteristik:
• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3
• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0
015,0)1)(13(
1
sss
Kc
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2
n – m = 3 – 0 = ganjil tempat
kedudukan akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2
n – m = 2– 0 =
genap BUKAN tempat
kedudukan akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2
n – m = 1– 0 = ganjil tempat kedudukan
akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2
Di Antara Tempat Kedudukan2 Pole Ada BREAKAWAY POINT
0363
01223
0213/1
13/123/1212
1
1
1
3/1
10
11
322
31
312
32
3122
11
ss
ssssss
sss
sssssssss
pszs
n
j j
m
i i
0.6268
1.5954
2
1
s
s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN
YANG DIPAKAI
Letak Breakwaway Point
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2 -0.6
Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot
1.13
3
03
21 31
31
1 1
mn
zp
CG
n
j
m
iij
o
o
o
mn
k
30003
2)360(180
18003
1)360(180
6003
0)360(180
)360(180
00
2
00
1
00
0
00
Center of Gravity dan Sudut Asimtot
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2 -0.6-1.1
60o
180o
300o
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner
015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan uis
01)(5.455.1
01)(5.4)(5)(5.123
23
cuuu
cuuu
Kii
Kiii
3dan 0
05.45.1
05.45.1
2
2
3
uu
uu
uu
i
ii
14
01)3(5
015 2
c
c
cu
K
K
K
7.1 u TITIK POTONGNYA
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2 -0.6-1.1
1.7
-1.7
Hasil ROOT LOCUS
REAL
IMAJINER
X X-1 -1/3
X-2 -0.6-1.1
TERIMA KASIH
25
Tugas
)3()(
)5)(2)(1(
1)(
ssH
sssssG
K G(s)
H(s)
C(s)R(s)