TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (TKA)Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat :1. Menentukan tempat kedudukan akar dari sebuah sistem kendali.

2. Melakukan analisis dengan menggunakan methoda TKA

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat 1. Mengtahui cara menggambar TKA baik secara manual maupun dengan program/sofware

2. Menentukan batas akhir gain yang diperkenankan agar sistem tetap dalam keadaan stabil.

3. Membaca gambar TKA untuk memperoleh informasi tentang performasi sistem

PendahuluanKarakteristik dasar respon transien suatu sistem lup

tertutup ditentukan oleh lup-lup tertutup.Teknik klasik dgn penguraian polinomial atas

faktor2nya sulit dilakukan (terutama u/ n>3)Solusi Methoda tempat kedudukan akar (MTKA). MTKA adalah : suatu methoda grafis sederhana untuk

menentukan akar-akar dengan menggambar pada bidang kompleks semua harga parameter sistem (penguatan, K untuk harga K dari 0 s/d tak hingga)

MTKAIde dasar harga s yang membuat fungsi alih

lup terbuka = -1 harus memenuhi persamaan karakteriktik sistem

MTKA berguna krn dapat menunjukkan cara memodifukasi pole dan zero lup terbuka sehingga respon memenuhi spesifikasi performasi sistem

Variasi pole-pole sistem lup tertutup (1)

Fungsi alih lup tertutup :

Persamaan karakteristik 1 + K.G(s)H(s) = 0atau G(s)H(s) = -1

)(/)(.1

)(

)(

)(

sAsBK

sG

sR

sC

Variasi pole-pole sistem lup tertutup (2)Fungsi alih lup terbuka G(s)H(s) bisa dinyatakan dgn :

dimana B(s) dan A(s) polinom variabel kompleks

m <= n dan K = faktor gain / penguatan

maka fungsi alih lup tertutupnya menjadi :

atau persamaan cirinya :

A(s)+KB(s) = 0

)(

)(

....

....()()(

11

10

11

10

sA

sB

asasasa

bsbsbsbKsHsG

nnnn

mmmm

)(.)(

)().(

)(/)(.1

)(

)(

)(

sBKsA

sAsG

sAsBK

sG

sR

sC

Variasi pole-pole sistem lup tertutup (3)

TKA pada bidang s, berubah sesuai dgn perubahan K (faktor penguatan lup terbuka)

Akar-akar digambarkan sebagai fungsi K disebut TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (TKA)

Untuk K = 0, akar-akar merupakan akar-akar A(s) yang sama dengan pole-pole fungsi alih lup terbuka G(s)H(s)

Untuk K yang sangat besar, akar-akar merupakan akar-akar B(s) yakni zero-zero lup terbuka

Langkah-langkah menggambar

TKA

1. Menentukan Banyaknya TKA

Banyaknya TKA sama dengan banyaknya kutub(pole) lup terbuka G(s)H(s)

Contoh :

Fungsi alih lup terbuka adalah

Sistem mempunyai tiga kutub

Jadi ada 3 TKA yang terpisah dalam gambar

)4(

)2()()(

2

ss

sKsHsG

2. Menentukan tempat pada sumbu nyata

Bagian-bagian TKA yang ada di sumbu nyata bidang s ditentukan dengan menghitung jumlah total pole dan zero berhingga dari G(s)H(s) disebelah kanan titik yang dipertanyakan

Untuk K > 0 :

Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GANJIL dari banyaknya kutub dan nol

Untuk K < 0

Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GENAP dari banyaknya kutub dan nol

3. Menentukan ASIMTOTPusat asimtot ( σc) diberikan oleh :

dimana : pi = kutub2, zi = zero2, n= jmlh pole, m = jmlh zero

Sudut asimtot :

Untuk k = 0, 1, 2, …… n – m - 1, menghasilkan banyaknya asimtot = n - m

mn

zp i

m

ii

n

ic

)()(11

0 Kuntuk ,180)2(

0Kuntuk ,180)12(

mn

kmn

k

Contoh :Sebuah sistem mempunyai fungsi alih lup

terbuka :

maka ,

σc = - (4-2)/2= -1

n - m = 3-1 = 2

ϐ = 90° dan 270° untuk K > 0

)4(

)2()()(

2

ss

sKsHsG

4. Menentukan titik pisahTitik pisah adalah sebuah titik pada sumbu

nyata dimana dua cabang atau lebih TKA keluar dari sumbu nyata atau tiba disumbu nyata

Titik pisah σb ditentukan sbb :)(

1

)(

111

ib

m

iib

n

i zp

ContohTentukan titik pisah dari

Jawab :

)2)(1()()(

sss

KsHsG

577.1,423.0

0263

0)1()2()2)(1(

0)2(

1

)1(

1

)0(

1

0)(

1

2

1

b

bb

bbbbbb

bbb

ib

n

i p

Untuk K > 0 ada cabang-cabang TKA antara 0 dan -1 dan antara - dan -2. Karena itu akar di -0.423 merupakan titik pisah = 1,577 adalah titimpisah untuk K < 0

5. Menentukan sudut keluar dan sudut masuk

# SUDUT KELUARSudut keluar suatu TKA dari sebuah pole kompleks adalah :

dimana : sudut phase dari G(s)H(s) yang

dihitung dari pole kompleks tersebut.

)'()(180 sHsG

)'()( sHsG

Contoh :Selidiki sebuah sistem yang mempunyai fugsi alih lup

terbuka :

Sudut G(s)H(s) untuk s = -1+j1 dengan mengabaikan sumbangan pole di s = -1 + j tersebut adalah -45. maka sudut keluarnya adalah :

0,)1)(1(

)2()()(

KJsjs

sKsHsG

135)45(180

# SUDUT MASUK

Sudut masuk u/ TKA ke sebuah zero kompleks adalah :

dimana

adalah sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung di zero kompleks tsb dengan mengabaikan efek dari nol itu

')'()(180 sHsGA

')'()( sHsG

Contoh :Selidiki fungsi alih lup terbuka :

Sudut masuk untuk TKA ke zero kompleks di s = j adalah :

0,)1)(1(

)2()()(

KJsjs

sKsHsG

225)45(180A

a). Sudut keluar b). Sudut masuk

Prosedur umum tempat kedudukan akar (TKA) Tentukan persamaan karakteristikTentukan titik awal dan titik akhir dari TKA dan

tentukan juga banyaknya cabang TKA.Tentukan bagian-bagian TKA pada sumbu nyata.Hitung pusat dan sudut-sudut asimtot dan gambar

asimtot pada gambar TKATentukan titik ‘luncur’ dan ‘mulai’Tentukan sudut keluar dan sudut masuk di pole-pole

kompleks dan zero kompleks (jika ada) dan berikan tandanya)

Tentukan titk potong TKA dengan sumbu imajinerBuat sketsa dari cabang-cabang TKA sedemikian hingga

TKA tsb berakhir di sebuah zero atau mendekati tak hingga disepanjang salah satu asimtot tsb.

#Contoh :

Tentukan TKA untuk semua harga K dari sistem lup tertutup yang mempunyai fungsi alih lup terbuka sbb :

)4)(2()()(

sss

KsHsG

Penyelesaian# Dari penyebut fungsi alih dapat diketahui kutub-kutub

pada titik 0, -2 dan -4# Untuk K > 0, TKA terletak diantara 0 dan -2 dan

diantara -4 dan – tak hingga pada sumbu nyata# Pusat asimtot = -(2+4)/3 = -2, banyaknya asimtot n-m

= 3, Sudut asimtot = 60, 180, 300.# Karena dua cabang TKA datang bersama-sama di

sumbu nyata antara 0 dan -2, ada sebuah titik pisah diantara 0 dan -2.

Jadi TKA dapat dilukiskan dengan memperkirakan titik pisah dan melanjutkan cabang-cabang ke asimtotnya.

# Titik pisah,

155.3,845.0

08123

0)2(

1

)1(

1

)0(

1

0)(

1

2

1

dan

p

b

bb

bbb

ib

n

i

# TKA untuk K > 0

# TKA K < 0 disusun dengan cara yang hampir sama, dimana bagian-bagian sumbu nyata antara 0 dan tak hingga dan antara -2 dan -4.

# Titik pisah di - 3,155

# Sudut asismtot 0, 120 dan 240

# TKA untuk K < 0

PENEMPATAN AKAR r

eK )(sH

u y

Kutub dari sistem kalang tertutup adalah nilai dari s yaitu 1 + KH(s) = 0.H(s) = b(s)/a(s), maka persamaan ini mempunyai bentuk:a(s) + Kb(s) = 0(a(s)/K) + b(s) = 0

Aturan menggambar penempatan akar

Evans (setelah Walter R. Evans memperkenalkannya untuk pertama kali pada tahun 1948),

MENGGAMBAR DIAGRAM PENEMPATAN AKAR DENGAN MATLAB

)20)(15)(5(

7

)(

)()(

ssss

s

sU

sYsH

num=[1 7];den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20]));rlocus(num,den)axis([-22 3 -15 15]) grid on zeta=0.7;Wn=1.8;sgrid(zeta, Wn)

-20 -15 -10 -5 0-15

-10

-5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axi

s

-20 -15 -10 -5 0-15

-10

-5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

Axi

sletak kutub agar sistemsesuai dengan kriteriayang diinginkan

SOAL Latihan

1 H(s) ,)52)(22(

)(22

ssss

KsG

Dengan bantuan software Matlab, gambarkan tempat kedudukan akar untuk sistem dengan

1 H(s) ,)102(

)106()(

2

2

ss

ssKsG

1 H(s) ,)106.0)(5.0(

)(2

ssss

KsG