359-312-1-pb

92 ISSN: 2085 - 6245

ISTECH Vol. 5, No. 2, Agustus 2013 : 92 – 98

PEWARISAN AUTOSOMALDENGAN MODEL DIAGONALIZABLE

MATRIX

JeinneMumu JurusanMatematikadanStatistaikaFMIPAUNIPA Manokwari Papua

[email protected]

Abstrak

Setiap individu memiliki gen yang merupakan kesatuan terkecil didalam sel yang berperan

menentukan sifat keturunan.Sifat turunan itu terdapat didalam genotipe turunan yang dipengaruhi genetik

asalnya. Perbedaan sifat warisan tersebut ditentukan atau diatur oleh dua kromosom (pembawa sifat).

Autosommerupakankromosom yang sifat-sifatnyadiwariskankepadaketurunannya.Pewarisan autosomal

padatumbuhanmisalnyawarnabunga,

dapatdikendalikanuntukmaksudtertentu.Tulisaninimengkajibagaimanapewarisan autosomal gen-gen

induktumbuhanditurunkankegenerasiketurunannyadanmembentuk model diagonalizable matrix

untukmenunjukkangenotipe yang mungkinpadaketurunanberdasarkangenotipeinduk.Model matematika

yang dihasilkandaritulisaninidapatdipakaidalamteknologipertanian.

Kata Kunci :genotipe, pewarisan autosomal, nilaieigen, vektoreigen, diagonalizable matrix

Abstract Each individual has a gene which is the smallest unit in the cell that play a role in determining the

nature of the offspring. Natural offspring genotype was present in derivates that are affected the genetic

parents. Differences in offspring traits regulated by the chromosom. Autosomes are chromosomes inherited

its properties to their offspring. Autosomes inheritance in plants such as flower color can be controlled for a

particulas purpose. This paper examines how the autosomal inheritance genes derives stem plant to the next

generations and establish a model diagonalizable matrix to show the possible genotype offspring by the

parents genotype. Mathematics model is the result of this paper hopelly could be used in technology

development of agriculture.

Keywords : Genotype, autosomal inheritance, eigen value, eigen vector, diagonalizable matrix

I. PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari – hari sering

ditemui masalah karakter seorang, bentuk

seseorang yang berbeda – beda. Ini merupakan

salah satu sifat turunan yang diturunkan dari

orang

tua.Selainsifatituterdapatjugabeberapapenyakit

yang diturunkandari orang

tuasepertipenyakithemofilia,

penyakitbutawarna, sifatkebotakandanpenyakit

yang menyangkutrasseseorangseperti Cooley’s

anemia yang banyakdideritapenduduk diLaut

Tengah.

Sifat turunan itu terdapat didalam genotipe

turunan yang merupakan susunan genetika dari

suatu individu yang ada hubungannya dengan

fenotip yakni perbedaan sifat dari suatu

individu yang tergantung dari genetik asalnya,

serta dapat dilihat secara fisik. Perbedaan sifat

warisan tersebut ditentukan atau diatur oleh

dua kromosom (pembawa sifat) yang akan

ditandai dengan huruf A dan huruf a. Dalam

warisan autosomal, setiap individu dalam

populasi masing – masing jenis kelamin, akan

memiliki dua dari antara kromosom –

kromosom berikut, yakni pasangan yang

mungkin ditandai dengan AA, Aa, dan aa.

Pasangan – pasangan kromosom ini dinamakan

genotipe individu yang dapat menentukan

bagaimana sifat yang dikendalikan oleh

kromosom – kromosom itu yang di

manifestasikan dalam individu[2]. Contohnya,

padatumbuhanjenisSnapdragon,kromosommen

entukanwarnabunga. Genotipe AA

menghasilkanbungawarnamerahmuda,

Aawarnamerahmuda,

genotipeaamenghasilkanbungawarnaputih.

Padamanusia,

warnamatadikendalikanmelaluipenurunan

autosomal.Jadi gen A

bersifatmendominasi/resesifterhadap gen a

ISSN: 2085 – 6245 93

Jeinne M. : Pewarisan Autosomal Dengan Model Diagonalizable Matrix

karenagenotipeAamempunyaisifat yang

terlihatdariluar yang

samadengangenotipeAA[1].

Dalamtulisaniniakandikajibagaimanapewar

isan autosomal gen-gen

induktumbuhanditurunkankegenerasiketurunan

nya.

Selanjutnyamembentukformulasimodeldiagon

alizable matrixyang menunjukkan genotipe

yang mungkin pada keturunan berdasarkan

genotipe induk.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Genetika

Genetika merupakan ilmu yang

mempelajari tentang pewarisan dari indukan ke

anakan (keturunan). Setiap individu memiliki

gen yang merupakan kesatuan terkecil didalam

sel yang berperan menentukan sifat keturunan.

Gen sendiri terdapat di dalam kromosom.

Kromoson merupakan struktur didalam sel

yang berupa deret panjang molekul yang

terdiri dari satu molekul DNA dan berbagai

protein yang merupakan informasi genetik.

Kromosom secara garis besar terbagi menjadi

2 bagian yaitu autosom dan gonosom.

Autosom adalah kromosom yang tidak

menentukan jenis kelamin. Jumlah autosom

dalam nukleus organisme normal adalah 2n-2.

Sedangkan gonosom adalah kromosom yang

menentukan jenis kelamin individu. Jumlah

gonosom dalam nukleus organisme adalah dua

buah[2].

2.2. NilaiEigen dan VektorEigen

Definisi 2.2.1 Jika A sebuahmatriks nxn, maka sebuah vector

tak nol x pada 𝑅𝑛 disebut vektor eigen dari A

jika Ax adalah kelipatan skalar darix,

yaitu𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 untuk sebarang skalar 𝜆. Skalar

𝜆 disebut nilai eigen dari A dan x disebut

vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan 𝜆

[1].

Untukmemperolehnilaieigen dari A

maka bentuk𝐴𝑥 = 𝜆𝑥ditulis kembali kebentuk

𝐴𝑥 = 𝜆𝐼𝑥atau −𝐴𝑥 = 0. Agar 𝜆 menjadi nilai

eigen maka harus memenuhi det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0.

Vektor-vektor eigen A yang berkaitan dengan

nilai eigen 𝜆 adalah ruang solusi dari 𝜆𝐼 −𝐴𝑥=0 [4].

2.3.DiagonalisaiMatriks

Definisi 2.3.1 :

Suatu matriksbujursangkar A dikatakan

diagonalizable jika ada suatu matriks P yang

invertible sedemikian sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 adalah

suatu matriks diagonal.Matriks P dikatakan

mendiagonalkan matriksA [2].

Tahapan untuk mendiagonalkan matriks

1. Menentukan n vektor eigen yang bebas

linear misalkan,𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 2. Membentuk matriks P

dengan𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 sebagai vektor -

vektor kolomnya

3. Matriks𝑃−1𝐴𝑃menjadi matriks

diagonal dengan 𝜆1 ,𝜆2 ,… , 𝜆𝑛 sebagai

unsur – unsur diagonalnya secara

beruurutan dimana𝜆𝑖 adalah nilai eigen

yang bersesuaian dengan pi untuk

i=1,2,3,…,n.

2.4. Probabilitas

Ditentukan ruang sampel S. Untuk setiap

kejadian E dari S, didefinisikan bilangan P(E)

yang memenuhi 3 syarat [3]:

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1

2. P(S) = 1

3. Untuk setiap barisan E1, E2, … yang

saling asing, yaitu EnEm = ∅ , untuk n ≠ m

, maka :

𝑃 𝐸𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑃(𝐸𝑛)

∞

𝑛=1

III. PEMBAHASAN

3.1 Menentukan Probabilitas Genotipe

Proses penentuan probabilitas atau peluang

dari suatu proses pewarisan sifat, dapat

dilakukan dengan melakukan perkawinan

silang (Hybrid Cross) antara indukan jantan

dengan indukan betina [2]. Sebagai contoh :

Diberikan sel sperma bergenotipe Aa,

sedangkan sel ovum bergenotipe Aa. Akan

ditentukan probabilitas dari anakan atau

keturunan pertamanya:

Jantan x Betina

A A

94 ISSN: 2085 - 6245


a a

Diperoleh keturunan pertamanya :

AA : Aa : Aa : aa

1 : 1 : 1 : 1

Berarti peluang anakan yang mungkin :

P(AA) = 1

4; P(Aa) =

2

4 =

1

2; P(aa) =

1

4

Diberikan populasi yang besar yakni N

organisme dengan peluang genotipe AA adalah

f, g adalah peluang genotipe Aa dan h adalah

peluang genotipe aa. Dengan demikian

𝑓 + 𝑔 + 𝑕 = 1. Jadi, banyaknya organisme

bertipe AA adalah fN, Organisme bertipe Aa

adalah gN, dan organisme bergenotipe aa

adalah hN. Diantara populasi tersebut terdapat

2N gen sesuai dengan tipe gennya. Individu

bertipe AA memiliki 2fN genotipe A, Individu

bergenotipe Aa memiliki genotipe A sebanyak

gN dan a sebanyak gN. Sedangkan aa memiliki

genotipe a sebanyak 2hN. Sehingga dalam

populasi terdiri dari (2fN + gN) genotipe A

dan (2hN + gN) genotipe a. Selanjutnya

didefinisikan frekuensi p dan q untuk tipe A

dan a, yakni :

𝑝 = 2𝑓𝑁 + 𝑔𝑁

2𝑁 = 𝑓 +

1

2𝑔 ; 𝑞 =

2𝑕𝑁 + 𝑔𝑁

2𝑁 = 𝑕 +

1

2𝑔

Dengan demikian 𝑝 + 𝑞 = 1

Diasumsikan bahwa dalam perkawinan

terjadi acak. Disajikan skema persilangan sel

jantan dan sel betina sebagai berikut :

Jantan |Betina | Hasil Persilangan | Probabilitas

p A AA p2

A

pqaAapq

qpAAapq

a

q a aa q2

Keturunan pertama dari hasil perkawinan 2

indukan dinamakan f, g, h dengan probabilitas

𝑓1 = 𝑝2; 𝑔1 = 2𝑝𝑞 ; 𝑕1 = 𝑞2,

dengan

𝐴𝐴 = 𝑓1 ; 𝐴𝑎 = 𝑔1 ; 𝑎𝑎 = 𝑕1

frekuensi genotipe dalam keturunan genetika I

adalah sama. Namakan p dan q sebagai

populasi indukan atau parental. Sebagai contoh

frekuensi tipe A :

𝑓1 + 1

2 𝑔1 = 𝑝2 +

1

2 2𝑝𝑞 = 𝑝2 + 𝑝𝑞 = 𝑝

Kaidah ini dikenal dengan Hardy-Weinberg

Law in Population Genetica 2] .

Diberikan f1, g1, dan h1 adalah proporsi 3

genotipe dari generasi pertama, P1 adalah

peluang keturunan betina, Q1 adalah proporsi

dari A dan a generasi I jantan.Lalu tiap anakan

jantan terpaut kromoson X dari induk

betinanya sehingga P1 = p dan Q1 =

q.Selanjutnya, f1 = Pp, g1 = P𝑞 + Qp, h1 =

Q. Perhatikan skema berikut :

X Jantan |X betina | Hasil Persilangan | Probabilitas

pAAA Pp

A

P q aAa Pq

QpAAa Qp

a

q aaaQq

Sehingga :

𝑃1 = 𝑓1 + 1

2 g1 = Pp +

1

2(Pq + Qp)

= 1

2 (Pp+ Pq) +

1

2 (Pp + 𝑄𝑝)

= 1

2 P (p + 𝑞) +

1

2 P ( P + 𝑄 )

= 1

2 P +

1

2 p

= 1

2 (P + p)

dimana P + Q = p + q = 1.

Analog untuk : q1 = h1 + 1

2 g1 =

1

2 (Q+q) dengan

P1 = Frekuensi gen anakan jantan = p =

frekuensi generasi betina sebelumnya.p1 =

Frekuensi anakan betina = 𝑝+𝑃

2

P = frekuensi betina generasi sebelumnya.

Saat P = p dan Q = q proporsi betina genotipe

betina menjadi :

AA = Pp = p2 ; Aa = Pq + Qp = 2Pq ;

aa = Qq = q2[2]

3.2 Penyajian Dalam Bentuk Matriks

ISSN: 2085 – 6245 95


Pada penjelasan sebelumnya telah

dibicarakan mengenai penentuan proporsi tiap

genotipe dari individu dalam suatu populasi.

Jika 𝑝𝑛 dan 𝑃𝑛 adalah frekuensi gen

setelah n generasi, dapat diperhatikan bahwa :

𝑝𝑛= 1

2 ( 𝑝𝑛−1 + 𝑃𝑛−1)dengan 𝑃𝑛 = 𝑝𝑛−1[4]

Persamaan tersebut dapat dituliskan dalam

vektor 𝐹𝑛 = 𝑝𝑛

𝑃𝑛 serta untuk genersi

sebelumnya, dituliskan sebagai vektor :

𝐹𝑛−1= 𝑝𝑛−1

𝑃𝑛−1

dengan demikian;

𝐹𝑛 = 𝑝𝑛

𝑃𝑛

=

1

2 ( 𝑝𝑛−1 + 𝑃𝑛−1)

𝑝𝑛−1

= 1

2

1

2

1 0

𝑝𝑛−1

𝑃𝑛−1

Selanjutnya persamaan ini dapat

𝐹𝑛= 𝐴𝐹𝑛−1...................................................

(i)dengan A = 1

2

1

2

1 0 .

Jika npada persamaan (i) diganti dengan n-1

didapat ;

𝐹𝑛−1 = 𝐴𝐹𝑛−2

Selanjutnya;

𝐹𝑛 = 𝐴𝐹𝑛−1 = A (𝐴𝐹𝑛−1) = 𝐴2

Demikian pula

𝐹𝑛−2 = 𝐴𝐹𝑛−3

Didapat

𝐹𝑛 = A (𝐴2𝐹𝑛−3) = 𝐴3𝐹𝑛−3

sehingga secara umum dapat dituliskan

𝐹𝑛 = 𝐴𝑛𝐹𝑜

dengan𝐹𝑜 adalah vektor frekuensi gen untuk

indukan 𝐹𝑜 = 𝑝𝑃 , dimana p dan P adalah

frekuensi.

Untuk n = 2;

𝐴2 = 1

2

1

2

1 0

1

2

1

2

1 0 =

3

4

1

41

2

1

2

dan

𝐹2 = 𝑝2

𝑃2 =

3

4

1

41

2

1

2

𝑝𝑛

𝑃𝑛 =

3

4𝑝 +

1

4𝑃

1

2𝑝 +

1

2𝑃

Dengan demikian frekuensi gen generasi ke

dua adalah

𝑝2 = 3

4𝑝 +

1

4𝑃 dan 𝑃2 =

1

2𝑝 +

1

2𝑃

dengan 𝑝2adalah frekuensi gen jantan generasi

ke dua. 𝑃2 adalah frekuensi gen betina generasi

ke dua.

Untuk n = 4

𝐴4 = 𝐴2 . 𝐴2 =

3

4

1

41

2

1

2

3

4

1

41

2

1

2

=

11

16

5

165

8

3

8

Oleh karena

𝐹4 = 𝐴4𝐹𝑜 ,

dengan demikian

𝐹4 = 𝑝4

𝑃4 =

11

16

5

165

8

3

8

𝑝𝑃 =

11

16𝑝 +

5

16𝑃

5

8𝑝 +

3

8𝑃

didapat frekuensi gen generasi keempat adalah

𝑝2 = 11

16𝑝 +

5

16𝑃

dan

𝑃2 = 5

8𝑝 +

3

8𝑃

Selanjutnya 𝐴𝑛 adalah matriks untuk generasi

ke-n. Secara umum didefinisikan sebagai :

𝐴𝑛 =

1

3

2 + 𝑘𝑛 1 − 𝑘𝑛

2 − 2𝑘𝑛 1 + 2𝑘𝑛

dengan k = - 1

2.

Selanjutnya matriks𝐴𝑛 ditulis dengan 𝑀𝑛 .

Ambil n = 1 diperoleh

𝑀1 = 1

3

2 + (−1

2)′ 1 − (−

1

2)′

2 − 2(−1

2)′ 1 + 2(−

1

2)′

= 1

3

3

2

3

2

3 0

= 1

2

1

2

1 0

= A1

= A

Selanjutnya,

𝑀𝑛𝐴 = 1

3

2 + 𝑘𝑛 1 − 𝑘𝑛

2 − 2𝑘𝑛 1 + 2𝑘𝑛 1

2

1

2

1 0

96 ISSN: 2085 - 6245


= 1

3

2 −1

2𝑘𝑛 1 +

1

2𝑘𝑛

2 + 𝑘𝑛 1 − 𝑘𝑛

= 1

3 2 + 𝑘𝑛+1 1 − 𝑘𝑛+1

2 − 𝑘𝑛+1 1 + 2𝑘𝑛+1

= 𝑀𝑛+1

Jadi, untuk k = −1

2diperoleh𝑀𝑛𝐴= 𝑀𝑛+1.

Denganm demikian, untuk setiap n berlaku

𝑀𝑛 = 𝐴𝑛 , n = 1,2,3….

Setelah diperoleh rumus untuk 𝐴𝑛 , dapat

dituliskan solusi untuk frekuensi gen setelah n

generasi sebagai berikut :

𝐹𝑛 = 𝑝𝑃 = 𝐴𝑛𝐹𝑜 =

1

3

2 + 𝑘𝑛 1 − 𝑘𝑛

2 − 2𝑘𝑛 1 + 2𝑘𝑛 𝑝𝑃

Selanjutnya didapat :

𝑝𝑛 = 1

3 2 + 𝑘𝑛 𝑝 + 1 − 𝑘𝑛 𝑃

𝑃𝑛 = 1

3 2 − 2𝑘𝑛 𝑝 + 1 + 2𝑘𝑛 𝑃

Untuk n → ∞, maka 𝑘𝑛 = −1

2 n→ 0.

Selanjutnya, setelah generasi yang lebih besar

frekuensi gen mendekati nilai limit.

𝑃𝑛 →1

3 2𝑝 + 𝑃

3.3. Pewarisan Autosomal

Pada pewarisan autosomal, suatu individu

mewarisi satu gen dari tiap pasangan gen

induknya untuk membentuk pasangan gennya

sendiri. Jadi peluang yang mana diantaradua

gen dariinduk yang

diteruskankepadaketurunannya [1]. Distribusi

probabilitas genotipe sifat tertentu dalam

generasi ke-n dapat diwakili oleh suatu vektor

genotipe

x(n)=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛

dimana untuk n = 0,1,2,3,…

𝑎𝑛 = probabilitas genotipe AA pada generasi ke-n

𝑏𝑛 = probabilitas genotipe Aa pada generasi ke-n

𝑐𝑛 = probabilitas genotipe aa pada generasi ke-n.

Khusus untuk n= 0, maka 𝑎0, 𝑏0, dan 𝑐0

merepresentasikan distribusi awal dari

genotipe tersebut.

Hubungan 𝑎𝑛 ,𝑏𝑛dan 𝑐𝑛 juga dari [4]

memenuhi

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 = 1;n= 0,1,2……………(3.3.1)

Distribusi awal genotipe akan memengaruhi

distribusi genotipe satu generasi ke generasi

lain. Kita bisa mewakili suksesi distribusi

genotipe dari satu generasi ke generasi

berikutnya dalam bentuk persamaan

x(n)

=Mx(n-1)

, n = 1,2,3…………..(3.3.2)

dimana x(n)=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛 , x

(n-1)=

𝑎𝑛−1

𝑏𝑛−1

𝑐𝑛−1

, dan M

adalah matriks yang sesuai.

Dari persamaan (3.3.2) diperoleh

x(n)

=Mx(n-1)

=M2x

(n-2)

=M3x

(n-3)

⋮

=Mnx

(0)......................................(3.3.3)

Akibatnya, jika kita dapat menemukan

ekspresi yang eksplisit dari Mn, kita dapat

menggunakan persamaan (3.3.3) untuk

menentukan persamaan eksplisit dari x(n)

.

Untuk menemukan Mnpertama-tama dilakukan

diagonalisasi pada M [4]. Yaitu

menentukanmatriksinvertible P dan matriks

diagonal D sehingga

M= PDP-1

Dengan diagonalisasi, kita dapatkan

Mn= PD

nP

-………….. (3.3.4)

untuk n = 1,2,3,...

dengan,

𝐷𝑛 =

𝜆1 0 0 … 00 𝜆2 0 … 0⋮ ⋮ ⋮ 00 0 0 … 𝜆𝑘

𝑛

=

𝜆1

𝑛 0 0 … 0

0 𝜆2𝑛 0 … 0

⋮ ⋮ ⋮ 00 0 0 … 𝜆𝑘

𝑛

Dengan mencari nilai eigen dari matriks Dn

maka dapat ditentukan matriks Dn, P,dan P

-1.

Dari sini kita dapat menemukan matriks

ISSN: 2085 – 6245 97


Mn= PD

nP

-1.

Selanjutnya dapat ditentukan ekspresi eksplisit

dari x(n)

=M x(n-1)

.

Contoh kasus :

Seorang petani mempunyai tanaman dalam

jumlah populasi yang besar. Populasi

tanaman tersebut terdiri dari distribusi dari

ketiga genotipe yang mungkin yaitu AA, Aa,

dan aa. Petani tersebut melakukan program

pengembangbiakandimana tiap tumbuhan di

dalam populasi tersebut selalu dikawinkan

dengan sebuah tumbuhan bergenotipe AA dan

kemudian digantikan oleh salah satu dari

keturunannya.Bagaimanakah distribusi ketiga

genotipeyang mungkin di dalam populasi

tersebut setelah beberapa generasi?

Solusi:

Tabel probabilitas genotipe yang mungkin dari

hasil persilangan/perkawinan untuk masalah

diatas:

Tabel 1

Genotipe

keturunan

Genotipe induk

AA-AA AA-Aa AA-aa

AA 1 1

2 0

Aa 0 1

2 1

aa 0 0 0

- = dikawinkan

Untuk n = 0, 1, 2, ..., vektor distribusi

probabilitas genotipe dari populasi tersebut

pada generasi ke-n adalah

x(n)=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛

dimana :

𝑎𝑛 = probabilitas genotipe AA pada generasi ke-n

𝑏𝑛 = probabilitas genotipe Aa pada generasi ke-n

𝑐𝑛 = probabilitas genotipe aa pada generasi ke-n

Dari tabel di atas, dapat ditentukan distribusi

probabilitas genotipe untuk masing-masing

generasi berdasarkan generasi sebelumnya

dengan persamaan berikut :

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 1

2𝑏𝑛−1

𝑏𝑛 = 𝑐𝑛−1 + 1

2𝑏𝑛−1;n = 1, 2, 3

……..(3.3.5)𝑐𝑛 = 0

Interpretasi persamaan pertama pada (3.3.5)

adalah bahwa seluruh tumbuhan dengan

genotipe AA akan mempunyai genotipe AA

dalam program perkembangbiakan ini, dan

setengah dari keturunan tumbuhan dengan

genotipe Aa akan mempunyai genotipe AA.

Persamaan (3.3.5) dapat dituliskan dengan

x(n)

=M x(n-1)

, n = 1,2,3,...................(3.3.6)

dimana x(n)=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛 , x(n-1)=

𝑎𝑛−1

𝑏𝑛−1

𝑐𝑛−1

,

dan M =

11

20

01

21

0 0 0

Perhatikan bahwa ketiga kolom pada matriks

M adalah sama dengan kolom pada tabel 1.

Kita akan mencari ekspresi eksplisit dari Mn.

Dengan diagonalisasi, diperoleh

Mn= PD

nP

-1 untuk n = 1,2,3,...(3.3.7)

Dengan

𝐷𝑛 =

𝜆1 0 0 … 00 𝜆2 0 … 0⋮ ⋮ ⋮ 00 0 0 … 𝜆𝑘

𝑛

=

𝜆1

𝑛 0 0 … 0

0 𝜆2𝑛 0 … 0

⋮ ⋮ ⋮ 00 0 0 … 𝜆𝑘

𝑛

Diagonalisasi dari M dapat diselesaikan

dengan cara menemukan nilai eigen dan vektor

eigen yang bersesuaian. Didapat

𝜆1 = 1 , 𝜆2 =1

2 , 𝜆3 = 0 ,

Vektor eigen yang bersesuaian adalah

𝑣1 = 100 ,𝑣2 =

1−10

,𝑣3 = 1−21

Sehingga diperolehmatriks D dan P sebagai

berikut

98 ISSN: 2085 - 6245


D =

𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3

=

1 0 0

01

20

0 0 0

dan

P = 𝑣1 𝑣2 𝑣3 =

1 1 10 −1 −20 0 1

Sehingga;

x(n)

= Mn x

(0)

= PDnP

-1x

(0)

= 1 1 10 −1 −20 0 1

1 0 0

0 1

2 𝑛

0

0 0 0

1 1 10 −1 −20 0 1

𝑎0

𝑏0

𝑐0

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛 =

1 1 −

1

2 𝑛

1 − 1

2 𝑛−1

0 1

2 𝑛

1

2 𝑛−1

0 0 0

𝑎0

𝑏0

𝑐0

=

𝑎0 + 𝑏0 + 𝑐0 −

1

2

𝑛

𝑏0 − 1

2

𝑛−1

𝑐0

1

2

𝑛

𝑏0 + 1

2

𝑛−1

𝑐0

0

Karena diketahui𝑎0 + 𝑏0 + 𝑐0 = 1, maka

𝑎𝑛 = 1 − 1

2 𝑛

𝑏0 − 1

2 𝑛−1

𝑐0

𝑏𝑛 = 1

2 𝑛𝑏0 +

1

2 𝑛−1

𝑐0

…(3.3.8) 𝑐𝑛 = 0

Persamaan (3.3.8) merupakan rumus eksplisit

probabilitas ketiga genotipe pada generasi ke-n

yang dinyatakan dalam probabilitas awal

genotipe dari populasi tanaman tersebut.

Karena 1

2 𝑛

menuju nol saat n mendekati tak

hingga maka diperoleh

𝑎𝑛 → 1

𝑏𝑛 → 0

𝑐𝑛 → 0

untuk n menuju tak hingga. Dalam hal ini,

pada limit tersebut seluruh tumbuhan didalam

populasi akan mempunyai genotipe AA.

VI. KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diatas, dapat

diambil beberapa kesimpulan yaitu :

1. Pewarisan sifat secara autosomal dari satu

generasi ke generasi berikutnya memenuhi

persamaan linear. Secara umum formulasi

distribusi genotipe satu generasi ke

generasi berikutnyadengan

modeldiagonalizable matrixsebagai

berikut :

x(n)

=M x(n-1)

, n = 1,2,3,...

dimana x(n)=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑐𝑛 , x(n-1)=

𝑎𝑛−1

𝑏𝑛−1

𝑐𝑛−1

, dan M

adalah diagonalizable matrix.

2. Distribusi genotipe awal dari induk/orang

tua mempengaruhi distribusi genotipe

keturunannya.

3. Untuk mengurangi penyakit yang dibawa

oleh genotipe resesif (aa) dapat dilakukan

dengan program perkawinansedemikian

sehingga semua keturunan masa depan

berindukan normal (AA-AA) atau salah

satu normal dan karier (AA-Aa). Dengan

demikian didapat anakan yang normal,

meskipun ada yang karier.

4. Berdasarkan hasil pembahasan

sebelumnya, dengan program perkawinan

tersebut didapat bahwa untuk generasi

berikutnya menuju tak hingga, genotip

yang masih bertahan hanyalah genotip

normal (AA).

4.2 Saran

Sebagai open problem dapat di teliti

pewarisan autosomal terkait-X ( X- linked

inheritance) pada hewan dan manusia.

Contohnya pewarisan penyakit hemophilia dan

buta warna pada manusia

V. DAFTAR PUSTAKA

[1]. Anton,H.,Rorres,C. Elementary Linear

Algebra, Applications version,9th ed,

John Wiley &Sons, 2005.

ISSN: 2085 – 6245 99


[2]. Arya,J.C., Lardner,R.W., Mathematics for

The Biological Sciences. Prentice-Hall,

New Jersey 1979.

[3]. Hogg,R. V., and E. A. Tanis. Probability

and Statistical Inference. Prentice Hall.

New Jersey. 2001.

[4]. Thomas, S.S., Applied Linear Algebra

and Matrix Analysis, PrenticeHall, New

Jersey, 2000.

359-312-1-pb

Documents