31distribusi_khusus

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Bab 3

Beberapa Distribusi Khusus

Pada Bab ini dibahas beberapa jenis distribusi yang sering digunakan pada kuliah-kuliahstatistik, yaitu

1. Distribusi binomial dan distribusi yang terkait dengan distribusi binomial (dis-tribusi Bernoulli, distribusi binomial negatif, distribusi geometrik, distribusi trino-mial, dan distribusi multinomial).

2. Distribusi Poisson.

3. Distribusi Gamma dan keluarganya (distribusi khi-kuadrat, distribusi eksponensial,dan distribusi beta).

4. Distribusi normal.

5. Distribusi normal multivariat.

6. Distribusi t dan distribusi F .

3.1 Distribusi Binomial dan Distribusi yang Berkaitan

Distribusi Bernoulli. Distribusi Bernoulli terbentuk dari percobaan Bernoulli yaitupercobaan acak yang hanya mempunyai 2 hasil yang mungkin, ”sukses” atau ”gagal”.Dalam praktek, penamaan ”sukses” atau ”gagal” dapat menyatakan suatu pasanganyang berlawanan, misalnya pria-wanita, hidup-mati, lulus-gagal, dan pasangan lainnya.

Misal S = {sukses, gagal} menyatakan ruang sampel dari percobaan Bernoulli dan Xmenyatakan varibel acak yang terdefinisi di S dengan aturan

X(c) =

{1, c = sukses0, c = gagal.

Berdasarkan sifat peluang, jika peluang sukses adalah p maka peluang gagalnya 1 − psehingga pmf dari X dapat ditulis sebagai

p(x) =

{px(1− p)1−x, x = 0, 10, x lainnya

(1)

Selanjutnya variabel acak X dengan pmf seperti pada persamaan (1) dikatakan variabelacak yang berdistribusi Bernoulli.

Mean dari distribusi Bernoulli adalah

µ = E[X] =1∑

x=0

xpx(1− p)1−x = 0 + p = p

1


sedangkan variansinya adalah

σ2 = Var(X) =

1∑x=0

(x− p)2px(1− p)1−x

= p2(1− p) + (1− p2)p= p(1− p).

Distribusi Binomial. Jika percobaan Bernoulli dilakukan berulang-ulang sebanyak nkali maka hasil-hasil yang mungkin akan berupa deretan n bilangan-bilangan nol dansatu. Sebagai contoh untuk n = 10, hasil yang mungkin dapat berupa

1 0 0 1 0 1 1 0 0

atau0 0 0 0 1 1 1 1 0

atau yang lainnya.

Secara umum, jika Xi menyatakan hasil yang keluar dari percobaan Bernoulli ke-i dan Xmenyatakan banyaknya sukses yang diperoleh dari n kali percobaan, maka nilai X yangmungkin adalah x = 0, 1, 2, . . . , n. Karena Xi bernilai 0 atau 1, variabel acak X jugadapat dipandang sebagai penjumlahan n variabel acak Bernoulli atau

X = X1 +X2 + . . .+Xn,

Posisi sukses dan gagal, dapat terletak pada indeks i mana saja dengan i = 1, 2, . . . , n.Dengan demikian, banyaknya komposisi yang mungkin akan berupa kombinasi dari npercobaan diambil x sukses, atau (

nx

)=

n!

x!(n− x)!

komposisi.

Jika antar percobaan bersifat independen, peluang untuk satu komposisi adalah

px(1− p)n−x.

Akibatnya, peluang terjadinya x sukses dari n percobaan Bernoulli adalah jumlahanpeluang-peluang yang dimiliki oleh masing-masing (nx) komposisi yang mungkin, yaitu

p(x) = P (X = x) =

(nx

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n (2)

Karena p ≥ 0 dan x bulat nonnegatif maka p(x) ≥ 0. Untuk menunjukkan bahwa totaljumlah persamaan (3) adalah 1, dapat digunakan sifat ekspansi binomial, yaitu

(a+ b)n =n∑

x=0

(nx

)bxan−x.

2


Dengan menggunakan sifat tersebut,

n∑x=0

p(x) =

n∑x=0

(nx

)px(1− p)n−x

= [(1− p) + p]n = 1

Jadi, p(x) pada persamaan (2) memenuhi sifat-sifat pmf.

Selanjutnya variabel acak X dengan pmf

p(x) =

{(nx)px(1− p)n−x x = 0, 1, . . . , n0 x lainnya

(3)

dan 0 untuk x lainnya, dikatakan variabel acak yang berdistribusi Binomial denganparameter n dan p, dinotasikan dengan X ∼ B(n, p) atau X ∼ b(n, p).

Pada Bab 1 telah dibahas bahwa ada beberapa cara dalam menentukan mean dan var-iansi dari suatu distribusi, salah satunya adalah melalui mgf M(t). Distribusi binomialmempunyai mgf

M(t) = E[etx] =n∑

x=0

etxp(x) =n∑

x=0

etx(nx

)px(1− p)n−x

=

n∑x=0

(nx

)(petx)x(1− p)n−x

= [(1− p) + pet]n (4)

yang berlaku untuk setiap bilangan riil t.

KarenaM ′(t) = n[(1− p) + pet]n−1(pet)

danM ′′(t) = n[(1− p) + pet]n−1(pet) + n(n− 1)[(1− p) + pet]n−2(pet)2

makaµ = M ′(0) = np

danσ2 = M ′′(0)− µ2 = np = n(n− 1)p2 − (np)2 = np(1− p).

Contoh 3.1.1. Misal pada pelantunan satu keping koin seimbang, kejadian ”sukses”didefinisikan sebagai munculnya bagian muka. Jika X banyaknya bagian muka dari 7kali lantunan yang independen,

(a) Tentukan mgf dari X, mean dan variansinya.

(b) Tentukan P (0 ≤ X ≤ 1) dan P (X = 5).

3


Penyelesaian

(a) Diketahui X berdistribusi binomial dengan n = 7 dan p = 12 Dari persamaan (4),

mgf dari X adalahM(t) = (12 + 1

2et)7,

Sementara itu, mean dan variansi dari X adalah

µ = np =7

2dan σ2 = np(1− p) =

7

4.

(b) Diketahui X ∼ B(7, 12) maka pmf dari X

p(x) =

{(7x)(12)x(1− 1

2)7−x x = 0, 1, . . . , 70 x lainnya

sehingga

P (0 ≤ X ≤ 1) = p(0) + p(1) =1

128+

7

128=

8

128

dan

P (X = 5) = p(5) =7!

5! 2!

(1

2

)5(1

2

)2

=21

128. �

Pembangkitan data simulasi dari distribusi B(n, p), menghitung P (X = x), menghitungP (X ≤ x), dan membuat plot pmf atau cdf yang dihasilkan, dapat dilakukan berbagaisoftware statistik, salah satunya melalui program R yang dapat diunduh secara gratisdari http://cran.r-project.org.

Contoh-contoh perintah pada R yang terkait dengan distribusi binomial, misalnya

rbinom(10,1,1/2) # membangkitkan data dari distribusi B(10,1/2)

dbinom(4,20,1/2) # menghitung P(X=4) jika X berdistribusi B(20,1/2)

pbinom(4,20,1/2) # menghitung P(X<=4) jika X berdistribusi B(20,1/2)

# Membuat plot pmf dari distribusi B(n,p)

n<-20; p<-1/2

x<-0:n

y<-dbinom(x,n,p)

plot(x,y,pch=20,col=4)

Contoh 3.1.2. Jika Y berdistribusi B(n, 13) tentukan nilai pengulangan n terkecil se-hingga P (Y ≥ 1) > 0, 8.

4


Penyelesaian. Karena P (Y ≥ 1) = 1− P (Y = 0) = 1− (23)n, maka

P (Y ≥ 1) > 0.80 ⇔ 1− (23)n > 0, 8 ⇔ 0, 2 > (23)n

Tetapi

0, 2 > (23)n ⇔ log(0, 2) < n log(23) ⇔ n >log(0, 2)

log(23)= 0, 39693 ' 4

Jadi nilai n terkecil sehingga P (Y ≥ 1) > 0, 8 adalah n = 4. �

Contoh 3.1.3. Misal X1, X2, X3 tiga variabel acak iid dengan cdf F (x). Jika Y me-nyatakan nilai tengah dari X1, X2, X3, tentukan cdf dan pdf dari Y .

Penyelesaian. Diketahui variabel acak Y menyatakan nilai tengah dari X1, X2, X3.Peristiwa {Y ≤ y} terjadi jika dan hanya jika paling sedikit dua dari variabel acakX1, X2, X3 nilainya kurang dari atau sama dengan y. Dengan kata lain, peristiwa

{Y ≤ y} ⇔ peristiwa A atau B

dengan A menyatakan peristiwa 2 dari 3 variabel acak X1, X2, X3, nilainya masing-masing ≤ y, dan B menyatakan peristiwa {X1 ≤ y, X2 ≤ y, X3 ≤ y}.

Jika K menyatakan banyaknya variabel acak di antara X1, X2, X3 yang lebih kecil atausama dengan y, maka K dapat dipandang sebagai peubah acak binomial dengan ”sukses”didefinisikan sebagai {Xi ≤ y}, banyak pengulangan n = 3, dan peluang sukses p =P (Y ≤ y) = F (y). Akibatnya, peluang terjadinya peristiwa A adalah

P (A) = P (K = 2) =

(32

)[F (y)]2[1− F (y)].

Sementara itu, karenaX1, X2, X3 independen maka peluang terjadinya peristiwaB adalah

P (B) = P (X1 ≤ y, X2 ≤ y, X3 ≤ y) = P (X1 ≤ y)P (X2 ≤ y)P (X3 ≤ y) = [F (y)]3

Jadi, cdf dari Y adalah

G(y) = P (Y ≤ y) = P (A) + P (B) =

(32

)[F (y)]2[1− F (y)] + [F (y)]3

= 3 [F (y)]2[1− F (y)] + [F (y)]3

dan jika F (x) kontinu maka pdf dari X adalah

g(y) = G′(y) = 6F (y)[1− F (y)]f(y). �

5


Latihan

1. Jika mgf dari variabel acak X adalah M(t) = (13 + 23)5, tentukan P (X = 2atau3).

2. Jika mgf dari variabel acak X adalah M(t) = (23 + 13)9, tunjukkan bahwa

P (µ− 2σ < X < µ+ 2σ) =5∑

x=1

(9x

)(1

3

)x(2

3

)9−x.

3. Jika X ∼ B(n, p), tunjukkan bahwa

E

[X

n

]= p dan E

[(X

n− p)2]

=p(1− p)

n

4. Misal variabel acak X1, X2, X3 iid dengan pdf f(x) = 3x2, 0 < x < 1, dan 0untuk x lainnya. Tentukan peluang bahwa tepat 2 dari 3 variabel acak tersebutpeluangnya lebih dari 1

2 .

5. Misal Y ∼ B(n, 23). Jika n = 3, hitung P (2 ≤ Y ). Jika n = 5, hitung P (3 ≤ Y ).

6. Misal Y ∼ B(n, 14). Tentukan n terkecil sehingga P (Y ≥ 1) ≥ 0, 7.

7. Misal X1 ∼ B(3, 23) dan X2 ∼ B(4, 12). Hitung P (X1 = X2).

8. Bagi pembaca yang mempunyai program R atau S-PLUS:

(a) Gambarkan plot pmf dari distribusinya B(15; 0, 2) dengan perintah berikut:

n<-15; p<-0.2

x<-0:n

y<-dbinom(x,n,p)

plot(x,y,pch=20,col=4)

(b) Ulangi bagian (a) untuk n = 15 dan untuk beberapa nilai p yaitu p = 0.1,p = 0.2, . . . , p = 0.9. Bagaimana perilaku plot pmf jika peluang sukses pdiperbesar?

(c) Ulangi bagian (a) untuk p = 0.05 dan untuk beberapa nilai n yaitu n =10, 20, 50, 200. Bagaimana perilaku plot pmf ketika pengulangan n diper-banyak? Apakah plot pmf mempunyai kecenderungan konvergen mendekatikurva/grafik tertentu?

6

31distribusi_khusus

Documents