Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Pecahan parsial

Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : ( )( )( )f x

P xQ x

= , P(x) dan Q(x) suku

banyak atau dapat dituliskan menjadi : ( )f xa x a x a

b x b x b

n nn

m mm

=+ + +

+ + +

−

−0 1

1

0 11

...

...

Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian

terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk : ( )( )( )f x dx R x

h xg x

dx= +

∫∫ ( )

dengan R(x) merupakan hasil bagi P(x) oleh Q(x) dan ( )( )

h xg x

adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x).

Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral

tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real. Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear dan tidak berulang. 2. Faktor linear dan berulang. 3. Faktor kuadratik dan tidak berulang. 4. Faktor kuadratik dan berulang. KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang

Misal ( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b a x b a x bn n= + + +1 1 2 2 ... .

Maka ( )( )

P xQ x

Aa x b

Aa x b

Aa x b

n

n n≡

++

++ +

+1

1 1

2

2 2...

dengan A A An1 2, , ... , konstanta yang akan dicari.

Contoh

1

4 92xdx

−∫

( ) ( )1

4 9 2 3 2 32x

A

x

B

x−≡

++

−

( ) ( )⇔ ≡ − + +1 2 3 2 3A x B x ( ) ( )⇔ ≡ + + − +1 2 2 3 3A B x A B

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

2 2 0 3 3 116

16

A B dan A B sehingga diperoleh A dan B+ = − + = = − =

( ) ( )1

4 9

16

2 3

16

2 32xdx

xdx

xdx

−=

−

++

−∫ ∫∫

KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang

Misal ( ) ( )Q x a x bi ip= + dengan p ∈ B+.

Maka ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P xQ x

A

a x b

A

a x b

A

a x b

A

a x bi i

pi i

pp

i i

p

i i≡

++

++ +

++

+−−1 2

11

2...

dengan A A A Ap p1 2 1, , ... , ,− konstanta yang akan dicari.

Contoh

( ) ( )1

2 12

x xdx

+ −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 1 2 2 12 2x x

A

x

B

x

C

x+ −≡

++

++

−

( ) ( ) ( ) ( )⇔ ≡ − + + − + +1 1 2 1 22

A x B x x C x

diperoleh A B dan C= − = − =13

19

19

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 1

13

2

192

19

12 2x x

dxx

dxx

dxx

dx+ −

=−

++

−

++

−∫ ∫ ∫ ∫

KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang

Misal ( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n= + + + + + +12

1 1 22

2 22...

Maka ( )( )

P xQ x

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

A x B

a x b x cn n

n n n≡

+

+ ++

+

+ ++ +

+

+ +1 1

12

1 1

2 2

22

2 22...

dengan A A A dan B B Bn n1 2 1 2, , ... , , , , ... , konstanta yang akan dicari.

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Contoh

( )( )6 3 1

4 1 1

2

2x x

x xdx

− +

+ +∫

( )( ) ( ) ( )6 3 1

4 1 1 4 1 1

2

2 2x x

x x

A

x

B x C

x

− +

+ +≡

++

+

+

( ) ( )( )⇔ − + ≡ + + + +6 3 1 1 4 12 2x x A x Bx C x

diperoleh A B dan C= = = −2 1 1,

( )( ) ( ) ( )6 3 1

4 1 1

2

4 1

1

1

2

2 2x x

x xdx

xdx

x

xdx

− +

+ +=

++

−

+∫ ∫∫

KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .

Misal ( ) ( )Q x a x b x ci i ip

= + +2 . Maka :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P xQ x

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

A x B

a x b x ci i ip

i i ip

p p

i i i

p p

i i i≡

+

+ ++

+

+ ++ +

+

+ ++

+

+ +−− −1 1

22 2

2 11 1

2 2 2...

dengan A A A A dan B B B Bp p p p1 2 1 1 2 1, , ... , , , , ... , ,− − konstanta yang akan dicari.

Contoh

( ) ( )6 15 22

3 2

2

2 2x x

x xdx

− +

+ +∫

( )( ) ( ) ( ) ( )6 15 22

3 2 3 2 2

2

2 2 2 2 2x x

x x

A

x

B x C

x

Dx E

x

− +

+ +≡

++

+

++

+

+

( ) ( )( )( ) ( )( )⇔ − + ≡ + + + + + + + +6 15 22 2 3 2 32 2 2 2x x A x Bx C x x Dx E x

diperoleh A B C D dan E= = − = = − =1 1 3 5 0, , ,

( )( ) ( ) ( ) ( )6 15 22

3 2

1

3

3

25

2

2

2 2 2 2 2x x

x xdx

xdx

x

xdx

x

xdx

− +

+ +=

+−

−

+−

+∫ ∫∫ ∫

Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus

Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2)

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

, -π < x < π . Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.

Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat diperlihatkan seperti di bawah ini. Dari : u = tan ( x/2 ). Maka :

cossec tan

xx x u2

1

2

1

12

1

12 2

=

=

+

=+

sin tan cosx x x u

u2 2 2 1 2

=

=

+

Jadi : sin & cosxu

ux

u

u=

+=

−

+

2

1

1

12

2

2 dan

x

u dxu

du2

2

11

2= ⇒ =+

−tan

Contoh

( )dx

x u

uu

duu

duu

C1

1

12

1

2

1

2

1

21

22 2+

=+

++

=

+=

−+

+∫∫∫ sin

=−

+

+2

12

tanx C

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :

1. 2

22x xdx

+∫

2. 5 3

92x

xdx

+

−∫

3. ( )

x

xdx

+

−∫

1

32

4. 5 7

4 42x

x xdx

+

+ +∫

5. x x

x xdx

2

4 319 10

2 5

+ +

+∫

6. ( )( )2 3 36

2 1 9

2

2x x

x xdx

− −

− +∫

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

7. ( )( )

20 11

3 2 4 52x

x x xdx

−

+ − +∫

8. 2 5 16

8 16

3 2

5 3x x x

x x xdx

+ +

+ +∫

9. 1

2 +∫ sin xdx

10. dx

x x x+ +∫ sin cos

11. cos

cosx

xdx

2 −∫

12. dx

x x4 3sin cos−∫

13.dx

x xsin tan+∫