Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Pecahan parsial
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : ( )( )( )f x
P xQ x
= , P(x) dan Q(x) suku
banyak atau dapat dituliskan menjadi : ( )f xa x a x a
b x b x b
n nn
m mm
=+ + +
+ + +
−
−0 1
1
0 11
...
...
Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk : ( )( )( )f x dx R x
h xg x
dx= +
∫∫ ( )
dengan R(x) merupakan hasil bagi P(x) oleh Q(x) dan ( )( )
h xg x
adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x).
Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral
tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real. Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear dan tidak berulang. 2. Faktor linear dan berulang. 3. Faktor kuadratik dan tidak berulang. 4. Faktor kuadratik dan berulang. KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang
Misal ( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b a x b a x bn n= + + +1 1 2 2 ... .
Maka ( )( )
P xQ x
Aa x b
Aa x b
Aa x b
n
n n≡
++
++ +
+1
1 1
2
2 2...
dengan A A An1 2, , ... , konstanta yang akan dicari.
Contoh
1
4 92xdx
−∫
( ) ( )1
4 9 2 3 2 32x
A
x
B
x−≡
++
−
( ) ( )⇔ ≡ − + +1 2 3 2 3A x B x ( ) ( )⇔ ≡ + + − +1 2 2 3 3A B x A B
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2 2 0 3 3 116
16
A B dan A B sehingga diperoleh A dan B+ = − + = = − =
( ) ( )1
4 9
16
2 3
16
2 32xdx
xdx
xdx
−=
−
++
−∫ ∫∫
KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang
Misal ( ) ( )Q x a x bi ip= + dengan p ∈ B+.
Maka ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P xQ x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
A
a x bi i
pi i
pp
i i
p
i i≡
++
++ +
++
+−−1 2
11
2...
dengan A A A Ap p1 2 1, , ... , ,− konstanta yang akan dicari.
Contoh
( ) ( )1
2 12
x xdx
+ −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 1 2 2 12 2x x
A
x
B
x
C
x+ −≡
++
++
−
( ) ( ) ( ) ( )⇔ ≡ − + + − + +1 1 2 1 22
A x B x x C x
diperoleh A B dan C= − = − =13
19
19
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 1
13
2
192
19
12 2x x
dxx
dxx
dxx
dx+ −
=−
++
−
++
−∫ ∫ ∫ ∫
KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang
Misal ( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n= + + + + + +12
1 1 22
2 22...
Maka ( )( )
P xQ x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x cn n
n n n≡
+
+ ++
+
+ ++ +
+
+ +1 1
12
1 1
2 2
22
2 22...
dengan A A A dan B B Bn n1 2 1 2, , ... , , , , ... , konstanta yang akan dicari.
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Contoh
( )( )6 3 1
4 1 1
2
2x x
x xdx
− +
+ +∫
( )( ) ( ) ( )6 3 1
4 1 1 4 1 1
2
2 2x x
x x
A
x
B x C
x
− +
+ +≡
++
+
+
( ) ( )( )⇔ − + ≡ + + + +6 3 1 1 4 12 2x x A x Bx C x
diperoleh A B dan C= = = −2 1 1,
( )( ) ( ) ( )6 3 1
4 1 1
2
4 1
1
1
2
2 2x x
x xdx
xdx
x
xdx
− +
+ +=
++
−
+∫ ∫∫
KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .
Misal ( ) ( )Q x a x b x ci i ip
= + +2 . Maka :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P xQ x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x ci i ip
i i ip
p p
i i i
p p
i i i≡
+
+ ++
+
+ ++ +
+
+ ++
+
+ +−− −1 1
22 2
2 11 1
2 2 2...
dengan A A A A dan B B B Bp p p p1 2 1 1 2 1, , ... , , , , ... , ,− − konstanta yang akan dicari.
Contoh
( ) ( )6 15 22
3 2
2
2 2x x
x xdx
− +
+ +∫
( )( ) ( ) ( ) ( )6 15 22
3 2 3 2 2
2
2 2 2 2 2x x
x x
A
x
B x C
x
Dx E
x
− +
+ +≡
++
+
++
+
+
( ) ( )( )( ) ( )( )⇔ − + ≡ + + + + + + + +6 15 22 2 3 2 32 2 2 2x x A x Bx C x x Dx E x
diperoleh A B C D dan E= = − = = − =1 1 3 5 0, , ,
( )( ) ( ) ( ) ( )6 15 22
3 2
1
3
3
25
2
2
2 2 2 2 2x x
x xdx
xdx
x
xdx
x
xdx
− +
+ +=
+−
−
+−
+∫ ∫∫ ∫
Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus
Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2)
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
, -π < x < π . Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.
Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat diperlihatkan seperti di bawah ini. Dari : u = tan ( x/2 ). Maka :
cossec tan
xx x u2
1
2
1
12
1
12 2
=
=
+
=+
sin tan cosx x x u
u2 2 2 1 2
=
=
+
Jadi : sin & cosxu
ux
u
u=
+=
−
+
2
1
1
12
2
2 dan
x
u dxu
du2
2
11
2= ⇒ =+
−tan
Contoh
( )dx
x u
uu
duu
duu
C1
1
12
1
2
1
2
1
21
22 2+
=+
++
=
+=
−+
+∫∫∫ sin
=−
+
+2
12
tanx C
Soal Latihan ( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
1. 2
22x xdx
+∫
2. 5 3
92x
xdx
+
−∫
3. ( )
x
xdx
+
−∫
1
32
4. 5 7
4 42x
x xdx
+
+ +∫
5. x x
x xdx
2
4 319 10
2 5
+ +
+∫
6. ( )( )2 3 36
2 1 9
2
2x x
x xdx
− −
− +∫
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
7. ( )( )
20 11
3 2 4 52x
x x xdx
−
+ − +∫
8. 2 5 16
8 16
3 2
5 3x x x
x x xdx
+ +
+ +∫
9. 1
2 +∫ sin xdx
10. dx
x x x+ +∫ sin cos
11. cos
cosx
xdx
2 −∫
12. dx
x x4 3sin cos−∫
13.dx
x xsin tan+∫