3. respon sistem dinamik

1 | 3. Modul Ajar – Respon Sistem Dinamik

3. RESPON SISTEM DINAMIK

Pengantar

Gambaran Umum Pokok Bahasan Bab ini akan membawa Anda untuk mempelajari respon sistem dalam berbagai orde. Respon terhadap sitem orde satu, sistem orde dua dan sistem orde tinggi. Juga kita akan mempelajari indek kinerja dinamika sistem dengan parameter; waktu tunda, waktu naik, waktu puncak, waktu turun, maksimum overshoot. Analisa dinamika sistem dilakukan dalam keadaan tunak (tidak berubah terhadap waktu). Respon sistem dianalisis berdasarkan sinyal uji berupa step,ramp dan sinyal sinusoidal. Pada akhir bab ini akan dibahas bagaimana mengurangi error keadaan tunak dengan merancang kompesator. Sepanjang pembahasan, Anda akan diberikan contoh-contoh dalam menyelesaikan masalah dengan menggunakan program MATLAB. Sedangkan untuk memperkuat pemahaman telah disediakan beberapa soal asesmen, sebagai umpan balik pencapaian belajar Anda.

1. Karakteristik Sistem 2. Sinyal uji 3. Karakteristik Respon Sistem

Orde Satu, 4. Karakteristik Respon Sistem

Orde Dua, 5. Karakteristik Respon Sistem

Orde Tinggi, 6. Analisis Kestabilan Routh

Tujuan Pembelajaran 1. Mampu membandingkan respon dinamika sistem orde satu, orde dua dan

orde tinggi, 2. Mampu menjelaskan respon dinamika sistem dengan masukan sinyal uji

step, ramp dan sinusoidal. 3. Mampu membedakan karakteristik respon sistem orde satu, orde dua dan

orde tinggi, 4. Mampu menjelaskan perbedaan antara respon sistem ranah waktu dan

ranah frekuensi, 5. Meningkatkan kepekaan terhadap cirri-ciri respon sistem orde satu, orde

dua dan orde tinggi, terhadap sinyal uji step, ramp dan sinusoidal.


Karakteristik suatu sistem, merupakan hal yang penting bagi seorang perancang pengendali.

Karakteristik sistem dapat diperoleh dengan cara memberikan berbagai sinyal uji, yaitu sinyal uji:

step, impuls, ramp, sinusoidal. Karakteristik sistem dapat dibedakan ke dalam karakteristik sistem

open loop dan sistem close loop.

Performansi dalam domain waktu sistem loop tertutup sangat penting bagi perancangan sistem

pengendalian. Performansi sistem dinamika dalam domain waktu dapat didefinisikan sebagai

respon waktu dengan inputan sinyal uji tertentu. Secara umum sinyal uji yang digunakan adalah

fungsi step, karena jika renspon dari uji step ini dapat diketahui, maka secara matematis dapat

dilakukan perhitungan terhadap sinyal uji yang lain.

Selain respon waktu, dapat pula diperoleh respon dalam domain frekuensi. Dimana respon

frekuensi dari suatu sistem didefinisikan sebagai respon pada kondisi steady terhadap masukan

sinyal uji berupa fungsi sinusoidal.

Sinyal uji masukan yang digunakan untuk mengetahui respon sistem adalah beberapa sinyal

yang khas, diantaranya adalah : fungsi step, fungsi ramp (tangga), fungsi percepatan, fungsi impuls,

fungsi sinusoidal dan sebagainya. Dengan menggunakan sinyal uji dapat dapat digunakan untuk

analisa matematik dan secara eksperimen dari sistem pengendalian yang dirancang.

Pernyataan matematis hubungan antara masukan terhadap keluaran atau dikatakan sebagai

fungsi alih G(s)= C(s)/R(s), dengan R(s) adalah masukan dan C(s) adalah keluaran. Dalam

memperoleh keluaran dari sistem tergantung pada sinyal masukan R(s). Untuk beberapa tipe sinyal

masukan bentuk dari R(s) seperti pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.1 Beberapa sinyal uji

No Sinyal Uji R(s)

1 Impulse 1

2 Step s

1

3 Ramp 2

1

s

4 Sinusoidal 22

s

3.1 Respon Sistem Orde Satu. Dari model matematis sebuah sistem, orde dari suatu sistem dapat dilihat dari besar pangkat

varibel s (dalam transformasi Laplace). Suatu sistem dikatakan ber-orde satu jika fungsi alihnya


mempunyai variabel s dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk fisisnya bisa berupa rangkaian listrik

RC, sistem termal, atau sistem lainnya. Model sistem orde satu secara matematis dapat dituliskan

sebagai berikut,

1

1

)(

)(

TssR

sC …(3.1)

Dengan T : konstanta waktu sistem orde satu

Respon dari sistem dengan masukan sinyal tangga satuan (step), dalam bentuk transformasi Laplace

R(s)=1/s, sehingga persamaan 3.1 menjadi,

sTs

sC1

1

1)(

…(3.2)

Dengan menguraikan C(s) pada persamaan (3.2) menjadi pecahan persial diperoleh,

1

1)(

Ts

T

ssC ... (3.3)

dengan transformasi Laplace balik, persamaan (3.3) sebagai berikut,

)0(1)( / tetc Tt …(3.4)

Keluaran c(t) mula-mula nol kemudian akhirnya menjadi satu. Salah satu karakteristik penting dari

kurva tanggapan eksponensial c(t) tersebut adalah pada saat t=T (periode) harga c(t) adalah 0,632

(63,2 % dari perubahan totalnya). Hal ini dapat diperhatikan dari Gambar 3.1 di bawah,


Gambar 3.1 Kurva tanggapan eksponensial.

Tabel 3.2 Nilai respon sistem orde 1

Sedangkan tanggapan

sistem orde satu dengan masukan sinyal landai (ramp), dapat menimbulkan terjadinya kesalahan

keadaan tunak. Kesalahan keadaan tunak makin kecil, jika T juga makin kecil.

t (T) c(t) % t (T) c(t) % t (T) c(t) %

0 0 5,5 99,59132 10,5 99,99725

0,5 39,34693 6 99,75212 11 99,99833

1 63,21206 6,5 99,84966 11,5 99,99899

1,5 77,68698 7 99,90881 12 99,99939

2 86,46647 7,5 99,94469 12,5 99,99963

2,5 91,7915 8 99,96645 13 99,99977

3 95,02129 8,5 99,97965 13,5 99,99986

3,5 96,98026 9 99,98766 14 99,99992

4 98,16844 9,5 99,99251 14,5 99,99995

4,5 98,8891 10 99,99546 15 99,99997

5 99,32621

T T T T T T

63,2%

86,5% 95,0% 98,2% 99,3%

c(t)=1 – e-t/T


Contoh Soal 3.1 :

Gambar di bawah sebelah kiri adalah sebuah control valve, berfungsi mengatur aliran fluida sesuai

dengan setting yang dikehendaki. Sedangkan gambar sebelah kanan menunjukkan skema dari

control valve dengan katup diafragma pneumatik. Pada kedudukan tetap tekanan pengendalian dari

pengendali adalah cP , tekanan dalam katub juga cP , dan perpindahan batang katup adalah X .

Anggap bahwa pada saat t=0 tekanan pengendalian diubah dari cP menjadi cP +pc. Kemudian

tekanan katup akan dirubah dari cP menjadi cP +pv. Perubahan dalam tekanan katup pv akan

menyebabkan perpindahan batang katup berubah dari X menjadi X +x. Dapatkan fungsi alih

antara perubahan perpindahan batang katup x dan perubahan tekanan pengendalian pc.

Gambar 3.2 Control Valve dengan katup diafragma pneumatik.

Jawab :

Dipilih laju arus udara dalam katup diafragma adalah q dengan tahanan R. jadi,

R

ppq vc dan

R

pp

dt

dpCq vcv

Dari dua persamaan diatas diperoleh persamaan diferensial sistem,

cvv pp

dt

dpRC ... (3.5)

dengan memperhatikan bahwa,

kxAp v ... (3.6)


Sedangkan,

cpx

dt

dxRC

A

k

... (3.7)

Maka fungsi alih dengan keluaran x dan masukan pc adalah,

1

/

)(

)(

RCs

kA

sP

sX

c

... (3.8)

Fungsi alih pada persamaan (3.8) di atas adalah sistem ber orde-1, menggambarkan perpindahan

batang katup, terhadap tekanan pengendali.

Latihan Soal 3.1 :

Dari contoh soal 3.1,

(a) Buat blok diagram sistem pengendalian.

(b) Jika diketahui A/k=10 dan RC=25, cari tanggapan tangga satuan (pc) sistem x(t) dan buat

kurva tanggapan tangga satuan dengan menggunakan program MATLAB.

Respon sistem orde satu dengan sinyal uji Impulse

Sebuah sistem orde satu , dengan masukan fungsi impulse saat kondisi awal adalah nol,

response dari sinyal uji ini dikatakan sebagai Response impulse dari G(s) atau sama dengan respon

dari step sG(s). Response impulse dari sistem berikut ini :

1

1)(

)(

)(

ssG

sR

sC

Karena R(s) = 1, maka diperoleh :

1

1)()(

ssGsC

Untuk mengetahui respon impulse dari sistem orde satu, dapat digunakan bantuan program

MATLAB sebagai berikut,

%unit impulse - response num=[ 1 0]; den = [1 1]; step(num,den), grid title('Impulse response satuan dari G(s) = 1/(s+1)')

Keluaran program seperti terlihat pada gambar di bawah ini,


Gambar 3.3 Respon unit impulse untuk sistem orde satu

3.2 Respon Sistem Orde Dua. Sistem orde dua mempunyai fungsi alih dengan pangkat s tertinggi dua. Biasanya dinyatakan

dengan rasio redaman , frekuensi alami tak teredam n, yang dinyatakan dalam bentuk fungsi alih

sebagai berikut,

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

…(3.8)

Blok diagram sistem sebagai berikut,

Gambar 3.4 Sistem orde dua.

Perilaku dinamika sistem orde dua dapat digambarkan dalam suku dua parameter dan n. Jika

0<<1, maka loop tertutup merupakan konjugat kompleks dan berada pada setengah sebelah kiri

bidang s. Dalam hal ini sistem dikatakan dalam keadaan teredam, dan tanggapan transien berosilasi.

R(s) E(s) C(s) +

-


Jika =1, maka sistem dikatakan dalam keadaan teredam kritis. Sedangkan >1 sistem atas redaman

(overdamped).

Keadaan Teredam (0<<1):

Fungsi alihnya dapat dituliskan,

))(()(

)(2

dndn

n

jsjssR

sC

…(3.9)

dimana 21 nd disebut frekuensi alami teredam, dengan masukan sinyal tangga satuan

(step), keluaran sistem adalah,

222 )()(

1)(

dn

n

n

n

ss

s

ssC

…(3.10)

transformasi Laplace balik dari persamaan (3.10) diperoleh,

)0(1

tan1

1)(2

1

2

ttSine

tc d

tn

…(3.11)

dari persamaan (3.11) dapat dilihat bahwa frekuensi osilasi transien adalah frekuensi osilasi

teredam d dan bervariasi terhadap rasio redaman . Sinyal kesalahan sistem yang merupakan

selisih antara sinyal masuk dan sinyal keluar dituliskan,

)0(1

tan1

)()()(2

1

2

ttSine

tctrte d

tn

…(3.12)

Sinyal kesalahan ini menunjukan osilasi sinusoida teredam. Pada keadaan tunak t=, tidak terdapat

kesalahan antara masukan dan keluaran.

Apabila ratio redaman =0, tanggapan menjadi tak teredam dan berosilasi terus-menerus untuk

waktu yang tak tentu.

Keadaan Teredam Kritis ( = 1) :

Dengan masukan sinyal tangga satuan, tanggapan sistem C(s) dituliskan,

ss

sCn

n

2

2

)()(

…(3.13)


Transformasi Laplace balik dari persamaan (3.13) adalah,

)0()1(1)(

ttetc n

tn …(3.14)

Pada keadaan tunak t=, tidak terdapat kesalahan antara masukan dan keluaran dan tidak terjadi

osilasi.

Keadaan Atas Redaman (overdamped) ( > 1) :

Dengan masukan sinyal tangga satuan, tanggapan sistem C(s) dituliskan,

sss

sC

nnnn

n

11)(

22

2

...(3.15)

Transformasi Laplace dari persamaan (3.15) adalah,

)0(12

1)(21

2

21

ts

e

s

etc

tstsn

…(3.16)

dimana

n

n

s

s

1

1

2

2

2

1

Jadi tanggapan c(t) meliputi dua suku eksponensial.

Dari persamaan (3.16) tanggapan sistem akibat pengaruh –s1 jauh lebih kecil daripada –s2, hal ini

disebabkan suku yang mengandung s1, meluruh jauh lebih cepat dari yang lainnya.

Perhatikan gambar berikut, tanggapan sistem c(t) sebagai fungsi nt untuk beberapa harga rasio

redaman .


Gambar 3.5 Kurva tanggapan tangga satuan untuk sistem pada persamaan 3.16.

Karakteristik Kinerja Sistem.

Karakteristik kinerja suatu sitem pengendalian dicirikan oleh tanggapan transien terhadap

masukan sinyal uji tangga satuan (step). Jika tanggapan terhadap masukan sinyal uji tangga satuan

diketahui, maka secara matematis dapat dihitung tanggapan untuk sembarang masukan. Tanggapan

transien suatu sistem pengendalian secara praktis selalu menunjukan osilasi teredam sebelum

mencapai keadaan tunaknya.

Indek kinerja dari suatu sistem pengendalian adalah sebagai berikut :

1. Waktu tunda (delay time) td : adalah waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk mencapai

setengah (50%) nilai akhir untuk waktu yang pertama.

2. Waktu naik (rise time) tr : adalah waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk naik dari 10%

menjadi 90%, 5% menjadi 95% atau 0% menjadi 100% dari nilai akhir yang digunakan. Untuk

sistem atas redaman (overdamped) waktu naik yang biasa digunakan 10% menjadi 90%.

3. Waktu puncak (peak time) tp : adalah waktu yang diperlukan tanggapan untuk mecapai puncak

pertama overshoot.


4. Maksimum (persen) overshoot (Mp) : adalah nilai puncak kurva tanggapan diukur dari satuan.

Apabial nilai akhir keadaan tunak tanggapannya jauh dari satu, maka biasa digunakan persen

overshoot maksimum, dan didefinisikan oleh,

%100x)(

)()(overshoot (persen) Maksimum

c

ctc p

5. Waktu Turun (settling time) ts : waktu yang diperlukan untuk tanggapan tangga satuan masuk

daerah kreteria 2% atau 5% dari nilai akhir.

Untuk melengkapi penjelasan perhatikan gambar berikut,

Gambar 3.6 Kurva tanggapan tangga satuan dengan indek kinerja : td , tr, tp, Mp.

Contoh Soal 3.2 :

Respon Impulse dari sistem orde dua

Perhatikan sistem orde dua dibawah ini :

12,0

1)(

)(

)(2

ss

sGsR

sC

Untuk masukan impulse , R(s) = 1, diperoleh persamaan kelauaran :

sss

ssC

1.

12,0)(

2


Perhatikan bentuk persamaan tersebut diatas, bila digunakan bantuan program Matlab, untuk

mendapatkan respon sistem orde dua dengan masukan impulse, dengan program yang dinyatakan

dalam bentuk tabel di bawah ini.

%unit impulse - response sistem orde dua num=[ 0 1 0]; den = [1 0.2 1]; step(num,den), grid title('Impulse response satuan dari G(s) = 1/(s^2+0,2s+1)')

Gambar 3.7 Respon impulse dari sistem orde dua

Response Ramp dari sistem orde dua

Perhatikan sistem orde dua yang dinyatakan dalam bentuk fungsi alih di bawah ini :

1

1

)(

)(2

sssR

sC

Dengan masukan fungsi ramp, R(s) = 1/s2, maka diperoleh persamaan keluaran :

ssssss

sC

232

11.

1

1)(

Persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk :

ssss

sC1

.1

1)(

2


Dari persamaan tersebut diatas, bahwa respon ramp dapat diperoleh dari respon fungsi step dengan

mengalikan faktor s pada polinomial penyebutnya.

Untuk mengetahui respon sistem orde dua dengan masukan fungsi ramp, dengan bantuan program

Matlab, seperti terlihat pada tabel berikut dan keluarannya seperti terlihat pada Gambar 3.8.

%respon sistem orde dua dengan masukan unit ramp - response sistem

orde dua num=[ 0 0 0 1]; den = [1 1 1 0]; t=0:0.05:10; c= step(num,den,t); plot(t,c,t,t); grid, title('Ramp response dari G(s) = 1/(s^2+s+1)'), xlabel('waktu -

detik'), ylabel('output c(t)')

Gambar 3.8 Keluaran renspon sistem orde dua dengan masukan fungsi ramp.

Untuk menganalisa berbagai sistem dengan masukan ramp satuan, perhatikan tiga buah sistem yang

digambarkan dalam blok diagarm dibawah ini.


Gambar 3.9 Blok diagram 3 sistem untuk contoh soal 3.2

Fungsi alih dari ketiga sistem :

Sistem 1

12,0

1

)(

)(2

1

sssR

sC

Sistem 2

1

18,0

)(

)(2

2

ss

s

sR

sC

Sistem 3

1

1

)(

)(2

3

sssR

sC

Untuk ketiga sistem tersebut di atas, akan dibandingkan keluarannya, dengan menggunakan

bantuan program MATLAB.

R(s) E(s) C(s) 5

Sistem 1

R(s) E(s) C(s) 5(1+0,8s)

Sistem 2

R(s) E(s) C(s) 5

Sistem 3

1+0,8s

+

+

+

-

-

-


%respon tiga sistem dengan masukan unit ramp num1=[0 0 0 1]; den1= [1 0,2 1 0]; num2= [0 0 0,8 1]; den2 = [1 1 1 0]; num3= [0 0 0 1]; den3 = [ 1 1 1 0]; t=0:0.05:20; c1= step(num1,den1,t); c2= step(num2,den2,t); c3= step(num3,den3,t); plot(t,c1,'.',t,c2,'x',t,c3,'--',t,t); grid, title('Ramp response untuk 3 buah sistem yang berbeda '),

xlabel('waktu - detik'), ylabel('output c(t)')

Gambar 3.10 Hasil keluaran program untuk contoh soal 3.2

Terlihat pada gambar di atas, sistem 2 dan sistem 3 cenderung menghasilkan respon dengan

ess – eror steady state yang tetap sepanjang waktu. Ess dari sistem 2 lebih besar dibandingkan

dengan sistem 3. Pada sistem 1 , keluaran sistem selalu berfluktuasi dan cenderung membesar

dengan kenaikan waktu. Bentuk sistem seperti ini tidak stabil.


Contoh Soal 3.3 :

Suatu sistem orde-2, dengan rasio redaman =0,6 dan frekuensi alami tak teredam n=5 seperti pada

gambar berikut,

R(s) C(s)

Cari indek kinerja dan gambar kurva tanggapan tangga satuan sistem di atas.

Jawab :

Untuk menjawab, digunakan program MATLAB, untuk membuat kurva tanggapan tangga satuan

sistem dan program M-file timespec(num,den) untuk menghitung indek kinerja sistem sebagai

berikut :

num=25; den=[1 6 25];

t=0:0.02:2;

c=step(num,den,t);plot(t,c),

xlabel('t - det'), ylabel('c(t)'),grid,pause

timespec(num,den)

Gambar 3.11 Kurva tanggapan tangga satuan sistem.

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t - det

c(t

)

22

2

2 nn

n

ss


Indek kinerja sistem :

Peak time = 0.786667 Settling time = 1.18667

Rise time = 0.373333 Percent overshoot = 9.47783

Latihan Soal 3.2 :

Suatu sistem orde-2, seperti pada gambar berikut,

Cari indek kinerja dan gambar kurva tanggapan tangga satuan sistem diatas.

Contoh Soal 3.4 :

Sistem servomekanis seperti pada blok diagram di bawah. Tentukan harga d dan e sehingga

tanggapan tangga satuan mempunyai overshoot maksimum 40 % dan waktu puncak 0,8 detik.

Jawab :

Maksimum overshoot diperoleh dengan rumus,

100x21/

eM p …(3.17)

atau jika dinyatakan secara eksplisit untuk rasio redaman diperoleh rumus,

2

2 100

100

p

p

MLog

MLog

…(3.18)

Frekuensi alami tak teredam diperoleh dengan persamaan,

21

p

n

t …(3.19)

R(s) C(s)

R(s) +

-

C(s)


Waktu turun ts didefinisikan sebagai berikut,

5%) (kriteria3

3

2%) (kriteria4

4

n

s

n

s

Tt

Tt

…(3.20)

Dengan menggunakan persamaan (3,17) dan (3.18), diperoleh =0,28 dan n=4,0906.

Dari blok diagram di atas diperoleh fungsi alih dari sistem,

dsdes

d

sR

sC

)1()(

)(2

Berdasarkan persamaan (3.17), diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut,

222 2)1( nnssdsdes

sehingga diperoleh : 733,16)0906.4( 22 nd

de + 1 = 2(0,28)(4,0906) atau e = 0,077

Program MATLAB :

Dengan menggunakan program MATLAB sebagai berikut,

os = 40; tmax=.80;

z= log(100/os)/sqrt( pi^2 +(log(100/os))^2 ) % From Eq.(3.18)

wn = pi/(tmax*sqrt(1-z^2)) % From Eq.(3.19)

num = wn^2;

den =[1 2*z*wn wn^2];

t=0:0.02:4;

c = step(num, den, t); plot(t, c),

title('Kurva tanggapan tangga satuan sistem')

xlabel('t - det. '), ylabel('c(t)'), grid, pause

timespec(num, den)



Hasil keluaran program sebagai berikut,

rasio redaman

z = 0.2800

frekuensi alami tak teredam

n = 4.0906

Indek kinerja sistem :

Peak time = 0.803239 Percent overshoot = 39.9965

Rise time = 0.314311 Settling time = 3.37011

Latihan Soal 3.3 :

Sistem yang dinyatakan seperti pada blok diagram dibawah. Diketahui =0,6 dan n=5 rad/det.

R(s) E(s) C(s) +

-

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5Kurva tanggapan tangga satuan sistem

t - det.

c(t)


Hitung waktu naik tr, waktu puncak tp, waktu turun ts, dan persen maksimum overshoot Mp (lengkapi

jawaban dengan menggunakan program MATLAB) dan gambarkan kurva tanggapan tangga satuan

sistem.

Contoh Soal 3.5

Dengan menggunakan program Matlab, hasilkan respon step dari karakteristik dalam domain waktu

untuk sistem yang dinyatakan dalam blok diagram berikut ini, dimana nilai ωn = 5, dan =0,6

Gambar 3.13 Hasil keluaran program Matlab untuk contoh soal 3.5

Contoh Soal 3.6 :

R(s) C(s)


Dengan menggunakan program Matlab, hasilkan respon step dari karakteristik dalam domain waktu

untuk sistem yang dinyatakan dalam blok diagram berikut ini, dimana nilai ωn = 5, dan =0,2;0,4;

0,6 ; 0,8; 1.

%file example bab 3.6 psi1=0.2; psi2=0.4; psi3=0.6; psi4=0.8;psi5=1; wn=5; a21=2*psi1*wn; a22=2*psi2*wn; a23=2*psi3*wn; a24=2*psi4*wn; a25=2*psi5*wn; num = 25; den1 = [1 a21 25]; den2 = [1 a22 25]; den3 = [1 a23 25]; den4 = [1 a24 25]; den5 = [1 a25 25]; t = 0:0.05:5; c1=step(num,den1,t); c2=step(num,den2,t); c3=step(num,den3,t);

c4=step(num,den4,t); c5=step(num,den5,t); plot(t,c1,t,c2,t,c3,t,c4,t,c5), xlabel('t - detik'); ylabel('c(t)'), title('Respon step sistem orde

dua dengan wn konstan dan psi variabel');grid,

Gambar 3.14 Hasil keluaran program Matlab untuk contoh soal 3.6

Terlihat pada Gambar 3.6 dengan berbagai nilai menghasilkan respon yang berbeda. Dengan

kenaikan nilai terjadi kenaikan overshoot, saat = 0,2 dan 0,4 tidak terjadi overshoot, respon

sistem seperti ini dikatakan sebgai sistem orde satu. Sedangkan pada saat = 0,6; 0,8 dan 1

dikatakan respon dari sistem orde dua.

Contoh Soal 3.7 :


Perhatikan sistem pengendalian Proporsional pada blok diagram gambar di bawah ini. Pada sistem

ini pengendali proporsional mengontrol posisi dengan gangguan torsi N. Bila sistem mempunyai

momen inersia J dan gesekan viskous b, analisalah hasil respon dengan menggunakan bantuan

Matlab, untuk kondisi saat Kp = 1 dan Kp = 4.

Jawab :

Asumsi bahwa referensi dari masukan R(s) = 0, fungsi alih dari C(s) dengan N(s) adalah :

pKbsJssN

sC

2

1

)(

)(

Dan

pKbsJssN

sC

sN

sE

2

1

)(

)(

)(

)(

Eror steady state ess terhadap gangguan torsi N fungsi step dengan besaran Tn adalah :

p

n

n

pt

tss

K

T

s

T

KbsJs

s

ssEe

.lim

)(lim

20

0

Besarnya eror steady state dapat dikurangi dengan cara menaikkan nilai gain Kp, tetapi dengan

kenaikan Kp juga akan menyebabkan pada respon muncul osilasi. Misalkan dalam kasus ini dbuat

dua kondisi dengan Kp = 1 dan Kp = 4.

Kasus I. Kp = 1, J = 1 dan b = 0,5

15,0

1

)(

)(2

sssN

sC

Kasus I. Kp = 4, J = 1 dan b = 0,5

45,0

1

)(

)(2

sssN

sC

Kp

N

+ +

+

-


Untuk Kasus 1

num1 = [0 0 1]

den1 = [1 0.5 1]

Untuk Kasus 2

Num2 = [0 0 1]

Den2 = [1 0.5 4]

Dengan menggunakan program Matlab, untuk contoh soal tersebut di atas :

num1 = [0 0 1]; den1 = [1 0.5 1]; num2 = [ 0 0 1]; den2 = [1 0.5 4]; t = 0:0.05:20, c1=step(num1,den1,t); c2=step(num2,den2,t); plot(t,c1,t,c2), xlabel('t - detik'); ylabel('c(t)'), title('Respon step untuk dua

sistem dengan Kp = 1 dan Kp = 4');grid,

Gambar 3.15 hasil keluaran program untuk contoh soal 3.8


3.3 Respon Sistem Orde Tinggi. Pembahasan sistem orde tinggi, hanya dipusatkan pada sistem orde-3. Dibicarakan

tanggapan tangga satuan yang umum diterapkan pada sistem orde-3 yang fungsi alih loop

tertutupnya adalah,

)10())(2()(

)(22

2

psss

p

sR

sC

nn

n …(3.21)

Tanggapan tangga satuan dari sistem ini dapat diperoleh sebagai berikut,

)0(1)2(1

1

]1)2([

1)2(

1)2(1)(

22

2

2

22

2

te

tSin

tCose

tcpt

n

ntn

…(3.22)

dengan, n

p

…(3.23)

Perhatikan bahwa 0)1()1(1)2( 2222

Maka koefisien dari suku e-pt selalu negatif.

Perhatikan Gambar 3.7 di bawah, menunjukan kurva tanggapan tangga satuan sistem orde-3 untuk

berbagai harga rasio dengan =0,5.

Akibat dari kutub real s = -p pada tanggapan tangga satuan akan menurunkan overshoot maksimum

dan mempertinggi waktu turun.


Gambar 3.16 Kurva tanggapan tangga satuan sistem orde tiga.

Contoh Soal 3.8 :

Sistem yang dinyatakan dengan fungsi alih sebagai berikut,

)256)(16,01(

)4,01(25

)(

)(2

sss

s

sR

sC

Gambarkan kurva tanggapan tangga satuan dan juga hitung idek kinerja sistem dengan

menggunakan program MATLAB.

Jawab :

Bedasarkan fungsi alih diatas, program MATLAB disusun sebagai berikut,

num = [10, 25];

den = [0.16 1.96 10 25];

t=0:0.02:2;

c = step(num, den, t); plot(t, c),

title('Tanggapan tangga satuan sistem orde-3')

xlabel('t - det. '), ylabel('c(t)'), grid, pause

timespec(num, den)


Indek kinerja sistem, Peak time = 0.553333 Percent overshoot = 37.9675

Rise time = 0.206667 Settling time = 1.59

Kurva hasil keluaran program, seperti tampak pada Gambar 3.8 di bawah.


Latihan Soal 3.4 :

Dari contoh soal 3.8. cari indek kinerja sistem (peak time, rise time, settling time, dan percen overshoot)

dengan menggunakan persamaan (3.17 – 3.20) dan (3.21 – 3.23) jika mungkin.

3.4 Kriteria Kestabilan Routh Kriteria kestabilan Routh memberikan informasi pada kita apakah terdapat akar positif pada

persamaan polinomial tanpa penyelesaian persmaan polinomial tersebut. Apabila kriteria ini

diterapkan untuk suatu sistem pengendalian, informasi tentang kestabilan mutlak dapat diperoleh

secara langsung dari koefisien persamaan karakteristik.

Prosedure dalam menentukan kriteria kestabilan Routh adalah sebagai berikut :

(1). Tulis persamaan polinomial dalam bidang s sebagai berikut,

01

1

1

nn

nn

o asasasa …(3-1)

dengan koefisien ai merupakan besaran real. Anggap bahwa an0 sehingga terdapat akar nol

yang dihilangkan.

(2). Apabila terdapat koefisien nol atau negatif maka koefisien positif terkecil adalah akar

imajiner yang mempunyai bagian real positif, dalam hal ini sistem tidak stabil.

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Tanggapan tangga satuan sistem orde-3

t - det.

c(t)


(3). Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris kolom sesuai pola

berikut,

1

0

1

1

21

2

4321

4

4321

3

4321

2

7531

1

6420

gs

fs

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

…(3-2)

dimana,

1

70613

1

50412

1

30211

a

aaaab

a

aaaab

a

aaaab

1

41713

1

31512

1

21311

b

baabc

b

baabc

b

baabc

1

31312

1

21211

c

cbbcd

c

cbbcd

Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap.

Kriteria kestabilan Routh menyatakan bahwa jumlah akar persamaan (2) dengan bagian real

positif sama dengan jumlah perubahan tanda dari koefisien kolom pertama. Harus diperhatikan

bahwa nilai yang tepat pada kolom pertama tidak dipentingkan, hanya perubahan tanda yang harus

diperhatikan. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil, adalah semua koefisien pada kolom

pertama mempunyai tanda positif.

Contoh Soal 3-1: Gunakan kriteria kestabilan Routh untuk polinomial orde tiga berikut,

032

2

1

3

0 asasasa

agar semua koefisien positif.

Jawab. Susunan koefisien adalah sebagai berikut,


3

0

3

1

30211

31

2

20

3

as

aa

aaaas

aas

aas

Syarat agar semua koefisien pada kolom pertama menjadi positif haruslah 3021 aaaa , dan sistem akan

stabil. Latihan Soal 3-1:

Perhatikan persamaan polinomial berikut,

05432 234 ssss Periksa dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh. Keadaan Khusus. (1). Apabila suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, tetapi suku lainya tidak nol atau

tidak terdapat suku lain maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif yang sangat kecil agar

array dapat dihitung.

Contoh Soal 3-2: Periksa polinomial berikut dengan kriteria kestabilan Routh,

022 23 sss Jawab : Susunan koefisiennya adalah,

2

ε0

22

11

0

1

2

3

s

s

s

s

apabila tanda koefisien di atas nol () sama dengan di bawah nol, menunjukan bahwa terdapat

pasangan akar imajiner.

(2). Apabila tanda koefisien diatas nol () berlawanan dengan yang dibawah menunjukan bahwa

terdapat satu perubahan tanda.

Contoh Soal 3-3: Periksa polinomial berikut dengan kriteria kestabilan Routh,

0)2()1(23 23 ssss


Jawab : Susunan koefisiennya adalah,

2

-3-

2ε0

31

:perubahan Satu tanda

:perubahan Satu tanda

0

ε21

2

3

s

s

s

s

Terdapat dua perubahan tanda koefisien dikolom pertama. Hal ini sesuai dengan hasil pemfaktoran

persamaannya.

(3). Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukan bahwa akar-

akar besaran yang sama terletak berlawanan secara radial pada bidang s, yaitu, dua akar real dengan

besaran yang sama dan tandanya berlawanan sehingga dua akar konjugat imajiner. Jadi jika suatu

baris, mempunyai koefisien semuanya nol, maka baris diatasnya (suku banyak pembantu) digunakan

untuk menggantikannya, dengan terlebih dahulu melakukan operasi turunan.

Contoh Soal 3-4: Perhatikan polinomial berikut,

0502548242 2345 sssss

Periksa dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh.

Jawab : Susunan koefisien adalah,

00

50482

25241

3

4

5

s

s

s

Suku banyak pembantu P(s)

karena semua koefisien pada baris s3 nol, maka dapat menggunakan baris diatasnya (s4) sebagai suku

banyak pembantu sebagai berikut,

50482)( 24 sssP

ssds

sdP968

)( 3

Susunan koefisien yang baru adalah,

50

07,112

5024

968

50482

25241

0

1

2

3

4

5

s

s

s

s

s

s

Suku banyak pembantu P(s)/ds


Terlihat bahwa terdapat satu perubahan tanda pada kolom pertama pada array baru. Jadi, persamaan

asal mempunyai satu akar dengan bagian real positif. Dengan menyelesaikan akar-akar suku banyak

pembantu,

050482 24 ss

atau s = 1, dan s = j5

dua pasang akar-akar merupakan bagian dari akar-akar persamaan asal. Sebagai bukti bahwa

persamaan asal dapat ditulis dalam bentuk faktor berikut,

0)2)(5)(5)(1)(1( sjsjsss

Jelas persamaan asal mempunyai satu akar dengan bagian real positif. Latihan Soal 3-2: Periksa kondisi kestabilan persamaan polinomial berikut,

a). 024503510 234 ssss

b). 0242274 234 ssss

c). 024205 24 sss Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh. Latihan Soal 3-3: Perhatikan fungsi alih berikut,

Kssss

K

sR

sC

)2)(1()(

)(2

Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, cari harga K agar sistem stabil.

3.5 Analisis Kesalahan Keadaan Tunak. Sudah menjadi sifat fisik sistem pengendalian selalu mengalami kesalahan keadaan tunak

dalam memberikan tanggapan terhadap suatu jenis masukan tertentu. Sistem mungkin tidak

mempunyai kesalahan keadaan tunak untuk masukan tangga, tetapi sistem yang sama dapat

menunjukkan kesalahan keadaan tunak untuk masukan landai (ramp). Satu-satunya cara untuk

menghilangkan kesalahan keadaan tunak adalah dengan mengubah struktur sistem. Apakah suatu

sistem akan menunjukkan kesalahan keadaan tunak atau tidak tergantung pada jenis fungsi alih loop

terbuka sistem.

Perhatikan blok diagram sistem loop tertutup sebagai berikut,


Fungsi alih loop tertutup dituliskan,

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

…(3.24)

dan besarnya kesalahan loop tertutup sistem,

)()()(1

1)()()()( sR

sHsGsCsHsRsE

…(3.25)

Kesalahan keadaan tunak dapat dinyatakan sebagai berikut,

)()(1

)(lim

0 sHsG

ssRe

sss

…(3.26)

Untuk berbagai jenis masukan kesalahan keadaan tunak menjadi,

Masukan step:

ps

ssKsHsG

e

1

1

)()(lim1

1

0

…(3.27)

Masukan ramp :

vs

ssKsHssG

e1

)()(lim

1

0

…(3.28)

Masukan parabolic :

as

ssKsHsGs

e1

)()(lim

12

0

…(3.29)

Untuk mendefinisikan tipe sistem, fungsi alih loop terbuka dituliskan sebagai berikut,

)1()1)(1(

)1()1)(1()()(

21 sTsTsTs

sTsTsTKsHsG

p

N

mba

…(3.30)

G(s)

H(s)

R(s) C(s) +

-


Suatu sistem dikatakan tipe-0, tipe-1, tipe-2, ….jika N=0, N=1, N=2, …Perhatikan bahwa penggolongan

ini berbeda dengan orde sistem. Jika tipe suatu sistem bertambah besar, maka ketepatannya

meningkat, tetapi kestabilan sistem akan memburuk. Dalam prakteknya, agak mustahil memperoleh

sistem tipe-3 atau yang lebih besar, karena pada umumnya sulit untuk merancang sistem yang stabil

dengan lebih dari dua integrasi pada lintasan umpan maju.

Tabel 3.3 Kesalahan Keadaan Tunak.

N Kesalahan Keadaan Tunak Masukan Step

r(t)=1 Masukan Ramp

r(t)=t Masukan Parabolik

r(t)=1/2t2

0

pK1

1

1 0

vK

1

2 0 0

aK

1

Contoh Soal 3.12 :

Tentukan tetapan kesalahan dengan masukan step, ramp, parabolic dan kesalahan keadaan tunak

berdasarkan fungsi alih sistem berikut,

)5)(2)(1(

)4(10)(

ssss

ssG

Jawab :

Dengan menggunakan program MATLAB, jawab dari soal di atas dapat dinyatakan sebagai berikut,

k=10;

z = [-4; inf; inf; inf];

p = [0; -1; -2; -5];

errorzp(z,p,k)

Hasilnya adalah,

Sistem type is 1

Error Constants:

Kp Kv Ka

Inf 4 0

Steady-state Errors:

Step Ramp Parabolic

0 0.2500 Inf


Contoh Soal 3.13 : Dengan menggunakan program MATLAB tentukan respon sistem dengan fungsi alih sebagai

berikut

asssG

1

1)( dengan a = - 0,01, 0 dan 0,01

Gambar 3.21 Respon open loop dan close loop untuk contoh soal 3.13 dengan menggunakan program MATLAB

Contoh Perancangan Kompensator

Kompensator dirancang untuk memenuhi spesifikasi kondisi transien maupun steady. Kompensator

dirancang dengan menggunakan metode root locus. Biasanya kompensator lag digunakan untuk


menmperkecil eror steady state tanpa mempengaruhi performansi kondisi transien. Fungsi alih dari

kompensator lag,

1

1

1

1

)(

)()(

c

c

c

c

c

c

in

out

p

s

z

s

p

s

z

s

ps

zs

sV

sVsG

Dimana bentuk suku terakhir persamaan di atas merupakan pole dan zero dari kompensator lag yang

berada pada sebelah kiri sumbu s.

Untuk kondisi eror steady state akan berkurang oleh faktor α dari kompensator lag. Ini dapat dilihat

saat nilai limit dari G(s) pada saat s0.

Tahapan dalam merancang kompensator lag.

1. Hitung nilai dari eror steady state untuk sistem Gc-transien(s) Gp(s), dimana fungsi alih Gc-

transien(s) adalah kompensator yang dirancang untuk memenuhi spesifikasi performansi

transien.

2. Hitung rasio dari eror steady state aktual terhadap yang diharapkan. Rasio ini menjadi nilai

rasio α = zc/pc.

3. Rancang kompensator :

a. Tempatkan zero dari kompensator lag ke sisi kanan dari proyeksi sumbu real pole close

loop yang dominan dengan faktor 50 – 100.

b. Tempatkan kompensator ke sisi sebelah kanan dari zero dengan suatu faktor α.

4. Jika dibutuhkan, pilih resistor dan kapasitor yang cocok untuk implementasi rancangan

kompensator.

Contoh untuk sistem berikut :

)5,1)(1)(2,0(

)8,0(375,0)(

ssss

ssGp

Spesifikasi eror steady state ess =0,2

Settling time dari respon : Ts ~ 16

Overshoot dari respon : Mov ~ 20%

Spesifikasi dua respon transien dapat dinyatakan oleh kpmpensator lead :

)6583,0(

)2,0(5192,1)(

s

ssG leadc

Fungsi alih open loop untuk merancang kompensator lag :


5,112,0

8,0375,0.

)6583,0(

)2,0(5192,1)()()(

ssss

s

s

ssGsGsG pleadc

Gambar 3.22 Letak root locus dan response step tanpa kompensator

Tabel 3.4 Tahapan dalam perancangan kompensator

Ta

hap

Phase Lag Phase Lead Lag – Lead

1

spekss

plantss

ce

eK

spekss

plantss

ce

eK

spekss

plantss

ce

eK

2 Plot

), jGKjGK pcpc

Plot ), jGKjGK pcpc Plot

), jGKjGK pcpc

3 Lokasi ωxc :

jGK pc =

180o+PMspek+10o

Lokasi ωx dan hitung

PMunkompensasi

Pilih ωxc

4 20/10 xcpc jGK

g

max PMspek + 10o PMunkomp =

(PMspek+10o) – (180o+

)xpc jGK

max (PMspek + 10o) -

(180o+ )cxpc jGK

5

g

cg

cgxc

gc

zpz

,

10

max

max

sin1

sin1

d

max

max

sin1

sin1

d

6 Lokasi ωxc : dxcdcz


d

xcpc jGK

1

log10 10 d

cd

dc

zp

7 dxcdcz

d

cd

dc

zp

d

xcpc jGKx

1

log10 10

20/10, x

g

8

g

cg

cgxc

gc

zpz

,

10

Gambar di atas menunjukkan root locus dan respon dari sistem yang tidak terkompensasi. s1 = -0,25

+ j 0,488 akan digunakan untuk merancang kompensator lead. Dengan fungsi alih G(s) yang baru

diperoleh overshoot 19,4% dan settling time 16,3 detik. Dan pole transient berada pada s = -0,25 ± j

0,488, -0,2 , -0,8285, -1,8295.

Gambar 3.23 Letak root locus dan response step dengan kompensator lead

Rangkuman :

Respon dinamika sistem orde satu mempunyai ciri bahwa bentuk fungsi eksponensial. Keadaan

tunak dapat dicapai mulai dari keadaan kurang lebih 63,2 % dari capaian keadaan tunak, atau sering

disebut dengan satu periode T.

Respon dinamika sistem orde dua dapat digambarkan dalam suku dua parameter dan n. Jika

0<<1, maka loop tertutup merupakan konjugat kompleks dan berada pada setengah sebelah kiri

bidang s. Dalam hal ini sistem dikatakan dalam keadaan teredam, dan tanggapan transien berosilasi.

Jika =1, maka sistem dikatakan dalam keadaan teredam kritis. Sedangkan >1 sistem atas redaman

(overdamped).


Sedangkan respon dinamika orde tinggi difokuskan pada sistem orde-3, dimana respon sistem

terhadap sinyal masukan step bergantung pada berbagai harga parameter rasio dengan .

Overshoot sistem akan cenderung menurun menuju pada keadaan tunak.

Karakteristik kinerja suatu sitem pengendalian yang terpenting adalah pada saat keadaan transien.

Tanggapan transien suatu sistem pengendalian secara praktis selalu menunjukan osilasi teredam

sebelum mencapai keadaan tunaknya. Indek kinerja dari sistem pengendalian yang terpenting adalah

; Waktu tunda (delay time) td, Waktu naik (rise time) tr , Waktu puncak (peak time) tp, Waktu

Turun (settling time) ts, dan Maksimum (persen) overshoot (Mp).

Pustaka utama :

1. Kuo,B.C.,”Automatic Control Sistem”,6th ed., Printice-Hall, Englewood Cliffs,NJ.,1998, halaman 361 s/d 411.

2. Ogata,K.,”Modern Control Engineering”, 4th ed., Printice-Hall, Englewood Cliff,NJ.,1997, halaman 249 s/d 343.

Pustaka penunjang : 1. Bahram Shahian, Michael Hassul,”Control Sistems Using MATLAB”, International Editions,

Printice-Hall, 1997. 2. The MathWorks, Inc.,”Control Sistem Toolbox”, Printice-Hall, 1997. 3. Syamsul Arifin, ”Kontrol Automatik II”, Jurusan Teknik Fisika-FTI-ITS, 2007.

Soal-Soal Asesmen :

1. Jelaskan, apa yang dimaksud dengan respon sistem dan sinyal uji?

2. Jelaskan perbedaan mendasar antara respon sistem orde satu, orde dua dan orde tinggi?

3. Seringkali kita menguji sistem dengan memperhatikan respon sistem terhadap sinyal uji,

jelaskan apa pertimbangan kita memberikan sinyal uji step, ramp, dan sinusoidal?

4. Jelaskan masing-masing indek kinerja suatu sistem, jika masukan suatu sistem adalah sinyal uji

ramp.

5. Secara sederhana Anda jelaskan apa yang dimaksud dengan root locus?

6. Dalam perancangan kompesaror, jelaskan pengertian tentang phase-lag, phase-lead, Lag – Lead,

dan apa perbedaan ketiganya?

7. Salah satu tujuan dalam proses pembuatan kertas adalah bagaimana caranya mempertahankan

keluaran produksi ketika menjalani proses pengeringan dan penggulungan agar menghasilkan

tebal kertas yang tetap. Bila fungsi alih dari pengendali Gc (s) dan proses G(s) adalah :

110

)(

s

KsGc


12

)(

s

KsG

Tentukanlah :

a. Fungsi alih loop tertutup

b. Kesalahan keadaan mantap dengan masukan R(s) adalah fungsi step

c. Hitunglah nilai K yang diperlukan untuk mendapatkan kesalahan keadaan mantap tidak lebih

dari 1%.

8. Sistem yang mempunyai fungsi alih loop tertutup :

1

1

)(

)(

1

2

sT

sTK

sR

sC

Carilah keluaran keadaan steady sistem jika diberi masukan r(t) = Asin ωt.

9. Tinjau sistem berumpan-balik satu yang mempunyai fungsi alih loop terbuka

G(s) = 20/( s+1)

Carilah keluaran keadaan tunak sistem terhadap masing-masing masukan berikut: (a) r(t) = Cos (t + 45°)

(b) r(t) = 2 Sin (4t - 45°)

(c) r(t) = Cos (t + 40°) - 2 Sin (4t - 45°)

10. Tentukan tetapan kesalahan dengan masukan step, ramp, parabolic dan kesalahan keadaan tunak

berdasarkan fungsi alih sistem berikut,

504

10

)(

)()(

2

sssR

sCsG

3. respon sistem dinamik

Documents