BAB 5

IR. ABDUL WAHID, MT.

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA DEPOK 2007

BAB V PERILAKU KHAS DARI SISTIM DINAMIS5.1. PENDAHULUAN Beberapa contoh pada 2 bab sebelumnya menunjukkan bahwa sistem fisik, dimana terdapat prinsip prinsip fisik yang jauh berbeda,mempunyai sifat dinamis yang sama. Sebuah konsep dimana sebuah model tunggal dapat diaplikasikan ke dalam entitas yang luas seperti proses pabrik, unit biologi, komunitas ekonomi, sehingga memberikan sebuah dasar dalam analisa sistem. Sehingga, memungkinkan untuk memahami sistem yang banyak dengan mempelajari model dasar yang lebih sedikit. Pada bab ini, kita mempelajari beberapa struktur model dasar yang sering terjadi pada proses pabrik, bersama dengan pengaruh pengaruhnya pada sifat dinamis. Dengan mempelajari ini, kita dapat mengenali pengaruh desain proses terhadap sifat dinamis. Pertama, sifat dari beberapa sistem dasar, seperti sistem orde satu dan dua serta waktu mati ( dead time ), disimpulkan dengan menggunakan hasil dari beberapa bab sebelumnya, dengan beberapa tambahan. Kedua, sifat dari sistem sederhana pada struktur seri telah ditentukan. Ketiga, sifat pada struktur paralel dari sistem sederhana telah diketahui. Keempat, pengaruh struktur recycle pada respon dinamik telah ditunjukkan. Pada bab ini terdapat investigasi dari sistem fisik yang lebih komplek pada indsutri proses seperti sistem bertahap dan sistem dengan banyak input dan output. Pada bab ini, perilaku dimana sifat dari sitem sederhana ditentukan oleh struktur proses yang umum, diperuntukkan model sederhana dan ideal, tetapi dapat disimulasikan pada contoh contoh proses penting seperti level, heat Exchanger, reaktor kimia dan menara distilasi. Hal ini membuat para insinyur untuk menguasai baik prinsip prinsip fisik dari proses yang spesifik dan teknik analisa sistem, untuk menentukan sifat dinamis dari proses yang kompleks secara kuantitatif.

5.2. ELEMEN ELEMEN SISTEM DASAR Mempelajari proses dinamis dimulai dengan elemen yang sederhana, dimana sering dikombinasikan dengan model sistem yang lebih kompleks. Struktur model dasar dari tiap elemen pertama ditentukan dan beberapa contoh fisik diberikan, dengan X sebagai input dari sitem dan Y sebagai outputnya. Prinsip prinsip proses kimia seharusnya sudah diketahui benar oleh pembaca, sementara model elektrik dan mekaniknya berdasarkan hukum Kirchoff dan Newton, dan untuk turunannya, pembaca dapat melihat referensi dari Ogata ( 1992 ) dan Weber ( 1973 ). Grafik dan hasil analisa dari input input umum pada beberapa sistem dasar dapat dilihat pada gambar 5.1. Hanya rasio amplitudo yang dijelaskan disini karena analisa respon frekuensi yang ekstensif akan

dibahas lebih detil pada bab 10, dimana sifat stabilitas yang penting ditunjukkan dan diaplikasikan pada analisa sistem kontrol.

Gambar 5.1 respon dinamis untuk berbagai elemen proses pemodelan dasar

Sistem Orde Satu Sistem orde satu terjadi sebagai hasil dari kesetimbangan massa dan energi pada sebuah sistem campuran ( lumped system ), seperti dapat dilihat pada contoh 3.1 dan 3.6. beberapa contoh lain dapat dilihat pada gambar 5.2. persamaan diferensial dan fungsitransfer dari sistem orde satu adalah sebagai berikut :

dY(t) Y (s) K + Y (t) = KP X (t).... ..... (s) G = P dt X (s) s +1

(5.1)

Respon step-nya monotonik, dengan slope maksimum pada saat terjadinya step dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 63,2 % dari perubahan akhir adalah konstan. Perubahan ke keadaan steady adalah sama dengan Kp (X )

Respon STEP:

t Y ' (t ) = K P ( X ) 1 e

(5.2)

Input impuls terjadi pada waktu yang dapat diabaikan dan memindahkan jumlah yang tak terbatas ke dalam sistem. Sebagai contoh, seringnya terdapat sejumlah kecil tracer di dalam tangki stirrer yang menunjukkan adanya impuls. Respon impuls menunjukkan peningkatan yang tiba tiba

pada waktu impuls, dimana pada tangki stirrer ideal menunjukkan bahwa konsentrasi akan berubah sesuai perbandingan massa tracer per volume. Setelah impuls ( C ), sistem akan mengikuti arah eksponensial untuk mengembalikan ke kondisi akhir. Respon impulsa:t

Y ' (t ) =

C

e

(5.3)

Untuk sistem orde satu, rasio amplitudonya tidak akan lebih besar daripada proses dengan gain Kp dan akan menurun secara monotonik sejalan dengan meningkatnya frekuensi.

AR = G( j ) =

Y ( j ) X ( j )

=

KP 1 + 2 2

(5.4)

Gambar 5.3 Proses Orde Satu

Sistem Orde Dua

Sistem orde dua terjadi ketika dua persamaan diferensial orde satu atau satu persamaan diferensial orde dua dibutuhkan untuk melakukan simulasi sifat dinamik. Beberapa contoh dapat dilihat pada gambar 5.3. Fungsi transfer untuk sistem orde dua dengan gain pada numerator ( dan tanpa zero ) dapat ditulis sebagai berikut :

2

d 2Y (t ) dY (t ) + 2 + Y (t ) = K P X (t ) 2 dt dt Y (s) K = 2 2 P G(s) = X ( s ) s + 2s + 1

(5.5)

Gambar 5.3 Proses Orde Dua (E=voltsge, z=posisi, k=konstanta spring, f=koefisien friksi, h= force, m=massa) Parameter adalah koefisien redaman dan 1.2 adalah akar dua dari polinomial, dimana menentukan eksponen dari fungsi waktu output. Ketika koefisien redaman kurang dari 1.0, sistemnya dinamakan under damped, akar dari polinomialnya kompleks dan sistemnya mempunyai sifat periodik untuk input yang tidak periodik. Contohnya, pada sitem reaktor non isotermal pada bab 3.6, dimana terdapat osilasi untuk input step, mempunyai koefisien redaman 0.15. Ketika koefisien redaman lebih besar dari 1.0, sistemnya dinamakan over damped, akar dari polinomialnya nyata dan sistemnya mempunyai respon yang tidak periodik dengan input yang juga tidak periodik. Pada sistem reaktor seri pada contoh 3.3, mempunyai koefisien redaman 1.0, dimana menunjukkan akar polinomial yang nyata dan berulang; sistem ini dinamakan critically damped.

Pada gambar 5.1 untuk sistem orde dua, terdapat 2 contoh redaman, yaitu sistem over damped dan under damped. Respon step dari sistem over damped pada kondisi steady adalah monotonik dengan slope awal adalah 0 dan titik infleksi. Harap diingat bahwa sistem under damped menunjukkan sifat periodik meskipun untuk input yang sederhana. Step respon Overdamped ( > 1)t t 1 2 e e Y = K P X 1 + 1 2 2 1 2 1

(5.6)

Step respon Critical damped ( = 1)

t t Y = KPX 1 1+ e Step respon Underdamped ( < 1)

(5.7)

1 2 Y = KPX KP e sin t + 1 2 2 1 1 = tan Xt

(5.8)

Impuls respon Overdamped ( > 1) t t 2 e1 e Y = C 1 2 1 2

(5.9)

Impuls respon Critical damped ( = 1)

Y=

C

t

2

e

(5.10)

Impuls respon Underdamped ( < 1)

1 2 Y= e sin t 2 1 Ct

(5.11)

Baik respon step dan impuls sistem orde dua, mempunyai respon awal yang lebih gradual daripada sistem orde satu. Sistem over damped mendekati nilai akhirnya secara halus, sedangkan sistem under damped menunjukkan adanya osilasi.

Rasio amplitudo dari respon frekuensi akan menurun secara monotonik pada sistem over

damped dan mulai bertahap dari Kp sekitar frekuensi sebesar 1 . Rasio amplitudo sistem orde dua

dengan koefisien redaman dibawah 0,707 menghasilkan Kp yang melebihi kisaran frekuensi sebesar 1 . Efek resonansi ini dihasilkan dari kecenderungan pembentukan osilasi inheren dari sistem

yang membentuk osilasi sinus input.

AR = G( j) =

Y ( j) X ( j)

=

(1+ ) + (2)2 2 2

KP

2

(5.12)

Dead Time

Dead time atau penundaan transport dijelaskan pada contoh 4.3 untuk cairan dengan aliranberjenis plug flow dan juga dapat terjadi pada transportasi benda padat menggunakan ban berjalan (conveyor belt ). Persamaannya sebagai berikut :Y (t ) = ( X (t )

G ( s) =

Y ( s) = e s X (s)

(5.13)

Step Respon, respon impuls dan rasio amplitudo dapat ditentukan dengan mudah, karena outputnya adalah input dari waktu. Sehingga dapat disimpulkan bahwa rasio amplitudonya sama dengan 1 untuk semua frekuensi, yang dapat dibuktikan secara matematis sebagai berikut :

AR = e j = cos( ) j sin( ) = cos2 () + sin2 () = 1

(5.14)

Dead time dapat diperkirakan dengan fungsi transfer dimana ekponensial dari variabel Laplace ( e s ) diganti dengan rasio polinomial pada s. Pendekatan ini menurut perkiraan Pade, dimana dapat dilihat pada Apendiks D. Pada buku ini, kita tidak menggunakan perkiraan dead time, tetapi kita akan menentukan dead time dengan persamaan 5.13. Pengaruh dead time pada kontrol umpan balik dapat dipahami dengan menganalogikan sebagai kemudi pada mobil. Dengan adanya dead time, mobil tidak akan memberi respon walaupun kemudi diputar. Sehingga, jelas sekali bahwa mobil akan sulit dikendalikan dan akan membutuhkan keahlian dan kesabaran dari pengemudi yang sanggup menunggu hingga terjadi efek dari diputarnya kemudi.

Integrator

Integrator adalah sistem orde satu jenis khusus; contoh proses yang termasuk integrator adalah sistem level, dimana sistem ini berdasarkan kesetimbangan massa sehingga menghasilkan :

A

dL = F0 F1 dt

(5.15)

Dalam banyak kasus, aliran inlet dan outlet tidak bergantung pada level ( tidak seperti tangki pengurasan pada contoh 3.6 ). Jika tidak terdapat hubungan sebab akibat antara level dengan aliran, maka akan memberikan persamaan :

H

dY ' = X ' f (Y ' )....... h = holdup _ time dt

(516)

G ( s) =

1 Y ( s) = X (s) H s

(5.17)

Perbedaan penting dalam persamaan antara integrator dan sistem orde satu adalah kurangnya ketergantungan secara derivatif pada variabel output ( Y ); sehingga dY/dt tidak tergantung pada Y. Hal ini menghasilkan s = o pada fungsi transfer. Persamaan analitis untuk output pada integrator adalah sebagai berikut :Y ' (t ) =

X ' (t ' )dt '0

t

(5.18)

Sistem seperti ini mengakumulasi input, sehingga diberi nama Integrator. Jika deviasi pada input tetap menghasilkan angka bukan 0 dan sama tandanya, magnitudo output meningkat tanpa batas seiring dengan waktu yang meningkat. Untuk input step, Step _ respon........ Y ' = X

H

t

(5.19)

Respon impuls juga menunjukkan bahwa sistem ini mengintegrasi impuls ( luas daerah dibawah fungsi impuls ) dan output yang tetap konstan pada saat X(t) menjadi 0. Nilai dari respon impuls adalah Y=C/H. Rasio amplitudo dapat ditentukan sebagai :Frekuensi _ respon..... AR = G ( j ) = 1 1 j = = 2 H j H H

(5.20)

Seiring dengan frekuensi yang menurun, jumlah yang terakumulasi oleh integrator setiap setengah periode ( dimana berhubungan dengan amplitudo output ) meningkat.

Self Regulation

Sifat unik dari integrator adalah tidak semua proses menuju ke arah keadaan steady setelah tidak ada perubahan input dan semua input konstan. Untuk mengetahui perbedaannya secara jelas, self regulation akan dijelaskan secara singkat. Pada proses yang terjadi self regulatory, variabel output cenderung menuju keadaan steady setelah variabel input menjadi konstan Banyak proses yang mempunyai kondisi seperti diatas terjadi self regulatory, termasuk reaktor kimia, heat exchanger dan tangki pencampur. Proses Self regulatory umumnya lebih mudah

dioperasikan karena cenderung menuju ke keadaan steady. Secara alami, keadaan STEADY dapat tercapai atau tidak tergantung pada magnitudo dan arah perubahan input, sehingga kontrol proses sering digunakan pada proses self regulatory. Self regulation pada sebuah proses dapat dikenali dengan menganalisa model dinamisnya untuk menentukan apakah nilai dari variabel output mempengaruhi turunannya. Sebagai contoh, heat exchanger pada contoh 3.7 mempunyai sifat dimana umpan baliknya negatif, karena meningkatnya output ( temperatur outlet ) menyebabkan menurunnya persamaan inputT , yang menstabilkan sistem dengan penurunan : F + UA V V C P

F dT F UA UA Tcin + = T0 + V VC T V dt VCP P

(5.21)

Beberapa proses mempunyai sifat umpan balik positif dan negatif; sebagai contoh, reaktor kimia non isotermal dengan reaksi kimia eksotermik adalah : F ( H rxn )k0e C A UA UA dT F Tcin + = T0 + V V VC T + dt VCP C P P E RT

(5.22) sama

Reaktornya mempunyai umpan balik yang negatif terhadap kesetimbangan energi,

halnya dengan Heat Exchanger. Bagaimanapun, reaksi kimia eksotermik memberikan umpan balik yang positif, karena input ( - HRXN KO E-E/RT CA / CP ) meningkat keteika temperatur output meningkat. Pada nilai parameter yang ditunjukkan tabel C.1, kasus I, umpan balik yang negatif dalam proses lebih mendominasi, dan proses akan menjadi steady setelah input step. Umpan balik yang positif juga penting, dimana menunjukkan sifat periodik dan pole yang kompleks. Teori teori tambahan tentang sifat dan stabilitas proses diberikan pada Appendix C. Kebalikannya, proses non-self regulatory tidak punya kecenderungan menuju ke keadaan steady setelah semua input mencapai nilai konstannya. Jadi, adanya perubahan pada input dari keadaan steady meskipun kecil ( dan konstan ) akan menghasilkan gangguan yang besar. Sebuah proses non-self regulatory dapat diidentifikasi dari model dinamisnya, nilai dari variabel outputnya tidak berpengaruh pada turunannya, seperti yang dapat dilihat pada persamaan ( 5.15 ), sehingga turunannya bisa mempunya nilai yang konstan ( bukan 0 ) selama waktu yang lama. Tanpa adanya gangguan, proses non-self regulatory memerlukan pengontrolan proses. Sifat dinamis dari prosesnon-self regulatory akan dibahas di bab 18, bersama dengan teknologi kontrolnya yang diciptakan

khusus untuk proses ini. Kesimpulannya, banyak sistem yang berbeda yang mengikuti model dari elemen dasar, mempunyai sifat yang sama. Setelah parameternya ditentukan, sifat mereka untuk input yang

spesifik akan terlihat. Jadi, dengan pengalaman belajar dari sedikit contoh, dapat dikembangkan, dengan cermat, ke sistem yang lain.

5.3. STRUKTUR SERI DAN SISTEM SEDERHANA

Struktur dalam bentuk seri sering terdapat dalam kontrol proses. Seperti telah dibahas di bab 2, struktur ini dapat terjadi karena tahapan proses, contohnya, umpan heat exchanger, reaktor kimia, pendinginan produk, dan separasi produk. Memahami bagaimana struktur seri bekerja sangat penting dalam desain pabrik kimia dan sistem kontrol proses.V V dC ' A1 = FC ' A0 FC ' A1 dt dC ' A2 = FC ' A1 FC ' A2 dt

(5.23) (5.24)

Sistem seri yang tidak berinteraksi Ada 2 kategori utama dari sistem seri, dan sistem seri tak berinteraki adalah yang pertama. Dapat dilihat pada sistem pencampuran serperti gambar 5.4a, dimana tiap variabel intermediat mempunyai maksud fisik. Persamaan diatas mempunyai bentuk persamaan umum, yaitu :

1

dY 'i = K iY 'i 1 Y 'i ........ untuk _ i = 1.....n, _ dengan Y '0 = X ' dt

(5.25)

Semua sistem yang sesuai dengan persamaan ini dapat dikatakan sebagai sistem seri tak berinteraksi. Ciri ciri penting dari sitem ini dapat dilihat pada persamaan itu. Hanya Yn-1 dan Yn ( bukan Yn+1 ) yang terdapat pada persamaan untuk dYn/dt. Merujuk pada no.1, kandungan dari aliran di bagian bawah tidak berpengaruh pada kandungan aliran bagian atas, sebagai contoh, konsentrasi pada tangki 2 tidak mempengaruhi konsentrasi pada tangki 1, tapi berpengaruh pada konsentrasi tangki 3.

Gambar 5.4 Proses suatu sistim seri (a=tidak berinteraksi; b=berinteraksi)

Persamaan umum untuk sistem seri tak berinteraksi orde satu dapat dikembangkan dengan menggunakan transformasi Laplace pada tiap persamaan 5.25 dan membuatnya dalam bentuk satu variabel input-output. Untuk sistem seri seperti pada gambar 5.4a, tiap tangki direpresentasikan oleh fungsi transfer G1(s), sehingga fungsi trasnfer keseluruhannya :n 1 Yn ( s ) = Gn ( s )Gn 1 ( s ).........G1 ( s ) = Gn 1 ( s ) X (s) i =0

(5.26)

Untuk sistem seri orde n, persamaannya menjadi : Yn ( s) = X (s)

K (i =0 n 1 i =0 n 1

n 1

n 1

s + 1)

(5.27)

Gain dan konstanta waktu yang ada pada persamaan 5.2 mempunyai nilai yang sama untuk sistem individual, seperti pada persamaan 5.25. Jadi, model persamaan sistem yang berinteraksi dapat ditentukan secara langsung dari model persamaan individu. Jika tiap sistem stabil ( 1> 0 untuk semua i ), maka sistem seri juga stabil. Hal ini berasal dari pengamatan bahwa pole ( akar dari polinomial yang karakteristik ) dari sistem seri juga merupakan pole dari sistem individual. Sekarang, respon dinamik dari sistem seri tak berinteraksi orde satu dapat dipahami. Kasus paling sederhana dari sistem identik sejumlah n, semua dengan gain gabungan, dapat dipahami, meskipun ada banyaknya kemungkinan. Respon step pada input, X(s) = 1 / s, digambarkan pada gambar 5.5. Perhatikan bahwa waktu dibagi dengan orde sistem ( jumlah sistem dalam sistem seri ), dimana waktu membatasi responnya untuk mempermudah perbandingan. Bentuk perubahan respon berubah dari kurva eksponensial pada n = 1. Seiring dengan bertambahnya n, responnya mulai mempunyai dead time, dimana akan menghasilkan beberapa sistem orde satu secara seri. Untuk jumlah n yang sangat besar, perubahan respon output sangat tinggi pada waktu sama dengan n . Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem tak berinteraksi orde satu yang identik mempunyai sifat yang hampir sama dengan dead time dimana n ketika jumlah n sangat besar. Menilik kontrol pada umpan balik, sistem dengan beberapa sistem orde satu berbentuk seri akan sangat sulit untuk dikontrol, hal yang sama juga terjadi pada dead time. Pengamatan kedua yaitu kurva mencapai 63 % dari perubahan output pada nilai yang kira kira sama dengan t / n . Sehingga, dapat disimpulkan bahwa sistemnya selalu over damped, karena fungsi transfer mempunyai pole yang nyata sejumlah n, dimana semua pada 1 / . Rasio amplitudo dari respon frekuensi dapat ditentukan secara langsung dari fungsi transfer pada persamaan 5.27, menjadi :

AR =

1 Yn ( j ) n = G ( j ) = K i X ( j ) i =1 1 + 2 2

(5.28)

Rasio amplitudo selalu lebih kecil atau sama dengan gain keseluruhan, dan akan menurun drastis pada saat frekuensi menjadi makin besar. Rasio amplitudo untuk beberapa sistem orde satu yang identik dapat dilihat pada gambar 5.6.

Gambar 5.5 Respon dari n sistem orde pertama yang identik dan tidak saling bertinteraksi Sistem Seri yang Berinteraksi Dua sistem utama yang dirangkai secara seri maka kedua sistem akan saling berinteraksi. sistem yang berinteraksi ini bermanfaat mempertimbangkan bentuk phisik suatu umpan yang mengalir dalam proses, seperti pada Gambar 5.4b. Dengan asumsi bahwa aliran disepanjang masing-masing pipa merupakan fungsi beda tekanan, model didasarkan pada keseluruhan kesetimbangan komponen pada masing-masing vesel, yakni Ai dLi = Fi 1 Fi = K i 1 (Li 1 Li ) K i (Li Li 1 ) dt (5.29)

karena Fi = K 'i (Pi Pi +1 ) linierisasi sistem dan proporsi tekanan untuk level cairan, dibuat model yang berlaku secara umum, untuk dua sistem orde pertama yang diirangkai secara seri dan saling berinteraksi , seprti persamaan dibawah ini. H1 dY '1 = X ' K1 (Y '1 Y '2 ) dt (5.30)

H1

dY '2 = K1 (Y '1 Y '2 ) K 2 (Y '2 Y '3 ) dt

(5.31)

Ada banyak sifat phisik sistem yang penting, salah satunya yakni, seperti pada Gambar 5. 4b, strukturnya diuraikan dengan persamaan (5.30) dan (5.31); sehingga untuk analisa sistim yang berinteraksi lebih lanjut ahrus mempertimbangkan kedua persamaan diatas.

Gambar 5.6 Frekuensi respon untuk n sistem orde pertama yang identik dan tidak saling bertinteraksi, dengan Ksei = 1 Maka dalam membuat suatu model dari sitim yang berinteraksi perlu memperhatikan hal-hal sebagai berikut:

Variabel Yn-1, Yn, Yn+1 menunjukkan persamaan (dYn / dt) Sesuai dengan hal pertama, maka sifat-sifat down steram akan mempengaruhi sifat-sifat upstream; sebagai contoh pada Gambar 5.4b tekanan buang akan mempengaruhi pengukuran pada kedua prose tersebut (downstram dan upstream).

Model umum untuk sistem orde pertama dengan rangkaian saling berinteraksi, dapat dikembangkan dengan transformasi Laplace dari Persamaan (5.30) dan (5.31) dan kombinasi dari ssitem-site tersebut menjadi satu masukan-keluaran (input-output)menyisir ke dalam satu inpu ungkapan keluaran, yang mengakibatkan kutub (pole) dari sistem yang saling berinteraksi akan bebrbeda dengan kutub (pole) dari masing-masing sistem tunggal tersebut. Dalam menurunkan fungsi alih keseluruhan proses, harus menunjukkan beberapa hal yang

penting secara detil, yakni:

Hasil Hasil yang diperoleh lebih rumit dibanding untuk sistem yang tidak saling berinteraksi Prosedur Prosedur dapat diberlakukan bagi sistem dengan struktur berbeda. TransformasiLaplace dari Persamaan 5.30:1 H K1 K1 Y1 ( s ) = X ( s) + Y2 ( s )............... 1 = 1 1s + 1 1s + 1 K1 1

(5.32)

Dengan 1 merupakan konstanta waktu untuk sistim tunggal yang pertama, sehingga transformasi Laplace untuk sistim yang kedua, adalah:

2 sY2 (s) =

K1 [Y1(s) Y2 (s)] [Y2 (s) Y3 (s)]........ 2 = H2 K2 K2

(5.33)

Dan juga 1 merupakan konstanta waktu untuk sistim tunggal yang kedua. Jadi perilaku dari kombinasi kedua sistem, dapat ditentukan, dengan mensubtitusi kedu persamaan di atas:

Y2 ( s ) =

(2

1

s + 1)

1 Y3 ( s) +2

K2

K 1 2s + 1+ 2+ 1 1 s + 1 K2

K 1 2s + 1+ 2+ 1 1 s + 1 K2

X (s)

(5.34)

Konstanta waktu dari interaksi kedua sistim adalah (1 - 2), yang invers pole-nya ditentukan, yang ditentukan dari akar-akar persamaan kuadrat pada suatu perilaku fungsi polinomial.

1.2

K1 1+ 2+ K2 1 1 = =

1.2

K 1+ 2+ 1 1 4 1 2 K2 2 1 2

2

(5.35)

Sekarang, ke-empat karakeristik dynamis dari sistim yang disusun secara seri telah di bentuk, yakni:

Kemungkinan adanya kutub kompleks untuk melihat apakah terdapat perilaku yang berkala, ditentukan dari persamaan berikut:2

K K1 1+ 2+ 1 1 4 1 2= ( 1 2 )2 + K2 1 K2

K 2 1+ 2 2+ 1 1 > 0 K2

(5.36)

karena sisi sebelah kanan persamaan di atas lebih besar dari nol, sehingga persamaan di atas secara keseluruhan juga lebih besar dari nol, serta pole (kutub) yang kompleks tidak mungkin ada (terdapat) dalam sistim ini. oleh karena itu, perilaku yang berkala tidak mungkin terjadi untuk input (masukan) yang tidak berkala, seperti respon bentuk step.

stabilitas proses ditentukan dari Persamaan 5.35. dengan catatan bahwa pembilang dalam bentuk persamaan

a a2 b

(

)

0,5

, dengan a dan b bernilai positip. Oleh karena itu, kutub

(pole) untuk kedua tanda akar adalah negatif, dan sistem akan stabil.

kecepatan respon dari sistim yang disusun seri dan saling berinteraksi, tidak dapat dibandingkan dengan respon keluran sistim tunggal. Karena kutub merupakan bilangan real (nyata), sehingga persamaan karakteristik polinomial-nya adalah:

(

1

s +1)( 2s +1) = 12s2 + (1 +2 )s +1

(5.37)

maka koefisien-koefisien untuk Persamaan 5.34 dan 5.35, adalah:

12 = 1 2....._ dan_1 +2 = 1+ 2+1

K1 K2

(5.38)

Maka jumlah konstanta waktu dari keseluruhan sistem yang saling berinteraksi, lebih besar dari jumlah konstanta waktu untuk sistim tunggal. dengan kata lain interaksi sitim sangat lambat, dan cendrung untuk tidak mengalami interaksi

Persamaan 5.38 menunjukkan bahwa konstanta waktu tidak dapat diubah (dirobah) tetapi jumlahnya lebih besar. Oleh karena itu, selisih konstanta waktu untuk sistim yang berinteraksi (1 2), mempunyai nilai yang lebih besar dibandingkan selisih konstanta waktu untuk sistim-sitim tunggal (1 2); jadi waktu yang konstan (tetap) akan mulai mendominasi. Untuk hal di atas dirumuskan dengan persamaan:

( 1 2 )2 = ( 1 2 )2 + 1 K1 2 1 + 2 2 + 1 K1 K2 K2

(5.39)

Karena sistem seri yang tidak saling berinteraksi mempunyai semua kutub riil (merupakan bilangan riil), maka untuk sistem orde satu, respon dinamis sistem yang saling berinteraksi mempunyai karakteristik yang sama dengan sistem yang tidak saling berinteraksi; sehingga sisitimsistim tersebut adalah sistim yang stabil dan lewat redam. hasil yang diperoleh dari sistem yang saling berinteraksi hanya berlaku pada sistem dengan model yang sesuai (diinginkan); dan sebagai tambahan, sistim itu juga harus mempunyai variabel Yn-1, Yn, dan Yn+1 sesuai dengan persamaan (dYn / dt), koefisien dari beberapa hasil liniearisasi harus disesuaikan dengan range harga yang sesuai dengan Persamaan 5.30 dan 5.31.

Sistem seri yang tidak saling berinteraksi dan Dead Time

Seperti yang akan dibahas pada bab yang berikutnya, kita akan lebih sering menggunakan model-model sistem orde pertama dengan dead-time untuk memperkiraka (mendekati) sistem yang lebih rumit dan lebih kompleks, yakni dengan menentukan atau mengetahui respon step input

(masukan) yang monoton. Oleh karena itu, sistim orde pertama yang dirangkai seri dan tidak saling berinteraksi dan dengan dead-time, banyak digunakan untuk menyipulkan atau menarik kesimpulan pada model sistim yang lebih komleks tersebut. Hal ini diaplikasikan langsung ke Persamaan 5.26, sehingga: n n K i1 exp i s s n 1 Yn ( s ) i =1 ..... _ dengan _ G s = K i e i = G n i ( s ) = i =1 i n 1s + 1 X (s) i=0 ( i s + 1)i =1

(5.40)

Fungsi alih keseluruhan ini akan memberikan atau menyediakan suatu basis untuk persamaanpersamaan di bawah ini, yakni melalui penetuan nilai parameter kunci suatu sistem orde satu, yang dirankai seri dan tidak saling berinteraksi, serta dengan dead-time. Hubungan eksakta Perkiraan hubungan

K = Kii =1n

n

=

i =1

n

i

(5.41a) (5.41b)

t63% (i + i )i =1

Hasil gain total dan dead-time ditentukan langsung dari Penyamaan 5.40. Untuk menentukan waktu respon step suatu keluaran (output) pada nilai akhir (final value) 63%, t63%, didasarkan pada model respon suatu sistem seri yang digunakan pada metode ini. Penentuan hubungannya dapat dilihat pada Appendix D. Persamaan 5.41 digunakan untuk menentukan perilaku suatu sistem yang tidak berinteraksi, yang disusun oleh beberapa sistim tunggal. Perbandingan hasil yang diperoleh hanya merupakan suatu perkiraan, bukan nilai yang tepat. Contoh 5.1 Empat sistim orde pertama dengan dead-time, dengan parameter spsrti dalam tabel, dirangkai secara seri menjadi suatu sistim yang tidak saling berinteraksi. Respon keluaran (output) dari setiap sistim ini, akan menguraikan perubahan respon step masukan (input) sistem berinteraksi, pada saat t=2.Sistem 1 2 3 4

seri yang tidak

Dead-time, Konstanta waktu, Gain, K

0,40 1,5 1,0

0,90 3,3 0,25

1,2 5,2 3,0

1,70 0,95 1,33

Hasil pada bagian sebelumnya, untuk sistem yang tidak saling berinteraksi, menunjukkan bahwa respon keluaran akan mengalami lewat redam sigmoid. Persamaan 5.41 digunakan untuk

memperkirakan nilai-nilai kunci respon tersebut. Catat, bahwa input masuk pada saat t= 2, Jadi titititik pada Gambar 5.7 diindikasikan sebagai hasil yang diukur pada saat t=2. KP=1,0; =4,2 (setelah step); ( + ) = 15,15, maka t63% 15,15 (setelah step) Respon total dibandingkan terhadap Gambar 5.7 yakni gambar yang digunakan untuk menentukan t63%, sehingga hal ini akan memberikan suatu skala waktu untuk respon. Jadi kurva sigmoidal digambarkan dengan menghubungkan kedua titik yang ada pada gambar tersebut. Contoh 5.2 Dua sistem dirangkai sedemikian rupa, dan masing-masing sistim dibentuk dengan empat unsur, interaksi hanya nmelibatkan tentang kelambatan transportasi pencampuran dalam tangki. Terjadi perubahan respon step diakibatkan oleh komposisi umpan masing masing sistem yang mengalir dengan laju alir yang konstan. Tentukan dan bandingkan respon dinamis keluaran (output) untuk masing-masing sistem. Dengan asumsi tidak ada reaksi kimia yang terjadi, sistem memiliki gain =1,0 dan parameter dinamis lainnya, seperti dalam tabel di bawah ini: 1 Case 1 Case 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 0 2 3 0 1 3 2 0 4 2 1 4 0 0

Gambar 5.7 Respon dinamis untuk sistim yang dirangkai seri dan dengan unit step pada saat t=2 Persamaan umum dari Fungsi alih total input-output untuk sisitim ini , adalah:

Y 4 ( s ) = G 4 ( s )Y 3 ( s ) = ...... = G 4 ( s ) G 3 ( s ) G 2 ( s ) G 1 ( s ) X ( s ) Y4 ( s) 1, 0 e ( 1 + 2 + 3 + 4 ) s 1, 0 e 4 s = = X ( s ) ( 1 s + 1 )( 2 s + 1 )( 3 s + 1 )( 4 s + 1 ) (2 s + 1 )(2 s + 1 )

Karena fungsi alih total (keseluruhan) sama untuk kedua sistem, maka perilaku respon dinamis input-output-nya pun akan serupa (identik). Hal ini dibuktikan oleh reaksi dua kasus untuk step input pada saat t = 2, seperti pada Gambar 5.8, dengan variabel masing-masing Yi(t) merupakan suatu skala terpisah. respon pada Gambar 5.8, menunjukkan bahwa dua sistem dapat memiliki perilaku input-output yang sama, yang bebrbeda nilai variabel intermediet-nya (variabel antara).

Gambar 5.8 Respon dinamis untuk sistim yang dirangkai seri dan dengan unit step pada saat t=2

Tabel 5.1 Sifat-sifat sistim seri dengan elemen orde pertama Sistim tunggal orde pertama tidak berinteraksi berinteraksi, sesuai Persamaan 5.30 dan 5.31

Berjumlah n sisitim orde pertama Sistim stabil konstanta waktu, i t63% step respon frekuensi respon

sistim orde ke-n stabil dan tidak berskala, konstanta waktu, i, i=1...n t63% i Overdamped, sigmoidal AR KP, untuk semua harga

sistim orde ke-n, tidak stabil dan tidak berskala konstanta waktu, is, harus t63% > i Overdamped, sigmoidal AR KP, untuk semua harga

ditentukan dari karakteristik polinomial

Sebagai kesimpulan, analisa untuk kedua jenis rangkaian sistem orde pertama, baik yang berinteraksi maupun yang tidak saling berinteraksi, dapat dimodelkan dengan suatu fungsi alih yang memiliki karakteristik polynomial orde ke-n. Banyaknya respon dinamis suatu sistem seri ditentukan dari model-model dari sistim tunggal-nya. Seperti yang diringkaskan pada Tabel 5.1 Sistem yang dirangkai seri, juga menyajikan penguatan tambahan akan pentingnya pole (kutub) suatu fungsi alih. Keabsahan (kekuatan) dari kesimpulan umum ini, didasarkan pada kutubkutub (poles) untuk keseluruhan sistem, apakah dipengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh struktur rangkaian sistim tersebut. Kesimpulan ini juga berkaitan dengan stabilitas dan sifat-sifat suatu perilaku berkala. Karena kesimpulan umum ini sepenuhnya ditentukan oleh kutub terkait, sehingga kesimpulan ini tidak dipengaruhi oleh pembilang suatu fungsi alih. Pada kenyataannya, kesimpulan umum ini dapat diperluas pada stabilitas dan sifat periodik dari beberapa fungsi alih yang dirangkai seri, dengan penyebut merupakan suatu polinomial, fungsi s. Bagaimanapun, nilai-nilai kutub (pole) tidak dapat menyimpulkan suatu respon step dari waktu asal-ya (time diomain) dan respon step dari input yang berupa sinusoidal. Karena, baik pembilang maupun penyebut suatu fungsi alih, hanya akan mempengaruhi perilaku dinamis sistem. Respon dinamis yang dihasilkan akan semakin spesifik, jika sistem konsisten atau tetap pada asumsiasumsi awal, yakni elemen-elemen dari fungsi alih sistim harus dengan pembilang yang tetap. Pada Gambar 5.4 dan 5.5 dan semua simpulan atas respon step dan rasio amplitudo, hanya dikuhuskan untuk elemen-elemen sistem yang mempunyai pembilang tetap. Maka kesimpulan yang kuat untuk suatu keseluruhan sistem, tidak selalu hanya didasarkan pada elemen-elemen sistim tunggal, seperti yang dijelaskan pada topik pertimbangan struktur suatu sistem, dalam bab ini.

5.4 STRUKTUR PARALEL DARI SISTIM SEDERHANA

Jalur paralel dapat terjadi diantara input dan output dari suatu sistim, sebagai contoh, suatu alat pemindah panas, dengan jalur aliran fluida yang banyak, seperti Gambar 5.9a dan memiliki tahapan reaksi yang benyak, seperti Gambar 5.9b.

Gambar 5.9 Contoh sistem paralel dalam tehnik kimia. Sisitim dengan jalur paralel bisa mengalami perilaku dinamis yang unik yang mempunyai pengaruh besar dalam kinerja kendali. Konsep dasar dari sistim paralel yang diperkenalkan dalam

bab ini, ditujukan untuk menjelaskan alasanalasan dari suatu perilaku dinamis yang unik. Struktur sederhana output, Y. yang mendemonstrasikan fitur-fitur penting dari sistim paralel digambarkan dalam Gambar 5.10. sistim paralel umnya mempunyai dua jalur diantara variabel input, X dan variabel

Gambar 5.10 contoh struktur paralel sistim Model keseluruhan yang menghubungkan input dan output dapat ditentukan diagram blok aljabar.

Y1 ( s) = G1 ( s ) X ( s ) Y2 ( s) = G2 (s) X ( s)Y ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s )Kombinasi dari ketiga persamaan di atas, adalah:

(5.42) (5.43) (5.44)

Y ( s) = G1 (s) + G2 (s) X ( s)Untuk beberapa proses orde pertama dengan situasi tertentu, dimana:

(5.45)

Gi (s) =

Ki (vis +1) , sehingga persamaan model menjadi:(5.46)

Y ( s) K1 K2 = + X (s) (1s + 1) ( 2 s + 1)Persamaan 5.46 di atas ditulis kembali, untuk satu penyebut:

Y (s) K P ( 3 s + 1) = X ( s ) ( 1 s + 1)( 2 s + 1)Kita catat bahwa , model fungsi alih pada Persamaan 5.47 memiliki

(5.47) banyak variabel

polynomial Laplace, s dalam penyebutnya, seperti yang terjadi pada model-model sebelumnya. Penyebut fungsi alih ini ditarik dari turunan tranformasi Laplace model dinamis. Karena stabilitas dan periodesitas fungsi keluaran (output) Y(t), tergantung dari nilai akar-akar penyebut, jadi dapat kita simpulkan, bahwa struktur paralel tidak merubah aspek-aspek penting dari perilaku dinamis tersebut. Sebagai tambahan, model ini memiliki fitur baru dalam modellingnya, sebuah polinomial, s dalam pembilang suatu fungsi alih akan dihasilkan pada struktur paralel. Untuk menyelidiki

pengaruh struktur paralel terhadap perilaku yang dinamis , yakni dengan menentukan respon step dari sistim pada Gambar 5.10, yang dimodelkan dengan Persamaan 5.47. Perilaku waktu ditentukan dengan menge-set X(s)=X/s, sebagai perubahan step dan membuat invers dari transformasi Laplace, dengan menggunakan Tabel 4.1. Maka untuk a=3, persamaan menjadi: t t 1 3 Y ' (t) = KPX 1 + e1 2 3e 2 2 1 2 1

(5.48)

Untuk memudahkan kita dalam memplot suatu jenis sistim, nilai-nilai parameter berikut wajib disubtitusikan ke Persamaan 5.48, yakni: K=1; X=1; 1=2; 2=1. kemudian respon yang dihasilkan diplotkan untuk bebrapa nilai parameter 3, sperti Gambar 5.11. Karakteristik utama dari respon tergantung pada nilai 3. Untuk 3 yang bernilai negatif, perubahan awal step respon berlawanan arah dengan perubahan akhir yang steady state. Perilaku ini disebut dengan respon invers dan dihasilkan dari jalur paralel.

Gambar 5.11 Respon untuk sampel sistem paralel Perilaku ini dapta dijelaskan dengan memperhatikan sistim pada Gambar 5.10, yang emnunjukkan bahwa keluaran (output) sistim merupakan jumlah dari dua pengaruh (efek). Ketika satu jalur memiliki respon dinamis yang cepat dan gain yang negatif, maka keluaran (output) proses sistim akan cendrung menurun, akan tetapi, jika jalur kedua memiliki respon dinamis yang lambat dan dengan gain positip yang bernilai besar, maka respon keluaran (output) terakhir akan bernilai positip, sehingga timbullah respon invers. Gambar 5.11 juga menunjukkan bahwa pada saat 3 > 1 dan 3 > 2 nilai antara (transisi) dari keluaran (output) proses akan lebih besar dari nilai akhir-nya. Perilaku ini disebut dengan

overshoot, dan dihasilkan dari jalur paralel. Perilaku ini dijelaskan dengan memperhatikan sistim pada Gambar 5.10. Ketika satu jalur memiliki respon dinamis yang cepat dan dengan gain positip yang bernilai besar keluaran (ouput) proses pada awalnya akan meningkat dengan nilai yang besar (meningkat tajam); ketika pengaruh jalur kedua lebih lambat dan bernilai negatif, tetapi memiliki nilai yang lebih kecil, maka keluaran (output) akan menurun dari nilai maksimumnya, tapi tetap negatif. Sehingga overshoot tetap terjadi meskipun proses tersebut mengalami overdamped. Sebagai kesimpulan, jalur paralel terdapat di berbagai proses karena adanya struktur aliran kompleks yang berkesinambungan dari beberapa sistim tunggal, atau karena adanya pengaruh paralel terhadap proses-proses tunggal. Karena kutub-kutub (poles) tidak dipengaruhi oleh struktur paralel, stabilitas dan sifat damping dari keseluran sistem juga tidak dipengaruhi. Hal ini dapat dilihat dari persaman 5.47, dimana penyebut dari fungsi alih keseluruhan mengandung kutub-kutub (poles) dari fungsi alih tunggal. Akan tetapi jalur paralel dapat memberi pengaruh yang signifikan, sehingga respon paralel dari suatu input akan mempengaruhi outputnya untuk waktu-waktu yang berbeda. Perilaku dari sistem paralel, yang disusun dari beberapa sistem tunggal orde pertama, disimpulkan dalam tabel 5.2. Perilaku ini dapat disebabkan beberapa terminolgi yang sulit, karena suatu sistem yang stabil dan overdamped ( 1) biasanya cendrung memiliki step respon masukan (input) yang monoton. Hal ini terlihat dari pembilang fungsi alih yang konstan, tapi hal ini tidak berlaku jika pembilang tersebut merupakan sebuan fungsi dari s.Tabel 5.2 Sifat-sifat sistim paralel dengan elemen orde pertama Sistim tunggal orde pertama Sistim paralel

Beberapa merupakan sisitim orde pertama Bebrapa sistim stabil Kutub (pole) = 1 / i t63% step respon Frekuensi respon

sistim orde tinggi dengan jalur paralel stabil orde ke-n sistim umunya stabil dan tidak berisifat periodik Kutub (pole) = 1 / i ; i=1.........n t63% i Dapat berupa respon monoton atau mengalami overshoot atau respon invers Rasio amplitudo dapat melebihi harga gain proses pada keadaan steady.

Penekanan pada kekompleksan respon yang dinamis dalam bab ini, tidak berarti bahwa semua sistem dengan pembilang nol akan memberikan suatu dinamika yang kurang baik, misalnya seperti overshoot atau respon invers. Insinyur harus mampu menganalisa sifat fisik proses, untuk kemungkinan adanya respon dinamis yang berbeda pada jalur paralel, sehingga dapat mengidentifikasi potensi terbentuknya

respon dinamis yang kompleks, kemudian dengan metode kuantitatif, kita dapat menentukan apakah perilaku dapat mempersukar (mempersulit) pengontolan. Masing-Masing input harus diseparsi terlebih dahulu sebelum proses dilakukan, sebab karakteristik respon dinamis sutau ouput akan berbeda untuk input yang berbeda.

5.5 STRUKTUR RECYCLE

Struktur recycle sering digunakan dalam suatu rancangan proses, untuk meproses ulang material (bahan) berharga, dan untuk memulihkan energi melalui proses penukaran panas. Misalnya proses penggabungan (pengintegrasian) yang melibatkan interkoneksi, sehingga berpotensi menyebabkan kesukaran dalam pelaksanan operasi suatu pabrik, meskipun meberikan keuntungan tersendiri, yakni proses tersebut berada dalam keadaan steady; oleh karena itu, perlu untuk memahami efek recycle pada suatu dinamika proses. Contoh 5.3 Suatu proses di disain seperti Gambar 5.12 mempunyai alat penukar panas untuk mengelusi umpan masuk, alat ini dipasang sedemikian rupa pada suatu raktor kimia, dengan suhu umpan masuk reaktor sangat tinggi dan butuh suatu alat pendingin, untuk mengelusi produk ysng dihasilkan.

Gambar 5.12 Reaktor dengan Alat Penukar Panas

Formulasi

Analisa dimulai dengan membuat suatu persamaan fungsi alih dari hubungan tunggal input dan ouput, yang digambarkan dalam suatu diagram blok, seperti pada Gambar 5.13.

Gambar 5.13 Diagram blok untuk reaktor pada Contoh 5.3

T1 (s) KH1 T ( s) KH1 = GH1 (s) = ........;....... 2 = GH 2 (s) = H1s + 1 H 2s + 1 T0 (s) T4 (s) T3 (s) = T1 (s) + T2 (s)...............;....... KR T4 (s) = GR (s) = Rs + 1 T3 (s)

(5.49)

Diagram blok di atas menunjukkan output (keluaran) reaktor dialirkan kembali ke bagian input reaktor, sehingga akan meberi pengaruh pada setiap input (masukan) reaktor. suatu kepada reaktor. Umpan balik ini diperkenalkan pada suatu proses daur ulang (recycle) energi. Hal ini untuk menentukan perilaku sistem yang terintegrasi, maka fungsi alih keseluruhan input-output ditentukan dari diagram blok aljabar.

T4 (s) = GR (s)T3 (s) = GR (s)[T1 (s) + T2 (s)] = GR (s)[GH 2 (s)T4 (s) + GH1 (s)T0 (s)] T4 (s) GR (s)GH1(s) = T0 (s) 1 GR (s)GH 2 (s)(5.50)

Diagram blok dari fungsi alih keseluruhan (total) menunjukkan bahwa, pada dasarnya daur ulang (recycle) digunakan untuk mengubah perilaku suatu sistem, sebab karakteristik polynomial pada Persamaan 5.50 telah dipengaruhi, serta kutub (pole) untuk sistem keseluruhan bukan merupakan (tidak sama) kutub (pole) dari sistim tunggal. Maka, sistem keseluruhan tidak dijamin stabil, sekalipun masing-masing sistem tunggal bersifat stabil!. Untuk menganalisa lebih lanjut, perilaku suatu sistem daur ulang (recycle), model harus digambarkan untuk setiap proses tunggal, seperti pada Gambar 5.12. Maka diperoleh suatu fungsi alih yang lebih sederhana, tetapi karakteristiknya lebih khusus untuk proses nyata yang khas. GR ( s ) = 3 10s + 1GH 1 ( s ) = 0,40

dengan _ recycle : ______ GH 2 ( s) = 0,30 Tanpa _ recycle : _______ GH 2 ( s) = 0 Gain, merupakan bilangan tak berdimensi (0C / 0C) dan waktu dalam menit. Model untuk alat penukar panas dengan sitim daur ulang (recycle), GH2(s), mempresentasikan pengaruh (efek) temperatur recycle terhadap temperatur input reaktor. jika daur ulang (recycle) tidak ada, yaitu tidak terjadi penukaran panas pada input reaktor, maka T4(S) tidak akan memberi pengaruh apapun pada T3(S), sehingga GH2(s) tidak akan ada atau sama dengan nol. Fungsi alih dari model disubtitusikan ke persamaan 5.50, untuk menentukan perubahan suhu secara keseluruhan, yang terjadi pada bagian inlet reaktor, baik dengan atau tanpa recycle. Dengan RecycleT4 ( s ) = T0 ( s ) 3 (0,4 ) 12 10 s + 1 = 3 100 s + 1 1 ( 0 ,3 ) 10 s + 1

(5.51)

Tanpa RecycleT4 ( s ) 1, 2 = G R ( s )G H 1 ( s ) = T0 ( s ) 10 s + 1

(5.52)

Hasil Analisa

Dari penjelasan sebelumnya, untuk step respon dinamis input, dengan suhu masuk T0=20C, seperti pada Gambar 5.14, telah memperlihatkan suatu pengaruh recycle terhadap gain yang steadystate dan terhadap konstanta waktu; peningkatan keduanya merupakan faktor (kelipatan) 10, karena merupakan proses recycle. Perubahan ini dapat dipahami (dimengerti) melalui analisa interaksi, anatra reaktor dengan alat penukar panas pada suatu sistem recycle, yang sifatnya sementara. Naiknya suhu T0 menyebabkan kenaikan suhu T3 dan T4, yang juga akan menaikkan suhu T2, dan seterusnya. Singkatnya, perubahan output diperkuat dengan adanya daur ulang atau recycle (umpan balik) pada alat penukar panas. Sistem tetap stabil dan dapat mengendalikan diri sistem itu sendiri (self- regulatory), hal ini karena secara inherent umpan balik negatif sifatnya lebih dominan untuk menetukan nilai parameter pada contoh ini, tetapi dengan proses daur ulang (recycle), yang ada adalah umpan balik positip lebih dominan secara inherent.

Gambar 5.14 Step respon dinamis untuk T0=0 dan tanpa recycle Contoh sederhana dalam bab ini, yang menunjukkan pengaruh (efek) recycle pada suatu perilaku yang dinamis : Daur ulang (recycle) dapat mengubah stabilitas dan peluang dari suatu perilaku pada sistem keseluruhan yang periodic.

Konstanta waktu dan gain yang steady state suatu sistem keseluruhan. Pada dasrnya nilai-nilai parameter tersebut dapat diubah dari nilai yang tanpa recycle.

5.6 STAGED PROCESS (PROSES YANG DIRENCANAKAN)

Staged Process digunakan secara luas pada berbagai proses industri untuk kontak ganda dari aliran, dan dapat disebut sebagai interkoreksi khusus elemen-elemen proses, dimana elemen-elemen tersebut akan saling bertukar dengan material dan energi, pertukaran ini hanya terjadi pada tahap penghubungan. (penggabungan). Beberapa contoh yang umum adalah kesetimbangan uap cair, evaporasi multi efek, dan flotasi. Sistem yang bertahap diterapkan pada bebrbagai variasi perilaku dinamis, yang dipengaruhi oleh sifat fisik proses (seperti, perpindahan massa, perpindahan panas, dan reaksi kimia), yang dapat terjadi pada beberapa tahap. Model dasar dari sistim bertahap harus meliputi semua kesetimbangan yang terjadi pada setiap tahap yang signifikan. Akan tetapi variabel pada tap tahap, tidak selalu penting untuk kinerja proses keseluruhan, karena hanya sifat-sifat aliran yang keluar dari proses yang penting. Pada beberapa kasus, varibel anata (intermediet) dapat menjadi lebih penting; sebagai contoh aliran pada tahapantahapan menara stripping dapat mencapai atau melebihi batas hidrolik untuk efisiensi kontak yang lebih baik. Dengan asumsi, hanya sifatsifat keluaran (output), yakni aliran produk yang ditinjau. Dinamika suatu menara destilasi yang ditunjukkan pada Gambar 5.15, dianggap sebagai suatu contoh sistem bertahap, dan diaplikasikan dengan pendekatan model, serta digunakan untuk mendiskripsikan perilaku dinamis yang khusus. Keakuratan model dari suatu menara destilasi multikomponen harus mempertimbangkan hubungan termodinamika yang kompleks serta menggunakan algoritma khusus untuk menyelesaikan kesetimbangan dan neraca massa & energi secara simultan. Dalam menyederhanakan suatu model yang nyata, menara dianggap hanya memisahkan dua buah komponen. Dan kesetimbangn fasa dianggap diasumsikan sama (setara) dengan nilai realtif volatilitas yang konstan. Hal yang sama juga, untuk neraca energi disetiap tahap diasumsikan ekuimolal overflow, dengan menetapkan panas penguapan untuk kedua komponen adalah sama, serta efek panas sensibel dan pencampuran dapat diabaikan. Asumsi yang berlaku adalah:

Level cairan disetiap, selalu berada di atas ketinggian tanggul Menerapkan ekuimolal, yang overflow Volatilitas realatif (), serta panas pengupan () selalu konstan Holdup pada fasa uap diabaikan

Gambar 5.15 Menara Destilasi Simbol-simbol yang digunakan: MM FM X VM Y = = = = = = Molar holdup dari cairan, yang terdapat pada tray Laju alir molar cairan Fraksi mol komponen ringan dalam cairan Panas penguapan Laju alir molar uap Fraksi mol komponen ringan dalam uap

Skema tray pada Gambar 5.16 secara umum menunjukkan bahwa tiap tray mempunyai potensi untuk aliran umpan dan produk, serta untuk perpindahan panas. Dengan asumsi, struktur tray secara umum, neracca dasar keseluruhan (overall) dan komponen untuk beberapa tahapan tray (i = 1......n), dapat diformulasikan, seperti:

Gambar 5.16 Bentuk Umum Tray pada Pemodelan Sistem Destilasi Neracca material keseluruhan (molal), pada fasa cair:

dMM dt

= FM

i +1

FM

i

+ FM

fi

FM

i

Qi

(5.53)

Neracca material keseluruhan (molal), paa fasa uap dan dalam keadaan Steady

VM

i

= VM * i 1 VM

i

+

Qi

(5.54) (5.55)fi

VM *i1 = VMi 1 + VM fiY *i 1 = VMi 1

Y i 1 + VM

Y fi

VM * i 1

(5.56)

Neraca komponen ringan pada tray

d(MMXi ) i = FM+1Xi+1 + FMfi X fi (FMi + FM )Xi (VM +VMi )Yi +VM*i1 Y *i1 i i i dt

(5.57)

Formulasi ini cukup memenuhi untuk setiap tray, baik tray kesetimbangan pada tower, serta untuk tray tempat masuknya umpan, aliran produk dan panas yang dipindahkan akan sama dengan nol, jika tidak ada aliran umpan yang masuk tray. Tray bagian atas memiliki aliran umpan cair yang direfluks , sedangkan aliran uapnya akan mengalir ke total kondensor. Tray bagian bawah dan cairannya akan mengalir ke ketel reboiler, dimana ketel tersebut juga merupakan tahap yang setimbang, meskipun persamaan-persamaan dapat diformulasikan seperti yang dijelaskan di atas, implementasi komputer dalam bentuk ini termasuk multiplikasi, yang ditambahkan untuk tidak mengandung aliran. Jadi implementasi untukdisain khusus yang efisien , akan menghilangkan aliran sehingga akan selalu nol. Oleh karenanya, variabel yang berpengaruh mempunyai jumlah yang lebih banyak, dibandinggkan dengan yang ada pada neracca konservative. Neraca tidak dapat menjelaskan model secara komplit (ditel). Model diperlukan sebagai konstitutif, yakni untuk menghubungkan komponen-komponen cairan dan uap. Persamaan kesetimbangan fasa untuk sistem biner, dengan relatif volatility () yang konstan, adalah:

Yi =

X i 1 + ( 1 ) X i

(5.58)

Model juga membutuhkan ekspresi konstitutif yang menghubungkan aliran cairan dengan inventory pada tray. Aliran cairan dari tray dihubungkan dengan level (Li=MMi / MA), berada diatas ketinggian tanggul (weir):

FM i = K

MM i L M A

(5.59)

Dimana A adalah luas area (cross sectional area) dan M dalam mol / m3. model yang digunakan tidak komplit, sehingga model dikembangkan untuk peralatan yang tergabung, dimana

pada menara destilasi ini mencakup alat penukar panas, yakni alat untuk menguapkan sebagaian dari cairan yang terakumulasi pada drum bagian bawah, dan mengkondensasi uap yang ada diatasnya. Perilaku ini tidak semuanya kompleks tetapi membutuhkan sutu kontrol umpan balik untuk model yang tepat. Pada struktur model yang lebih sederhana umunya tidak memerlukan pengontrolan, beban reboiler diasumsikan propotional dengan aliran panas medium, dan uap bagian atas diasumsikan terkondensasi sempurna tanpa mengalami subcooling, sehingga tekanan digunakan pada nilai yang tetap, yakni dengan mengatur beban pendingin, sehingga diperoleh persamaan:

Qcond = VM nQ reb = K reb Freb

(5.60) (5.61)

Sehingga volume pada accumulator, pada bagian bawah dan atas dapat dimoelkan melalui neracca overall dan neracca komponen. Pada kenyataannya level dari inventori dikontrol dengan pengaturan aliran produk . pada contoh ini level diasumsikan konstan, sehingga persamaan menjadi:

FMD = VMn FMR FMB = FM1 VM0MMD dXD = VMnYn X D (FMDFMR ) = VMn (Yn XD ) dt

(5.62) (5.63)

Komposisi dari akumulator bagian atas (Xn-1 = XD), ditentukan dari neraca massa komponen: (5.64)

Dan lagi, dengan inventori yang tetap, ketel reboiler dapat dimodelkan melalui neraca massa komponen (X0 = XB), hubungan kesetimbangan, serta perhitungan laju alir uap didasarkan pada panas yang dipindahkan, yakni:

dXB = FM1X1 FMB X B VM0Y0 dt X B Y0 = 1 + ( 1)X B MMD

(5.65)

(5.66)

VM 0 =

Qreb

(5.67)

Untuk menspesifikasikan sistem secara lengkap (komplit), varbel masukan eksternal harus dijelaskan, sehingga derajat kebebasannya sama dengan nol. Aliran dan komposisi umpan harus dispesifikasikan sepanjang penambahan dua varibel, dalam hal ini harus dibedakan, antara aliran

produk destilat (FD) dan aliran pemanasan reboiler (Freb). Dengan dispesifikasikannya variabel external, maka analisa dari derajat kebebasan dapat disimpulkan seperti pada Tabel 5.3, yang menunjukkan bahwa sistem benar-benar telah dispsifikasikan. Jumlah persamaan yang ada setara dengan jumlah varibel yang dependen , sehingga derajat kebebasannya menjadi nol. Parameterparameter (, , K, MMD, Kreb, MMB, dan L), tidak termasuk pada para,eter analisis, karena nilainya selalu tetap. Variabel umpan juga ditentukan oleh kondisi aliran proses, khususnya variabel external, seperti: laju alir, pemanas reboiler, serta laju alir produk destilat, harus diatur sedemikian rupa, untuk mendapatkan komposisi produk yan dinginkan. Variabel ini diasumsikan sebagai variabel eksternal. Formulasi model ini mengasumsikan beberapa parameter, seperti level akumulator yang dibuat tetap, hal ini tidak begitu penting tetapi dapat mederhanakan penyajian model.Tabel 5.3 Derajat kebebasan suatu menara destilasi untuk n-tray

Tabel 5.4 Parameter dasar dalam mendisain menara destilasi sistem biner

Contoh 5.4 Tentukanlah perilaku dinamis suatu menara destilasi sistem biner, dengan parameter yang diberikan oleh Tabel 5.4. Persamaan-persamaan modelnya dapat digabungkan secara numerik, untuk menentukan respon kondisi awal sistem pada beberapa nilai atau fungsi dari variabel eksternal. Respon dinamis diperoleh dengan menetapkan atau menge-set kondisi operasi pada keadaan steady, dan membuat setiap perubahan step respon tunggal untuk satu variabel eksternal; beberapa step respon mempunyai nilai sebesar satu persen (1%) dari nilai awal input (umpan masuk). (Hal ini sesuai dengan eksperimen yang dilakukan pada penetuan sifat fisik menara, seperti yang diterangkan dalam Bab 6.) Diperoleh hasil seperti pada Gambar 5.17a dan b. Komposisi respon berbentuk kurva sigmoidal, dengan respon halus yang monoton, kendati proses-nya sangat kompleks. Catat bahwa perubahan sebuah input tunggal akan mempengaruhi komposisi kedua produk.

Gambar 5.17 Responi produk destilate dan bottom, Contoh 5.6

Simpulan yang diambil menggambarkan hasil dari sebagian contoh suatu dinamika destilasi. Hasil tersebut merupakan panduan untuk perilaku dua produk destilasi dengan sifat termodinamika sederhana , yakni tanpa azeotrop dan tanpa reaksi kimia. Contoh destilasi model ini akan dibibicarakan lebih lanjut pada bab berikutnya, dimana kontrol akan dibutuhkan, dan komposisi produk ditentukan melalui pengaturan beberapa variabel gas kerja dari reboiler dan refluks

5.7 SISTIM MULTI INPURT-OUTPUT

Umumnya sisitim yang dimodelkan pada bab-bab sebelumnya (3,4,5), mempunyai satu input dan satu output. Jika terdapat varibel antara (intermediet) dapat dieliminasi atau dihilangkan dengan menggunakan persamaan fungsi alih serta diagram blok aljabar, yang digunakan untuk menggambarkan suatu persamaan untuk input tunggal output tunggal. Pendekatan ini akan memudahkan pekerjaan dalam mengetahui apakah respon dinamis suatu model dapat dipakau pada proses yang nyata. Bagamanpun juga, sebagian proses mempunyai beberapa input, dan operasi proses akan menghasilkan output (keluaran) yang lebih dari satu secara simultan. Sebagai contoh reactor pada Sub-bab 3.6 mempunyai aliran pendingin serta konsentrasi yang masuk reaktor sebagai input, sedangkan konsentrasi dalam reaktor dan suhu reaktor sebagai output. Disamping itu menara destilasai, yang dibicarakan pada sesi sebelumnya memiliki aliran produk destilat, aliran reboiler, dan semua sifat umpan serta laju alir sebagai input, sedangkan kosentarsi dari kedua lairan produk sebagai output. Metode yang dijelaskan pada dua bab sebelumnya menggambarkan model dasar linierisasi, fungsi alih, diagram blok semuanya itu dapat digunakan pada sistim multi input-output (MIMO). Sekali lagi, dapat kita dilihat bahwa, variabel intrermediet (variabel antara) dapat muncul (terdapat) dalam suatu proses; menara destilasi, komposisi tray dan holdup merupakan variabel intrmediet (antara). Variabel intermidiet (antara) ini ada dalam model dasar dan dapat dihilangkan secara aljabar melalui linierisasi hubungan input-output. Contoh 5.5 Tentukan respon dinamis dari konsentrasi pada reaktor CSTR orde dua , yang ada pada Contoh 3.5. terjadi perubahan step respon dalam konsentrasi masukan reaktor dan dalam laju alir umpan. Perubahan tersebut adalah sebagai berikut: Step dari konsentrasi umpan Step dari laju alir umpan CA0 = 0,0925 mol/m3 F = -0,0085 m /menit3

pada t = 2 menit pada t = 7 menit

Pengaruh dari beberapa variabel input terhadap suatu output (keluaran tunggal), dapat diketahui melalui model tunggal input-output. Model dasar untuk neraca komponen bahan reaktan, adalah:

V

dC A = F ( C A 0 C A ) VkC dt

2 A

(5.68)

Untuk megecek kelinierisasian model, semua nilai konstanta disubtitusikan ke Persamaan5.68, sehingga diperoleh:

( 2 ,1 )

dC dt

A

= F (C

A0

C

A

) ( 2 ,1 )( 0 , 040 ) C

2 A

Model merupakan persaman non linier , karena varibel produ dan bentuk konsentarsinya. Model pada persamaan 5.68 dapat dilinierisasikan dengan mengubah konsentrasi masukan (dengan aliran yang tetap) atau dengan mengubah aliran umpan (dengan konsentrasi masukan yang tetap), akan memberikan persamaan:

C

A0

dC ' A + C 'A = K dt

C

A0

C 'A0

(5.69)

F

dC ' A + C 'A = K dt

F

F '

(5.70)

Dengan:

C

A0

=

V F s + 2 VkCAs

.......... ....;..... ..... K C A 0 =As

Fs F s + 2 VkC

As

F =

V F s + 2 VkC

.......... ......;... ...... K F =

( C A 0 C As ) F s + 2 VkC As

Kedua model tersebut dapat diselesaikan untuk stiap perubahan step, sehingga didapatkan:

[C ' A (t )]C

A0

t1 C A0 = C A 0 K C A 0 1 e t2 1 e F = FK F

.......... _ dengan _ t = t 2 > 0 1

(5.71)

[C ' A ( t ) ]F

.......... _ dengan _ t = t 7 > 0 2

(5.72)

Dengan catatatn bahwa waktu untuk step digamabrkan oleh perbedaan tanda (t1 dan t2), seperti, hal ini karena terdapat perubahan step pada waktu yang berbeda , juga karena konsentrasi reaktan berubah dari nol sampai t1 > 0 atau t2 > 0. perubahan konsentrasi reaktor, A merupakan jumlah dari perubahan, yang diakibatkan konsentrasi dan laju alir masukan.

CA (t ) = CAs (t ) + [C ' A (t )]C A0 + [C ' A (t )]F

(5.73)

Dari data Contoh 3.5, diberikan nilai-nilai, sebagai berikut: V CA0s KCA0 = 2,1 m3 = 0,925 mol/m3 =0,146 Fs CAs F = 0,085 m3/menit = 0,236 mol/m3 =3,62 menit k CA0 KF = 0,50[(mol/m3)menit]-1 = 3,62 menit = 1,19 (mol/m3)/(m3/menit)

Hasil analisa dari liniersasi pada Persamaan 5.71 samapi 5.73, dapta dilihat pada Gambar 5.18. Konsentrasi keluaran merupakan jumlah dua step respon orde pertama, yang diawali pada waktu yang berbeda. Model ini dapat digunakan untuk berbagai jenis variabel input yang mempengaruhi suatu keluaran (output).

Gambar 5.18 Respon Dinamis dari Konsentrasi Reaktan untuk Kenaikan Step dalam Konsentrasi Masukan (t=2) dan Penurunan Step dalam Laju Alir (t=7) pada Contoh 5.5 Contoh 5.6 Sketsa dan diagram blok menggambarkan hubungan antara variabel input aliran reflux dan uap reboiler, variabel output, fraksi mol komponen ringan dalam destilat, serta produk bottom-nya. Data pada Gambar 5.16 memperlihatkan bahwa kedua variabel input akan mempengaruhi kedua variabel output-nya, sehingga masing-masing input memilki dau fungsi alih, yang salah satunya adalah variabel output. Sketsa untuk proses ini ditunjukkan dalam Gambar 5.19. yang menjadi pertanyaan adalah, bagaimana penentuan fungsi alih-nya. Pada contoh sebelumnya model dasar telah dilinierisasi , sedangkan semua varibel antara (intermediet) telah dihilangkan (dieliminasi) melalui manipulasi aljabar. Namun, model dasar untuk suatu proses destilasi yang besar membutuhkan banyak persamaan, sekitar 150 persamaan, sehingga prosedur analitisnya akan memkan waktu yang panjang. Untungnya fungsi alih dapat ditentukan

secara ekperimen dari data, yang sangat mirip dengan Gambar 5.16, sedangkan prosedur model emperis akan dijelaskan pada bab selanjutnya.

Gambar 5.19 Diagram Blok untuk Linierisasi Model dari Suatu Proses Destilasi Dua Produk

5.8 KESIMPULAN

Hasil dari bab ini secara jelas menggambarkan pengaruh yang kuat dari struktur proses terhadap suatu perilaku yang dinamis. Hal ini dapat diperkirakan dengan menggunakan metode, yang telah dijelaskan pada babsebelumnya. Kebanyakan hasil yang paling kuat berhubungan (berkaitan) dengan lamanya perilaku dari siste, hal ini karena hasil ditentukan dari kutub (pole) suatu fungsi alih, dengan pembilang independen-nya sama dengan nol. Sifat ini termasuk kestabilan , serta berkaitan dengan kcendrungan untuk over- atau underdamped. Disamping itu pembilang suatu fungsi alih, juga berperan penting dalam respon dinamis, seperti yang dijelaskan pada contoh sistem dengan jalur paralel. Perlu diketahui bahwa masing masing struktur tunggal proses ini akan menjelaskan efek pada perilaku dinamis . sehingga suatu proses mungkin memiliki bebrapa struktur, yang akan mempengaruhi perilaku sistem tersebut. Akhirnya, pada tiga bab terakhir respon dinamis pada berbagai proses untuk suatu step input akan mempunyai bentuk sigmoidal. Hal ini berarati bahwa proses dapat diperkirakan melalui metode pendekatan, yakni dengan mengatur parameter-parameter model dari suatu struktur sederhana. Sementara itu observasi ini tidak begitu membantu dalam analisa model, observasi ini akan penting untuk model emperis, yang dipengaruhi oleh data-data eksperimen.