3.Menghitung nilai Limit Fungsi Aljabar

Setelah kita mempelajari definisi tentang suatu limit ,kita dapat menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit secara umum maupun secara intuitif . Akan tetapi ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk menghitung nilai limit yaitu dengan substitusi,pemfaktoran dan penyederhanaan dan Bentuk Sekawan.

3.1. Menentukan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi

Ada berbagai cara untuk menghitung nilai limit fungsi, misalnya , untuk suatu harga tertentu. Salah satu diantaranya dengan substitusi langsung. Jika nilai limit fungsi , untuk ada maka limit fungsi tersebut dapat dihitung dengan cara menyubstitusikan ke dalam fungsi tersebut.

Contoh: Tentukan limit fungsi berikuta.

b.

c.

Penyelesaian: a. = 3(5) 7 = 8b. = c. =

Berdasarkan hal diatas, maka dalam menyelesaikan , maka dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:1. Jika 2. Jika 3. Jika 4. Jika , maka nilai belum bisa ditentukan sehingga sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu bentuk agar menjadi bentuk (1), (2), atau (3).

3.2. Menentukan limit dengan Cara Pemfaktoran dan PenyederhanaanSalah satu cara menghitung nilai limit fungsi aljabar bentuk tak tentu adalah dengan cara pemfaktoran dan menyederhanakan. Misalkan terdapat bentuk . Seperti yang telah disinggung sebelumnya, apabila x=a disubstitusikan pada fungsi yang diambil limitnya tersebut mengakibatkan = (bentuk tak tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan faktor dan sehingga keduanya memiliki faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih sederhana. Secara umum, cara penyelesaian limit untuk dengan cara pemfaktoran dan penyederhanaan adalah sebagai berikut.

Beberapa pemfaktoran istimewa, sebagai berikut:

( a b )2 = a2 2ab + b2( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

Contoh :Tentukan limit fungsi berikut a. b. Penyelesaian:a. Dengan menyubstitusikan , akan diperoleh hasil . Hal ini berarti pembilang dan penyebutnya memiliki faktor bersama yang menyebabkan muncul bentuk tak tentu . Dengan demikian, =

b. Substitusi sehingga diperoleh = = Hal ini berarti pembilang dan penyebutnya memiliki faktor bersama (x-2) yang menyebabkan muncul bentuk tak tentu .Dengan demikian, =

=

3.3. Menentukan Limit yang Mengandung Bentuk Akar Kuadrat dengan bentuk sekawanApabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limitnya sulit disederhanakan karena pembilang atau penyebutnya terdapat bentuk akar yang mengandung variable limit. Hal ini akan mempersulit untuk langsung memfaktorkan pembilang atau penyebutnya yang mengandung faktor penyebab .Untuk masalah seperti ini, hilangkan bentuk akarnya terlebih dahulu dengan cara mengalikannya c. Setelah bentuk akarnya hilang akan mudah untuk memfaktorkan pembilang dan penyebut yang mengandung faktor penyebab . Perkalian dengan bentuk sekawan bertujuan untuk menghilangkan bentuk akar. Dengan demikian, yang dimaksud dengan bentuk sekawan adalah sebagai berikut.Bentuk Sekawan

Contoh: a. Tentukan limit fungsi b. Tentukan limit fungsi

Penyelesaian:a. Dengan menyubstitusikan akan dihasilkan bentuk tak tentu . Untuk menghilangkan bentuk akar , kalikanlah pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawannya, yaitu .Langkah langkah penyelesaian selanjutnya adalah sebagai berikut, =

=

==

b. Dengan menyubstitusikan akan dihasilkan bentuk tak tentu , Untuk menghilangkan bentuk akar , kalikanlah pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawannya, yaitu .Langkah langkah penyelesaian selanjutnya adalah sebagai berikut, =

= = =

Dengan demikian, pecahan yang mengandung bentuk akar dapat diselesaikan dengan cara, sebagai berikut:a. Pecahan berbentuk dikalikan dengan sehingga diperoleh

b. Pecahan berbentuk dikalikan dengan sehingga diperoleh

c. Pecahan berbentuk dikalikan dengan sehingga diperoleh

d. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan dan pecahan berpenyebut dikalikan dengan