(3) ilmu hitung matrik

7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik

1/5

E. Operasi Hitung Matrik

Definisi

Matriks adalahhimpunan skalaryangdisusun secaraempatpersegipanjangmenurutbarisdan

kolom.Skalar-skalartersebutdisebutdenganelemenmatriks.Untukbatasnya,biasanyadigunakan:

(),[],atau|| ||

1. Macam-macam matrik

a. Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan

pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan duplikat

dari matrik yang lainnya.

Contoh 5

1 2 3 1 2 3

A = 2 4 6 B = 2 4 6

3 4 7 3 4 7

dikatakan bahwa A = B.

b. Matrik Nol adalah matrik yang semua entrinya nol.

c. Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri atas ke

kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.

Contoh 6

1 0 0 Pivot atas

1 0 0 1 0 Diagonal

0 1 0 0 1

Pivot bawah

Catatan:

Perkalian sembarang matrik dengan matrik I dalam pangkat yang sama

adalah = perkalian dengan angka 1 atau menghasilkan matrik itu juga.

d. Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi diagonalnya

1

Contoh 7

2 0 0

Matrik B = 0 3 0 adalah matrik skalar.

0 0 4


2/5

2. Operasi-operasi hitung dalam matrik

Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah pertambahan,

perkurangan, dan perkalian.

a. Pertambahan dan Perkurangan

Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B atau A + B

= jumlah elemen-elemen yang seletak.

Contoh 8

1 2 3 2 3 0

A = 0 2 4 B = -1 2 5

3 5 3

A + B = -1 4 9

Catatan:

Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan

atau dikurangkan.

Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana AB akan

sama dengan A + (-B).

1 2 3 2 3 0

Contoh 9 A = 0 2 4 B = -1 2 5

-1 -1 3

A - B = 1 0 -1

Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu matrik

dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.

Contoh 10

k = 3

-1 -2 -1 -2 -3 -6

A = 2 3 k.A = 3.A = 3 2 3 = 6 9


3/5

Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.

Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:

1) Komutatif A + B = B + A

2) Assosiatif A + (B + C) = (A + B) + C

3) Perkalian skalar k (A + B) = k A + k B = (A + B) k

Soal-soal

1. Jika diketahui matrik

1 2 -1 0 3 -4 1 2A = 4 0 2 1 B = 1 5 0 3

2 -5 1 2 2 -2 3 -1

Tentukan:

a. A + B

b. AB

c. Jika k = -2 hitung kB

d. Buktikan hukum komutatif 1 4 -2 3

e. Buktikan hukum assosiatif jika C = 4 0 2 2

4 6 3 3

b. Perkalian matrik

Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)

1

Contoh 11 2 3 4 -1 = 7

2

1x3 3x1 = 1x1

Contoh 122 3 4 2 5

5 6 7 -5 = 8

4

2x3 3x1 = 2x1

Pola dasar perkalian matrik adalah sebagai berikut:

a11 a12 a13 b11 b12 b13

A = a21 a22 a23 B = b21 b22 b23a31 a32 a33 b31 b32 b33


4/5

a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12+ a12b22+ a13b32 a11b13+ a12b23+ a13b33

AB = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12+ a22b22+ a23b32 a21b13+ a22b23+ a23b33

a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12+ a32b22+ a33b32 a31b13+ a32b23+ a33b33

Dari contoh 11 dan 12 di atas dapat terlihat bahwa dua matrik yang dapat

diperkalikan adalah jika jumlah kolom matrik yang dikalikan sama dengan jumlah baris

matrik pengali dan tidak harus jumlah baris matrik yang dikali sama dengan jumlah

kolom matrik pengali. Secara lebih tegas dikatakan bahwa A x B terdefinisi bila banyak

kolom A = banyak baris B, tetapi B tidak perlu bersesuaian dengan A.

c. Hukum perkalian

1. Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC

2. Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC

3. Assosiatif -- A ( BC ) = ( AB ) C

Tetapi AB BA (secara umum)

AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0

AB = AC tidak perlu B = C

IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).

4. Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran atau

komutatif.

a b c d

Contoh 13 A = b a B = d c , disini AB = BA (buktikanlah!)

Soal-soal

Hitung perkalian matrik berikut!1 2

1. 1 2 1 4 7

6 3

1 2 1 3 -4

2 4 0 2 1 5

-2 2

2 4 7 4 6 9

3. 3 5 8 3 5 8

4 6 9 2 4 7


5/5

4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta hukum

assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ?

1 2 3 4 3 2 1 6 3

A = 4 0 3 B = 1 7 2 C = 7 3 3

2 1 4 4 3 6 4 4 3

5. Pecahkanlah persamaan matrik berikut untuk a, b, c, dan d

a - b b + c 8 1

3d + c 2a4d = 7 6

(3) ilmu hitung matrik

Documents