Download - (3) Ilmu Hitung Matrik
-
7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik
1/5
E. Operasi Hitung Matrik
Definisi
Matriks adalahhimpunan skalaryangdisusun secaraempatpersegipanjangmenurutbarisdan
kolom.Skalar-skalartersebutdisebutdenganelemenmatriks.Untukbatasnya,biasanyadigunakan:
(),[],atau|| ||
1. Macam-macam matrik
a. Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan
pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan duplikat
dari matrik yang lainnya.
Contoh 5
1 2 3 1 2 3
A = 2 4 6 B = 2 4 6
3 4 7 3 4 7
dikatakan bahwa A = B.
b. Matrik Nol adalah matrik yang semua entrinya nol.
c. Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri atas ke
kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.
Contoh 6
1 0 0 Pivot atas
1 0 0 1 0 Diagonal
0 1 0 0 1
Pivot bawah
Catatan:
Perkalian sembarang matrik dengan matrik I dalam pangkat yang sama
adalah = perkalian dengan angka 1 atau menghasilkan matrik itu juga.
d. Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi diagonalnya
1
Contoh 7
2 0 0
Matrik B = 0 3 0 adalah matrik skalar.
0 0 4
-
7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik
2/5
2. Operasi-operasi hitung dalam matrik
Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah pertambahan,
perkurangan, dan perkalian.
a. Pertambahan dan Perkurangan
Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B atau A + B
= jumlah elemen-elemen yang seletak.
Contoh 8
1 2 3 2 3 0
A = 0 2 4 B = -1 2 5
3 5 3
A + B = -1 4 9
Catatan:
Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan
atau dikurangkan.
Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana AB akan
sama dengan A + (-B).
1 2 3 2 3 0
Contoh 9 A = 0 2 4 B = -1 2 5
-1 -1 3
A - B = 1 0 -1
Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu matrik
dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.
Contoh 10
k = 3
-1 -2 -1 -2 -3 -6
A = 2 3 k.A = 3.A = 3 2 3 = 6 9
-
7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik
3/5
Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.
Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:
1) Komutatif A + B = B + A
2) Assosiatif A + (B + C) = (A + B) + C
3) Perkalian skalar k (A + B) = k A + k B = (A + B) k
Soal-soal
1. Jika diketahui matrik
1 2 -1 0 3 -4 1 2A = 4 0 2 1 B = 1 5 0 3
2 -5 1 2 2 -2 3 -1
Tentukan:
a. A + B
b. AB
c. Jika k = -2 hitung kB
d. Buktikan hukum komutatif 1 4 -2 3
e. Buktikan hukum assosiatif jika C = 4 0 2 2
4 6 3 3
b. Perkalian matrik
Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)
1
Contoh 11 2 3 4 -1 = 7
2
1x3 3x1 = 1x1
Contoh 122 3 4 2 5
5 6 7 -5 = 8
4
2x3 3x1 = 2x1
Pola dasar perkalian matrik adalah sebagai berikut:
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A = a21 a22 a23 B = b21 b22 b23a31 a32 a33 b31 b32 b33
-
7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik
4/5
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12+ a12b22+ a13b32 a11b13+ a12b23+ a13b33
AB = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12+ a22b22+ a23b32 a21b13+ a22b23+ a23b33
a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12+ a32b22+ a33b32 a31b13+ a32b23+ a33b33
Dari contoh 11 dan 12 di atas dapat terlihat bahwa dua matrik yang dapat
diperkalikan adalah jika jumlah kolom matrik yang dikalikan sama dengan jumlah baris
matrik pengali dan tidak harus jumlah baris matrik yang dikali sama dengan jumlah
kolom matrik pengali. Secara lebih tegas dikatakan bahwa A x B terdefinisi bila banyak
kolom A = banyak baris B, tetapi B tidak perlu bersesuaian dengan A.
c. Hukum perkalian
1. Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC
2. Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC
3. Assosiatif -- A ( BC ) = ( AB ) C
Tetapi AB BA (secara umum)
AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0
AB = AC tidak perlu B = C
IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).
4. Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran atau
komutatif.
a b c d
Contoh 13 A = b a B = d c , disini AB = BA (buktikanlah!)
Soal-soal
Hitung perkalian matrik berikut!1 2
1. 1 2 1 4 7
6 3
1 2 1 3 -4
2 4 0 2 1 5
-2 2
2 4 7 4 6 9
3. 3 5 8 3 5 8
4 6 9 2 4 7
-
7/25/2019 (3) Ilmu Hitung Matrik
5/5
4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta hukum
assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ?
1 2 3 4 3 2 1 6 3
A = 4 0 3 B = 1 7 2 C = 7 3 3
2 1 4 4 3 6 4 4 3
5. Pecahkanlah persamaan matrik berikut untuk a, b, c, dan d
a - b b + c 8 1
3d + c 2a4d = 7 6