Matakuliah Ilmu Hitung Perataan

GE 2206/3 SKS/ Semester II

Oleh:FENY ARAFAH, S.T., M.T.

ALIFAH NORAINI, S.T., M.T.

PRODI TEKNIK GEODESI S-1FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

INSTITUT TEKNOLOGI NASIONAL MALANG2016

KONSEP PENGUKURAN

• Hasil pengukuran bervariasi nilai sebenarnya tidak diketahui• Nilai tetap nilai sebenarnya• Kenyataan hanya nilai estimasi dari nilai sebenarnya• Jika variasi pengukuran dapat diestimasi, maka harus

dapat diestimasi pula penyimpangan dari nilai ukuran terhadap nilai sebenarnya. Penyimpangan tersebut dikenal sebagai kesalahan (error).

KONSEP PENGUKURAN

• Jika τ adalah nilai sebenarnya, dan x adalah pengamatan, maka kesalahan (ε) adalah :

ε = x – τ ………………… (1)• Karena τ tidak pernah diketahui secara pasti, maka

dibuatlah nilai estimasi (ẋ).• Selisih antara nilai estimasi (ẋ) dan nilai pengamatan

(x), disebut residu/koreksi (v), maka :v = ẋ - x ………………… (2)

• Nilai residu/koreksi (v) inilah yang sebenarnya digunakan untuk menyatakan variasi dalam pengukuran.

FUNGSI HITUNG PERATAAN

Pengukuran

Pengamatan

Model Matematika

Koreksi

Metode Hitung Perataan 1

Metode Hitung Perataan 2

JENIS KESALAHANSecara konvensional, kesalahan dibagi dalam 3 jenis, yaitu :1. Kesalahan Besar (Blunder Error)

- Disebabkan kecerobohan pengukur/pengamat- Contoh : salah dalam penulisan angka- Cara menghindari : pengukuran harus sesuai prosedur

2. Kesalahan Sistematik (Systematic Error)- Terjadi berdasarkan sistem tertentu yang dapat

dinyatakan dalam hubungan fungsional (matematik)- Contoh : mengukur jarak menggunakan pita ukur

dengan bahan berbeda-beda (plastik, kayu, besi), maka hasilnya akan dipengaruhi suhu

- Cara menghindari : pengukuran menggunakan bahan alat, suhu dan medan yang sama.

JENIS KESALAHAN3. Kesalahan Acak (Random Error)

- Jika masih terdapat variasi pengukuran setelah kesalahan besar dan kesalahan sistematik dihindari, maka variasi pengukuran ini tidak mempunyai hubungan fungsional tetapi bersifat acak.

- Contoh : dalam pengukuran jarak yang dilakukan 5 kali dengan menggunakan pita ukur menghasilkan nilai yang berbeda-beda.

- Umumnya kesalahan acak disebabkan perbedaan dalam membaca penafsiran skala terkecil.

- Cara mengeliminir menggunakan model probabilitas, namun kesalahan ini tetap tidak bisa dihilangkan seluruhnya.

SUMBER KESALAHAN

Sumber Kesalahan

Personal- Keterbatasan pengukur dalam melakukan pengamatan (kemampuan untuk mendapatkan hasil yang berulang)- Kecerobohan pengukur pada saat melakukan pengukuran

Alat- Ketidaksempurnaan konstruksi dan kalibrasi alatEx: kesalahan pembagian skala

Alam- Perubahan kondisi lingkungan pada saat pengukuran dilakukanEx: perubahan temperatur yang mempengaruhi hasil pengukuran jarak mengggunakan pita ukur

PERAMBATAN KESALAHAN

• Penentu kesalahan hitungan sebagai fungsi kesalahan pengukuran disebut perambatan kesalahan.

“Pada umumnya, nilai hasil pengukuran digunakan untuk menghitung nilai lainnya berdasarkan model matematis

tertentu”

• Misal x adalah nilai ukuran dan y adalah nilai baru yang dihitung dari x berdasarkan fungsi

y = ax + b

PERAMBATAN KESALAHANNilai kesalahan = nilai ukuran – nilai sebenarnya

dx = x – x1

x = x1 + dxJika y1 menyatakan nilai sebenarnya dari y yang dihitung dari x1 , maka y1 = ax1 + bSehingga,

y = ax + b= a(x1 + dx) + b= ax1 + b + adx

y = y1 + adxJika dy menyatakan kesalahan dalam y, maka dy = adxTurunan y terhadap x adalah ∂y/∂x = a, sehingga

dy = (∂y/∂x).dx

PERAMBATAN KESALAHANContoh Soal : Sebuah persil tanah berbentuk trapesium dengan dimensi seperti gambar dibawah. Diukur jarak d = 23,560 m. Jika kesalahan pengukuran jarak d = 0,016 m, hitunglah perambatan kesalahan pada h.

PERAMBATAN KESALAHANPenyelesaian:• Kemiringan garis CD adalah

• Jika digambarkan dalam sebuah sistem koordinat dengan pusat A dan sumbu x sepanjang AB, maka persamaan garis CD adalah y = 0,5x + 20

(note: nilai 0,5 dan 20 diasumsikan tanpa kesalahan)

• Pada kondisi nilai x = d = 23,560 m, maka h = 0,5 (23,560) + 20 = 31,780 m, sehingga kesalahan h: dh = a dx = (0,5) (0,016) = 0,008 m

LINIERISASIEvaluasi turunan untuk perhitungan perambatan kesalahan

sering menemui kendala apalagi untuk bentuk non-linier Untuk melinierisasikan persamaan non-linier dengan basis

fungsi linierisasi deret TaylorApabila suatu fungsi dengan satu variabel, y=f(x) maka

dimana y0=f(x0) dan ∆x=x-x0

Apabila dianalog

maka atau

ordertermshighxdxdyyy

x

0

0

22

11

0

00

xxyx

xyyy

xx

22

11

00

; jxyj

xy

xx

22110 xjxjyy xjyy 0

Maka apabila dibentuk matriks

Apabila persamaan mempunyai banyak variabel maka

44

13

32

21

10

443322110

4

3

2

1

432100

000

,,,

xxyx

xyx

xyx

xyy

xjxjxjxjyxxxx

jjjjyxjyy

xxx

nn

mmmmmm

nn

nn

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

...

...

...

...

33

22

11

0

23

3

22

2

21

1

2022

13

3

12

2

11

1

1011

Dapat juga dibentuk

Maka

Dalam bentuk matriks

nmnmmmm

nn

nn

xjxjxjyy

xjxjxjyyxjxjxjyy

......

......

22110

2222121202

1212111101

10

2202

1101

...xjyy

xjyyxjyy

mmm

nmm x

xx

x

y

yy

y

y

yy

y...

;...

;...

2

1

0

20

10

02

1

mnmm

n

n

mmm jjj

jjjjjj

y

yy

x

j

jj

y

yy

y

yy

,...,,...,...,,,...,,

............

21

22221

11211

0

20

10

2

1

0

20

10

1

1

1

n

mmm

n

n

nn

mmmmmm

nn

nn

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

33

22

11

0

23

3

22

2

21

1

2022

13

3

12

2

11

1

1011

............

...

...

...

...

...

...

Dalam bentuk matriks

nmm x

xx

x

y

yy

y

y

yy

y...

;...

;...

2

1

0

20

10

02

1

mnmm

n

n

mmm jjj

jjjjjj

y

yy

x

j

jj

y

yy

y

yy

,...,,...,...,,,...,,

............

21

22221

11211

0

20

10

2

1

0

20

10

1

1

1

n

mmm

n

n

nn

mmmmmm

nn

nn

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

xxyx

xyx

xyx

xyyy

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

33

22

11

0

23

3

22

2

21

1

2022

13

3

12

2

11

1

1011

............

...

...

...

...

...

...

16

mnmm

n

n

mmm jjj

jjjjjj

y

yy

x

j

jj

y

yy

y

yy

,...,,...,...,,,...,,

............

21

22221

11211

0

20

10

2

1

0

20

10

1

1

1

n

mmm

n

n

n

mmm

n

n

mn

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xyJ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

............

...

...

............

...

...

Matriks J di atas disebut matriks Jacobian

LINIERISASI

Contoh:Linearisasikan fungsi pada . Jika kesalahan , maka hitung kesalahan y.

Penyelesaian:• Menggunakan metode differensial

LINIERISASI

Dimana :

LATIHAN SOAL

y merupakan luas tanah yang berbentuk bujur sangkar. Panjang sisi diukur menggunakan pita ukur dengan panjang 30 m dan nilai x = 50,170m. Pengukuran ini kemudian digunakan untuk menghitung luas bidang dengan fungsi yang disajikan sebagai luas ABCD. Jika pita ukur lebih pendek 0,030 m, hitunglah perambatan kesalahan dalam menghitung luas.

LATIHAN SOAL

Buatlah matrik dari soal linierisasi sebelumnya.