ANALISIS VEKTOR(Fungsi Vektor)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2013

FUNGSI VEKTOR

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A

bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor

yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan:

A(t) = A1(t) i + A2(t) j

Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan:

A(t) = A1(t) i + A2(t) j + A3(t) k

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor sebagai berikut:

A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2(x,y,z) j + A3(x,y,z) k

KURVA VEKTOR

Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa

disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

= x(t) i + y(t) j + z(t) k

Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang

posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan

z(to). Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan

penyajian parametrik dari kurva C, dengan t sebagai parameternya.

Dalam mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam

satuan detik.

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

1. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus

Contoh 1: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t j + t k.

Penyelesaian:

Persamaan parameter dari fungsi vektor

x = t; y = t; dan z = t

Hubungan antar parameter:

x = y atau x – y = 0

x = z atau x – z = 0

y = z atau y – z = 0

Kesimpulan: Kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t j + t k berbentuk

garis lurus yang melalui titik (0,0,0)

Persamaan garis lurus

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

Penyelesaian:

Persamaan parameter dari fungsi vektor

x = t; y = 2t; dan z = 2

Hubungan antar parameter:

x = t

y = 2t

Persamaan parameter menjadi:

y = 2x dan z = 2

Kesimpulan: Kurva berbentuk garis lurus yang sejajar dengan bidang

XOY dan berjarak 2 terhadap bidang XOY.

y = 2x atau x = ½y (persamaan garis lurus)

Contoh 2: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +2t j + 2 k.

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

F(t) = t i +2t j + 2 k

F(0) = 0 i + 0 j + 2 k

F(1) = 1 i + 2 j + 2 k

(0,0,2)

(1,2,2)

F(2) = 2 i + 4 j + 2 k (2,4,2)

F(-1) = -1 i + -2 j + 2 k (-1,-2,2)

x

y

z

1

2

2 4

2

(2,4,2)(1,2,2)

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

2. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Parabola

Contoh 1: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t2 j + 2 k.

Penyelesaian:

Persamaan parameter dari fungsi vektor

x = t; y = t2; dan z = 2

Hubungan antar parameter:

x = t

y = t2

Persamaan parameter menjadi:

y = x2 dan z = 2

Kesimpulan: Kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t2 j + 2 k berbentuk

parabola yang sejajar bidang XOY dan berjarak 2 terhadap XOY.

y = x2 (persamaan parabola)

F(t) = t i +t2 j + 2 k

F(0) = 0 i + 0 j + 2 k

F(1) = 1 i + 1 j + 2 k

(0,0,2)

(1,2,2)

F(2) = 2 i + 4 j + 2 k (2,4,2)

F(-1) = -1 i + 1 j + 2 k (-1,1,2)

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

x

y

z

1

2

2 42

(2,4,2)(1,2,2)

-1

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

3. Persamaan Kurva Vektor yang berupa lingkaran

Contoh 1:

Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = a cos t i +a sin t j + b k.

Penyelesaian:

Persamaan parameter dari fungsi vektor

x = a cos t; y = a sin t; dan z = b

Hubungan antar parameter:

x = a cos t

y = a sin t

Persamaan parameter menjadi:

x2 + y2 = a2 dan z = b

Kesimpulan: Kurva berbentuk lingkaran yang sejajar bidang XOY dan

berjarak b terhadap XOY.

x2 + y2 = a2 cos2t + a2 sin2t

x2 + y2 = a2(cos2t + sin2t)

x2 + y2 = a2 persamaan lingkaran

aj

ai

x

y

z

F(1/2 π)

F(π)

F(3/2 π)

F(0)

bk

F(t) a cos t i +a sin t j + b k

F(0) = a i + 0 j + b k

F(1/2 π) = 0 i + a j + b k

F(π) = -a i + 0 j + b k

F(3/2 π) = 0 i + -a j + b k

Karena t adalah besaran sudut,maka kita ambilsudut-sudut yang sederhana:

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

KURVA VEKTOR

(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)

4. Persamaan Kurva Vektor yang berupa ellips

Contoh 1:

Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = a cos t i + b j + c sin t k

Penyelesaian:

Persamaan parameter dari fungsi vektor

x = a cos t; y = b; dan z = c sin t

Hubungan antar parameter:

x = a cos t

z = c sin t

Persamaan parameter menjadi:

(x/a)2 + (z/c)2 = 1 dan y = b

Kesimpulan: Kurva berbentuk ellips yang sejajar bidang XOZ dan

berjarak b terhadap XOZ.

x/a =cos t (x/a)2 = cos2t

z/c = sint (z/c)2 = sin2t

(x/a)2 + (z/c)2 = 1 pers. ellips+

TERIMA KASIH