2.2.3 Hubungan antara Besaran Gerak Lurus dan Gerak Melingkar Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari tentang besaran fisis Gerak Melingkar,

meliputi Perpindahan Sudut, Kecepatan Sudut dan Percepatan Sudut. Gerak Melingkar memiliki hubungan dengan besaran fisis gerak lurus (perpindahan linear, kecepatan linear dan percepatan linear).

Dalam gerak melingkar, arah kecepatan linear dan percepatan linear selalu menyinggung lingkaran. Karenanya, dalam gerak melingkar, kecepatan linear dikenal juga sebagai kecepatan tangensial dan percepatan linear disebut juga sebagai percepatan tangensial.

1. Hubungan antara Perpindahan Linear dengan Perpindahan sudut Pada gerak melingkar, apabila sebuah benda berputar terhadap pusat/porosnya maka setiap

bagian benda tersebut bergerak dalam suatu lingkaran yang berpusat pada poros tersebut. Misalnya gerakan roda yang berputar atau bumi yang berotasi. Ketika bumi berotasi, kita yang berada di permukaan bumi juga ikut melakukan gerakan melingkar, di mana gerakan kita berpusat pada pusat bumi. Ketika kita berputar terhadap pusat bumi, kita memiliki kecepatan linear, yang arahnya selalu menyinggung lintasan rotasi bumi. Pemahaman konsep ini akan membantu kita dalam melihat hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut. Adapun hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Ketika benda berputar terhadap poros O, titik A memiliki kecepatan linear (v) yang arahnya selalu menyinggung lintasan lingkaran.

Hubungan antara perpindahan linear titik A yang menempuh lintasan lingkaran sejauh x dan perpindahan sudut θ (dalam satuan radian), dinyatakan sebagai berikut :

Di mana r merupakan jarak titik A ke pusat lingkaran/jari-jari lingkaran.

1. Hubungan antara Kecepatan Linier dengan Kecepatan sudut

Besarnya kecepatan linear (v) benda yang menempuh lintasan lingkaran sejauh delta x dalam suatu waktu dapat dinyatakan dengan persamaan :

θ= xr

atau x =

a t = r α

v = ∆ x∆ t

→ persamaan 1

Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara perpindahan linier dengan

perpindahan sudut (θ= xr

atau x = rθ), kita dapat menurunkan antara besarnya posisi pada lintasan

dan besarnya perpindahan sudut.∆ x = r∆ θ → persamaan 2Dimana ∆ x = perubahan posisi, r = jari- jari lingkaran dan ∆ θ = besarnya perpindahan sudut. Sekarang kita subtitusikan ∆ x pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1

v = ∆ x∆ t

= r ∆ θ∆ t

karena ∆ θ∆ t

= ω maka kita dapat menurunkan persamaan yang menghubungkan kecepatan linier (v)

dengan kecepatan sudut (ω¿keterangan :

v = r (∆ θ∆ t

)

v = kecepatan linier r = jari-jari lingkaran (lintasan)ω = kecepatan sudut

Dari persamaan di atas tampak bahwa semakin besar nilai r (semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran), maka semakin besar kecepatan linearnya dan semakin kecil kecepatan sudutnya.

2. Hubungan antara Percepatan Linier dengan Percepatan Sudut Besarnya percepatan tangensial untuk perubahan kecepatan linear selama selang waktu

tertentu dapat kita nyatakan dengan persamaan:

a t = ∆ v∆ t

→ persamaan 1

Keterangan : a t = percepatan tangensial∆ v = perubahan kecepatan linier∆ t = perubahan selang waktu

Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut (v = rω), kita dapat menurunkan hubungan anatara besarnya perubahan kecepatan linier (∆ v ¿ dan besarnya perubahan kecepatan sudut (∆ ω) , yakni : ∆ v = r ∆ ω→ persamaan 2Sekarang kita subtitusikan nilai ∆ v pada persamaan 2 ke persamaan 1

a t = ∆ v∆ t

→ a t= r ∆ ω∆ t

Karena ∆ ω∆ t

= α , maka kita dapat menurunkan hubungan antara percepatan tangensial (a t ¿, dengan

percepatan sudut (α ¿.

a t = r(∆ ω∆ t

¿

Keterangan :a t = percepatan tangensial

r = jarak ke pusat lingkaran (jari-jari lingkaran)α= percepatan sudut

v = r ω

Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran maka semakin besar percepatan tangensialnya dan semakin kecil percepatan sudut. Semua persamaan yang telah diturunkan di atas kita tulis kembali pada tabel di bawah ini:

Gerak Lurus Gerak Melingkar Hubungan antara Gerak Lurus dan Gerak Melingkar

Besaran Satuan SI

Besaran Satuan SI

x (jarak) M θ rad x = r θv (kecepatan ) m/s ω rad/s v = r ωa t m/s2 α rad/s2 a t=¿ r α

Catatan : Pada gerak melingkar, semua titik pada benda yang melakukan gerak melingkar memiliki perpindahan sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut yang sama, tetapi besarperpindahan linear, kecepatan tangensial dan percepatan tangensial berbeda-beda, bergantung pada besarnya jari-jari (r)2.2 Gerak Melingkar Beraturan2.3.1 Definisi Gerak Melingkar Beraturan

Ketika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut dikatakan melakukan Gerak Melingkar Beraturan atau GMB. Gerak rotasi bumi (bukan revolusi), putaran jarum jam dan satelit yang bergerak pada orbit yang melingkar merupakan beberapa contoh dari Gerak Melingkar Beraturan. Kita mengatakan bahwa GMB merupakan gerakan yang memiliki kecepatan linear tetap. Misalnya sebuah benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, seperti yang tampak pada gambar di bawah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. Dan vektor kecepatannya seperti yang terlihat pada gambar, arah kecepatan linear/tangensial di titik A, B dan C berbeda. Dengan demikian arah kecepatan pada GMB selalu berubah (ingat perbedaan antara kelajuan dan kecepatan, kelajuan adalah besaran skalar sedangkan kecepatan adalah besaran vektor yang memiliki besar/nilai dan arah).

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan linear (v) tetap, karenanya besar kecepatan sudut juga tetap (kecepatan linear memiliki keterkaitan dengan kecepatan sudut yang dinyatakan dengan persamaan v = r di mana kecepatan linear v sebanding dengan kecepatan sudut (), yang dikatakan di sini adalah besar, jadi arah tidak termasuk. Jika arah kecepatan linear/kecepatan tangensial selalu berubah, bagaimana dengan arah kecepatan sudut ? arah kecepatan sudut sama dengan arah putaran partikel, untuk contoh di atas arah kecepatan sudut searah dengan arah putaran jarum jam. Karena besar maupun arah kecepatan sudut tetap maka besaran vektor yang tetap pada GMB adalah kecepatan sudut. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa GMB merupakan gerak benda yang memiliki kecepatan sudut tetap.

2.3.2 Periode dan Frekuensi pada Gerak Melingkar BeraturanPada gerak melingkar Periode (T) dari benda yang melakukan gerakan melingkar merupakan

waktu yang diperlukan oleh benda tersebut untuk menyelesaikan satu putaran. Sedangkan, Frekuensi (f) adalah jumlah putaran perdetik dalam gerak melingkar tersebut. Periode dan frekuensi pada gerak melingkar memiliki hubungan yang erat, adapun hubungan antara periode dan frekuensi tersebut dinyatakan dengan rumus:

Kecepatan Sudut=Besar Sudut yang Ditempu hSelangWaktu Tempu h

Atau

Waktu yang diperlukan benda untuk menyelesaikan satu putaran penuh (T) dinyatakan dalam

sekon atau detik, sedangkan jumlah putaran perdetik (f) dinyatakan dengan satuan 1s

atau s−1 dan

lebih sering dinyatakan dengan Hertz (Hz)2.3.3 Kecepatan Linier dan Kecepatan Sudut

Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran (2 πr), di mana r merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. Kecepatan linear (v) merupakan perbandingan antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktu tempuh yang

dinyatakan dengan satuan ms

. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

v = 2 πrT

, karena T = 1f

maka kecepatan linier juga dapat dinyatakan dengan rumus v = 2πrf

secara umum kecepatan linier dinyatakan dengan rumus :

dimana s adalah jarak dengan satuan meter (m) dan t adalah waktu dengan satuan sekon (s).Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan sepanjang satu keliling lingkaran yang besar

sudut dalam satu putaran tersebut adalah 360o atau sering dinyatakan dengan 2π. Pada saat itu benda mengalami Kecepatan sudut (ω) yang merupakan perbandingan antara besar perpindahan sudut yang

ditempuh dengan selang waktu. Kecepatan sudut ini dinyatakan dalam satuan rads ,

yang secara

matematis dapat ditulis:

ω=2 πT

, karena T = 1f

maka kecepatan sudut juga dapat dinyatakan dengan rumus ω = 2πf.

Secara umum kecepatan sudut dinyatakan dengan rumus:

Dimana θ adalah posisi sudut dengan satuan radian (rad) dan t adalah waktu dengan satuan sekon (s).2.3.4 Percepatan Sentripetal

Percepatan Sentripetal (asp¿ merupakan percepatan yang terjadi pada gerak melingkar beraturan yang arahnya selalu menuju pada pusat lingkaran. Jika suatu benda melakukan gerak dengan kelajuan tetap mengelilingi suatu lingkaran, maka arah dari gerak benda tersebut mempunyai perubahan yang tetap. Dalam hal ini maka benda harus mempunyai percepatan yang merubah arah dari kecepatan tersebut. Arah dari percepatan ini akan selalu tegak lurus dengan arah kecepatan, yakni arah percepatan selalu menuju kearah pusat lingkaran. Percepatan sentripetal disebut juga percepatan radial karena mempunyai arah sepanjang radius atau jari‐jari lingkaran.

T=1f f = 1

T

Kecepatan Linier= Panjang Lintasan LinierSelang WaktuTempuh

V = st

ω=θt

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa O x1 tegak lurus terhadap v1 dan O x2 tegak lurus terhadap v2. Dengan demikian θ yang merupakan sudut antara O x1 dan O x2, juga merupakan sudut antara v1 dan v2. Dengan demikian, vektor v1, v2 dan ∆ v membentuk segitiga yang sama secara geometris dengan segitiga O x1 x2 pada gambar di atas, seperti gambar di bawah ini :

Dengan menganggap ∆ t sangat kecil, sehingga besar ∆ θ juga sangat kecil, kita dapat merumuskan :

∆ vv

≈∆ xr

Semua kecepatan ditulis dengan v karena pada GMB kecepatan tangensial benda sama (v1 = v2 = v). Karena hendak merumuskan persamaan percepatan sesaat, di mana ∆ t mendekati nol, maka rumusan di atas dinyatakan dalam Δv

Δv = vr

. Δx

Untuk memperoleh persamaan percepatan sentripetal asp , kita bagi Δv dengan Δt, di mana :

asp=∆ v∆ t

= vr

∆ x∆ t

Karena ∆ x∆ t

= v (kelajuan linear), maka persamaan di atas kita ubah menjadi:

asp =

v2

r

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal tersebut, tampak bahwa nilai percepatan sentripetal bergantung pada kecepatan tangensial dan radius/jari‐jari lintasan (lingkaran). Dengan demikian, semakin cepat laju gerakan melingkar, semakin cepat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius, semakin lambat terjadi perubahan arah. Arah vektor percepatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran, tetapi vektor kecepatan linear menuju arah gerak benda secara alami (lurus), sedangkan arah kecepatan sudut searah dengan putaran benda. Dengan demikian, vektor percepatan sentripetal dan kecepatan tangensial saling tegak lurus atau dengan kata lain pada Gerak Melingkar Beraturan arah percepatan dan kecepatan linear/tangensial tidak sama. Demikian juga arah percepatan sentripetal dan kecepatan sudut tidak sama karena arah percepatan sentripetal selalu menuju ke dalam/pusat lingkaran sedangkan arah kecepatan sudut sesuai dengan arah putaran benda (untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam).

Dapat disimpulkan bahwa dalam Gerak Melingkar Beraturan : 1) Besar kecepatan linear/kecepatan tangensial adalah tetap, tetapi arah kecepatan linear selalu

berubah setiap saat 2) Kecepatan sudut (baik besar maupun arah) selalu tetap setiap saat 3) Percepatan sudut maupun percepatan tangensial bernilai nol 4) Dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal

2.3.5 Penerapan GMB dalam kehidupan sehari-hariBeberapa masalah yang melibatkan Gerak Melingkar Beraturan (GMB) antara lain :1. Komedi Putar

Kuda pada komidi putar akan berputar mengelilingi pusat putaran yakni tiang komidi putar. Kuda-kuda akan bergerak berputar dalam waktu tertentu dengan frekuensi tertentu pula.

2. Jarum jamKetiga jarum jam juga termasuk dalam salah satu contoh gerak melingkar. Ketiga jarumnya akan berputar dengan kecepatan yang berbeda karena masing-masing jarum jam menunjukkan waktu yang berbeda (detik, menit dan jam). Poros jarum jam yang berperan sebagai pusat lingkaran sementara jarum jam akan berputar beraturan sesuai dengan fungsi waktu masing-masing jarum.

3. Ban motorBan motor tentu saja selalu berputar ketika morot dijalankan. Ban motor akan melakukan gerak melingkar terhadap poros ban. Tak terhitung berapa frekuensi putaran yang dihasilkan ban motor selama melakukan perjalanan. Kecepatannya akan berubah sesuai dengan keinginan pengendara dengan menggunakan bantuan rem dan gas

. Contoh soal1. Sepeda mempunyai roda belakang dengan jari-jari 35 cm, Gigi roda belakang dan

roda putaran kaki, jari-jarinya masing-masing 5 cm dan 10 cm. Gigi roda belakang dan roda putaran depan tersebut dihubungkan oleh rantai. Jika kecepatan sepeda 10 km/jam, Hitunglah :

a. Kecepatan sudut roda belakang.b. Kecepatan linier gigi roda belakang.

Penyelesaian :r1 = 5 cm, r2 = 10 cm, r3 = 30 cmv3 = 10 km/jam = 2,78 m/s = 278 cm/s

a. Roda belakang dan roda gigi belakang seporos.

3 = v3

r3 =

27830

rad/s

b. 2 = 3 = 27830

rad/s

2 = v2

r 2v2 = 2 . r2 =

27830

x 10 = 2780

30cm/s

2. Sebuah bola bermassa 100 gram diikat pada ujung sebuah tali dan diputar dengan kelajuan tetap sehingga gerakan bola tersebut membentuk lingkaran horisontal dengan radius 0,1 meter. Jika bola menempuh 20 putaran dalam 10 detik, berapakah percepatan sentripetalnya ? Penyelesaian:Karena laju putaran bola belum diketahui, maka terlebih dahulu kita harus menentukan laju bola (v). Apabila bola menempuh 20 putaran dalam 10 detik maka satu putaran ditempuh dalam 2 detik, di mana ini merupakan periode putaran (T). Jarak lintasan yang ditempuh benda adalah keliling lingkaran =2r, di mana r = jari‐jari/radius lingkaran. Dengan demikian, laju bola :

v = 2 πrT

= 2 (3,14 )(0,1m)

2 s = 0,3 m/s

Percepatan Sentripetal Bola adalah :

ast= v2

r =

(0,3 m / s)2

0,2 m = 0,45 m/s2