official site of dewi putrie lestari - gunadarma...
TRANSCRIPT
1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Persamaan Differensial (PD) : Persamaan yang mengandung variabel x, y serta turunan-turunan dari y terhadap
Tingkat dan derajat PD :
PD tingkat n jika turunan tertinggi pada PDadalah ke-n
PD derajat n jika pangkat tertinggi dari turunan tertinggi adalah n
0,...),,,( 2
2
dxyd
dxdyyxF
2
1derajat 3 tingkat sin')2(y" '3.y"
1derajat 2 tingkat
0232.
1derajat 1 tingkat
2.1
:
2
2
2
3
PDxy
PD
ydxdy
dxyd
PD
xydxdy
Contoh
3
JENIS – JENIS PD :
I. I. PD dengan variabel yang dapat dipisahkan Bentuk Umum :
kan.diintegralKemudian
0)()(
)()(
)()( (*)
:
....(*)0 )()( )()(
1
2
2
1
12
2211
dyygygdx
xfxf
diperolehsehinggaygxfdenganBagilah
anPenyelesai
dyygxfdxygxf
4
Contoh soal :
yx
yxC
Ceyx
eyx
yxCyx
yyxx
dyy
ydxx
x
dyy
ydxx
xxyDibagi
dyxydxyx
ln
0lnln
011
011dengan
0 )1( )1.(1
5
CxyxyCxyxy
Cyx
dyydxx
ydy
xdx
xyDibagidyxdxy
11
0
0
dengan 0.2
22
22
22
22
6
II. PD Homogen
Definisi fungsi homogen :f(x,y) disebut homogen derajat n jika
sama.derajat dengan homogen yang fungsi 2merupakan ),(dan ),(
0 ),( ),(:Homogen PD mBentuk Umu
homogen 3),(.2
3derajat homogen 2),(.1
:),(),(
22
23
yxNyxMdengandyyxNdxyxM
tidakxyxyxf
yxxyxf
Contohyxfyxf n
7
Penyelesaian PD Homogen
0) (2 )1(
0) (2 )1(
0) (2)(
dan gantilah 2derajat homogen 2),(2derajat homogen ),(
0 2 )(
2
222
222
22
22
dvxdxvvdxv
dvxdxvvxdxvx
dvxdxvvxxdxxvx
dyyxyyxN
yxyxM
dyxydxyx
Soal :Contoh
dvxdxvdyxyvvxyMisalkan
8
Cxyx
Cxyx
Cxyx
Cvx
dvvv
xdx
xvDibagi
dvxvdxv
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)1(
)1(ln
)1ln(ln
01
2)1(dengan
0 2 )1(
9
III. PD EKSAK
Bentuk umum
(**) (*)
))......(**,(
.....(*) ),( :
),( ),(
:),( darieksak aldifferensiadalah (1)
syarat )1.(..........0 ),( ),(
ataudaridicaridapateksakPDdariSolusi
yxNy
yxMx
maka
dyyxNdxyxMdyy
dxx
yaituCyxJika
xN
yM
dengandyyxNdxyxM
10
Cyxx
yxMxdyyxMyx
xmencariuntuk
xdyyxMyxMy
dari
Cyxy
yxNydxyxMyy
ymencariuntuk
ydxyxMdiperolehyxMx
x
x
x
),(adalah PDan Penyelesaidicari bisa )(
),()(' ),(22
xap terhad fungsi turunkan)(
)( ),(diperoleh ),(
),(adalah PDan Penyelesai dicari bisa )(
),()(' ),(22
y ap terhad fungsi turunkan)(
)( ),( ),( dari
11
Contoh soal :
Cyxyxatau
Cyxyx
CyxanPenyelesai
ydyyy
yyxyyx
yxNyxy
yxyx
ydxyx
ydxyxMyx
PDxN
yM
dyxydxyx
x
x
43
43
43
3
3
3
2
32
3244 412
31
),( PD 41)(
)(' 2)('2
),()('2
)(231
)( 2
)(),(),(
Eksak 2dan 2
0 )2( )2.(1
12
Cara Langsung
23
23
2433
43
43
32
32
32
32
12
Eksak PD
12
0 )13( )14.(2
3424 41
312
0)(2
0)(2 0) (2
0 )2( )2.(1 )(
yxxN
yxy
M
dyy
yxdxx
yx
Cyxxy
Cyxxy
dyydxxxyd
dyydxxxyddyydxxdyxdxy
dyxydxyxSoaldyxdxyxydIngat
13
Penyelesaian
Cyxyx
CyxyxCyxanpenyelesai
ydyy
y
yy
yyxyyx
y
yxyx
ydxx
yxx
ln
lnln),(
ln1)(
1)('
13)('3
)(ln
)(14
34
34
2424
34
33
14
Cara Langsung:
011)(
011)(
01134
0 )13( )14( 2.
34)(
34
34
2433
2433
243334
dyy
dxx
yxd
dyy
dxx
yxd
dyy
dxx
dyyxdxyx
dyy
yxdxx
yxSoal
dyyxdxyxyxdIngat
15
Jika PD non eksak dapat dibuat eksak dengan cara mencari faktor integrasi (F.I)
)() ( 1 b.
)( 1 a.
Eksak alDifferensi F.I Bentuk :Ingat
lidikancoba/penye-coba .3F.I maka
saja dari )(.2
F.I maka
saja dari )( .1
22
22
)(
)(
yxd
ydyxdxy
ydxydyx
xyd
xdxydyx
xdxydyx
Dengane
yfungsiygM
xN
yM
Jika
e
xfungsixfN
xN
yM
Jika
dyyg
dxxf
16
)(112
eksaknon PD 1 2
0 )32( 1.:Contoh
lain-laindan f.
ln21 1 e.
1
1 d.
ln 1 c.
Eksak alDifferensi F.I. Bentuk
222222
2
2
22
xfxxN
xN
yM
xN
yM
dyxdxxy
yxdyx
dyydxxyx
dyydxx
xytgarcd
xy
xdxydyx
yxdxydyx
xyd
xdx
ydy
xydxydyx
17
yxxN
yxyM
dyyxdxyxdydyyxdxyx
Cxyx
dxxyxd
dxxyxddxxdyxdxxy
dyxdxxxyxPD
xeeeIF xdxxdxxf
2
2
322
322
32
22
22
22
22
ln1
)(
12
eksaknon PD
6
0 )124(3 012 43 .2
03)(
03)(03 2(
eksak menjadi PD 0 )32( F.Idengan dikalikan
.
18
Cyyx
dyyyxd
dyyyxddyydyyxdxyxdyyyxdxyx
yPDyeeIF
ygyyx
yxyxM
xN
yM
dyydyyg
343
243
243
23342
23342
2
22
)(
22
22
4
012)(
012)(012430)124(3
F.Idengan dikalikan .
)(23
126
19
Cxxy
Cxxy
dxxyd
dxxyd
dxx
dxydyxx
Suku
dxxdxydyxCobaCobadyxdxyx
2
2
2
2
2
2
2
02
02
0) (2
1F.In menyaranka 3-ke
0) (2 -0 2 )2( 3.
20
xCeyxxCyx
Cxyx
Cxyx
dxyxd
dxyx
dyydxxyx
IF
dxyxdyydxx
222
22
22
22
22
22
22
22
2ln2ln
ln21
ln21
1.
)( .4
210
0 2
0 2
0 2) (
0 2
1.
2 .5
2
2
2
2
2
2
2
CyxyxatauCyxx
Cxyx
dxxyxd
dxxyxd
dxxy
dyxdxy
dxxy
dxydyxy
IF
dxxydxydyx
22
IV. PD LINIER DAN PERSAMAAN BERNOULLI
A. PD LINIERBentuk Umum :
Turunan maupun variabel tidak bebas berpangkat 1/linierPenyelesaian
)()( xQxPydxdy
CexQeyatau
CdxexQeydxxPdxxP
dxxPdxxP
)()(
)()(
)(
)(
23
Contoh Soal PD Linier
x
x
xx
xxx
xxx
dxdx
eCxy
CexyCxee
Cexee
Cdxexdxeey
Cdxexey
anPenyelesaixxQ
xP
xydxdy
58
5858
)(53
53
)53(
:53)(
1)(
53 .1
11
24
2
2
332
32
22
22
)(
22
2
)21(
)21()(
2)(
denganLinier
)21(2
)2(2
)2( 2 2.
CxeyCex
Cdxexdxexex
Cdxexdxex
Cdxxex
xy
xee
ex
xQ
xxP
PD
ex
yxdx
dy
exydxdyx
dxexdxydyx
x
x
xxx
xx-
x
dxxdxxP
x
x
x
x
25
B. Persamaan Bernoulli
Bentuk Umum :
dxdv
dxdyy
dxdyy
dxdv
yyvMisalkan
xydxdyy
xxQxPndenganBernoulliPersamaan
xyydxdy
PDyvMisalkananPenyelesai
xQxPydxdyyatau
xQyxPydxdy
n
n
nn
n
41
4
)(,1)(,5
:Contoh
Linier PD menjadi :
)()(
)()(
5-
5
41
45
5
1
1
26
x
x
xx
xx
x
xx
xdxxP
Cexy
Cexv
Ceex
Ceex
Cdxex
Cdxexev
xxQeexP
PDxvdxdv
xvdxdv
44
4
44
44
4
44
4)(
411
41
41
161
41 4
4
4
4)(4)(
Linier 44
41
27
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER tingkat n (PDL tingkat n)
Bentuk Umum :
variabelkoefisien dengan n tingkat PDLdisebut
variabelmengandung .,,......... Jika
konstantakoefisien dengan n tingkat PDLdisebut
konstanta berupa .,,......... Jika
0)( jika homogen tak 0)( jika homogen
)(.....
0
0
11
1
10
n
n
nnn
n
n
n
PP
PP
xRxR
xRyPdxdyP
dxydP
dxydP
28
I. PDL HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta
Penyelesaiannya disebutPenyelesaian homogen/penyelesaian komplementer/ yc
tanpaoperator
2 cara mencari yc
denganoperator
29
1. Tanpa Operator
misalkan
PDer komplementan penyelesaiadalah
2 3
06 0)6(
06
06
:
22
31
222
311
2
2
2
22
2
2
2
xx
x
x
mx
mxmxmx
mx
mx
mx
mx
eCeCyceymeym
mmemm
emeemPD
emdx
yd
medxdy
eyMisal
ydxdy
dxyd
Contoh
ey
30
2. Dengan Operator
operator dengan cara pakai kita aSelanjutny
erkomplementan penyelesai 3-dan 2akar -akar
dengantik karakterispersamaan disebut )3)(2(
0)3)(2(0)6(06
ditulis
06
32
21
2
2
2
2
xx eCeCyc
DDyDD
yDDyDyyD
bisa
ydxdy
dxyd
dxdD
31
Jenis Akar-akar Persamaan Karakteristik
-Riil berbeda-Riil berulang-Kompleksa). Akar Riil Berbeda
lihat contoh 2. di atas (Dengan Operator).b). Akar Riil BerulangContoh :
xx xeCeCycberulangakarnyaAkar
DDyDD
22
21
2
2,20)2)(2(0)44(
32
c). Akar Kompleks Jika akar-akarnya a ± bi maka
)3sin3cos(32
0)134(:
)sincos(
212
2
21
xCxCeyciakarnyaakar
yDDContoh
bxCbxCeyc
x
ax
33
II. PD TAK HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta
Bentuk Umum :
khususan penyelesai mplementerhomogen/koan penyelesai
:an Penyelesaikonstanta.adalah .,,.........
0)( )()(
)()..........(
0
11
10
ypyc
ypycy
PPxQdengan
xQyDFatauxQyPDPDPDP
n
nnnn
34
Mencari Penyelesaian Khusus/yP
1). Teknik Operator Invers (Rumus Integral Lipat)
x
dxexee
dxexeey
mm
xDD
y
yPxyDDContoh
dxexQe
eeey
xQmDmDmD
xQDF
y
xQyDFPD
xxx
xxx
nxmxmm
xmmxmmxm
n
nnn
21
811
.........)23(
)()23(
4dan 1
2341
1 cari ,23)45(
:
)()(..........
..........
)(1.....11
)()(
1
)()(
243
2)4())1(4(
21
2
)(
)()(
21
1
23121
35
2). Teknik Operator Invers
bagian.pecahan 2 dari
jumlah sebagai dinyatakan )(
14
31
131
4)1)(D(D1
atas di Soal :
.....
)(.....
)()(
1bagianpecahan n dari
jumlah sebagai dinyatakan )(
1
2211
21
2
2
1
1
DF
DD
Contoh
dxQeeN
dxQeeNdxQeeN
xQmD
NmD
NmD
N
xQDF
y
DF
xmxmn
xmxmxmxm
n
n
nn
36
xeCeC
ypycydan
xyp
eCeCycxyDD
x
dxexedxexe
xDD
xDD
y
xx
xx
xxxx
21
811
21
811
23)45(: PD Jadi
21
811
........
)23(31 )23(
31
23 4
31
131
)23()4)(1(
1
421
421
2
44
37
Metoda Koefisien Tak Tentu Dan Metoda Variasi ParameterAdalah 2 metoda lain untuk mencaripenyelesaian khusus/ypA. Metoda Koefisien Tak Tentu
DCxBxAxypatauKxKxKxKyp
xyDFContoh
wtBwtAwtkwtBwtAwtk
KxKxKxKnkxAeke
ypxQ
nn
nn
n
xx
2301
22
33
3
011
1
)( ).1:
sincos sinsincos cos
... ,...)2,1,0(
Pemisalan )(Bentuk
38
diperoleh soal ke cossin2
sincos2 cossin
sin)( sin)22(
: SoalContoh
3cos3sin 3sin)().3
)( ).2
22
2
2
22
53
53
kanSubstitusixExDAyDypD
xExDBAxDyDypmakaxExDCBxAxypMisalkan
xxxQkarenaxxyDD
CexBxAypexyDF
BeAeypeeyDF
x
x
xx
xx
39xx
xxxCxCe
ypycyanPenyelesai
xCxCeyc
xxxxyp
ED
ED
ED
CCBA
BBA
AA
xxxEDxEDCBAxBAAx
x
x
cos52sin
51
21
21)sincos(
adalah PD )sincos(
cos52sin
51
21
21
0252dan
51
12210222
10242112
sincos)2(sin)2(222)24(2
221
21
2
2
2
40
B. Metode Variasi Parameter
Langkah-langkah menentukan yp :1. Tulis fungsi komplementernya/yc
2. Ganti semua konstanta C dengan L yaitu fungsi dari x
)(.........)()( 2211 xyCxyCxyCyc nn
)()( .....)()()()( 2211
xyxLxyxLxyxLyp
nn
41
Lanjutan Metoda Variasi Parameter
3. Turunkan yp sebanyak order dari PDnya.
Setelah diturunkan :- Semua bagian yang mengandung
turunan dari L=0- Pada turunan yang Terakhir,
semua bagian yang mengandung turunan dari L=Q4. Hitunglah
5. Tentukan
',,.........',' 21 nLLL
integrasi.dengan ,,........., 21 nLLL
42
Contoh Soal Metoda Variasi Parameter :
0 turunan mengandung yangcossinsincos
an turunksincos diperoleh
dan dengan dan ganti sincos
akarnya-akar
0)1( Homogennya sec)1(
sec
21'
2'
1
21
2121
21
2
2
2
2
xLxLxLxLDyp
xLxLypyp
LLCCxCxCyc
i
yDPDLxyD
xydx
yd
43
1'(4) )3()4...(1cos'cossin'cos dikali (2)
...(3) 0sin'cossin' sin dikali )1()2........(seccos'sin'
Q turunan mengandung yangsincoscos'sin'
.(terakhir) lagiturunkan cossin sehingga)1(..........0sin'cos'
2
221
221
21
21212
21
21
LxLxxLxxLxxLx
xxLxL
xLxLxLxLypD
xLxLDypxLxL
44
xxCxxC
xxxxxCxCyypycy
xxxxxLxLyp
xdxL
xdxxtgL
xtgx
xLLdari
sin)(cos)sec ln(
sinsec ln cossincos
PD umuman penyelesaisinsec ln cos
sincos: PD khususan penyelesai
1
sec ln
cos
sin'' )1(
21
21
21
2
1
21
45
Metoda Sederhana mencari penyelesaian khusus/yp untuk Q(x) tertentu
mnxDD
axDaDaDaa
xDF
y
xxQaF
baxaF
baxDF
y
aF
baxaF
baxDF
y
baxbaxxQ
aFeaF
eDF
y
exQ
mn
m
mmm
m
m
axax
ax
jika 0 karena ndihilangka atas disuku semua
0,).....( )(
1)(Bentuk 3.
0)(
),cos()(
1)cos()(
1
0)(
),sin()(
1)sin()(
1)cos(atau )sin()(Bentuk 2.
0)(,)(
1)(
1)(Bentuk 1.
02
210
2
22
2
22
46
xx
xx
x
ax
ax
ax
eDD
eDD
eeDD
yp
eyDD
vDfDFv
DFx
vxDF
y
xvxxQ
vaDF
e
veDF
y
xvexQ
05
05
52
2
3)1)(2(
1)1)(2(
1
3)1)(2(
13)2( 1).
: SoalContoh
)()('
)(1
)(1
)()(Bentuk 5.)(
1
)(1
)()(Bentuk 4.
47ypycy
xe
dxeeeeD
eD
eDD
eDD
yp
eyDDypycy
e
eeyp
x
xxxx
xx
x
x
x
xx
31
31
11
31
31
11
21
11
)1)(2(1
)2( 2).
23
281
3)20)(10(
1)15)(25(
1
2
5
05
48
xx
xD-
xDDx
D
xD
xDD
yp
xyDDypycy
x
xxD
yp
xyD
2cos62sin2401
2cos)6(401
2cos3662cos
61
2cos22
12cos2
12cos)2( 4).
4sin71
4sin94
14sin9
14sin)9( 3).
2
22
2
22
2
49
22
3
22
3322
322
2
22
22
22
561
4)3(1
41
)4( 6).
1221
........
)35)(83
41
21(
352
135)2( 5).
2cos62sin2401
xDD
e
xD
eexD
yp
exyDypycy
xx
xxDD
xxDD
yp
xxyDDypycy
xxyp
x
xx
x
50
xxx
xDxx
xD
DxD
x
xxD
yp
xxyDypycy
xxe
xDDeyp
x
x
2cos2542sin
51
2sin2522sin
51
2sin)1(
22sin1
1
2sin1
12sin)1( 7).
12562
2512
51
12531
256
51
222
2
2
23
223
51
Persamaan Differensial Linier Dengan Koefisien
VariabelPersamaan CauchyBentuk Umum :
)1()2)(1(
(**) )1(
: maka dan Misalkan
:an Penyelesai
...(*)).........(
.........
22
1
1
11
10
yrvvvvyDx
yvvyDxvyxDy
dzdvex
xQyPdxdyxP
dxydxP
dxydxP
rr
z
nn
n
nn
n
nn
52
Substitusikan (**) ke (*) sehinggadiperoleh PD Linier denganKoefisien Konstan.
Contoh Soal :
23
21
2321
2233
ln
0)2)(1)(1(0 22)1(3)2)(1(
:0)223(
xCxxCxC
eCzeCeCycyvvv
yvvvvvvanPenyelesai
xDDxDx
zzz
53
PD SIMULTANKetentuan :- Lebih dari 1 persamaan- Jumlah persamaan = jumlah
variabel tidak bebas- Jumlah variabel bebas = 1Bentuk Umum :
Penyelesaian PD Simultan :1. Cara Eliminasi2. Cara dengan Determinan
)()()(
)()()(
222
111
thyDgxDf
thyDgxDf
54
Catatan : Banyaknya konstanta sembarang (yang bebas) yang
muncul pada penyelesaian umum = derajat D dalam Δ di mana
Ctty
tx
JawabtDyxD
tDyxD
DgDfDgDf
34
21
32
:2)12(
12)1(
: SoalContoh
)()()()(
2
22
11
55
TRANSFORMASI LAPLACE (TL)
0sin5
14
03
012
0111
LAPLACE SITRANSFORMA TABEL
: Definisi
22
1
2
0
,sas
a at .
a,ss-a
e.
,ssn! t.
,ss
t .
,ss
.
F(s) f(t)
f(t)dteF(s){f(t)}
at
nn
-st L
56
Lanjutan Tabel Transformasi Laplace
1
222
3
222
22
22
1
22
22
22
)1( 1, .14
2cos13
2sin12
cos11
sin10
9
cosh8
sinh7
0cos6
pp
at
at
nnat
sppt
)a(sa at . t
)a(sas at . t
b(s-a)s-a bt . e
b(s-a)b bt . e
(s-a)n! t. e
a,sas
s at .
a,sas
a at .
,sas
s at .
F(s) f(t)
57
Contoh Transformasi Laplace
t
-
t
at
t
e
ssss
tts
t
sss
ss
es
f(t) {F(s)}
sste
sstt
sse
2
21
121
11
21
21
21
21
31
1
3122
22
3
21
21
2)2(1 .3
2sin232cos4
42
232cos4
43
44
434 .2
7}3
7{ 1.
:Contoh
LAPLACE SITRANSFORMA INVERS
)2(2
)2(!2}{ .3
46
423}2{sin 3}2sin3{ .2
35
)3(5}5{ .1
LLL
L
LLL
L
L
L
LL
L
58
TRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI TURUNAN
21263
23
)0(')0( )}({ )}("{ 2
632
3)0()}({ )}('{
3)(:
)0( )0(')0()}({ )}({
)0()}({ )}('
2
2
2
1
21
ss
ss
ffstfstfss
sftfstf
etfContoh
ffsfstfstf
ftfst{f
t
n
nnnn
LL
LL
LL
L L
59
FUNGSI TANGGA SATUAN
Definisi :U (t-a) = 0, t<a
1, t>a
Grafiknya: U(t-a)
1
ta
60se
s
ttft
, t, t
, t-, t
tf
Jawabtf
t , t ,
tf
Contoh
ats
e
ss
eat
s
as
as
2
1
28
)}2( 28{ )}({ )2( 28
2120
28 2220
8)(
:)}({ an dan tentuk
satuan tanggafungsisuku -suku dalam2628
)(Nyatakan
:
)(
0,)}({
ULLU
L
UL
UL
61
Beberapa Teorema Khusus
I. Teorema Translasi Pertama
II. Teorema Translasi Kedua
)()}({ jikadan )()}({
maka )()}({ Jika
1 tfsFasFtfe
sFtfat
LL
L
)()( )}({maka )()}({ jikadan )}( )( {
maka )()}({ Jika
1
1
atfatsFetfsF
F(s)eatfatsFtf
as
as
ULL
ULL
62
Lanjutan Beberapa Teorema Khusus
tete
sss
sss
sssFtt
essss
tf
π tt, πt, t
tf
ste
Soal
sFds
Fdtft
,,,nsFtf
tt
s
t
nnn
nnn
2sin232cos3
4)1(1 3
4)1(1 3
5263 4).
III) (teorema )4(1612)()1(}2sin{ 3).
II) (teorema
1
111
1)}({ maka
sin)( Jika 2).
I) (teorema )4(
6}{ 1).
:
)()1()1()}({
321untuk maka )()}({ Jika III.
21
21
21
32
2)2(22
222
434
)(
LL
L
L
L
L
L
L
63
TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENYELESAIAN PD
Contoh:Selesaikan PD berikut
ttt
t
t
eeeYty
ssssssssY
ssYss
sYyYsyysYs
eyyyYsYty
Jawabyyeyyy
437
31)()(
14
21)1)(2)(1(552
12612 )23(
122)}0({3)0(')0(
}{ 2}{ 2}'{ 3}"{ )()}({
:1)0(',2)0(,22'3"
21
37
312
2
2
L
LLLLL
64
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
(PDP)Definisi dari PDP : Persamaan-persamaan yangmengandung satu atau lebih turunan-turunan parsial.
Persamaan itu haruslah melibatkanpaling sedikit 2 variabel bebas.
Tingkat Persamaan DifferensialParsial Tingkat turunan tertinggi pada persamaan itu.Contoh :Pandanglah z sebagai variabel terikat dan x,y sebagai variabel bebas
65
sebarang. variabelfungsi Eliminasi - variabelantara di diketahui yanghubungan dari konstanta-konstanta Eliminasi -
:dengan diturunkandapat PDP
,y
, , ,xz
standar notasidigunakan ).2'dan ).1' menuliskanUntuk
dua tingkat dari
03 ).2'atau 0
3 2).
satu tingkat dari
).1'atau ).1
2
22
2
2
2
22
2
2
yzt
xzs
xzr
yzqp
tsryz
yxz
xz
zyqxpzyzy
xzx
66
Eliminasi Konstanta-konstanta Sebarang
Pandang z sebagai fungsi 2 variabelbebas x dan y yang didefinisikan
oleh3). g(x,y,z,a,b)=0a dan b 2 konstanta sebarang3). Diturunkan secara parsial terhadap x dan y diperoleh
0 5).
dan
0 4).
zgq
yg
yz
zg
yg
zgp
xg
xz
zg
xg
67
Konstanta-konstanta sebarangDapat dieliminasikan dari 3)., 4)., 5). yang menghasilkan PDP tingkat 1.6). f(x,y,z,p,q)=0
Contoh :Eliminasikan konstanta-konstantasebarang a dan b dari
(*)22 abbyaxz
68
1 tingkat PDP 422
atau 21
21
21
21
diperoleh (*)persamaan kesikan disubstitu21dan
21
,2dan 2xz diperoleh
,dan terhadapparsial Diturunkan:
22
22
xyzqxyypxpq
yq
xpy
yqx
xpz
yqb
xpa
byqyzaxp
yxJawab
69
Eliminasi Fungsi - fungsi Sebarang
Misalkan u=u(x,y,z) dan v=v(x,y,z)adalah fungsi-fungsi bebas darivariabel x,y,z, dan misalkan7). Ф(u,v)=0adalah suatu hubungan sebarangdari variabel-variabel.
Pandang z sebagai variabel terikatdan diturunkan parsial terhadap x dany, diperoleh
0 8).
zvp
xv
vzup
xu
u
700
diperoleh 9).dan 8). dari dan Eliminasi
0 9).
xv
zu
zv
xuq
zv
yu
yv
zup
xv
yu
yv
xu
zvp
xv
zuq
yu
zvq
yv
zup
xu
zvq
yv
zuq
yu
zvp
xv
zup
xu
vφ
uφ
zvq
yv
vzuq
yu
u
dan
7101u
,03u
diperoleh dan ke parsial Diturunkan
.dan dan 0( :Jawab
argumen-argumendari sebarang fungsiadalah mana di
,0 dari timbulyang PDCarilah
:Contoh
). sebarang fungsi mempunyaidan tak dan dalamLinier PDPsuatu
,bentuk mengambil Ini
,
Ditulis
3
243
3
3
xvxq
xy
vxz
xp
yxxyv
xzuu,v)
xy,
xz
(u,vqp
RQqPpxv
yu
yv
xu, λ
zv
xu
xv
zuλq
,yv
zu
zv
yuλp
72
rqypxatau
xqy
xz
xp
xxq
xy
xz
xp
vu
3
03
1
3
anmenghasilk dan Eliminasi
334
3
243
73
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
LINIER TINGKAT 1PDP tingkat 1
PDP Linier tingkat 1
linier.k disebut ta.2ln )2dan 1 )2
. riabelderajat va padabatasan ada tak PDP Pada:Catatan
.dan dalamsatu berderajat PDPn menunjukkauntuk disebut
)1dan 3 )1
32
221
3221
xqpqpz
qplinier
zqypxzqypx
)1 umuman Penyelesai
aekivalennyatau
0, )3
1
3
3
annyaPenyelesaixyf
xz
xy
xz
74
,dan bebas variabel2dan , terikat variabel melibatkan yang 1,gkat Linier tin PDP
UMUMANPENYELESAI
gilebih tinggkat linier tin tak PDP sebarang konstanta 2
darilebih melibatkan yangPersamaan 1gkat linier tin tak PDP
sebarang konstanta 2 melibatkan yangPersamaan
)4
daridan )4dari sebarang
konstanta-konstanta asimengelimindengandiperoleh jugadapat PD
4223
2
331
berbentukyxz
xdycxyybxaxz
byaxz
75
bebas. saling yang 6)an penyelesai 2adalah ),,(dan ),,(
asalkan 5) umuman penyelesaisebarang),( 0),( 7)
bahwan menunjukkadengan
6)
biasa. PDpembantu sistemyaitu Lagrange sistemdengan an diselesaik
5) an UmumPenyelesaimendapat k Untusebarang fungsiadalah mana di ),(3
anpenyelesai mempunyai 32 PD Jadi,
mudah.dengan an diselesaikdapat 5) ,0dan 0 Jika
.,, fungsi-fungsiadalah ,, mana di )5
2
bzyxvvazyxuu
vu
Rdz
Qdy
Pdx
yxyxz
yxxz
QPzyxRQP
RQqPp
76 ,
3 Dari
sebarang. mana di
0, umumnyaan penyelesai Jadi,
. Dari
3 Dari
.3
apembantuny sistem
.3 1).umuman penyelesaiCarilah
:
.memuat harusyang , dari 1sedikit palingdan sebarang
konstanta-konstantaadalah dan sini Di
3
3
3
cyz
zdz
ydy
xy
xz
bxyv
ydy
xdx
axzu
zdz
xdx
zdz
ydy
xdx
zqypx
Contoh
zvu
ba
77linier. asebarangny konstanta karena selubung mempunyai
tidakyang 2,er berparamet yangpermukaan keluarga mewakili 8) lengkapan Penyelesai
lengkap.an penyelesai
atas di 1).contoh padapersamaan Jadi,5). lengkapan penyelesai
8)sebaran, konstanta
-konstantaadalah , jikadan bebas, yang 6)anpenyelesai 2adalah dan Jika
LENGKAP ANPENYELESAI
umum.an penyelesaiantaranya disatu salah dan ekivalen Semuanya
sebarang.adalah dan mana di
,0,atau 0,
ditulisdapat dan
3
333
xy
xz
vu
bvau
xy
yz
yz
xz
78
PDP HOMOGEN TINGKAT TINGGI DENGAN KOEFISIEN-
KOEFISIEN KONSTAN
PERSAMAAN SEJENIS
yang linier pada variabel terikat z danturunan-turunan parsialnya
PDP linier tingkat 1)adalah 3 tingkat turunan
tertinggi
yxeyzyzx
xzx
yxzxy
xz
yz
yxzx
xzyx
32
2
2
3
3
2
3
3
322
5
2 )1
79
PDP Linier Sejenis
di mana turunan-turunannyabertingkat sama homogen
PDP Linier Homogen Dengan Koefisien-koefisien Konstan
,
2y
2)
32
3
3
2
2
2
3
3
32
yxyz
yxz
xzxy
xzx
0 )3
yzB
xzA
80
,2)(),( )'5
,0)(),( )'4
,0)(),( )3'
sehingga ,dan
. mana di )()(
biasa. PDdengan sama 5) s/d 3) PDPkan menyelesai Cara
riil. konstanta-konstantaadalah ,, mana di
,2y
)5
,0y
)4
22
22
2
22
2
2
2
22
2
2
yxzCDDBDADzDDf
zCDDBDADzDDf
zBDADzDDfy
Dx
D
dxdDxQyDf
CBA
yxyzC
xzB
xzA
yzC
xzB
xzA
yyxyx
yxyx
yxyx
yx
x
yx
81
berlainan. yang )4'an penyelesai
-anPenyelesai(
)( Jika
.0 dari akar-akar darisatu salah
;0 sebarang karena
0
dapat di )4' dalam
,
substitusi );4'an penyelesaisebarang ),()(Misalkan
sebarang.
,umumnyaan penyelesai
dan 1 bertingkat )3'Persamaan
22
1121
221
2
2
22
2
xmyzxmyz
mm
CBmAmmmmm
dud
CBmAmdud
dud
yu
dud
yzzD
dudm
xu
dud
xzzD
umxyz
xAByz
y
x
82
.0)3)(2()6( Selesaikan
:Contoh
.0),( umuman penyelesai)()()( 7)
maka , jikadan 0)(
))(()( )6
)()(: umuman Penyelesai Jadi
22
2211
21
21
2211
zDDDDzDDDD
zDDfxmyxmyxmyz
mmmzDmD
DmDDmDzDDfJika
xmyxmyz
yxyx
yyxx
yx
nn
n
ynx
yxyxyx
83
),()()()(
adalah sama yangfaktor dengan diketahui yang umuman penyelesaibagian
,0)()()(),( )6'
menjadi 6)Persamaan , Jika
).3()2(umumnyaan penyelesai3,2
:
11
132
1211
11
121
21
21
xmyxxmyxxmyxxmy
k
zDmDDmDDmDzDDf
mmmmm
xyxyy
mmJawab
kk
ynx
ykxk
yxyx
nkk
84
riil) fungsi-fungsi sebarang, ,(
,)()()()(
adalah pertamafaktor 2oleh diberikan yang umuman penyelesaiBagian
.0)()()()(),( )6"
menjadi 6) sehingga dan Misalkan .dengan sekawan misalkan dan khayal
adalah 6) dari ,misalkan satu,salah Jika
sebarang. fungsi-fungsi ,, mana di),()()(
)()()(adalah )6' umuman penyelesai
21
22
11
3
21
12
1
21
1111
132
1211
ibxaxyibxaxyiibxaxyibxaxy
zDmDDmDDbiaDDbiaDzDDf
biambiammm
m
xmyxmyxmyxxmyxxmyxxmyz
ynxyx
yxyxyx
n
nnkkkk
85
),,()())((),( 8)
khusus integraln mendapatkauntuk Cara
)5'komplemen fungsi )4' umuman Penyelesai).5' khusus integral setiapditambah
0)(),( )4'andireduksik telah yang
persamaan umuman penyelesai dari terdiri2)(),( )5'
an UmumPenyelesai
).()()()(
)()( adalah )6" umuman penyelesai
21
22
22
33
22
11
yxFzDmDDmDDmDzDDf
zCDDBDADzDDf
yxzCDDBDADzDDf
xmyxmyibxaxyibxaxyi
ibxaxyibxaxyz
ynx
yxyxyx
yyxxyx
yyxxyx
nn
86
an.penyelesai 1 hanya diperlukandan ),( 10)
berbentuk 9)persamaan masing-Masing
,1,
,1 ),,(1 9)
1.tingkat persamaan kan menyelesaidengan diperoleh,dapat
),,()())((
1
),(1olehn ditunjukka khusus, Integral
),,(),(1
identitasdengan 1 operator kan Didefinisi
11
11
21
21
yxgmqp
uDmD
uz
uDmD
uyxFDmD
u
n
yxFDmDDmDDmD
yxF),Df(D
z
yxFyxF),Df(D
),Df(D
),Df(D
nyx
n
ynxynx
ynxyxyx
yx
yxyx
yx
87
.2 ,3 diganti
dan, )3(dapat Di
.)3(khusus integraldidapat dan
)(3
1 )
;)(3
12
1
oleh dinyatakan khusus integral memperolehuntuk
).3()2(adalah yakomplemenn fungsi
atas, dicontoh Dari: Jawab
.)3)(2()6( Selesaikan
:Contoh
2
2
21
22
xxyuxya
xaxdxxaxu
yxuDD
yxDD
ua
yxDDDD
z
xyxyz
yxzDDDDzDDDD
yx
yx
yxyx
yxyx
yyxx
88
.cosatau sin meliputi jikadigunakan dapat
tak tentu koefisien -koefisien Metode
.31
21)3()2(
umumnyaan penyelesai
.31
21 ,2dengan diganti
34
21 2)2(
Maka.2)2(
khusus integraldapatkan Dan
)2(2
12
1 )
3221
32
322
2
2
by) (ax (ax-by)F(x,y)
xyxxyxyz
xyxzxya
xaxdxxxaxz
xxyzDD
xxyDD
uDD
zb
yx
yxyx
89dan )( sin
),,(1
)( sin),,(
1 )
. !
),(
1 1 ),(
1
),(
1 1;0),( mana di
),(),(
0),( Jika.0),(asalkan
,),(
1),(
1 a)
khusus integralnmendapatkauntuk singkat metode-Metode
22
22
byaxbabaf
byaxDDDDf
b
erx
bage
DbaD
bag
eDDg
DbaD
Makabag
DDgDbaDDDf
bafbaf
ebaf
eDDf
yyxx
byaxr
byaxr
yx
byax
yxr
yx
yx
r
yxyx
byaxbyax
yx
90
.1dan 1)(:Catatan
.21
31y2x 1)(1
1 11 1
)(61
1 1
)(6
1 khusus Integral
:6 Selesaikan
:Contoh
konstanta.-konstantaadalah dan nolatau positifbulatbilangan -bilangan mana di ,
yaitu polinom,adalah Jika )
.0),,( ),( cos),,(
1
)( cos),,(
1
232
22
2
22
22
22
2222
22
dxD
yxD
yxxD
xyxD
Dyx
Dyx
DD
D
yx
DD
DDD
yxDDDD
Jawabyx)zDDD(D
pi,jyxp
F(x,y)F(x,y)c
babafbyaxbabaf
byaxDDDDf
xy
xx
xxx
y
x
x
y
x
yx
yyxx
yyxx
ij
iiij
yyxx
91
PDP LINIER TAK-HOMOGEN DENGAN
KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN
PDP LINIER TAK-HOMOGENDengan Koefisien-koefisien Konstan,seperti
diuraikan.dapat tidak karena direduksi,dapat tidak
)2cos()2(
)2(),(
, dalam 1 berderajatyang faktor,-faktor dalamdiuraikan dapat
kirinya ruas karena an,direduksikdapat )2)(1(
)23(),(
2
3
2
22
yxzDDD
zDDDzDDf
DD
xyxzDDDD
zDDDDzDDf
yxy
yyxyx
yx
yxyx
yxyxyx
92
)3'dan 3) tipesebarang fungsi-fungsin jumlah 1) umuman penyelesai
lain), yangkelipatan merupakan yangfaktor ada tak jika(yaitu
linier bebas 1)faktor 2 ada tak jika Jadi,sebarang. yang
argumennya fungsi-fungsi dan mana di,0 ),( )3'
atau ,0 ),( 3)
adalah 2) umuman penyelesai1)
0)( 2)konstanta.-konstantaadalah mana di
0)())((),( 1)
ANDIREDUKSIK DAPATYANG HOMOGEN-TAK LINIER PDP
222111
iiib
yciii
axc
iyixi
iii
nynxn
yxyxyx
bxbyaez
axbyaez
anpenyelesaizcDbDa
,c,bazcDbDa
cDbDacDbDazDDf
i
i
i
i
93
Contoh PDP LINIER TAK-HOMOGEN Yang dapat Direduksikan
n,ditunjukka yang seperti kecualilinier bebas yangitu faktor dari 2 ada tak mana di
,0)()()(),( 4)
Jika
)3(dengan kedua yangdan
)2(
digantidapat kanan ruas pada pertamasuku )3()2(
umumnyaan Penyelesai:Jawab
02312 Selesaikan
111
111
23
21
2
22
1
x
nzcDbDacDbDa
cDbDazDDf
xye
xye
xyexyez
zDDDD
nynxnkykxk
kyxyx
y
x
xy
yxy
94
5),komplemen fungsi 1) umuman penyelesaijumlah
),()()()(),( 5)
UMUMANPENYELESAI
.)2()2()2(:umumnyaan Penyelesai
:01252 Selesaikan
:
)].()()([
adalah kali berlipat yangfaktor dengan sesuai yang umuman penyelesaibagian
222
111
31215
2
11`1
1121111
1
yxFzcDbDacDbDacDbDazDDf
xyxxyexyez
JawabzDDDD
Contoh
xbyaxxbyaxxbyae
k
nynxnyx
yxyx
xy
yxyx
kk
axc
95
),(
,),(
1),(
1 7)
formulaPemakaian
).,( khususbentuk -bentukuntuk dipakaidapat yangsingkat metode halnya seperti
6) menghitunguntuk umum Cara
),(),(
1 6)
5) khusus integraldan
1
yxVV
VbDaDf
e
VeDDf
yxF
yxFDDf
z
yx
byax
byax
yx
yx
96
PDP LINIER TAK-HOMOGEN yang Tak Dapat Direduksikan dengan
Koefisien-Koefisien Konstan
10). memenuhi yang )(bilangan pasangan banyaknya hinggatak terdapat Jadi,
10).jalan dengan diperoleh yang )(atau nilai-nilailebih atau satu )atau (
nilaipemilihan setiap Untuk sebarang. dengan ,0),( 10)
asalkan 8)an penyelesai9) Jadi0 ),( adalah 8) dalam
9)nyasubstitusi hasil
konstanta,-konstantaadalah ,, mana di,)( karena
.0),( )833
ii
byax
byax
byaxrbyaxy
rx
yx
,ba
abbac
baf
ebafccez
cbaebcaceDD
zDDf
97
atas. didigunakan sebarang ),(
).,( dari ) (linier faktor dengan n bersesuaia yang 8)an penyelesai
11), Karena ).,(),(10). memenuhi 0 mana di
pasang setiap maka,),()(),( Jika
8)an penyelesai
,0 mana di,' 11)
lanjutLebih
1
)(
1
)(
1
hxye
DDfkDhD
eceecz
bkhbbakhba
(a,b)zDDgkhDDzDDf
),bf(aecz
kx
yx
yx
i
hxybi
kx
i
ybxkhbi
iiii
yxyxyx
iii
ybxai
iii
ii
98 ).1(,setiapuntuk sehingga
,),(direduksi.dapat tak iniLinier PDP
:0)(),(
Selesaikan:Contoh
sebarang. konstanta-konstantamelibatkan yang sisanyadan
linier)faktor -faktordengan n bersesuaia (yang sebarang fungsi-fungsi melibatkan yang
an penyelesaibagian ditulis linier,faktor -faktor mempunyai ),( Jika
8);an penyelesai 11) linier,faktor mempunyai tidak ),( Jika
2
2
iii
yxxyx
yx
yx
aabaa
baabaf
JawabzDDDzDDf
nmDDf
DDf
99konstan koefisien -koefisien
dengan Linier PDP kediubah yangkonstanta
),,(),(berbentuk yang PDsuatu
PDP,dengan halnya Sama. substitusi melaluikonstan koefisien -koefisiendengan Linier PD ke
masikan ditransfor )(CAUCHY (BIASA)
AL(PD)DIFFERENSI PERSAMAAN
sebarang. kontanta dan mana di
adalah annyaPenyelesai
,
1
)1(
1
rs
sr
sy
rx
srrsyx
z
ii
i
yaaxai
i
ybxai
c
yxFzDDyxczyDxDf
ex
FxyxDf
ac
ececz iiiii
100
.91)(
atau 91)(ln)(ln
awalnya) variabeldalamn (dinyataka umumnyaan Penyelesai
, Substitusi:
.)2( Selesaikan
:
.,substitusidengan
2
3
222
1
2
3
222
1
2
322
yx
xyxyz
yx
xyxyz
eyexJawab
yxzxDDxyDDx
Contoh
eyex
vu
xyxx
vu