2529 bab 6 distribusi kontinyu
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
1/32
BEBERAPA DISTRIBUSI
PROBABILITAS KONTINYU(SSTS 2305 / 3 sks)
Dra. Noeryanti, M.Si
1
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
2/32
Pengantar:
Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi
koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi
normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan
distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada
statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujianpanjang umur (life testing) dan sebagianya
Disini setiap distribusi tersebut diatas telah dibuat grafiknya
menggunakan software R. Selain digunakan membuat grafik fungsi,
nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel, disini diberikan cara
penggunaan program R dalam menenukan distribusi probabilitasnya.
2
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
3/32
Kompetensi:
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa
diharapkan:
1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi
Probabilitas Kontinu secara benar.
2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan
dengan distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial,
distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull.
3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
3
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
4/32
Daftar Isi Materi:
Distribusi Normal
Luas Daerah dibawah Kurva Normal
Distribusi Gamma dan Eksponensial
Distribusi Chi-kuadrat
Distribusi Weibull
4
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
5/32
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
6/32
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
dnorm(x)
W
Q
Ganbar 6.1 Kurva normal
6
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
7/32
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
dno
rm(x,
5,
1)
DistribusiNormal
1 2
2 21 2 1
Q Q
W W
{
! !
Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama
7
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
8/32
-4 -2 0 2 4
0.0
0.5
1.0
1.5
x
dnorm
(x,
0,
0.2
5)
DistribusiNormal
21 10, 0.25Q W! !
23 30, 0.75Q W! !
22 20, 0.5Q W! !
24 40, 1Q W! !
Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama
8
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
9/32
-6 -4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
dnorm(x
,1,
0.5
)
1 11 0 5, .Q W! !
2 22 1,Q W! !
Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi
yang berbeda
9
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
10/32
10
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata
dan variansi dinyatakan sebagai:
50 5;Q W! ! 50 5n(x; , )
211 22
x( )( )n(x; , ) e ; xQW
TWQ W ! g g
2W
Q
3 14159 2 71828dengan , .... dan e , ....T ! !
Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan. Misal:maka ordinat dengan mudah dapat dihitung.
Q2
W
Sifat-sifatKurvaNormal
1. Modus (nilai x maksimun) terletak di
2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui
3. Mempunyai titik belok pada
4. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis.
5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1
x Q!
Q
x Q W! s
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
11/32
11
12 2
2
1
2
xb b
a a
P(a x b) f(x)dx e dxQ
W
TW
e e ! !
6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal
Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
dnorm(x)
a b
Ganbar 6.5 Luas daerah P(a
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
12/32
12
Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.
Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal
dengan
Caranya menggunakan transformasi dengan rumus
Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke
perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.
Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika X
bernilai dan maka perubah acak Z akan bernilai
dan kemudian dinyatakan sebagai:
20 1danQ W! !
xz
QW
!
xz QW!
1x x! 2x x!1
1
xz
Q
W
!
22
xz
QW
!
212 2
212 21 2
2 2
1 12
1 2
1
1 1
2 2
0 1
xx z
z
x zz
z
P(x x x ) e dx e dx
n(z, , ) dx P(z z z )
Q
W
TW TW
e e ! !
! !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
13/32
13
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
dno
rm(x,1,0.75)
Ganbar 6.6 P(x1
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
14/32
Definisi (6.1)
Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1
disebut distribusi normal baku
14
-4 -3 -2 -1 0 1 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
dnorm(x,-1
,0.5
)
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
z
dnorm(x,
0,
1)
p
Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan
x1 x2 z1 z2
1 2 1 2P(x x x ) P(z x z ) !
1 2P(x x x ) 1 2P(z z z )
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
15/32
Contoh 6.1
50Q ! 10W !Diketahui suatu distribusi normal dengan dan
Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62
15
Jawab:
Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah
dan
Jadi:
1 245 62x dan x! !
45 501 10
0 5z .! ! 62 502 10 1 2z .
! !
45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . ) !
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 20 40 60 80 100
0.0
0
0.0
1
0.0
2
0.0
3
0.0
4
45 62P( x ) 0 5 1 2P( , z . )
Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
16/32
16
Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:
45 62 0 5 1 2
1 2 0 5
0 8849 0 3085
0 5764
P( x ) P( , z , )
P(z , ) P(z , )
, ,
,
!
!
!
!
Dengan R
> pnorm(-0.5)
[1] 0.3085375
> pnorm(1.2)
[1] 0.8849303Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal
z 0.00 0.04 .. 0.09
:
:
-0.5 0.3085
0
:
:
1.2 0.8849
:
:
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
17/32
Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat
penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). DistribusiEksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi gamma.
Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah
dikenal luas.
6.3 Distribusi Gammadan Eksponensial
Definisi (6.2):
17
Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
Untuk
Jadi
1
1
0
0x( ) x e dx ; untukEE E + ! "
00
1 1 1x x( ) e dx eEg g ! p + ! ! !
(1) 1+ !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
18/32
18
Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan
Diperoleh
Maka
Jadi diperoleh
1 xx dan dv e dxEQ ! !
1 21
x x
u x du ( )x dx
v e dv e dx
E EE
! p !
! p !
1
0 0 0
1 2
00
2
01
1
1 1
x
x x
x
( )
( ) x e dx u dv uv v du
x e e ( )x dx
( ) e x dx ; untuk
E
E E
E
E
E
E
E E
g g g
gg
g
+
+ ! ! !
!
! "
1 1( ) ( ) ( )E E E!+ +
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
19/32
19
( )
( 2) ( 2)
( 3) ( 3)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 2)
( 1)( 2)( 3) ( 3)
E
E E
E E
E E E E
E E E E E E
E E E E
! !
+
+
+ + +
! + ! +
! +
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh
:
: dan seterusnya
Jika dengan bilangan n bulat positif, makanE !
1 2 3 1 1 1 1
1 2 3 1 1
1
(n) (n )(n )(n )......... . ( ) ;karena ( )
(n) (n )(n )(n )......... (n )!
atau
(n) (n )!
+ ! + + !
+ ! !
+ !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
20/32
20
Sifat penting fungsi Gamma adalah 12
( ) T+ !
Bukti:
Dari definisi
Untuk
Menggunakan substitusi:
Diperoleh:
Dengan merubah sistem koordinatnya ke polar koordinat dengan
persamaan diatas menjadi:
1
1
00
x
( ) x e dx ; untuk
E
E E
+ ! "1
1 1 22 2
0
x( ) x e dxE
g ! p + !
_ a
2 2112
0 0
2 2 2 221
2 0 0 0 0
2 2
2 2 4
u u
u v [u v ]
( ) u e udu e du
( ) e du e dv e dudv
g g
g g g g
+ ! !
+ ! !
2 2x u dx udu! p !
( , )V J
u cos dan v sin V J V J! !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
21/32
21
_ a
_ a
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 222
212
0 0
0 0
0 0
21 1
02 2
00 0
4
4
4
4 2 2
[ cos sin ]
[cos sin ]
( ) e d d
e d d
e d d
( ) e d d
T
T
T
T TT
V J V J
J V
V J J
J V
V
J V
V
J J
V V J
V V J
V V J
J J J T
g
! !
g
! !
g
! !
g
! !
+ !
!
!
+ ! ! ! !
_ a21 12 2( ) atau ( )T T+ ! + !Jadi
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
22/32
22
Definisi (6.3):
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter
dan , jika fungsi padatnya berbentuk:
Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk
beberapa nilai parameter dan
Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi
Eksponensial, dan grafik distribusi gamma dengan dan
beberapa nilai dipelihatkan pada gambar 6.9
E
F
11 0
0
x
x e ; xf(x) ( )
; x yanglain
E FE
F E
"
! +
0 0dengan danE F" "
E F
1E !
1E !
F
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
23/32
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
f(x)
Distribusi Gamma
Gmbar 6.8 Distribusi Gamma
1, 1E F! !
2, 1E F! !
3, 1E F! !
23
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
24/32
24
Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial(Distribusi Gamma dengan )1E !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
25/32
Definisi (6.4):
25
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan
parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk:F
10
0
0
x
e ; xf(x)
; x yanglain
dengan
F
F
F
"!
"
Teorema 6.1:
Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah
2 2danQ EF W EF! !
Akibat (1):Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah
2 2danQ F W F! !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
26/32
Contoh 6.2
26
Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya
tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi
eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal
Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang
berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan
berfungsi pada akir tahun ke delapan.
Jawab:
Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi
setelah 8 tahun adalah:
5F !
81 5 55
8
8
0 2
tP(T ) e dt e
,
g " ! !
!
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
27/32
27
Contoh 6.3
Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi
proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.
Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2
sambungan telepon masuk ke gardu tadi
Jawab:
Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poissonmemenui distribusi gamma dengan parameter
Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang
berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:
1
01
5 5 1
0
1 25 1 1 5 0 96
xx
x ( )
P(X x) xe dx
P(X ) xe dx [ e ( )] ,
FF
e !
e ! ! !
15
2danF E! !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
28/32
Hal khusus lainya yang sangat penting dari distribusi gamma
adalah dengan mengambil
Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat, dan v disebut derajad bebas
6.4 DistribusiChi-kuadrat
28
22v dan ;v bilangan bulat positif E F! ! !
Definisi (6.4):
Perubah acak kontinu X terdistribusi chi-kuadrat dengan derajad
bebas v, jika fungsi padatnya berbentuk:
12 2
2
10
2 2
0
v x
v /x e ; x
f(x) (v / )
; x yanglain
dengan vbilangan bulat positif
"
! +
Akibat (2):
Rata-rata dan variansi distribusi chi-kuadrat adalah
2 2v dan vQ W! !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
29/32
29
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
DistribusiChi-square
3df!
2df!
4df!
5df!
Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
30/32
Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia
Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibll untuk
dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar 6.11
6.5 Distribusi Weibull
30
Definisi (6.5):
Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter
, jika fungsi padatnya berbentuk:
Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.
Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva
normal tetapi agak mencong.
1 0
0
0 0
xx e ; xf(x)
; x yanglain
dengan dan
F E FEF
E F
"!
" "
1E !
F
danE F
1F "
1F !
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
31/32
31
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
Distribusi Weibull
1 1,E F! !
1 2,E F! !
1 3,E F! !
1 5,E F! !
Gambar 6.11 Distribusi Weibull
-
8/3/2019 2529 Bab 6 Distribusi Kontinyu
32/32
32
Teorema .6.2:
Rata-rata dan variansi distribusi Weibull adalah
1 1
22 2 2 1
1
1 1
/
/
( )
( ) ( )
FF
FF F
Q W
W E
! +
! + + -
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull
juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur
seperti waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen, diukur
dari suatu waktu tertentu sampai rusak.