MASALAH SYARAT BATAS BEBAS PERSAMAANDIFERENSIAL PARSIAL PARABOLIK SATU-DIMENSI

AGAH D. GARNADI

Departemen Matematika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Institut Pertanian Bogor

Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranang Siang, Bogor, Indonesia

Abstract. Sering ditemui dalam proses difusi diperlukan penen-tuan satu permukaan bebas dari data di batas yang berlebih. Satuteknik penyelesaian konstruktif yang umum digunakan ialah metodegaris. Tulisan ini memberikan langkah yang diambil untuk mendekatiberbagai masalah syarat batas bebas yang eksplisit maupun im-plisit untuk persamaan difusi satu-dimensi dengan mempergunakansatu barisan masalah syarat batas dari satu persamaan diferensialbiasa. Diperlihatkan bahwa persamaan ini memiliki solusi yang da-pat diperoleh dengan mempergunakan teknik invariant imbedding.Juga diperlihatkan untuk satu model bahwa solusi hampiran akankonvergen ke solusi klasik yang (hampir) tunggal saat parameterdiskretisasi menuju nol.

1. Pendahuluan.

Di antara sejumlah masalah syarat batas bebas untuk persamaandiferensial parsial, masalah parabolik satu dimensi boleh dikata telahdibahas sangat rinci. Satu masalah jenis tersebut yang cukup di-mengerti dengan baik ialah masalah pelelehan batang es yang bersen-tuhan dengan bahan cair. Jika dianggap bahwa es selalu dalam keadaansuhunya terjaga pada suhu tetap 0C, dan perpindahan panas diang-gap hanya melalui konduksi, maka distribusi suhu di batang es dapatditerangkan dengan persamaan panas berikut:

uxx c ut = 0, (1.1)

DIBIAYAI OLEH PROYEK PENINGKATAN IPB, KONTRAK NOXX/KXX.XX.X/SPHP/2004

11

12 AGAH D. GARNADI

dengan syarat batas dan syarat awal:

u(0, t) = (t), (1.2)

u(s(t), t) = 0, (1.3)

ux(s(t), t) = dsdt

, (1.4)

s(0) = 0. (1.5)

Dengan notasi sebagai berikut, u menyatakan suhu dalam fluida di an-tara dinding x = 0 yang bersuhu (t) dan batas s(t) yang tidak dike-tahui dan bergerak sebagai batas antara fluida dan es. Syarat untukflux ux(s(t), t) di atas, diperoleh dari neraca energi dan memiliki artibahwa panas mengalir ke es digunakan untuk melelehkannya alih-alihuntuk menaikkan suhu. Syarat s(0) = 0 berarti tidak ada fluida padaawalnya. Konstanta c dan ditentukan dari konduktivitas, kapasitaspanas dan panas laten dari air.

Masalah tersebut di atas dan perluasannya ke sistem dua fasa (den-gan anggapan bahwa benda padatnya juga memiliki perubahan suhu)sudah dipelajari di akhir abad ke-19 oleh J. Stefan, sehingga kini dike-nal sebagai masalah Stefan. Seiring dengan berjalannya waktu, munculberbagai masalah teknik akibat perkembangan teknologi yang dapatdirumuskan sebagai masalah berjenis Stefan, akibatnya karya ilmiahyang membahas solusi masalah syarat batas bebas secara analitik maupun numerik meningkat cukup berarti. Pembahasan mengenai peru-musan masalah syarat batas bebas satu dimensi berkait dengan peruba-han fasa, filtrasi, aliran viskoplastis dan proses tumbukan serta bahasanmatematika yang rinci dari masalah yang muncul dari sejumlah modeltertentu dapat ditemukan di monograf [32], yang mencatat perkem-bangan hingga dasa warsa 60an, dan prosiding [26], serta seri yangmencantumkan judul Free and Moving Boundary Problem semisal [6],serta munculnya Jurnal Interface and Moving Boundary Problems yangberumur lebih dari sepuluh tahun, menandakan pentingnya model yangmenyangkut batas bebas. Sementara itu,yang menurut hemat penulis,perlu diperhatikan mengingat bidang aplikasinya cukup dekat denganmasalah di Indonesia, berbagai masalah batas bebas bermunculan darimasalah matematika keuangan [39] [22],[23], dari teknologi pangan mis-alnya mengenai penggorengan dan pengeringan [9] dan pengeringanbeku [10],[11], [24], [27],[2], [3]; teknologi penerbangan [12],[25]; sertapengeboran dengan laser dalam industri manufaktur [1], pembedahandengan sinar laser [13], [28], pembedahan kulit sel telur dengan sinarlaser [14].

Satu teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahsyarat batas persamaan difusi satu dimensi dikenal dengan metodegaris lateral. Pada prinsipnya, metode ini ialah mengganti persamaandiferensial parsial dengan satu barisan masalah syarat batas persamaandiferensial biasa. Secara historis, Rothe [30] mempergunakan strategi

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 13

tersebut untuk masalah syarat batas parabolik dua dimensi di daerahyang tetap, sehingga metode garis lateral sering pula dikenal sebagaiMetode Rothe. Strategi ini tidak hanya digunakan sebagai metode nu-merik1, [5], juga digunakan untuk pembahasan analitik [16]. Bahkan,meski tidak dikutip oleh [32], metode ini sering digunakan untuk menye-lesaikan masalah syarat batas bebas dan masalah interface (misalnya,[4], [17], [34], [35], [37], [38] serta rujukan yang dikutipnya). Semuakarya tersebut cukup berbeda substansinya karena ragam masalah yangdiselesaikannya, tetapi semua memiliki benang merah yang sama danmempergunakan teknik matematika yang sama.2 Tulisan ini bertu-juan memperlihatkan tahapan penting penggunaan Metode Rothe un-tuk menyelesaikan masalah syarat batas bebas. Dapat diidentifikasibahwa dalam proses penyelesaian terdapat 5 tahapan penting,

(1) Perumusan dengan mempergunakan aproksimasi garis(2) Penyelesaian rangkaian persamaan garis(3) Penurunan batas a-priori dari penyelesaian persamaan garis(4) Pendefinisian penyelesaian dari masalah syarat batas bebas yang

diberikan(5) Kekonvergenan penyelesaian metode garis.

Tahap 1 dan 2 bersifat algoritmik dan akan dirumuskan untuk masalahyang cukup umum. Hal penting ialah, tahap batas a-priori dan kekon-vergenan solusi sangat tergantung pada data yang diberikan, karenanyahanya akan dibatasi pada satu masalah model. Cukup penting un-tuk dicatat, karya [19] cukup berbeda dibanding dengan karya lainnyadalam 2 hal. Tahap 2 digunakan teknik invariant imbedding, yang me-ngubah masalah syarat batas persamaan garis menjadi masalah syaratawal, dan langkah ke 5 yang mempergunakan konsep solusi lemah alih-alih solusi klasik. Meski demikian, benang merah metodenya tetaptampak jelas serupa.

1Kelompok penelitian di Konrad Zusse Institut Berlin cukup extensif mempergu-nakan Metode Rothe, lihat kumpulan Technical Reports yang disediakan di home-pagenya: http:www.zib.de.

2Penggunaan Metode Rothe tidak dibatasi untuk masalah parabolik, tetapi jugauntuk persamaan eliptik, [21] memanfaatkannya untuk menyelesaikan Dam Problemyang merupakan masalah batas bebas persamaan Eliptik.

14 AGAH D. GARNADI

2. Aproksimasi garis lateral dan invariant imbedding.

Tinjau permasalahan berikut

Lu := (

x(k(x, t)

x) + a(x, t)

x+ b(x, t) (2.1)

c(x, t) t

u = f(x, t), (2.2)

t > 0, 0 < x < s(t),

1(t)u(0, t) + 2(t)ux(0, t) = (t), (2.3)

1(t)2 + 2(t)

2 6= 0, t > 0,u(x, 0) = u0(x), 0 < x < s(t), (2.4)

dengan kendala,

H(u(s, t), ux(s, t), ut(s, t), s(t), s(t), t) = 0, t > 0, (2.5)

dengan H = (H1, H2) fungsi bernilai di IR2 yang diberikan. Dalam pem-

bahasan selanjutnya, semua data berupa fungsi dianggap memenuhisyarat cukup licin (smooth) yang diperlukan untuk operasi di daerah = {(x, t); 0 x < , 0 t T}, dengan T sebarang tetapimerupakan batas atas yang tetap.

Perumusan di atas termasuk beragam masalah syarat batas bebas,antara lain:

(i.) Masalah Stefan

H =

(uux + s

), (2.6)

atau secara umum

H =

(u + 1(s, t)ux + s

+ 2(s, t)

), > 0. (2.7)

(ii.) Masalah teori optimal stopping [35] dan aliran plastis Bingham[32]

H =

(uux

). (2.8)

(iii.) Masalah filtrasi satu fasa[34],[38]:

H =

(u 1(s, t)ux 2(s, t)

). (2.9)

(iv.) Model Gibbs-Thompson untuk pertumbuhan gelembung tung-gal dalam larutan kimia [7]:

H =

(u + 1e

2/s

ux (3 u)s)

. (2.10)

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 15

(v.) Radiasi dan ablasi di permukaan bebas

H =

(u 1(u4 41)s 3e4/(5u)

). (2.11)

Dengan semua i bergantung pada s dan t. Lebih jauh, hubungan fung-sional di syarat batas bebas dapat diakomodir. (Lihat, misalnya, peru-musan tumbukan viskoplastis [32], masalah perpindahan panas untukpelapisan unggun mengalir [20], lihat juga proposal software di [36]).

Semua masalah di atas memiliki kesamaan yaitu berupa persamaandifusi, apakah berbentuk kartesian, radial, mau pun bola, dengan atautanpa suku konveksi, dan dengan suku beban yang tergantung padamasalahnya, harus diselesaikan dengan syarat memenuhi hubungan af-fin (2.3) dan kedua hubungan (2.5). Jika s(t) diberikan, masalah men-jadi over-determined sehingga mungkin tak ada solusi. Akan tetapi,jika s(t) tidak diketahui secara a-priori dan harus ditentukan sehinggadata di batas yang diberikan menjadi konsisten. Jika salah satu per-samaan di (2.5) dapat diselesaikan untuk s(t) atau s(t), maka masalahdikenal sebagai masalah syarat batas bebas eksplisit; lainnya dise-but implisit. Masalah Stefan merupakan masalah eksplisit, sedangkanmasalah optimal stopping merupakan perumusan implisit.

2.1. Metode garis lateral (Metode Rothe). Penggunaan metodegaris lateral atau Metode Rothe dengan mudah diaplikasikan ke masalahdi atas tanpa melakukan tambahan apa pun atas struktur persamaan-nya. Untuk itu, kita definisikan partisi {0 = t0 < t1 < < tN = T}dari selang [0, T ], yang untuk kemudahan kita anggap terdiri dari sub-selang yang seragam: t = ti ti1, i = 1, 2, , N. Hal yang palingsederhana dan umum digunakannya metode Rothe untuk menghampiri(2.2) dengan melakukan substitusi berikut ini:

ut(x, tn) u(x, tn) u(x, tn1)t

, s(tn) s(tn) s(tn1t

),

yang akhirnya mereduksi persamaan diferensial parsial (2.2) menjadisatu barisan masalah syarat batas bebas untuk persamaan diferensialbiasa berikut ini:

(k(x, tn)u

n) + a(x, tn)u

n + b(x, tn) c(x, tn)un un1

t= f(x, tn), (2.12)

n = 1, , N,1(tn)un(0) + 2(tn)u

n(0) = (tn).

H(un(sn), u

n(sn),un(sn) un1(sn)

t, sn,

sn sn1t

, tn) = 0,

16 AGAH D. GARNADI

dengan un = u(x, tn), u

n = d/dx(un) dan sn = s(tn). Untuk setiaptingkat waktu n, persamaan ini harus diselesaikan untuk fungsi un danbatas bebas sn (bahkan bila diperlukan, un1 dapat diperluas secaradiferensial sebagai fungsi linear di [sn1,)).

Untuk hampiran di atas, kita gunakan formula beda mundur un-tuk variabel waktu, yaitu metode diskretisasi implisit orde satu. Da-pat juga digunakan misalnya metode implisit dengan orde lebih tinggi,seperti Crank-Nicholson, tetapi harus diperhatikan apakah tingkat akurasiuntuk penentuan sn juga lebih baik. Begitu pula, formula beda majudalam waktu dapat digunakan, tetapi untuk kasus batas bebas, kitaberhadapan dengan masalah bahwa secara eksplisit kita harus menge-tahui di mana posisi batas bebasnya. Karena itu lebih cenderung di-pilih metode implisit, karena algoritma penyelesaian tidak tergantungsecara langsung pada posisi sn.

2.2. Invariant Imbedding. Perhatikan bahwa persamaan diferensialbiasa di atas berbentuk linear dalam un. Kelinearan ini, dapat diman-faatkan dengan cara lain untuk mengatasi ketakstabilan, setidaknyauntuk masalah Stefan [33]. Teknik yang akan disajikan dikenal seba-gai metode invariant imbedding dan secara rinci diuraikan di [17]. Kitaakan berikan ringkasannya berikut ini. Masalah (2.12) dapat dituliskansebagai sistem persamaan diferensial orde-1

un = vn/k(x, tn),

vn = unc(x,tn)

t a(x,tn)

k(x,tn)vn

b(x, tn)un + f(x, tn) c(x,tn)t un1,(2.13)

dengan syarat batas yang diberikan. Agar tepatnya, kita anggap 2(t) 6=0 di [0, T ], dan untuk memudahkan, kita pilih 2 = 1. (Untuk kasus1 6= 0, peran dari un dan vn kita pertukarkan. Untuk rincinya lihat di[17] atau [18]). Sehingga syarat batas untuk sistem di atas, berbentuk:

vn = [(tn) 1(tn)un(0)] k(0, tn),(2.14)

0 = H(un(sn), u

n(sn),un(sn) un1(sn)

t, sn,

sn sn1t

, tn).

Penyelesaian (2.13) dan (2.14), jika ada, termuat dalam keluargafungsi {un(x, r), vn(x, r)} dari solusi (2.13) dengan syarat:

vn = [(tn) 1(tn)un(0)] k(0, tn),(2.15)

un = r,

untuk r parameter bebas yang ada di rentang semua bilangan real.(Mencari r yang konsisten dengan (2.14) akan diperoleh dengan mem-pergunakan metode shooting untuk menyelesaikan masalah syarat batas).

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 17

Diketahui bahwa un dan vn memiliki perwakilan berdasarkan metodevariasi parameter:

(vnun

)= n(x, 0)

( 1(tn)r0

)+ n(x, 0)

((tn)

0

)

+ x0

n(x, y)

(f(y, tn) c(y,tn)t0 un1(y)

0

)dy,

(2.16)

dengan merupakan matriks fundamental yang memenuhi

=

( a(x, tn) c(x, tn)1 0

), (y, y) = I,

dengan

a(x, tn) =a(x, tn)

k(x, tn), c(x, tn) =

c(x, tn)

t b(x, tn).

Jika persamaan kedua di (2.16) diselesaikan untuk r, dan kemudianhasilnya disubstitusikan ke vn, akan diperoleh hubungan berikut antaraun dan vn untuk setiap r (,)

vn(x, r) = Rn(x)un(x, r) + wn(x). (2.17)

Bentuk ini tak lain merupakan transformasi Riccati untu persamaandiferensial orde 2. Karenanya haruslah berlaku untuk setiap r, biladibandingkan ke (2.15) diperoleh

Rn(0) = 1(tn)k(0, tn), wn(0) = (tn)k(0, tn).Karena un dan vn memenuhi (2.13) dan Rn dan vn merupakan kombi-nasi sederhana dari komponen dan integral tentu di (2.16), bentuk(2.17) dapat diturunkan sehingga diperoleh

vn = R

nun + Rnu

n + w

n = R

nun +Rn(Rnun + wn)

k(x, tn)+ wn. (2.18)

Substitusikan persamaan diferensial untuk vn dan perwakilan (2.16)untuk vn dan kumpulkan semua suku yang memuat un, akan diperoleh

[Rn +R2n

k(x, tn) c(x, tn) + a(x, tn)R]un(x, r)

= [wn Rnwn

k(x, tn) a(x, tn)wn + f(x, tn) c(x, tn)

tun1(x)].

Hubungan ini berlaku untuk setiap r dan karena suku berkurungsikubebas dari r, maka haruslah musnah. Sehingga akhirnya kita perolehbahwa fungsi Rn dan wn di transformasi Riccati (2.17) merupakan so-lusi masalah syarat awal berikut yang terdefinisi, yang dikenal sebagai

18 AGAH D. GARNADI

persamaan invariant imbedding:

Rn = c(x, tn)R2n

k(x, tn) a(x, tn)Rn (2.19)

Rn(0) = 1(tn)k(0, tn),wn = [

Rnk(x, tn)

+ a(x, tn)]wn

+f(x, tn) c(x, tn)t

un1(x), (2.20)

wn(0) = (tn)k(0, tn).

Perwakilan (2.17) harus dipenuhi pula untuk setiap x, jadi berlakupula untuk batas bebas sn. Sehingga un(sn) dan sn harus ditentukansehingga

H(un(sn),Rnun(sn) + wn(sn)

k(sn, tn),un(sn) un1(sn)

t, sn,

sn sn1t

, tn) = 0.

Dengan kata lain, batas bebas sn dan nilai un(sn), merupakan akar darisistem dua persamaan:

H(u,Rn(x)u + wn(x)

k(x, tn),u un1(x)

t, x,

x sn1t

, tn) = 0. (2.21)

Jika pasangan akar (un, sn) dapat ditemukan, maka (2.12) tereduksimenjadi masalah dua-titik biasa dengan syarat vn(0) = (tn)1(tn)un(0),dengan un(sn) ditentukan dari (2.21), di interval [0, sn] yang tetap. Al-ternatif lain, un dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan trans-formasi Riccati (2.17):

k(x, tn)u

n = vn = Rn(x)un + wn(x), (2.22)

dengan un(sn) ditentukan dari (2.21), dengan cara mundur dari sn ke0. Pendekatan ini biasanya digunakan bila diselesaikan secara numerik.Lagi pula, seringkali mungkin mereduksi (2.21) dengan mengeliminasisalah satu u ataukah ux. Misalnya, hanya persamaan skalar yang perludiselesaikan untuk masalah yang diperkenalkan di atas:

(i)n =

Rn(x)un(x)+wn(x)k(x,tn)

+ xsn1t

+ 2(x, tn)

= Rn(x)(1(x, tn)) + wn(x)+[xsn1

t+ 2(x, tn)]k(x, tn) = 0;

(ii) n(x) = wn(x) = 0;(iii) n = Rn(x)1(x, tn) + wn(x) + 2(x, tn)k(x, tn) = 0;(iv)

n = Rn(x) 1(x, tn)e2/x + wn(x)[3 1(x, tn)e2/x]xsn1t k(x, tn) = 0;

(v) n = Rn(x)n(x) + wn(x) 1(4n 42) k(x, tn) = 0;dengan n(x) = 5 4/(ln((x sn1)/t) ln 3).

Jadi, untuk setiap masalah yang diperkenalkan di atas, pendekatanyang sama dapat digunakan. Persamaan invariant imbedding (2.19)dan (2.20) diintegrasikan maju dalam variabel x dan fungsional (x)

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 19

dievaluasi. Bila memotong sumbu-x batas bebas sn ditetapkan danun(sn) ditentukan dari (2.21), yang memungkinkan menghitung un se-panjang [0, sn] misalnya dengan cara mengintegralkan (2.22). Dari sinijelaslah bahwa langkah langkah tersebut di atas dapat diselesaikan se-cara numerik.

3. Kekonvergenan Metode Rothe

Untuk mendemonstrasikan bagaimana teknik solusi di atas dapatdigunakan untuk memperoleh bukti eksistensi, tinjau masalah modelberikut,

uxx ut = f(x, t),u(0, t) = (t),

u(s(t), t) = 0,ux(s(t), t) = 0,

u(x, 0) = 0,s(0) = 0.

(3.1)

Sebagaimana dikatakan, masalah jenis ini muncul di teori optimal stop-ping, dengan u berkait dengan fungsi imbalan (reward function/valuefunction) terkait dengan satu proses Brown dan s(t) merupakan bataspenghentian optimum dari proses (Lihat [35] dan rujukan yang diku-tip).

Persamaannya cukup sederhana tetapi menonjolkan aspek matema-tis yang cukup pentingkarena bukti keujudan solusi metode garis se-belumnya memustahilkan musnahnya gradien di batas bebas [35],[38].Sehingga, beberapa hasil di [19] cukup berbeda secara signifikan di-banding literatur lainnya. Kita akan tunjukan secara berurutan bahwaberdasarkan sejumlah hipotesis:

i) persamaan metode garis untuk (3.1) memiliki solusi di setiaptingkat waktu diskret;

ii) bahwa un, u

n, (un un1)/t, dan (sn sn1)/t terbatas ser-agam;

iii) penyelesaian yang terkait (3.1) yang didefinisikan dalam (un, sn)konvergen ke sebuah solusi dari (3.1).

Dua alat utama yang penting digunakan secara berulang, yaitu prin-sip maksimum untuk persamaan diferensial (eliptik) biasa (lihat mis-alnya [29]) dan teorema Ascoli mengenai kekompakan barisan terbatasseragam dari fungsi ekikontinu (lihat misalnya [31]).

20 AGAH D. GARNADI

Hampiran metode Rothe untuk masalah batas bebas (3.1) ialah:

un (un un1)/t = f(x, tn), (3.2)n = 1, , N, t = T/N,

atau (3.3)

vn = un/t + f(x, tn)

un1/t, vn(0) = (tn), (3.4)un = vn, un(sn) = vn(sn) = 0, (3.5)

u0 = 0, (3.6)

Persamaan invariant imbedding yang terkait ialah

vn = R(x)un(x) + wn(x), (3.7)

R(x) =1

tR(x)2, R(0) (3.8)

wn = R(x)wn + f(x, tn) un1/t,wn(0) = (tn), (3.9)

dan batas bebas yang ditentukan sebagai akar sn dari persamaan

n(x) = wn(x) = 0.

Untuk membuktikan keujudan solusi (un, sn) di setiap tingkat waktudiskret n dan kekonvergenan diperlukan hipotesis berikut ini.

H.1. (t) 0, t (0, T ]; terdapat fungsi kontinu C dan c sehinggaC(t) f(x, t) c(t) c > 0, (x, t) (0,) [0, T ].

H.2.i. Terdapat konstanta Lipschitz Li 0, i = 1, 2, 3, sehingga0 (t) (r) L1(r t), t, r (0, T ]

0 f(x, t) f(x, r) L2(r t), t, r (0, T ], seragam di x,|fx

(x, t) fx

(x, r)| L3(r t), t, r (0, T ], seragam di x.

H.2.ii. Terdapat syarat batas yang konsisten sehingga (0) = 0.

Keujudan solusi ditunjukan lema berikut,

Lema 3.1. Dengan hipotesis H.1., solusi metode Rothe {un, sn} adauntuk setiap n = 1, , N.Bukti 3.2. Untuk lengkapnya lihat di [19].

Untuk menunjukan kekonvergenan bersamaan dengan t 0, harusditunjukan bahwa batas bebas yang dihitung {sn}Nn=0 dapat digunakanuntuk mendefinisikan batas s(t) yang kontinu Lipschitz bersamaan den-gan t 0. Satu taksiran berbentuk

|sn sn1| Kt

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 21

cukup untuk tujuan ini yang dengan mudah diperoleh dari uraian Tay-lor

un(sn1) = un(sn)+u

n(sn)(snsn1)+1

2un()(snsn1)2, (sn1, sn)

(3.10)dengan membatasi un(sn1) dari atas dan u

n() dari bawah. Anggapan

bahwa asumsi hipotesis H.1. dan H.2. berlaku.

Lema 3.3. Syarat kemonotonan berikut berlaku

un(x) un1(x) 0, sn sn1.Bukti 3.4. Lihat di [19].

Untuk masalah Stefan dan filtrasi, suku un(sn) tidaklah musnah,dan karenanya cukup diturunkan batas berbentuk un(sn1) Kt diuraian Taylor di atas (lihat [18] dan [38]). Untuk (3.2) di atas, batasberbentuk |un(sn1)| Kt(sn sn1) merupakan hal perlu. Kitaakan trunkan dengan membatasi |un| dengan Kt di [sn1, sn]. Lemaberikut diperlukan untuk bukti hasil tersebut. Bukti lema dan Teoremadapat di lihat di [19].

Lema 3.5. Terdapat sebuah konstanta K sehingga |unun1| Ktdi [0, sn].

Teorema 3.1. Dengan hipotesis H.1. dan H.2., terdapat satu kon-stanta K yang bebas dari t sehingga

sn+1 sn K t.Dari Teorema tersebut, dapat diperoleh hasil sn KT untuk suatu

K yang konstan, sehingga dengan demikian kita perlu hanya memper-hatikan masalah (3.2) di [0, X] untuk X = KT. Lebih jauh denganmemanfaatkan lema 3.5 sebelum ini, diperoleh |un(x) un1(x)| Kt|sn x|, sehingga

|un(x) un1(x)t

| K (3.11)seragam di x dan n untuk setiap x [0, X].

Solusi aproksimasi metode Rothe (un, sn) dapat digunakan untukmembuktikan solusi pendekatan masalah batas bebas (3.1). Tetapkan

SN(t) =1

t{(t tn1)sn + (tn t)sn1},

t (tn1, tn] (3.12)UN(t) =

1

t{(t tn1)un + (tn t)un1}.

Dengan mempergunakan teorema Ascoli, dapat ditunjukkan terda-pat anak barisan {Nl} sedimikian rupa sehingga SNl dan UNl konvergensecara seragam ke fungsi limit s(t) dan u(x, t) yang kontinu Lipschitz.

22 AGAH D. GARNADI

Untuk menunjukkan bahwa s(t) dan u(x, t) menyelesaikan masalah(3.1), untuk kemudahan perlu diperkenalkan konsep solusi lemah untukmasalah batas bebas.

Definisi 3.6. Solusi lemah masalah syarat batas (3.1) ialah sebuahfungsi u yang terukur dan terbatas serta fungsi s yang kontinu dengans(0) = 0, yang untuk fungsi sebarang D dipenuhi

T0

s(t)0

[(xx t)u f] dxdt T

0

(0, t)(t) dt. (3.13)

Dengan D menyatakan ruang fungsi uji. Ruang fungsi uji D ter-diri atas fungsi dua variabel yang terdefinisi di [0, X] [0, T ] yangterturunkan 2 kali di x dan sekali di t di [0, X] [0, T ] dan berlaku(x, T ) = x(0, t).

Dengan mempergunakan konsep solusi lemah ini, dapat ditunjukkanmengenai keujudan solusi. Sebagaimana dimanfaatkan dalam menun-jukkan keujudan solusi dalam persamaan panas pada batas yang tetap,bahwa solusi lemah yang cukup licin merupakan syarat kecukupan un-tuk ujudnya solusi klasik, hal yang sama dapat diperluas untuk kasusbatas bebas. Kemudian, dapat diperlihatkan ketunggalan solusi lemah.Untuk diskusi rinci mengenai hal ini lihat di [19]. Teorema berikut me-nunjukkan bahwa solusi akan konvergen ke solusi klasik yang tunggal.

Teorema 3.2. Dengan hipotesis H.1., H.2., solusi metode garis yangdidefinisikan oleh (3.12) konvergen secara seragam ke sebuah solusiklasik yang tunggal dari masalah syarat batas bebas (3.1).

Bukti 3.7. Rincian pembuktian dapat dilihat di [19].

4. Contoh.

4.1. Optimal Stopping. Masalah batas bebas berikut ini bermuladari teori optimal stopping sebagaimana dibahas oleh [35]

uxx ut = 0,ux(0, t) =

1

2,

u(s(t), t) =1

2t, ux(s(t), t) = 0, s(0) = 0

Meski tidak diketahui mengenai hasil analitik yang menunjukkan keu-judan solusi untuk masalah singular ini, dapat ditunjukkan bahwasatu solusi aproksimasi (un, sn) dapat dihitung dengan mempergunakanmetode Rothe dari masalah batas bebas yang berkaitan.

Jika didefinisikan

w =1

2t u,

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 23

maka w akan memenuhi masalah batas bebas implisit

wxx wt = 12t2

,

wx(0, t) = 12,

w(s(t), t) = wx(s(t), t) = 0, s(0) = 0.

Karena data singular di (x, t) = (0, 0), teori di atas tidak berlaku. Akantetapi dengan melicinkan data dengan cara

f(x, t) =

{1

22, t [0, ],

12t2

, t > ,

(x, t) =

{ 12

, t [0, ],1

2, t > ,

kita tinjau

wxx wt = f(x, t),wx(0, t) = (t),

w(s(t), t) = wx(s(t), t) = 0, s(0) = 0.

Untuk yang tetap, fungsi f dan memenuhi hipotesis H.1. danH.2., sehingga untuk > 0 penyelesaian w memiliki solusi dan tunggal.

Jika kita selesaikan secara numerik, kita peroleh bahwa persamaanRiccati memiliki solusi eksak

R(x) =1t

tanhxt

,

sementara persamaan (2.20) dan (2.22) diintegralkan secara numerik.Batas bebas sn di tingkat waktu diskret ke-n merupakan akar dariwn(x) = 0 dan dapat diperoleh dengan mempergunakan interpolasilinear di antara dua titik kisi berturutan di mana wn berganti tanda.

Kasus = 0 merupakan kasus yang menarik, barisan {w(x, t), s(t)}dihitung dengan mengambil = t (yaitu dengan mengabaikan singu-laritas data). Hasil numerik metode Rothe dibandingkan dengan hasil[35] untuk posisi batas bebas dapat di lihat di [19].

4.2. Opsi Jual Amerika (American Put Option). Valuasi opsi Amerikaatas saham dengan imbalan dan jatuh tempo T dapat dinyatakansebagai V (S, 0) dengan S(0) = S dan V (S, t) merupakan solusi darimasalah batas bebas berikut. Khususnya untuk kasus Opsi Jual Amerika,untuk setiap t > 0 terdapat s(t) yang tunggal sehingga:

24 AGAH D. GARNADI

1

2(s, t)2

2V

s2(s, t) + [r(t) (t)]sV

s(s, t)

r(s, t)V (s, t) = Vt

(s, t),

s (s,), t [0, T ),V (S, t) ( s)+, t T,V (S, t) 0, s ,

t [0, T ),V (S, t) > ( s)+,

s (s,),t [0, T ),

V (S, t) ( s(t)), s s(t)+,t [0, T ),

V

t(S, t) = 1, s s(t)+,

t [0, T ).Jika dilakukan normalisasi

u = V/, x = s/, (4.1)

dan untuk kemudahan, gunakan variabel waktu yang baru

= T t.Maka diperoleh masalah batas bebas:

1

2(x, )

2u

x2(x, ) + (4.2)

b(x, )u

x(x, ) r(x, )u(x, ) = u

(x, ), (4.3)

x (s(),), (0, T ],(4.4)u(s()+, ) = 1 s(), 0 < T, (4.5)

u

x(s()+, ) = 1, (0, T ], (4.6)

u(x, ) 0, x , (0, T ], (4.7)u(x, ) = 0, x (s(0) = 1,). (4.8)

Hampiran Rothe untuk setiap tingkat waktu-n:

(x, n)u

n + b(x, n)u

n r(x, n)un un un1

= 0, (4.9)

Atau, jika ditulis secara umum:

un + d(x, n)u

n c(x, n)un = g(x, n), (4.10)

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 25

Sehingga kita peroleh sistem persamaan diferensial orde-1:

un = vn (4.11)

vn = c(x, n)un d(x, n)vn + g(x, n), (4.12)Dengan mempergunakan transformasi Riccati,

u(x) = R(x)v(x) + w(x) (4.13)

diperoleh persamaan invariant imbedding,

R = 1 + d(x, n)R c(x, n)R2, R(X) = 0 (4.14)w = c(x, n)R(x)w R(x)g(x, n), w(X) = h(n). (4.15)

dengan [0, X] pemenggalan dari interval tak hingga [0,), denganh(n) akan ditentukan kemudian. Dengan mengintegralkan secara mundurpersamaan invariant imbedding, kemudian kita peroleh batas bebas sndengan mencari akar dari:

(x) = R(x) w(x) + (1 x).Jika batas bebas sn sudah diketahui, integralkan

vn = c(x, n)(R(x)vn + w(x)) d(x, n)vn + g(x, n), vn(sn) = 1,sepanjang selang [sn, X]. Kemudian substitusikan ke transformasi Ric-cati, untuk mendapatkan un. Solusi diperluas ke selang (s, sn) denganmempergunakan fungsi linear.

5. Penutup.

Penggunaan metode garis lateral yang tidak terkait dengan per-samaan panas atau kah memiliki bentuk khusus dari data batas padabatas yang tetap mau pun batas bebas, disajikan dalam tulisan [19]bagaimana teknik penyelesaiannya.

References

[1] J.G. Andrews & D.R. Athey, Drilling Holes with a Laser, dalam J.G. Andrew&R.R. McLone (ed), Mathematical Modelling., Butterworths, 1976.

[2] T. Araki, Y. Sagara, K. Abdullah & A.H. Tambunan, Transport properties ofcellular Food Materials undergoing Freeze-Drying, Drying Technology, 19(2),2001, 297-312

[3] T. Araki, Y. Sagara, A.H. Tambunan & K. Abdullah, Measurement of Trans-port Properties for the Dried Layer of Several Food Materials ,Bull.KeteknikanPertanian, 12(2), 2xxx, p-ppp

[4] R.D. Bachelis, V. G. Melamed & D.S.Shlyaver, The solution of the problem ofStefan type by the straight line method, Zh.Vycisl.Mat. Fiz., v9, pp 585-594.

[5] I.Berezin & N.Zhidkov, Computing Methods, vol. II., Pergamon Press., Oxford,England, 1965.

[6] A. Bossavit, A. Damlamian, & M. Fremond (eds), Free Boundary Problems:Applications and Therory. Vol IV, Pitman, 1985.

[7] Y. Chuang & O.Ehrich, On the integral technique for spherical growth prob-lems, Int.J. Heat Mass Transfer, 17, 1974, 945-953.

26 AGAH D. GARNADI

[8] J. Crank & R.S. Gupta, A method for solving moving boundary problemsin heat flow using cubic splines or polynomials, J. Inst. Math. Appl., 1972,296-304.

[9] M. Farid, The moving boundary problems from melting and freezing to dryingand frying of food, Chem. Eng. Proc., 41, 2002, 1-10.

[10] A.D. Garnadi, Approximate Solution of nonlinear boundary value problemsof Heat Conduction for simulation of freeze drying. (Constant TemperaturesHeat Source), Manuskrip.

[11] A.D. Garnadi, Approximate Solution of nonlinear boundary value problems ofHeat Conduction for simulation of freeze drying. (Linearized Radiation Bound-ary Condition), Manuskrip.

[12] A.D. Garnadi, A Ubiquitous Lambert W-functions, (Notes on Messinger Modelof Ice accretion on aircraft structures), Manuskrip.

[13] D.W.Goodwin, Lasers in Surgery, Phys.Technol., 9, 1978, 248-253.[14] A. Hollis, S. Rastegar, L. Descloux, G. Delacretaz, & K. Rink, Zona Pellucida

Microdrilling with a 1.48 m diode laser, IEEE Engineering in Med. Biol.,May/June 1997, 43-47.

[15] S. Kruzhov, On Some problems with unknown boundaries for the heat equa-tion, Prikl. Math. Meh., 31 (1967), 1009-1020.

[16] U.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov & N.N. Uraltseva, Linear and Quasilin-ear Equations of Parabolic Type, American Mathematical Society, Providence,R.I., 1968.

[17] G.H. Meyer, Initial Value Methods for Boundary Value Problems, AcademicPress

[18] G.H. Meyer, On a free interface problem for linear ordinary differential equa-tions and the one phase Stefan problem, Numer. Math., 16, (1970), pp 248-267.

[19] G.H. Meyer, One-dimensional parabolic free boundary problems, SIAM Re-view, 19, (1977), 17-34.

[20] G.H. Meyer, Heat transfer during fluidized-bed coating, Int. J. Numer. Meth.in Engrg.

[21] G.H. Meyer, The method of lines, line SOR and Free Boundaries, dalamK.I. Gross(ed),Mathematical Methods in Energy Research, SIAM, 1985, 59-74.

[22] G.H. Meyer, On Pricing American and Asian Options with PDE Methods,Acta. Math. Univ. Commenianae, LXX(1), 2001, 153-165.

[23] G.H. Meyer & J. van der Hoek, The valuation of American Option with theMethod Lines, Adv. Futures Options Res., 9, (1997), 265-285.

[24] W.J. Meyer, H.U. Akay, & M.J. Pikal, A computational model for finite ele-ment analysis of the freeze drying process, 148, 1977, 105-124.

[25] T.G. Myers, D.W. Hammond., Ice and water film growth from incoming su-percooled droplets., Int. J. Heat Mass Transf., 42 (1999),2233-2242.

[26] J.R. Ockendon & W.R. Hodgkins (eds), Moving Boundary Problems in HeatFlow and Diffusion, Clarendon Press, Oxford, England, 1975.

[27] J.A. Puente, G. Lambrinos, & M. Sakly, Sublimation of ice and frozen dispersedmedia : physical phenomena, equations and experimental study, dalam, [6],305-317.

[28] S. Rastegar, M. Motamedi, A.J. Welch, & L.J. Hayes, A Theoretical Study ofthe effect of optical properties in Laser Ablation of Tissue., IEE Trans. Biomed.Eng., 36(12), 1989, 1180-1187.

[29] H.M. Protter & H.F. Weinberger, Maximum Principles in Differential Equa-tions, Prentice-Hall, Englewood-Cliffs, N.J., 1967.

[30] E. Rothe, Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfalleindimensionaler Rasndwertaufgaben, Math.Ann., 102, (1929/30), 650-670.

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,11-27 27

[31] H.L. Royden, Real Analysis, MacMillan, London, 1978.[32] L.I. Rubinstein, The stefan problem, Transl. Math. Monographs, vol 27, Amer-

ican Matemathical Society, Providence, R.I., 1971.[33] A. Sachs, Zur Struktur eines Algorithms zur Losung freier Randwertprob-

leme parabolischer Differentialoperatoren, Lecture Notes in Math., vol 395,Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[34] G.G. Sackett, An implicit free boundary value problem for the heat equation,SIAM J. Numer. Anal., 8, 1971, 80-95.

[35] G.G. Sackett, Numerical Solution of a parabolic free boundary problem arisingin statistical decision theory., Math. Comp., 25, 1971, 425-434.

[36] N.L. Schryer, Designing Software for one-dimensional Partial DifferentialEquations, ACM Trans.On Math.Soft., 16(1), 1990, 72-85.

[37] F.P. Vasilev, the method od straight lines for the solution of a one phaseproblem of the stefan type, Z. Vycisl. Mat. i. mat. Fiz., 8, 1968, 64-78.

[38] T.D. Wentzel, A free boundary problem for the heat equation, Dokl. Akad.Nauk. SSSR, 131, 1960, 1000-1003.

[39] P. Wilmot, S. Howison, & J. Dewynne, 1995, The Mathematics of FinancialDerivatives, Cambridge Univ. Press.