2. 2.2. 2.2. 2.2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar----akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.

Persamaan KuadPersamaan KuadPersamaan KuadPersamaan Kuadrat (PK)rat (PK)rat (PK)rat (PK) 012 3 41 3 5 6 7

Akar-Akar PK

89 6 :;:?@A

B@ atau 8B 6:;:;>:?@A

B@

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK 89 3 8B 6 C ;@ 898B 6

A@

Selisih Akar-Akar PK

|89 C 8B| 6 ;>:?@A

@ 6E@

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

89B F 8BB 6 (89 F 8B)B G 2898B89B C 8BB 6 (89 3 8B)(89 C 8B)89H F 8BH 6 (89 F 8B)H G 3(898B)(89 F 8B)89? F 8B? 6 (89B F 8BB)B G 2(898B)B

189

F 18B6 89 F 8B898B

189B

3 18BB6 89

B 3 8BB(898B)B

898B

F 8B896 89

B F 8BB898B

Menyusun Menyusun Menyusun Menyusun bentuk simetri akarbentuk simetri akarbentuk simetri akarbentuk simetri akar----akar PKakar PKakar PKakar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat AkarJumlah Kuadrat AkarJumlah Kuadrat AkarJumlah Kuadrat Akar----Akar PK:Akar PK:Akar PK:Akar PK:

89B 3 8BB 6 . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Ingat bentuk (89 3 8B)B 6 89B 3 2898B 3 8BB, maka diperoleh: 89B 3 8BB 6 (1L 3 12)B C 21L12

Selisih Kuadrat AkarSelisih Kuadrat AkarSelisih Kuadrat AkarSelisih Kuadrat Akar----Akar PKAkar PKAkar PKAkar PK

89B C 8BB 6 . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Ingat bentuk (89 C 8B)B 6 89B C 2898B 3 8BB, maka diperoleh: 89B C 8BB 6 (1L C 12)B 3 21L12 Atau ingat bentuk (89 3 8B)(89 C 8B) 6 89B C 89B, maka diperoleh: 89B C 8BB 6 (1L 3 12)(1L C 12)

Jumlah Pangkat Tiga AkarJumlah Pangkat Tiga AkarJumlah Pangkat Tiga AkarJumlah Pangkat Tiga Akar----Akar PKAkar PKAkar PKAkar PK

89H 3 8BH 6 . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Ingat bentuk (89 3 8B)H 6 89H 3 389B8B 3 3898BB 3 8BH

6 89H 3 3(898B)(89 3 8B) 3 8BH

maka diperoleh: 89H 3 8BH 6 (1L 3 12)H C 3(1L12)(1L 3 12)

Jumlah Pangkat Empat AkarJumlah Pangkat Empat AkarJumlah Pangkat Empat AkarJumlah Pangkat Empat Akar----Akar PK: Akar PK: Akar PK: Akar PK:

89? 3 8B? 6 . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Ingat bentuk (8B 3 8BB)B 6 89? 3 28B8B 3 8B?, maka diperoleh: 89? 3 8B? 6 M1L2 3 122N

B C 2(1L12)B6 O(1L 3 12)B C 21L12PB C 2(1L12)B

Dan Dan Dan Dan lainlainlainlain----lain . lain . lain . lain .

Contoh:Contoh:Contoh:Contoh: Persamaan kuadrat C28B 3 38 C 2 6 0 memiliki akar-akar 89 dan 8B, maka nilai 89B 3 8BB 6 .... Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut: 1L 3 12 6 C

RS 6 C

3C2 6

32

1L12 6TS 6

C2C2 6 1

Kedua, cari bentuk identik dari 89B 3 8BB yang memuat bentuk 89 3 8B dan 89B 3 8BB. 89B 3 8BB 6 (1L 3 12)B C 21L12

6 UHBVB

C 2(1)6 W? C 26 9?

Menyusun PK BMenyusun PK BMenyusun PK BMenyusun PK Baruaruaruaru

Diketahui: 012 3 41 3 5 6 7 adalah PK Lama

1L dan 12 adalah akar-akar PK Lama X dan Y adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan! Apakah X dan Y identik atau tidak?

Jika \ dan ] identik Jika \ dan ] tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama Y:L 1L 3 12 dan 1L12

Substitusi Y:L ke PK Lama cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru

X 3 Y dan XYmenggunakan nilai 1L 3 12 dan 1L12

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah SMY:LNB 3 RMY:LN 3 T 6 0 8B C (X 3 Y)8 3 (XY) 6 0 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: DitambahDitambahDitambahDitambah artinya substitusi pengurangan. DikurangiDikurangiDikurangiDikurangi artinya substitusi penjumlahan. DikDikDikDikalikanalikanalikanalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. DiDiDiDibalikbalikbalikbalik artinya juga dibalik. DinegatifkanDinegatifkanDinegatifkanDinegatifkan artinya koefisien R juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah S8B 3 R8 3 T 6 0, maka: 1. PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 b) dan (] 3 b)

S(8 C b)B 3 R(8 C b) 3 T 6 0

2. PK Baru yang akar-akarnya (\ C b) dan (] C b) S(8 3 b)B 3 R(8 3 b) 3 T 6 0

3. PK Baru yang akar-akarnya (b\) dan (b]) S8B 3 bR8 3 b2T 6 0

4. PK Baru yang akar-akarnya ULXV dan ULYV

58B 3 R8 3 0 6 0

5. PK Baru yang akar-akarnya (C\) dan (C]) S8B C R8 3 T 6 0

ContohContohContohContoh 1111:::: Akar-akar persamaan kuadrat 38B C 128 3 2 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (\ 3 2) dan (] 3 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (8 3 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (8 3 2).

Invers dari (8 3 2) adalah (1 C 2). Ketiga, Substitusikan (1 C 2) menggantikan variabel 8 pada PK Lama:

3(1 C 2)B C 12(1 C 2) 3 2 6 0e 3(8B C 48 3 4) C 128 3 24 3 2 6 0e 38B C 128 3 12 C 128 3 24 3 2 6 0e 38B C 248 3 38 6 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah 38B C 248 3 38 6 0.

ContohContohContohContoh 2222:::: Akar-akar persamaan kuadrat 28B C 48 3 8 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya gh dan

hg adalah .

Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru gh dan hg, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

X 3 Y 6 C C42 6 2

XY 6 82 6 4 Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akar----akar PK Baruakar PK Baruakar PK Baruakar PK Baru menggunakan nilai X 3 Y dan XY .

\] 3

]\ 6

\B 3 ]B\]

6 (X 3 Y)B C 2XY

XY

6 2B C 2 j

j6 4 C 846 C 446 C1

\]

]\ 6 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

8B C (jumlah akarjumlah akarjumlah akarjumlah akar----akar PK baruakar PK baruakar PK baruakar PK baru)8 3 hasil kali akarhasil kali akarhasil kali akarhasil kali akar----akar PK baruakar PK baruakar PK baruakar PK baru 6 08B C (C1)8 3 1 6 0

8B 3 8 3 1 6 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya gh dan

hg adalah 8

B 3 8 3 1 6 0.

ContohContohContohContoh 3333 Akar-akar persamaan kuadrat 28B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 3) dan (] 3 3) adalah . PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahanpenjumlahanpenjumlahanpenjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 C 3). Jadi, PK Baru adalah: 2(8 C 3)B C 5(8 C 3) 3 3 6 0 Jabarkan sendiri ya!

ContohContohContohContoh 4444 Akar-akar persamaan kuadrat 38B 3 128 C 1 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ C 2) dan (] C 2) adalah . PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah penpenpenpengurangangurangangurangangurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 3 2). Jadi, PK Baru adalah: 3(8 3 2)B 3 12(8 3 2) C 1 6 0 Jabarkan sendiri ya!

ContohContohContohContoh 5555 Akar-akar persamaan kuadrat C48B 3 28 C 7 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2\ dan 2] adalah . PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah pepepeperkalianrkalianrkalianrkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: C48B(2l) 3 28(29) C 7(2B) 6 0 Jabarkan sendiri ya!

ContohContohContohContoh 6666 Akar-akar persamaan kuadrat 78B C 58 3 13 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya gn dan

hn adalah .

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah pembagianpembagianpembagianpembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 78B(5n) C 58(59) 3 13(5l) 6 0 Jabarkan sendiri ya!

ContohContohContohContoh 6666 Akar-akar persamaan kuadrat 28B C 8 3 5 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 9g dan

9h adalah .

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah kebalikankebalikankebalikankebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 8B dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 58B C 8 3 2 6 0

ContohContohContohContoh 7777 Akar-akar persamaan kuadrat C8B 3 28 3 4 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya C\ dan C] adalah . PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah negatifnegatifnegatifnegatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 8 dikalikan (C1). Jadi, PK Baru adalah: C8B 3 28(C1) 3 4 6 0

C8B C 28 3 4 6 0

ContohContohContohContoh 7777 Akar-akar persamaan kuadrat 28B C 58 3 3 6 0 adalah \ dan ]. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2\ C 3) dan (2] C 3) adalah . PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: Akar-akar PK Baru adalah perkalian perkalian perkalian perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan pengurangan pengurangan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). Jadi, PK Baru adalah: 28B(2l) C 58(29) 3 3(2B) 6 0

28B C 108 3 12 6 0 Dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). 2(8 3 3)B C 10(8 3 3) 3 12 6 0 Jabarkan sendiri ya!

Berlawanan Berkebalikan R 6 0 S 6 T

SifatSifatSifatSifat----Sifat Sifat Sifat Sifat AkarAkarAkarAkar----Akar PKAkar PKAkar PKAkar PK

Perbandingan Selisih pRB 6 (p 3 1)BST q 6 (pS)B Keterangan:Keterangan:Keterangan:Keterangan: MeMeMeMenggunakan sifatnggunakan sifatnggunakan sifatnggunakan sifat----sifat akarsifat akarsifat akarsifat akar----akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat S8B 3 R8 3 T 6 0 yang mungkin keluar di soal: 1. Jika akar yang satu kelipatan p dari akar yang lain (89 6 p8B), maka pRB 6 (p 3 1)BST 2. Jika selisih akar-akarnya adalah p (|89 C 8B| 6 p), maka q 6 (pS)B 3. Jika akar-akarnya berlawanan (89 6 C8B atau 89 3 8B 6 0), maka R 6 0 4. Jika akar-akarnya berkebalikan U89 6 9r> atau 898B 6 1V, maka S 6 T

Contoh:Contoh:Contoh:Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 28B 3 s8 3 16 6 0 adalah \ dan ]. Jika \ 6 2] dan \, ] positif maka nilai s 6 . Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian:Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena \ 6 2], maka jelas nilai p 6 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. pRB 6 (p 3 1)BST

e 2sB 6 (2 3 1)B 2 16e sB 6 3B 4B e s 6 F12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

89 3 8B t 0 u CRS t 0

e C s2 t 0e s v 0

Sehingga pilih nilai s yang negatif. Jadi, s 6 C12.

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Akar-akar persamaan kuadrat 042 =+ axx adalah p dan .q Jika ,82 22 aqpqp =+ maka nilai =a ....

A. 8 B. 4 C. 4 D. 6 E. 8

2. Persamaan kuadrat 05)1(2 =+ xmx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika ,82 21

22

21 mxxxx =+ maka nilai =m ....

A. 3 atau 7 B. 3 atau 7 C. 3 atau 7 D. 6 atau 14 E. 6 atau 14

89B 3 8BB C 2898B 6 8su (89 3 8B)B C 4898B 6 8se (Cs 3 1)B 3 20 6 8se sB C 10s 3 21 6 0e (S C 3)(S C 7) 6 0e S C 3 6 0 atau S C 7 6 0u S 6 3 xxS 6 7

89 3 8B 6 Cs 3 1 89. 8B 6 C5

y 3 z 6 CS y. z 6 C4

yB C 2yz 3 zB 6 8Su (y 3 z)B C 4yz 6 8Se SB 3 16 6 8Se SB C 8S 3 16 6 0e (S C 4)(S C 4) 6 0u S 6 4