PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI DenganinisayamenyatakanbahwatesisPENANGANANMASALAH HETEROSKEDASITASDENGANMODELARCH-GARCHDANMODEL BLACK-SCHOLESadalahkaryasayadenganarahandarikomisipembimbing dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi manapun. Sumberinformasiyangberasalataudikutipdarikaryayangditerbitkan maupuntidakditerbitkandaripenulislaintelahdisebutkandalamteksdan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Februari 2009 Moses Alfian Simanjuntak NIM G151040091 ABSTRACT MOSESALFIANSIMANJUNTAK.TheConditionalHeteroscedasticity HandlingwithARCH-GARCHModelandBlack-ScholesModel.Supervised by MUHAMMAD NUR AIDI and I MADE SUMERTAJAYA. An important class of time series models is the family of AutoRegressive IntegratedMovingAverage(ARIMA)modelsthatinvolvingthreesteps: identification, estimation and diagnostic checking was first developed by Box and Jenkins (1976). The variance of residuals (step-3) are assumed to have a constant (homoskedasticity).Ontheotherhand,thisconditionwastermed heteroscedasticity. The ARCH model process was first developed by Engle (1982) andGARCHmodelbyBollerslev(1986)inordertoaccommodate heteroscedasticity.TheARCH-GARCHmodelprocessinvolvingthreestepsthat refer to ARIMA steps. Black-Scholes model need just two assumptions: that both therisk-freeinterestrateandstockreturnvolatilityareconstant.Theconditional heteroscedasticityisdirectlydependentonconditionalhighervariance,kurtosis(>6)andskewness(Yan,2005).Thisresearchconsiderto:indicate heteroscedasticity, compare both models in MSE of NYSE returns, and forecast of NYSE returns. In this research find that (i) Plot of Reuter Holdings daily stock is notconstantinvolatilityandhavehigherkurtosisofstockreturn=6,06sothat from both informations have result ARCH-GARCH model, (ii) Time series model alwaysperformbetterbecausethismodelwiththelowestMSEvalue(iii)The bestforecastingmodelistimeseriesmodelbecausethismodelwiththelowest MAPEvaluebutbothMAPEvaluesapproximatelytobeequal.Insomespecial cases,iftimeseriesmodelcannotbeusedtoforecastthencanbeguidedby Black-Scholes model as the alternative model. Key Words: heteroscedasticity, ARIMA, ARCH-GARCH, Black-Scholes, MAPE RINGKASAN MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. Penanganan Masalah Heteroskedasitas denganModelARCH-GARCHdanModelBlack-Scholes.Dibimbingoleh MUHAMMAD NUR AIDI dan I MADE SUMERTAJAYA. Dataderetwaktudapatdimodelkandenganmenggunakanmodelderet waktu(ARIMAdanARCH-GARCH),modelBlack-Scholes,modelMIMIC (MultipleIndicatorsandMultipleCauses),modelMarkovSwitching,danmodel TimeVaryingCoefficient.Dalampenulisanini,modelyangdigunakanadalah model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes. Modelderetwaktuyangmenggunakanpersamaanrataan(ARIMA) membutuhkan3tahapan,yaitu:spesifikasimodel,pendugaanparameterdan pemeriksaandiagnostik(Brooks,2002).Padapemeriksaandiagnostik,ragam sisaandiasumsikankonstan,pelanggaranterhadapasumsiiniseringdisebut heteroskedasitas.Pendeteksianmasalahheteroskedasitasdapatdilakukandengan uji-LMdanmenganalisisvolatilitas(polaragam)data.Masalahheteroskedasitas ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah heteroskedasitasdiatasidenganpersamaanragam(ARCH-GARCH)yang memodelkansisaantersebutmenjadikonstan.Langkahlainuntukmenangani masalahheteroskedasitasadalahdenganmelakukantransformasidata.Seperti halnyapersamaanrataan,persamaanragammembutuhkan3tahapan,yaitu: pendugaanparameter,pemeriksaandiagnostikdanujikeberadaanARCH (Brooks, 2002).ModelBlack-Scholesmerupakanpemodelandatadenganasumsiutama adalahsukubungadanragamdarihargasahamadalahkonstan(Bodieetal., 1999).ModelBlack-ScholesyangdiperkenalkanolehFischerBlack,Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada tahun 1997. Modelderetwaktumerupakanmodelyangsangatbaik,namunmemiliki kelemahandalampenentuanorde.Penentuanordeyangtidaksesuaiberakibat seakan-akanmodelsesuaidengandata.Untukmenanganipenentuanorde,dapat dilakukan dengan pemodelan ragam dan pemodelan Black-Scholes. Model Black-Scholes merupakan model yang sederhana, namun model ini memiliki kelemahan yaitutidakmemodelkanpengaruhsisaanyangdihasilkandantidakdapat menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan model Black-Scholesterhadapmodelderetwaktusecaraberarti.Jikasuatupenelitiandalam memprediksidatamenggunakanmodelderetwaktumengalamikendalayang diakibatkantidakterpenuhinyasebagianlangkah,makadapatdigunakanmodel Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data yang memiliki volatilitas (pola ragam)yang berbeda di sepanjang periode waktu. Volatilitasdatayangberbedadisepanjangperiodewaktuiniakanmenghasilkan ragamsisaanyangtidakkonstan.Olehkarenaitu,didugabahwaadahubungan ragam sisaanyang tidakkonstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness. Sebagai studi kasus, data yang digunakan adalah data harga saham harian dari 5 perusahaanyang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange), yaitu:GeneralMotor,MinnesotaMining,ReutersHoldings,TimeWarnerdan WashingtonMutual.Datadari5perusahaantersebutdipilihdenganduaalasan yaitu:pertama,sudahmewakiliberbagaiperusahaanyangbergerakdibidang bisnisjasadanproduksidiNYSE;kedua,datarelatifsangatberfluktuatif(relatif tidak stabil). Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun, yaitu:2000,2001,2002,2003,2004,2000-2001,2000-2002,2000-2003dan 2000-2004.Ke-9kategoriperiodetahundipilihuntukmelihatperubahandata, perubahan model dan perubahan MSE (Mean Square Error).Penelitian ini menghasilkan tiga hasil, yaitu: pertama, dengan membandingkan uji-LM,simpanganbaku,skewnessdankurtosisdaridata5perusahaan,didapat bahwaadannyakecenderunganmenghasilkankondisiheteroskedasitas,sehingga modelderetwaktumembutuhkanpersamaanARCH-GARCH.Data-data perusahaanyangtidakmemilikimasalahheteroskedasitasmenghasilkan persamaanARIMA.ModelARCH-GARCHyangdihasilkanadalah:ARCH(1), ARCH(1)-GARCH(1),ARCH(2)-GARCH(1),ARCH(1)-GARCH(2),dan ARCH(2)-GARCH(1).ModelARIMAyangdihasilkanadalah:ARIMA(0,1,1), ARIMA(1,1,1),ARIMA(1,1,2),danARIMA(2,1,1);kedua,berdasarkananalisis denganmenggunakanboxplot,didapatbahwamodelderetwaktulebihbaik dibandingkanmodelBlack-ScholeskarenamemilikirataanMSEdansimpangan baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebih baik dibandingkan model deretwaktudalamhalpenyebarandataMSEyangkekar(robust);ketiga,jika peramalan data deret waktu mengakibatkan tidak adanya model deret waktu, maka dapatdigunakanmodelBlack-Scholessebagaialternatifpemilihanmodelkarena nilai MAPE kedua model tadi tidak berbeda secara berarti. Kata Kunci: heteroskedasitas, ARIMA, ARCH-GARCH,Black- Scholes, MAPE @Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang. 1.Dilarangmengutipsebagianatauseluruhkaryatulisinitanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a.Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b.Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.2.Dilarangmengumumkandanmemperbanyaksebagianatauseluruhkarya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB. PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK Tesissebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelarMagister Sains padaProgram Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 LEMBAR PENGESAHAN TESIS Judul Tesis : Penanganan Masalah Heteroskedasitas dengan ModelARCH-GARCH dan Model Black-Scholes. Nama: Moses Alfian Simanjuntak NIM: G151040091 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MSDr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Ketua Anggota Diketahui Ketua Program Studi StatistikaDekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.ScProf. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS Tanggal Ujian: 30 Januari 2009Tanggal Lulus: Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. PRAKATA Terimakasihkepadasemuapihakyangmendukungpenulisanpenelitian ini dapat diselesaikan dengan baik.Dalamprosespembuatantesisini,penulisbanyakdibantuolehberbagai pihak diantaranya keluarga, dosen, rekan-rekanmahasiswa Pascasarjanaprogram studiStatistikaIPB.Dengansegalaketerbatasan,akhirnyatesisyangberjudul PENANGANANMASALAHHETEROSKEDASITASDENGANMODEL ARCH-GARCHDANMODELBLACK-SCHOLESdapatdiselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: 1.Ayah,Ibudanadik-adiktercintayangtelahmemberikansegalabantuandan jugadoasehinggapenulismampumenyelesaikanpendidikanhinggajenjang Magister.2.BapakDr.Ir.MuhammadNurAidi,MS.danBapakDr.Ir.IMade Sumertajaya, M.Si. selaku ketua dan anggota komisi pembimbing.3.BapakDr.Ir.AjiHamimWigena,M.Sc.danIbuDr.Ir.Erfiani,MS.yang banyak membantu saya untuk menyelesaikan studi.4.Rekan-rekan STK 2004 yang telah memberikan bantuan, saran, dan dukungan dalam penulisan ini. Akhirkatadengankerendahanhati,penulismohonmaafjikamasihterdapat banyak kekurangan pada tesis ini, semoga tulisan ini dapat bermanfaat. Bogor, Februari 2009 Moses Alfian Simanjuntak RIWAYAT HIDUP PenulisadalahanakpertamadaripasanganBapakSimanjuntakdanIbu Aritonang,lahirdiBanjarmasintanggal7Oktober1971.Penulismenyelesaikan pendidikan SD hingga SMA di Medan, kemudian melanjutkan studinya di Institut Teknologi Bandung jurusan Matematika lulus tahun 1998. Lulusdariperguruantinggi,penulissempatbekerjadiBankBNI46dan PT I3 Networking. Akhirnya, penulis tertarik dengan dunia pendidikan maka pada tahun2004melanjutkanpendidikandiSekolahPascasarjanaIPBjurusan Statistika. DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1.PENDAHULUAN.... 1 1.1Latar Belakang............................................................................................. 1 1.2Tujuan Penelitian.......................................................................................... 2 2.TINJAUAN PUSTAKA................................................................................... 3 2.1Model ARIMA dan model ARCH-GARCH............................................... 3 2.1.1Model ARIMA.................................................................................. 3 2.1.2Model ARCH-GARCH....................................................................10 2.2Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi.........13 2.3Model Black-Scholes...................................................................................14 2.4Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE.....................................16 2.5Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan............................. 17 3.METODOLOGI...............................................................................................18 3.1Data.............................18 3.2Metode ...........................18 4.HASIL DAN PEMBAHASAN.......................................................................21 4.1Deskriptif data....................21 4.2Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas.25 4.3Pemodelan deret waktu.............................................................................27 4.4Pemodelan Black-Scholes...........................................................................30 4.5Perbandingan kedua model berdasarkan boxplot MSE...............................33 4.6Peramalan dan interpretasi hasil..................................................................34 5.SIMPULAN DAN SARAN.............................................................................36 5.1Simpulan......................................................................................................36 5.2Saran............................................................................................................37 DAFTAR PUSTAKA........ ........38 LAMPIRAN............................................................................................................40 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.dDesember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun......23 Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas(Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk limaperusahaan pada sembilan kategori tahun..26 Tabel 3. Model deret waktu dari lima perusahaan pada sembilankategori tahun.29 Tabel 4. Data masukkan model Black-Scholes dari lima perusahaan padasembilan kategori tahun..31 Tabel 5. Nilai MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun32 Tabel 6. Perbandingan nilai MAPE dari harga saham pada modelderet waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan.......34 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 darilima perusahaan.....................................................................................21 Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 darilima perusahaan.....................................................................................22 Gambar 3. Boxplot MSE dari model deret waktudan model Black-Scholes untuk lima perusahaan di sembilan kategori periodel tahun.....33 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Proses pembentukan model ARIMA dan ARCH-GARCH untuk data harga saham harian perusahaan Reuters Holding pada tahun 2002.............................................................................40 Lampiran 2. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun........................................................44 Lampiran 3. SBIC dari model deret waktu untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun.................................................................45 1 1.PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang Dataderetwaktudapatdimodelkandenganmenggunakanmodelderet waktu(ARIMAdanARCH-GARCH),modelBlack-Scholes,modelMIMIC (MultipleIndicatorsandMultipleCauses),modelMarkovSwitching,danmodel TimeVaryingCoefficient.Dalampenulisanini,modelyangdigunakanadalah model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes. Modelderetwaktuyangmenggunakanpersamaanrataan(ARIMA) membutuhkan3tahapan,yaitu:spesifikasimodel,pendugaanparameterdan pemeriksaandiagnostik(Brooks,2002).Padapemeriksaandiagnostik,ragam sisaandiasumsikankonstan,pelanggaranterhadapasumsiiniseringdisebut heteroskedasitas.Pendeteksianmasalahheteroskedasitasdapatdilakukandengan uji-LMdanmenganalisisvolatilitas(polaragam)data.Masalahheteroskedasitas ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah heteroskedasitasdapatdiatasidenganpersamaanragam(ARCH-GARCH)yang memodelkansisaantersebutmenjadikonstan.Langkahlainuntukmenangani masalahheteroskedasitasadalahdenganmelakukantransformasidata.Seperti halnyapersamaanrataan,persamaanragammembutuhkan3tahapan,yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji LM-ARCH (Brooks, 2002).ModelBlack-Scholesmerupakanpemodelandatadenganasumsiutama adalahsukubungadanragamdarihargasahamadalahkonstan(Bodieetal., 1999).ModelBlack-ScholesyangdiperkenalkanolehFischerBlack,Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada tahun 1997. Modelderetwaktumerupakanmodelyangsangatbaik,namunmemiliki kelemahandalampenentuanorde.Penentuanordeyangtidaksesuaiberakibat seakan-akanmodelsesuaidengandata.Untukmenentukanordedalammodel deretwaktudibutuhkandatayangbenar-benarstasionerbaikrataanmaupun ragam. Apabila kestasioneran rataan tidak dipenuhi dapat ditangani dengan proses pembedaan,sedangkanapabilakestasioneranragamtidakdipenuhidapat 2 ditangani dengan transformasi, pemodelan ragam atau pemodelanBlack-Scholes. ModelBlack-Scholesmerupakanmodelyangsederhana,namunmodelini memiliki kelemahan yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan tidakdapatmenanganimasalahseasonal.Olehkarenaitu,perludiujikedekatan modelBlack-Scholesterhadapmodelderetwaktusecaraberarti.Jikasuatu penelitiandalammemprediksidatamenggunakanmodelderetwaktumengalami kendalayangdiakibatkantidakterpenuhinyasebagianlangkah,makadapat digunakan model Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data yang memiliki volatilitas (pola ragam)yang berbeda di sepanjang periode waktu. Volatilitasdatayangberbedadisepanjangperiodewaktuiniakanmenghasilkan ragamsisaanyangtidakkonstan.Olehkarenaitu,didugabahwaadahubungan ragam sisaanyang tidakkonstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness. 1.2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan: 1.Identifikasi heteroskedasitas pada data deret waktu dan penanganannya. 2.Perbandingan antara model deret waktu dan model Black-Scholes3.PeramalandatadenganmenggunakanmodelderetwaktudanmodelBlack-Scholes.3 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1Model ARIMA dan model ARCH-GARCH Modelderetwaktusatupeubahadalahsuatuspesifikasimodelyang digunakan untuk memprediksi peubah tersebut di masayang akan datang dengan menggunakaninformasidirinyasendiridanpolasisaandariperiodewaktu sebelumnya.Sepertiyangsudahdijelaskandibagianpendahuluan,modelderet waktusatupeubahterdiridariduamodel,yaitu:modelARIMAdanmodel ARCH-GARCH.ModelARIMAmembutuhkan3tahapan,yaitu:spesifikasi model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik. Model ARCH-GARCH membutuhkan3tahapan,yaitu:pendugaanparameter,pemeriksaandiagnostik danujikeberadaanheteroskedasitas.ModelARCH-GARCHdibutuhkanjika syarat ragam sisaan pada model ARIMA tidak konstan. 2.1.1Model ARIMA Metode Box dan Jenkins (1976) digunakan untuk membangun model ARIMA. ModelARIMAmelaluitigalangkahdalampembentukannya(Brooks,2002), yaitu: 1.Spesifikasi model2.Pendugaan parameter. 3.Pemeriksaan model secara diagnostik.Spesifikasi model Spesifikasimodeladalahpemilihansuatumodelyangmengikutibentuk dinamikadata.Penelitianempirisbiasanyamerupakanprosesyangsaling berinteraksi.Suatuprosesyangdimulaidenganspesifikasimodelberhubungan langsung dengan pendugaan parameter.Suatu proses pemilihan spesifikasi model biasanyamelibatkanbeberapapilihan,yaitu:peubahyangharusdimasukkan kedalammodel,fungsitertentuyangberhubungandenganpeubah,dan menganalisisstrukturdinamikdaripeubah-peubahyangsalingberhubungan. Sebelummelakukanspesifikasimodel,datapeubahharusterlebihdahulu stasioner. 4 Misalkan Yt adalah peubah acak yang mewakili data deret waktu pada periode ke-t,t=1,2,3,...danYtdisebutstasionerjikamemilikirataankonstan,ragam konstandanstrukturautokoragamkonstan.Ketigaparametertersebutdinyatakan sebagai berikut: 1.Rataan konstan, = = = = ) ( ... )2( )1(ty E y E y E2.Ragam konstan, 2 2) ( ...2)2(2)1( o = = = = ty E y E y E3.Autokoragam konstan, s s ty Es tyty Ety E = )] ( )][ ( [ 0,1,2,... t s, = Datayang stasioner sangat kuat mempengaruhi perilaku pembentukan model. Di sisi lain, jika data tidak stasioner berakibat model menjadi semu cocok dengan data (Brooks, 2002).Alatukuruntukmengetahuiapakahdatasudahmemenuhiasumsi kestasioneranadalahdenganmenganalisisplotACF(AutocorrelationFunction) dan plot PACF (Partial Autocorrelation Function). Data stasioner dapat diketahui dari 3 kemungkinan pola plot dari ACF dan PACF, yaitu: 1.PlotACFmengalamiperilakumenurunperlahan,sedangkanplotPACF mengalami penurunan drastis padasuatu lag. 2.Plot ACF mengalami penurunan drastis padasuatu lag, sedangkan plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan. 3.PlotACFmaupunplotPACFmengalamiperilakumenurunperlahansecara bersamaan. Plot ACFKoefisien Autocorrelation antara Yt dan Yt-1 (saat lag-1) adalah1dan dinyatakan sebagai berikut ===..=ntYtYntYtY YtY12)_(2)_1)(_(011BentukumumkoefisienAutocorrelationdarilag-1,2,3,,kdinyatakansebagai berikut 5

=+ ==..=ntYtYnk tYk tY YtYkk12)_(1)_)(_(0dengan n adalah banyaknya data selama waktu t. k = 0,1,,K Plot antara kdan k menghasilkan suatu grafik yang dikenal dengan nama ACF. Padaumumnya,contohautocorrelationdiambildengan:4 / n K s(Montgomeryetal.1990).Datastasionerjikapadalag-1ataulag-2akandrastis turun ke nol (Makridakis et al., 1983). Plot PACFPACFyangdinotasikan kk adalahalatukurkorelasiantaradatalag-k dan yt, setelah mengkondisikan data tertentu sebelum lag-k.Bentuk umum persamaan PACF, yaitu: 2 ),110,11( >== = kkiiyiykii kyi kykk| | Pada lag-1, nilai ACF dan nilai PACF adalah sama, dengan nilai PACF = 11= 1 . Nilai PACF juga didefinisikan sebagai koefisien terakhir dari model AR(p). Untukdatayangmemilikinilairagamrelatiftidakkonstan,dilakukan transformasi,misalkandengantransformasilogaritmanatural.Transformasi logaritmanaturaljugadapatmenghilangkanpengaruhsatuandenganpersamaan ttttyyyS , ln1||.|

\|=adalahdatapeubah.Dalamilmukeuangan,transformasiini dikenaldengannamacontinuouslycompoundingreturn.Untukdatayang memiliki nilai rataan relatif tidak konstan, dilakukan selisih atau diferensiasi ordo-d (Integrated), yaitu: tdtdS B S ) 1 ( = V6 dimana d t tdS S B=dan d adalah ordo selisih dengan nilai 1,2,3.... Pengujian data stasioner dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) Ho: Data tidak stasioner, tuty = A(a unit root) H1: Data stasioner, tu ttyty + + += A 1(no unit root) dengan yt adalah peubah tak bebas pada saat t. 1 = Atytyty adalah parameter model adalah parameter model (drift) t adalah parameter model pada saat t (time trend) ut adalah sisaan pada saat t. Statistik uji-t = ) (SE Model AR (Autoregressive) Padamodelinipeubahtakbebasdipengaruhiolehpengamatanitusendiri pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan padasaatptidakbebas,namunsetelahwaktupbebas.AR(p)denganordo-p, memiliki persamaan

tpii t i tu Y Y + u + ==1 (2.1) dengan Yt adalah peubah tak bebas pada saat t. model parameterdalahdan i a u p adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model AR ut adalah sisaan pada saat t. 7 Model MA (Moving Average) Padamodelinipeubahtakbebasmerupakannilaisisaanpadaperiodewaktu sebelumnya.Datapengamatanpadasaatawalsampaidenganpadasaatqtidak bebas, namun setelah waktu q bebas. MA (q) dengan ordo-q, memiliki persamaan

tqjj t j tu u Y + + ==1u (2.2) dengan Yt adalah peubah tak bebas pada saat t. model parameteradalahdan ju MA q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model MA ut adalah sisaan pada saat t. Model ARMA (Autoregressive Moving Average) Model ini merupakan campuran antara AR(p) dan MA(q). ARMA(p,q) dengan ordo-p dan ordo-q, memiliki persamaan tqjj t jpii t i tu u Y Y + + u + = ==1 1u (2.3) dengan Yt adalahpeubah tak bebas pada saat t. model parameteradalahdan,j iu u ARMA p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARMA ut adalah sisaan pada saat t. Model ARIMA (p,d,q) pada model deret waktu adalah tqjj t jpii t i tu u YdYd+ + V u + = V ==1 1u (2.4) dengan dst. 2, - ordo selisihadalah 1 - ordo selisihadalah 121V V = V = Vt t tt t tY Y YY Y Y Yt adalahpeubah tak bebas pada saat t. model parameteradalahdan,j iu u8 p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA d adalah banyaknya selisih ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA ut adalah sisaan pada saat t. Datayangtidakstasionerdalamrataandapatdiatasidenganmengambil selisih orde-1 atau orde-2 saja (Box & Jenkins, 1976). Jika diambil selisih dengan ordeyanglebihbesarlagi,akanberakibatkesulitandalammenginterpretasiplot autocorrelationdanragamnyajugaakanmembesar.Inimenunjukkanbahwa proses selisih tidak ada gunanya (Abraham & Ledolter, 1983). Model ARMA(p,q) yangdatanyadiperlakukandenganselisihordo-ddisebutmodelARIMA(p,d,q). Untuk nilai d = 0 maka model ARIMA(p,d,q) sama dengan ARMA(p,q). SpesifikasimodelARIMAdidasarkanpadarekomendasihasilanalisis terhadap plot ACF dan plot PACF, yaitu: 1.ModelAR(p)mengalamiperilakumenurunperlahanpadaplotACFdan menurun drastis pada lag ke-p untuk plot PACF.2.ModelMA(q)mengalamiperilakumenurundrastispadalagke-quntukplot ACF dan menurun perlahan pada plot PACF.3.ModelARMA(p,q)mengalamiperilakumenurunperlahanpadaplotACF maupun plot PACF. Dalampenelitianyangmenggunakandataderetwaktu,plotACFdanplot PACFbelumtentusamadenganhasilrekomendasi.Halinidikarenakanoleh karakteristikdanpolasuatudatadapatberbedadengandatayanglain,misalkan datasahamberbedadengandatanilaitukarkurs.Olehkarenaitu,modelderet waktudalampembentukannyatidakhanyamemperhatikanplotACFdanplot PACFpadarekomendasisaja,danpemilihanordo-pdanordo-qdapatdilakukan denganmengambilkombinasiordo-1danordo-2.SoftwarestatistiksepertiE-viewsyangdigunakanuntukmembentukmodelderetwaktusudahdilengkapi dengan proses pendeteksian kestasioneran data (testing for no unit root). Pendugaan parameter model Pendugaanparameteryangnyataberhubunganlangsungdengan spesifikasimodel.PendugaanparametermodelmenggunakanMetodeKuadrat Terkecil (Ordinary Least Square), maximum likelihood, dan algoritma Marquardt. 9 Dari berbagai model alternatif, dipilih suatu model yang memiliki parameter yang nyata. Diagnostik model Pemeriksaandiagnostikmelibatkanpemeriksaanmodelsepertiapakahsuatu modelsudahmemenuhispesifikasidanpendugaanparameter.Diagnostikmodel dilakukan untuk menganalisis apakah model sudah layak dengan data. Dalam hal ini, Box dan Jenkins (1976) menyarankan dua metode yaitu: diagnostik sisaan dan kecocokan model.Diagnostik sisaan terdiri dari 2 syarat, yaitu: kebebasan antar sisaan dan sisaan berdistribusinormaldenganrataannolsertaragamkonstan.Diagnostiksisaan dilakukan dengan 3 metode, yaitu: uji statistik Box-Pierce, korelasi plot ACF dan PACF, dan uji statistik Ljung-Box dan uji statistik Jarque-Bera. SalahsatualatmengujikelayakanmodeladalahujistatistikBox-Pierceatau uji Port Manteau (Cryer, 1986): ==kiik Q12tSisaan, ut ~ N(0,o2) dan saling bebas jika 2q p kQ < _ diinginkan yang lag maksimum adalahk i - ke lag pada sisaansi autokorela adalah dengan2itp dan q adalah lag pada ARIMA Kelayakan model dapat dilihat dari korelasi plot ACF dan plot PACF. Model layakjikatidakadakorelasiplottadisecaranyata(Bowerman&OConnell, 1987). UjistatistikLjung-Boxbergunauntukmengujisisaansalingbebas, sedangkan uji statistik Jarque Bera berguna untuk menguji kenormalan sisaan. Sisaan saling bebas, E(ut,us) = 0,s t =Statistik uji Ljung-Box diformulasikan sebagai =+ =kik nin n Q12) 2 (t 10

ARIMA pada lag adalahq danppengamatan banyaknya adalahn diinginkan yang lag maksimum adalahk i - ke lag pada sisaansi autokorela adalah 2dengan1994) (Hamilton,2q - p - kQ jika bebas saling Sisaan it_ < Uji kenormalan sisaan Statistik uji Jarque Bera diformulasikan sebagai JB = 1/6(n-K)(S2+1/4(p-3)2) Sisaan berdistribusi normal jika 22_ < JB (Tagliafichi, 2003) dengan S adalah parameter kemenjuluran K adalah parameter keruncingan p adalah banyaknya parameter model n adalah banyaknya pengamatan Jikapersamaanrataansudahmemenuhipersyaratyangditentukan,maka langkahterakhiradalahkecocokanmodel.Kecocokanmodeldilakukandengan prosesoverfitting,yaitu:melakukananalisisrespondataterhadapmodeldan mengevaluasidampakdarigrafikmodelterhadapdata,kemudianhasilnya digunakan untuk melihat faktor-faktor mana saja yang dapat dikurangi. 2.1.2Model ARCH-GARCH AsumsidariragamsisaanmodelARIMAharuslahkonstan.Jikakondisiini tidakdipenuhimakaragamsisaanakanberubahubahsetiapwaktu,sehingga modelARIMAmengalamikendaladalammemprediksidata.Kondisiyang demikianmemenuhiT 1,2,..., dengant ) (2 2= = otu E .Ragamsisaanyangtidak konstanmengakibatkanmodelpendugaantidaklagiefisiendigunakan.Kondisi inidikenaldenganheteroskedasitas,untukmengakomodasinyadigunakanmodel ARCH(Watsham&Parramore,1997).Ujikeberadaanheteroskedasitas menggunakan statistik uji LM (Lagrange Multiplier) yang diformulasikan sebagai berikut 11 LM = n.R2 ModelmemenuhiT 1,2,..., dengant ) (2 2= = otu E jika 2aLM _ > (Tagliafichi, 2003). dengan n adalah banyaknya data selama waktu ke-t. ( )==||.|

\|=niiniiy yy yR1212^2adalah besarnya kontribusi keragaman yang dapat dijelaskan data deret waktu sebelumnya. iy^ adalah data model yadalah rataan data aktual

iyadalah data aktual a adalah banyaknya waktu sebelumnya yang mempengaruhi data sekarang. Adaduaalasanutamamengapaharusmemodelkanvolatilitas(polaragam). Pertama,kebutuhanakanmenganalisisresikodalammemegangaset.Kedua, selangkepercayaandarisuatuparameterdapatberubahjikaperiodewaktu berubah, sehingga pemodelan volatilitas dibutuhkan agar penaksiran lebih efisien (Eviews5UsersGuide).ModelARCHmerupakansuatumodelyangsecara spesifikdirancanguntukmeramalkanberbagaikondisiragam.ModelARCH pertamasekalidiperkenalkanolehEnglepadatahun1982.Selanjutnya,melalui modelARCHini,EnglemendapatkanhadiahNobelbidangekonomipadatahun 2003. Model ARCH sangat luas dipakai dalam ilmu ekonometrik, terutama dalam analisis keuangan deret waktu. Modifikasi model AR(p) dengan mentransformasi sisaanmenjadibentuksisaankuadratmenghasilkanmodelARCH.Persamaan model ARCH adalah: 1.ARCH (1): 21 1 0 2 122 12,...) , | ( ,...) , | ( + = = =t t t t t t t tu u u u E u u u Var o o o Datasisaan(ut)didapatdarisisaanmodelARIMA,sehingga ttutvo= memiliki rataan nol dan simpangan baku konstan (white noise). 12 2.ARCH(c): =+ =cii t i tu1202| | o (2.5) Padatahun1986,BollerslevdanTaylormembuatbentukumumdariARCH denganmaksudmenghindarkanstrukturlagragamsisaanyangpanjangpada model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan GARCH(c,d) dengan persamaan: == + + =djj t jcii t i tu121202o | | o (2.6) dengan 2to adalahfungsi dari sisaan kuadrat pada saat t. model parameterdalahdan,j i 0a | | 2i tu adalah sisaan kuadrat pada saat t-i. c dan d adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARCH- GARCH. Z adalah peubah berdistribusi normal baku. Persamaanragammembutuhkan3tahapan(Eviews5UsersGuide),yaitu: pendugaan parameter, diagnostik sisaan dan pengujian keberadaan ARCH dengan LM(LagrangeMultiplier)-Test.Pendugaanparametermenggunakanmetode kemungkinanmaksimum(maximumlikelihood),quasi-maximumlikelihooddan algoritmaGauss-Newton.Maximumlikelihooddigunakanuntukmemprediksi parameterdenganmenggunakanfungsilogaritmanatural.Quasi-maximum likelihooddigunakanuntukmemprediksiparameteryangkonsistenwalaupun tidakterpenuhinyaasumsidistribusidata.AlgoritmaGauss-Newtonmengikuti metodeNewtonRaphsondandigunakanuntukpermasalahankuadratterkecildalambentukumumnonlinier.Diagnostiksisaanmenggunakanlangkahyang sama seperti prosedur ARIMA. Dari berbagai model deret waktu yang memenuhi persyaratan, dipilih satu model yang terbaik berdasarkan kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi. 13 2.2Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi Analisisderetwaktumenggunakandatayangtidakstationerberakibat menghasilkanplotACFdanplotPACFyangsulitdiinterpretasisehingga mengalami kesulitan dalam membuat spesifikasimodel untuk data tersebut. Cara lainuntukmengatasihaliniadalahdenganmenggunakankriteriainformasi (information criteria). Kriteria informasi sering digunakan sebagai suatu panduan dalammemilihmodel(Grasa,1989).Nilaikriteriainformasidapat mengakomodasipengukuraninformasisecaralangsungyangmembuat keseimbanganantarapengukurangoodnessoffitdanpenghematanparameter model. Ada 3 kriteria informasi yang paling terkenal, yaitu: 1.Akaikes information criterion,) / ( 2 ) / ( 2 T k T l AIC + =l adalah nilai dari algoritma fungsi likelihood. k adalah parameter harapan yang menggunakan T pengamatan. AICcenderungmemilihmodeldenganjumlahparameteryanglebihbanyak. KelebihandariAICadalahlebihefisien,namunmemilikikekuranganyaitu tidak konsisten. Konsisten adalah suatu kondisi dimana jika terjadi perubahan besarpadadatamakaparametertidakakanberubah.Efisienadalahsuatu kondisidimanaperolehanparameterlebihcepatdenganmenggunakandata yang ada. 2.Schwarzs Bayesian information criterion,T T k T l SBIC / ) log( ) / ( 2 + =KelebihandariSBICadalahlebihkonsistennamunkelemahannyaadalah tidak efisien.3.Hannan-Quinn information criterion,T T k T l HQIC / )) log(log( 2 ) / ( 2 + =HQIC merupakan gabungan antara SBIC dan AIC. Informasikriterialainyangdapatdipakaiadalahadjusted-R2.Kelebihandari adjusted-R2adalahmembesarjikaditambahpeubahbebas(halinitidakberlaku untukR2).Pemilihanmodelterbaikadalahdenganmemilihnilaiadjusted-R2 maksimum,namununtukAICmaupunSBICadalahminimumdanbanyak pengamatan antar model harus sama. PersamaanmodelderetwaktudanmodelBlack-Scholesyaitumemiliki asumsi datayang stasioner dalam rataan maupunragam. Perbedaankedua model terletakpadaprosespembentukanmasing-masingmodel.ModelBlack-Sholes 14 merupakanmodelperkalianparameterdenganwaktuke-tdanmerupakan keluargafungsieksponensial,sedangkanmodelderetwaktumerupakanmodel penjumlahanyangmemodelkanpeubahdirisendiri(AR),sisaan(MA)danpola sisaan kuadrat (ARCH/GARCH) dan merupakan keluarga fungsi linier dan fungsi non linier. 2.3Model Black-Scholes Berbagaiperusahaandalammengembangkanbisnisnyamelakukantransaksi surat-suratberhargadipasarmodal.Surat-suratberhargayangditransaksikandi pasar modal misalkan saham, obligasi dan opsi.Opsiadalahsalahsatuinstrumenkeuanganyangmemberikanhakkepada pemegangnyauntukmembeliataumenjualsahamataukomoditidimasayang akan datang dengan kesepakatan nilai tertentu. Dalam perkembangan sebelumnya, belum ada suatu model baku yang dikenal untuk memprediksi opsi secara berarti, hanyadenganperasaansaja.ModelBlack-Scholesmerupakansuatupegangandi awaleraderivatifkeuanganmodern.Modelinidigunakanuntukmemprediksi suatuekuitassepertiopsisecaraberarti.Ekuitasadalahkewajibanperusahaan kepada pihak lain untuk membayar suatu nilai tertentu. Model Black-Scholes yang diperkenalkanFischerBlack,MyronScholesdanRobertMertontelahmendapat hadiah Nobel dibidang ekonomi pada tahun 1997. Ada beberapa asumsi yang digunakan pada model Black-Scholes (Bodie et al., 1999), yaitu 1.Dividen saham tidak diberikan selama pemberlakuan opsi.2.Sukubungadanragamdarihargasahamadalahkonstanselama pemberlakuan opsi. 3.Data mengalami perubahan setiap saat. Dariketigaasumsiini,yangpalingutamaadalahasumsibahwasukubungadan ragam dari harga saham adalah konstan selama pemberlakuan opsi. Proses dalam pembentukan model Black-Scholes Datayangdikemukakanolehmodelinimengalamiperubahansetiapsaat. Datasebelumdansesudahperiodetertentuakanmemilikiduafaktor,yaitu faktor/efek naik-tetap atau faktor/efek turun. 15 Faktor/efek naik-tetap ntntnte u221ooo+ + ~ =Faktor/efek turunntntnte d221ooo+ ~=dengan o2 adalah ragam dari data. t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan. n adalah banyaknya data selama waktu t. Misalkandarijam800 (awalpembukaantransaksi)s/d1600(akhirpenutupan transaksi)terdapat640datatransaksi,makarata-ratadaridatatransaksiyang terkumpul setiap jam sebanyak 80 data (8016408= =ntjam/data). MisalkanpeubahLberdistribusibinomialdengann(banyaknyadataselama waktut)danp(peluangpeubahLakannaik-tetapdariwaktui-1kewaktui, t i s s 0 ), maka E[L] = np dan Var[L] = np(1-p) dimana d udnrtp +=1

ntntntnrtoo o222 +~ 4 2 21ntntr oo + = dengan r adalah suku bunga Didefinisikan peubah W1 = nt Lnto o 2 , maka 16 E[W1] =nt L Ento o ] [ 2 =nt npnto o 2 =)21( 2 p nt o ||||.|

\| ~4 22ntntrntooo=t r )22(oVar[W1] =) (22 L Varnt||.|

\|o =) 1 (24 p tp o t2o ~Black-Scholesmendefinisikanpeubaht Z t r W oo+ = )22( = ||.|

\|0lnYYt sehinggaE[W] =t r )22(o dan Var[W] =t2o , maka t Z t rte Y Yoo+ =)2(0^2 (Ross, 1999)(2.7) dengan Y0 adalah data awal pada saat t = 0. r adalah suku bungao2 adalah ragam dari data. t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan. Z adalah peubah berdistribusi normal baku 2.4Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE ModelterbaikyangdipilihberdasarkannilaiMSE(MeanSquareError) terkecil.Alatukurinidapatmenjelaskanseberapabesarpenyimpanganantara data yang digunakan dalam pemodelan ragam aktual terhadap dugaan model. Secara matematis nilai MSE dapat dihitung dengan rumus berikut: 17

t - ke saatpada dugaandata adalah t - ke saatpada data adalah dengan) (^12^ttntttYYnY YMSE== 2.5Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan Misalkanperamalandatake-j=T+1,T+2,...,T+h,dandinotasikandata aktualpadasaatke-tadalahytdandataperamalanpadasaatke-tadalah .ty . TingkatkeakuratanhasilperamalandapatdiukurdenganMAPE(MeanAbsolute Percentage Error ), yang dirumuskan sebagai berikut: MAPE = 100 hh TT ttytyty/1++ =. MAPE dapat digunakan untuk membandingkan model dari gugus pengamatan yangberbedakarenatidakdipengaruhiolehndata,halinitidakdimilikioleh pengukuran AIC, SBIC dan HQIC.18 3. METODOLOGI 3.1Data DatadiperolehlangsungdariperusahaansekuritasEquisInternational,A ReutersCompany(onlinesystem).Penelitianinimenggunakandataderetwaktu hargasahamharianperiodetahun2000-2004.Datadiperolehdari5perusahaan yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange), yaitu: General Motor,MinnesotaMining,ReutersHoldings,TimeWarnerdanWashington Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan, yaitu: pertama, sudahmewakiliberbagaiperusahaanyangbergerakdibidangbisnisjasadan produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif tidak stabil).Pemodelandataderetwaktumenggunakan9kategoriperiodetahun,yaitu: 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan 2000-2004. Pengkategoriantahunandidasarkanadanyalaporankeuanganperusahaansetiap akhirtahundanprogresuntuktahun-tahunberikutnya.Ke-9kategoriperiode tahundipilihuntukmelihatperubahandata,perubahanmodeldanperubahan MSE. 3.2MetodeMetodepenelitianmembutuhkan3tahapan,yaitu:pemodelanderetwaktu, pemodelan Black-Scholes dan perbandingan model deret waktu dan model Black-Scholes. Tahapan pertama, pemodelan deret waktu. 1.Kestasioneran data dalam rataan dan ragam. Data yang digunakan adalah return harga saham harian, yaitu: ||.|

\|=1lntttYYSdenganYtadalahdatahargasahamharianmasing-masingperusahaan. Kestasioneran data dapat dilihat dari plot ACF dan plot PACFyang menurun perlahansecarageometri.Jikadatatidakstasionermakadataharus ditransformasi. Jika data yang sudah ditransformasi tadi belum stasioner maka perludicarisuatutransformasibaruataujikaperludatadibuatselisihordo-1 19 atauordo-2ataudatadikelompokkanberdasarkanperiodewaktuyang berbeda.2.Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan rataan a.Spesifikasi modelSpesifikasimodelARIMAdidasarkanpadarekomendasihasilanalisis terhadap plot ACF dan plot PACF. b.Pendugaan parameter. Pemilihan model berdasarkan parameter model yang nyata c.Pemeriksaandiagnostikmodeluntukmemeriksakelayakanmodel,yang memenuhi -Diagnostik sisaan-Kecocokan model3.Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan ragam Model ARIMA dan model ARCH-GARCH dipilih secara simultan. 4.Lakukanlangkah1s/d3sehinggadihasilkanbeberapakandidatmodelderet waktu,kemudianpilihsatumodelberdasarkannilaiSchwarzsBayesian information criterion (SBIC) minimum. 5.Penghitunganmasing-masingnilaiMSEdarimodeldenganmenggunakan datareturnhargasahamhariandarisuatuperusahaanuntuksatukategori periode tahun. 6.Lakukanlangkah1s/d5sehinggamenghasilkannilaiMSEpada9kategori periode tahun untuk 5 perusahaan. Tahapan pertama ini menghasilkan 45 nilai MSE. Tahapan kedua, pemodelan Black-Scholes. 1.Model return yang digunakan yaitu: ) 1 ( )22(^1ln + =||.|

\|t t Z rtytyoo

kemudian lakukan pemilihan r = suku bunga, perhitungan nilai ragamreturn, dan Z adalah peubah berdistribusi normal baku. 20 2.Penghitunganmasing-masingnilaiMSEdarimodeldenganmenggunakan datareturnhargasahamhariandarisuatuperusahaanuntuksatukategori periode tahun. 3.Lakukanlangkah1s/d2sehinggamenghasilkannilaiMSEpada9kategori periodetahununtuk5perusahaan.Tahapankeduainimenghasilkan45nilai MSE. Tahapan ketiga, perbandingan model deret waktu dan model Black-Scholes. 1.Perbandingan kedua model berdasarkan box plot MSE.2.Peramalan data dengan menggunakan nilai MAPE untuk kedua model.21 4.HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Deskriptif data Hargasahamhariandarikelimaperusahaanselamatahun2000-2004 dicatatselama1256hari.Datahargasahamhariansecaraumumdarikelima perusahaansangatberfluktuasidanbergerakdaribatasbawahUSD9,59sampai dengan batas atas USD 153,625. Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 darilima perusahaan DariGambar1danTabel2didapatbahwavolatilitashargasahamharian daribeberapaperusahaanrelatiftidakkonstan.Datayangdigunakanuntuk memperolehmodelderetwaktupadaTabel2,menggunakandatastasioneryaitu return harga saham harianttttyyyS , ln1 adalah harga saham harian (Lampiran 2).RagamdaridatahargasahamharianuntukperusahaanReutersHoldingsdan GeneralMotorrelatiftidakkonstandankecenderungannilairataanmenurun. Ragam dari data harga saham harian untuk perusahaan Time Warner sebelum hari ke-700relatiftidakkonstandankencenderungannilaitengahmenurun,namun setelah hari ke-700 ragam relatif stabil. Data harga saham harian untuk 22 perusahaanMinnesotaMiningdanWashingtonMutualmemilikiragamyang relatif tidak konstan dan kecenderungan nilai rataan menaik. Dalampembentukanmodelderetwaktudibutuhkandatadenganragam yangrelatifkonstan.DatareturnStmerupakantingkatpengembalianmajemuk (continuously compounding return) harga saham harian dan dapat menghilangkan pengaruhsatuan.DariGambar2dapatdilihatbahwadatareturnhargasaham hariandarikelimaperusahaansudahmemilikiragamyangrelatifkonstan (Lampiran2).Tingkatpengembalianmajemukhargasahamhariandarikelima perusahaan bergerak dari batas bawah -0,27 sampai dengan batas atas 0,23. Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 darilima perusahaan Untuk semua kelompok pengamatan pada Tabel 1, data return St memiliki nilairataanyangberadadalambatasselangkepercayaan95%,artinyatidak berbedadengannol(Lampiran2).HaliniberartibahwafluktuasidatareturnSt masih dalam batas wajar, tidak menyebabkan pergeseran nilai rataan. Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun. TahunBanyakSimpangan bakuSkewnessKurtosis dataGMMMRHTWWMGMMMRHTWWMGMMMRHTWWM 20002510,030,020,050,040,03-0,100,781,02-0,130,890,902,343,563,034,61 20012470,020,020,030,040,02-0,750,240,060,21-0,655,201,090,442,333,35 20022510,030,020,040,040,020,260,32-1,03-0,21-0,071,512,408,471,651,86 20032510,020,010,030,020,020,060,43-0,20-1,22-1,111,471,111,407,575,67 20042510,010,010,030,010,01-0,37-0,272,100,030,491,604,5614,451,2213,53 2000-20014980,030,020,040,040,03-0,380,610,830,000,352,522,143,642,784,50 2000-20027490,030,020,040,040,02-0,130,550,21-0,080,302,122,305,372,354,56 2000-200310000,020,020,040,040,02-0,150,550,13-0,20,212,472,865,093,155,34 2000-200412510,020,020,040,030,02-0,150,510,25-0,240,243,053,276,064,286,40 GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual. 24 Simpangan baku adalah penyebaran data terhadap rataan. Penyebaran data returnStterkecilyaitu0,01terdapatpadaperusahaanGeneralMotordiperiode tahun 2004, perusahaan Minnesota Mining di periode tahun 2003 dan tahun 2004, perusahaanTimeWarnerdiperiodetahun2004danperusahaanWashington Mutualdiperiodetahun2004.Olehsebabitu,tingkatpengembalianmajemuk harga saham harian pada masing-masing perusahaan tadi relatif tidak berfluktuasi (relatif stabil) di periode tahun yang sudah disebutkan. Penyebaran data return St terbesaryaitu0,05terdapatpadaperusahaanReutersHoldingsdiperiodetahun 2000.Haliniberartibahwatingkatpengembalianmajemukhargasahamharian padaperusahaaninirelatifberfluktuasi(relatiftidakstabil)selamaperiodetahun 2000.Skewnessadalahsuatualatukurketidaksimetriandistribusidatadisekitar rataan.Nilaiskewnessterbesaryaitu2,1terdapatpadadatareturnStperusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2004. Hal ini berarti bahwa data return St pada perusahaaninimemilikidistribusidenganekoryangmenjulurkekanan.Jadi, banyakdatareturnStmengelompokdisekitarrataandansedikitdatareturnSt yangmenjauhdarirataankearahsumbuhorizontalpositif,haliniakan mengakibatkanterjadinyaperbedaanpoladataataupolasisaan.Untuknilai skewnessterkecilyaitu-1,22terdapatpadadatareturnStperusahaanTime Warnerdiperiode2003,yangberartidatareturnStmemilikidistribusidengan ekoryangmenjulurkekiri.Karenaitu,banyakdatareturnStmengelompokdi sekitar rataan dan sedikit datareturn Styang menjauh dari rataan ke arah sumbu horizontalnegatif.Padaperiode2000-2001,datareturnStperusahaanTime Warnermemilikinilaiskewnessyaitu0,yangberartidatareturnStmemiliki distribusi simetri.Kurtosisadalahsuatualatukuruntukmengetahuitingkatkepadatan sebaran(memuncakataumendatar).Nilaikurtosisterbesaryaitu14,45terdapat pada data return St perusahaan Reuters Holding di periode tahu 2004, yang berarti tingkat kepadatan sebarannya memuncak (lebih dari 3, berarti puncaknya relatif di ataspuncakdistribusinormal).DatareturnStperusahaanReutersHolding memilikinilaikurtosisterkecilyaitu0,44diperiode2001,yangberartitingkat kepadatan sebarannya mendatar (kurang dari 3, berarti puncaknya relatif di bawah 25 puncakdistribusinormal).Padaperiode2000,datareturnStperusahaanTime Warnermemilikinilaikurtosissebesar3,03yangberartimemilikitingkat kepadatan sebarannya mendekati puncak distribusi normal. 4.2Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas dengan menggunakan uji-LM(Tabel2)dankurtosis(Tabel1).Ujikeberadaanheteroskedasitas(Tabel 2)mula-mulamenggunakanmodelARIMAyangmemilikiragamsisaanyang konstan. Jika model ARIMA menghasilkan ragam sisaan yang tidak konstan maka pemodelanmenggunakanmodelARIMA-ARCH/GARCHatauKonstan- ARCH/GARCH .GeneralMotorpadakategoritahun2000,2001,2004dan2000-2001 memilikiragamsisaanyangkonstan(uji-LM)dengankurtosisterbesar=5,2di keempatkategoriperiodetahuntersebut.MinnesotaMiningpadakategoritahun 2000, 2001, 2003 dan 2004 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosisterbesar=4,56dikeempatkategoriperiodetahuntersebut.Reuters Holdingstidakmemilikiragamsisaanyangkonstan(uji-LM)untuksetiap kategoritahundengankurtosis>5,2terjadipadakategoritahun2002,2004, 2000-2002, dan 2000-2004. Time Warner pada kategori tahun 2000, 2001, 2000-2001,2000-2003dan2000-2004memilikragamsisaanyangkonstan(uji-LM) dengankurtosisterbesar=4,28dikelimakategoriperiodetahuntersebut. WashingtonMutualpadakategoritahun2000dan2003memilikragamsisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 5,67di kedua kategori periode tahun tersebut.Denganmembandingkanuji-LMdankurtosis,didapatbahwakeberadaan heteroskedasitas dengan kurtosis > 5,67. Jika dibandingkan dengan penelitian Yan (2005)menyatakanbahwakurtosis>6mengidentifikasikankeberadaan heteroskedasitas. Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas (Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun TahunBanyak Nilai-p untuk modelARIMA Nilai-p untuk modelARIMA-ARCH/GARCH Nilai-p untuk modelKonstan-ARCH/GARCH dataGMMMRHTWWMGMMMRHTWWMGMMMRHTWWM 20002510,810,68-0,680,36-------0,49-- 20012470,790,19-0,19-----0,51--0,29-- 2002251-----0,38-0,06---0,33-0,700,49 2003251-0,73--0,86-----0,71-0,540,63- 20042510,410,65------0,69---0,76-0,97 2000-20014980,22--0,54--0,11--0,62--0,71-- 2000-2002749------0,48--0,460,59-0,620,84- 2000-20031000---0,19--0,29--0,310,61-0,45-- 2000-20041251---0,15-0,770,67--0,36--0,64-- GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual. 27 4.3Pemodelan deret waktu Setiappercobaanuntukmenghasilkanmodelderetwaktumaupunmodel Black-Scholes, menggunakan data return St masing-masing perusahaanselama 5 tahun(1251hari)yangdibagikedalam9kategoriperiodetahun.Ke-9kategori periodetahundipilihuntukmelihatperubahandata,perubahanmodeldan perubahan MSE.Penelitian ini menggunakan 45 model deret waktu. Untuk menjelaskan proses pembentukanmodelderetwaktu(ARIMAdanARCH-GARCH),diambilsatu studi kasus data harga saham Yt perusahaan Reuters Holdings pada periode tahun 2002.DatahargasahamYtdarikelimaperusahaantidakadayangstasionerdi berbagaikategoriperiodetahun,karenamemilikipolaACFataupunpolaPACF yangtidaklangsungdropkesumbuvertikal.DatahargasahamYtperusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2002 memiliki pola PACF yang langsung drop pada lag-1, namun pola ACF mengalami kenaikan kembali pada lag-91 (Lampiran 1a),sehinggadatahargasahamYtbelumstasioner.Untuksemuaperusahaandi berbagaikategoriperiodetahun,tidakmemilikidatareturnStyangstasioner termasukdatareturnStperusahaanReutersHoldingsdiperiodetahun2002 (Lampiran1b).Olehkarenaitu,diambilselisihordo-1sehinggasemuadata kelima perusahaan di berbagai kategori periode tahun memiliki pola ACF ataupun polaPACFyanglangsungdropkesumbuvertikaltermasukdataperusahaan ReutersHoldingsdiperiodetahun2002(Lampiran1c).Darihasilmenganalisis polaACFdanpolaPACFdidapatbahwasemuadatareturnStuntukkelima perusahaanmenggunakanselisihordo-1diberbagaikategoriperiodetahun.Hal ini menunjukkan bahwasemua data tingkat pengembalian majemuk harga saham harianuntukkelimaperusahaanmengalamiperubahanrataandisetiapkategori periode tahun (Tabel 3). Setelahdatadarikelimaperusahaanmemenuhiasumsikestasionerandata, makalangkahberikutnyaadalahpemodelanderetwaktu.Biasanyapemilihan parametermodelARIMA(p,d,q)berdasarkanlagdariACFdanPACFyang langsung drop ke sumbu vertikal. Pada umumnya lag yang drop tersebut pada lag-1 atau lag-2, sehingga pdan q pada ARIMA (p,d,q) bernilai 1 atau 2 saja (Tabel 28 3).UntukdataperusahaanReutersHoldingsdiperiodetahun2002,memiliki model MA(1) yang nyata (Lampiran 1d). Untuk beberapa perusahaan di kategori periode tahun tertentu, model ARIMA (p,d,q)memenuhiasumsigalatbebasdanberdistribusinormal.Perusahaanyang memilikiasumsitadiadalahperusahaanyangmemilikimodelderetwaktutanpa ARCH-GARCH (Tabel 3). Data perusahaan Reuters Holdings pada periode 2002 memilikimodelMA(1)yangtidakmemenuhiasumsigalatbebasdanmemenuhi kondisiheteroskedasitas(Lampiran1edan1f).Olehkarenaitu,dataperusahaan ReutersHoldingspadaperiodetahun2002memilikimodelderetwaktu ARCH/GARCH dan memenuhi semua asumsinya (Lampiran 1g-1i). Untuk semua kategoriperiodetahun,dataperusahaanReutersHoldingsmemilikimodelderet waktuARCH/GARCH(Tabel3).HalinimenunjukkanbahwadataYtharga saham harian dari perusahaan ini mengalami fluktuasi yang relatif besar (Gambar 1). Jadi, jika data harga saham Yt yang dianalisis relatif berfluktuasi maka model deretwaktucenderungmenggunakanARCH-GARCH(Tabel3).Dengan menggunakantahapan-tahapanyangsamasepertipemodelanderetwaktuuntuk perusahaanReutersHoldingspadatahun2002danmemilihmodelberdasarkan SBIC minimum (Lampiran 3), maka didapatlah model deret waktu lainnya (Tabel 3). Tabel 3. Model deret waktu dari lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Tahun (Kategori) General Motor Minnesota Mining Reuters Holdings Time Warner Washington Mutual 2000 (1)ARIMA(1,1,1)ARIMA(2,1,1)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(0,1,1)ARIMA(0,1,1) 2001 (2)ARIMA(0,1,1)ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(3)ARIMA(0,1,1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) 2002 (3)ARIMA(1,1,2) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(2) ARCH(1)-GARCH(2) ARCH(1)-GARCH(1) 2003 (4)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(1,1,1)ARCH(2)-GARCH(1)ARCH(1)-GARCH(1) ARIMA(0,1,1) 2004 (5)ARIMA(0,1,1)ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(1,1,2) ARCH(2) GARCH(1) ARCH(1) 2000-01 (6)ARIMA(0,1,1)ARIMA(1,1,2) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(2,1,1) ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) 2000-02 (7)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(3) ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) 2000-03 (8)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1) ARIMA(2,1,1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) 2000-04 (9)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) ARIMA(0,1,1) ARCH(2)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(2,1,1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) 30 PemodelanARCHyangmenggunakandatakeuangandipengaruhioleh bentuk distribusi.Pemodelan ARCH dapat dijelaskan dengan menganalisis nilai-nilaivolatilitas,skewnessdankurtosis.Volatilitasmerupakaninformasiyang sangatpentingdiberbagaibidangekonomitermasukmakroekonomidan keuangan.Strukturvolatilitas(strukturdinamik)merefleksikanharapanpasar modaldiberbagaiperiodewaktu.Suatupendekatanuntukvolatilitasadalah memodelkankondisiragamdiberbagaiperiodewaktu(2t ).Strukturvolatilitas yangdimodelkansecarastokastikmengidentifikasikanadanyakomponen GARCH(Engle&Rosenberg,1998).Bentukdaridistribusiyangtidaksimetri danmemilikiekoryanglebihpanjangdaridistribusinormaldapatdilihatdari nilaiskewnessdankurtosisyangmengidentifikasikanadanyabentukdariARCH (Yan, 2005). SimpanganbakudaridatareturnStperusahaanReutersHoldingsrelatif lebihbesardibandingperusahaanlaindisetiapkategoriperiodetahundan memiliki model deret waktu ARCH-GARCH. Kurtosis dari data return St dengan nilai6,06;6,40;7,57;8,47;13,53;14,45(Tabel1)menghasilkanmodelderet waktu ARCH-GARCH (Tabel 3). Hal ini berarti, bahwa semakin besar simpangan bakudankurtosismakacenderungmenghasilkanmodelderetwaktuARCH-GARCH.Simpanganbakudankurtosisyangsemakinbesarmengidentifikasikan adanyasebagiandatayangrelatifmenjauhdarisekelompokbesardata(rataan), sehingga menghasilkankelompok terpencilyang berbeda denganyang lain. Data disekitarrataanrelatifmemilikipolayangberbedadengansebagiankecil kelompokdatayangmenjauhdarirataan,dengandemikianmenghasilkanpola sisaan yang berbeda di antara kelompok data tersebut. Model deret waktu ARCH-GARCHdapatmemodelkanpolasisaanyangberbedadiantarakelompokdata tersebut. 4.4Pemodelan Black-Scholes Denganmenggunakandatareturnhargasahamhariandari5perusahaan, makaprosespemodelanBlack-Scholesdapatdilakukan.Datamasukkanyang dibutuhkan adalah suku bunga r sebesar 8% per tahun dan simpangan baku (Tabel 1) sehingga menghasilkan nilai konstan (Tabel 4), Z (peubah berdistribusi normal 31 baku)danpeubahwaktutsehinggamenghasilkannilaiMSEyangdapat diperhatikan pada Tabel 5.Tabel 4. Data model Black-Scholes dari lima perusahaan pada sembilankategori tahun BanyakGeneral Motor Minnesota Mining Reuters Holdings Time Warner Washington Mutual TahundataKonstanKonstanKonstanKonstanKonstan 2000251-4,70E-056,36E-05-6,74E-04-4,85E-04-6,89E-05 20012473,92E-051,51E-04-1,76E-04-3,39E-044,73E-05 2002251-5,55E-051,67E-04-4,32E-04-4,84E-041,32E-04 20032511,67E-042,53E-04-1,55E-045,91E-052,07E-04 20042512,34E-042,41E-043,59E-062,44E-042,44E-04 2000-01498-1,64E-04-5,32E-05-5,87E-04-5,73E-04-1,73E-04 2000-02749-2,34E-04-8,58E-05-6,43E-04-6,49E-04-1,77E-04 2000-031000-6,01E-04-8,07E-05-6,01E-04-5,52E-04-1,61E-04 2000-041251-1,88E-04-8,00E-05-5,44E-04-4,57E-04-1,44E-04 Dari pembahasan sebelumnya, didapat bahwa pemodelan deret waktu dan pemodelanBlack-Scholessudahmemilikiasumsi-asumsitermasukparameter yangdiperlukansecaraberarti.Untukprosedurberikutnyaadalahmenghitung masing-masingMSEdarikeduamodeldenganmenggunakandatareturnharga saham harian yang dibagi ke dalam 9 kategori periode tahun (Tabel 5). Tabel 5. Nilai MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Tahun 200020012002200320042000-012000-022000-032000-04 ModelGM0,000710,000560,000740,000300,000170,000650,000680,000590,00050 MM0,000460,000350,000300,000130,000150,000420,000380,000330,00029 Deret Waktu RH 0,001980,001000,001500,000940,000630,001490,001500,001360,00122 TW0,001600,001230,001600,000520,000150,001450,001510,001250,00103 WM0,000770,000560,000370,000220,000150,000660,000570,000480,00041 GM0,000730,000550,000750,000300,000170,000650,000680,001360,00050 MM0,000510,000350,000300,000130,000150,000430,000390,000330,00029 Black-Scholes RH 0,002020,001010,001570,000950,000640,001490,001500,001360,00122 TW0,001590,001380,001610,000520,000150,001510,001530,001270,00105 WM0,000810,000540,000380,000230,000150,000670,000570,000480,00042 Keterangan: GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual. 33 4.5 Perbandingan kedua model berdasarkan boxplot MSE.Boxplot merupakan ringkasan dari distribusi suatu himpunan data yangmenjelaskanpemusatandanpenyebarandata.DariTabel6,Gambar3dan Gambar4didapatbahwarataanMSEdarimodelderetwaktu=0,00075lebih kecildarirataanMSEdarimodelBlack-Scholes=0,00078,yangberarti pemodelandenganmenggunakanmodelderetwaktulebihbaikdibandingkan pemodelanBlack-Scholes.PenyebarandataMSEterhadaprataannyadarimodel deretwaktu=0,00049lebihkecildaripadapenyebarandataMSEterhadap rataanya dari model Black-Scholes, yang berarti penyebaran data MSE dari model deret waktu lebihbaik karena lebih terpusatkanke rataan. Jarak antar kuartil dan medianmenjelaskanpenyebarandatayangkekar(robust).Dalamhalini, penyebaran data MSE dari model Black-Scholes lebih baik dari pada penyebaran data MSE dari model deret waktu, karena median dari model Black-Scholes lebih ketengah box dibandingkan median dari model deret waktu.

Gambar 3. Boxplot MSE dari model deret waktudan model Black-Scholes untuk lima perusahaan di sembilan kategori periodel tahun 34 4.6Peramalan dan interpretasi hasil Dalam beberapa kasus, peramalan harga saham di pasar modal merupakan salahsatubisnisperamalanyangmenggairahkan.Pengalaman,senidalam menanganiportfolio,kecanggihanteknikdantantanganmerupakankombinasi yang dibutuhkan dalam meramal harga saham.Peramalanhargasahamtergantungdaribeberapafaktor,yaitu: fundamentalperusahaan(laporankeuangandanprospekperusahaan),rumor (pasaryangbergejolak,politikdankeamanan)danteknikperamalan(ilmu statistik).Teknikperamalandenganmenggunakanilmustatistikmembutuhkan2 tahapan, yaitu: memodelkan data (interpolasi) dan meramal data (ekstrapolasi). Pemodelandatamenggunakandatahargasaham1Januari2000s/d31 Juni 2004, kemudian dilakukan peramalan data untuk data harga saham dari 1 Juli 2004 s/d 31 Desember 2004. Tingkat keberhasilan peramalan harga saham diukur dengan menggunakan nilai MAPE yang terdapat pada Tabel 6.Tabel 6. Perbandingan nilai MAPE dari harga saham pada model deret waktu danmodel Black-Scholes untuk lima perusahaan Deret waktuBlack-Scholes Perusahaan MAPEKonstanRagamMAPE General Motors ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)0,00940,0003690,0005420,0099 Minnesota Mining ARIMA(0,1,1) ARCH(2)-GARCH(1)0,00890,0004890,0003030,0091 Reuters HoldingsARCH(1)-GARCH(1)0,0148-1,6E-050,0013110,0152 Time WarnerARIMA(2,1,1)0,00856,87E-050,0011430,0092 Washington Mutual ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)0,00610,0004130,0004540,0062 Rata-rata 0,00950,0099 Simpangan baku 0,00320,0032 Peramalan terbaik dari harga saham terdapat pada perusahaan Washington MutualdengannilaiMAPE=0,0061danmenggunakanmodelARIMA(0,1,1), ARCH(1)-GARCH(1).PeramalandenganmenggunakanmodelARCH-GARCH inisesuaidenganpengalamandalammeramaldata-datakeuanganseperti:harga saham,kursdanobligasi.Data-datakeuangantersebutdalamprakteknya 35 mengalamifluktuasiyangtidakstabilsehinggamenghasilkanheteroskedasitas. DariTabel6didapat,perbandinganrata-ratatingkatkesalahanmutlakuntuk peramalan harga saham dengan menggunakan model deret waktu terhadap model Black-Scholes,yaitu:1:1danpenyebarannyadenganperbandingan1:1.Jadi tingkatkeberhasilandalamperamalandenganmenggunakanmodelderetwaktu maupunmodelBlack-Scholestidakberbedasecaraberarti.Peramalanjangka panjanglebihbaikmenggunakanmodelderetwaktukarenamodelinidapat mengakomodasi terjadinya volatilitas data atau sisaan yang tidak konstan. 36 5.SIMPULAN DAN SARAN 5.1Simpulan 1.Dengan membandingkan uji-LM, simpangan baku, skewness dan kurtosis dari data5perusahaan,didapatbahwaadannyakecenderunganmenghasilkan kondisiheteroskedasitas,sehinggamodelderetwaktumembutuhkan persamaanARCH-GARCH.Data-dataperusahaanyangtidakmemiliki masalahheteroskedasitasmenghasilkanpersamaanARIMA.ModelARCH-GARCHyangdihasilkanadalah:ARCH(1),ARCH(1)-GARCH(1), ARCH(2)-GARCH(1),ARCH(1)-GARCH(2),danARCH(2)-GARCH(1). ModelARIMAyangdihasilkanadalah:ARIMA(0,1,1),ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2), dan ARIMA(2,1,1). 2.Berdasarkananalisisdenganmenggunakanboxplot,didapatbahwamodel deretwaktulebihbaikdibandingkanmodelBlack-Scholeskarenamemiliki rataan MSE dan simpangan baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebihbaikdibandingkanmodelderetwaktudalamhalpenyebarandataMSE yang kekar (robust) 3.Jikaperamalandataderetwaktumengakibatkantidakadanyamodelderet waktu,makadapatdigunakanmodelBlack-Scholessebagaialternatif pemilihanmodelkarenanilaiMAPEkeduamodeltaditidakberbedasecara berarti. 37 5.2Saran 1.Untuk kajian lebih lanjut dapat mengambil kasus dengan kondisi ragam return dari model Black-Scholes yang tidak konstan.2.Untuk mengakomodasi kejadian ekstrim atau data pencilan, perlu suatu kajian sehinggapengaruhdatatadidapatdikurangidantidakmenggangumodel terbaiknya. 38 DAFTAR PUSTAKA Abraham, B. & J. Ledolter. 1983. Statistical Methods for Forecasting. John Wileyand Sons. New York. Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A.J. 1999. Investments. 4th Edition. McGraw-HillBook Co., Singapore. Box, G.E.P. & G.M. Jenkins. 1976. Time Series Analysis Forecasting andControl. Holden-Day. San Francisco. Bowerman & OConnell, R. T. 1987. Time Series Forecasting. Unified Conceptsand Computer Implementation. 2nd Edition Duxburry Press. Boston. Brooks C. 2002. Introductory Econometrics for Finance. The ISMA centre,University of Reading. First Published. Cryer, J.D. 1986. Time Series Analysis. PWS Publishers. USA. Engle, R.F. & Rosenberg, J.V. 1998. Testing The Volatility Term Stucture usingOption Hedging Criteria. Paper Document. American Finance AssociationMeeting. Eviews Users Guide. 5th Edition. 2004. Quantitative Micro Software. USA.Grasa, A. A. (1989). Econometric Model Selection: A New Approach, Kluwer.Gujarati, D. N. 1995. Basic Econometrics, 3rd Edition, New York: McGraw-Hill. Hamilton, J.D. 1994. Time Series Analysis. Princeton University Press. New Jersey. Makridakis S., S.C. Wheelwright, & V.E. McGee. 1983. Forecasting: Methods and Applications. 2nd Edition. John Wiley & Sons. New York Montgomery, D.C., L.A. Johnson, & J.S. Gardiner. 1990. Forecasting and TimeSeries Analysis. 2nd Edition. Mc-Graw Hill. Inc. Singapore Pindyck, R. S. & D. L. Rubinfeld. 1981. Econometric Models and Economic Forecast. McGraw-Hill Inc, Boston. Ross, S.M. 1999. An Introduction to Mathematical Finance: Options and Other Topics. 1st Published. Cambridge University Press. 39 Tagliafichi, R.A. 2003. The Estimation of Market VaR using GARCH modelsand a Heavy Tail Distributions. Paper Document in Basel II. Faculty ofEconomics, University of Buenos Aries, Argentina. Watsham, T.J. & Parramore, K. 1997. Quantitative Methods in Finance. 1st

Edition. Thomson Learning, London UK. Yan, J. 2005. Asymmetry, Fat-tail, and Autoregressive Conditional Density inFinancial Return Data with Systems of Frequency Curves. ArticleDepartment of Statistics and Actuarial Science. University of Iowa, USA. 40 Lampiran 1. Proses pembentukan model ARIMA dan ARCH-GARCH untuk data harga saham harian perusahaan Reuters Holding pada tahun 2002. .............. a.ACF dan PACF dari data awal (USD). 41 b.ACF dan PACF dari data transformasi ln(Yt/Yt-1) c.ACF dan PACF dari data transformasi ln(Yt/Yt-1) dan selisih ordo-1 42 d.Parameter model MA(1) berdasarkan pola ACF dan PACF e.Correlogram of Residuals dari model MA(1) f.Uji heteroskedastis dengan LM-Test dari model MA(1) 43 g.Parameter model MA(1) dan model ARCH(1)-GARCH(2) h.CorrelogramofStandardizedResidualsdarimodelMA(1)danmodel ARCH(1)-GARCH(2) i.Uji keberadaan ARCH dengan LM-Test 44 Lampiran 2. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) untuk lima perusahaan padasembilan kategori tahun Ho:Data stasioner H1: Data tidak stasioner Nilai kritis 1% = -3,46; nilai kritis 5% = -2,87; nilai kritis 10% = -2,57 BanyakRataan Uji ADFTahundata SK = 95% GMMMRHTWWM 2000251 0 -18,37-13,50-16,31-15,88-15,25 2001247 0 -15,46-17,48-14,26-14,56-12,94 2002251 0 -18,39-15,83-19,73-15,22-14,98 2003251 0 -16,65-18,17-16,13-14,54-16,31 2004251 0 -14,49-16,75-16,04-16,12-15,13 2000-2001498 0 -24,04-18,18-22,09-21,35-17,28 2000-2002749 0 -30,36-27,95-29,16-26,28-25,64 2000-20031000 0 -34,81-32,69-33,41-30,20-29,98 2000-20041251 0 -38,45-27,70-37,16-33,85-33,56 Keterangan: GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings,TW=Time Warner, WM=Washington Mutual. 45 Lampiran 3. SBIC dari model deret waktu untuk lima perusahaan padasembilan kategori tahun General Motors KategoriModel-1Model-2Model-3 2000ARIMA(1,1,1)

SBIC-4,34287

2001ARIMA(0,1,1) SBIC-4,60122 2002ARIMA(1,1,2) ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(1,1,2) ARCH(1)-GARCH(2)SBIC-4,47225 -4,4599 2003 ARCH(1)-GARCH(1)+CARCH(1)-GARCH(2)+CARCH(2)-GARCH(2)+C SBIC-5,28843 -5,27356 -5,24289 2004ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,1,2) SBIC-5,80452 -5,79692 2000-2001ARIMA(0,1,1) SBIC-4,4767 2000-2002 ARCH(1)-GARCH(1)+C

SBIC-4,49994

2000-2003 ARCH(1)-GARCH(1)+C SBIC-4,69433 2000-2004ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)SBIC-4,8944 Minnesota Mining KategoriModel-1 2000ARIMA(2,1,1)SBIC-4,784372001ARIMA(0,1,1)SBIC-5,083082002ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-5,23922003ARIMA(1,1,1)SBIC-6,056742004ARIMA(0,1,1)SBIC-5,892772000-2001ARIMA(1,1,2)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-4,9020522000-2002ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-5,042172000-2003ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-5,23919302000-2004ARIMA(0,1,1)ARCH(2)-GARCH(1) SBIC-5,4017 46 Reuters Holdings KategoriModel-1 2000ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-3,376962001ARCH(1)-GARCH(3)+CSBIC-4,034382002ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(2) SBIC-3,73632003ARCH(2)-GARCH(1)+CSBIC-4,08942004ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-4,68752000-2001ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-3,73412000-2002ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-3,754352000-2003ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-3,84892000-2004ARCH(1)-GARCH(1)+CSBIC-3,98352 Time Warner KategoriModel-1Model-2Model-3 2000ARIMA(0,1,1) ARIMA(1,1,2) SBIC-3,55792 -3,54731 2001ARIMA(0,1,1) SBIC-3,8102 2002ARCH(1)-GARCH(2)+C

SBIC-3,6277

2003ARCH(1)-GARCH(1)+C ARCH(1)+CARCH(2)-GARCH(2)+C SBIC-4,83160 -4,6997 -4,807524 2004ARIMA(1,1,2)ARCH(2) GARCH(1)SBIC-5,98254

2000-2001ARIMA(2,1,1) SBIC-3,6635 2000-2002ARCH(3)+C

SBIC-3,6778

2000-2003ARIMA(2,1,1) SBIC-3,8280 2000-2004ARIMA(2,1,1)

SBIC-4,0264 47 Washington Mutual KategoriModel-1Model-2 2000ARIMA(0,1,1) SBIC-4,28609 2001ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-4,684482002ARCH(1)-GARCH(1)+C SBIC-5,12644 2003ARIMA(0,1,1)SBIC-5,520572004ARCH(1)+C SBIC-5,99284 2000-2001ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-4,4672000-2002ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-4,6845 2000-2003ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1) SBIC-4,88592000-2004ARIMA(0,1,1)ARCH(1)-GARCH(1)ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(2) SBIC-5,0948 -5,08786