2 teknik bab 6 limitfungsi mgmpmtkpas

76

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

Penyusun : Edi Sutarto, S.Pd.

Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.

A. Definisi Istilah limit diartikan pendekatan. Dalam penulisannya dituliskan: x →2, dibaca x mendekati 2, artinya: nilai x = 1,999….,(2 − ) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000….1,(2 + ) limit kanan. Contoh : 1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3

Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7 Untuk x →2, maka nilai fungsi: F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atau F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002 Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7 Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, maka 732lim

2=+

→x

x artinya untuk x →2,

nilai f(x) mendekati 7

2. Diketahui fungsi f(x) = 3

322

−−−

xxx .Untuk x = 3, maka nilai fungsi

f(3) = 33

369−−− =

00 ( bentuk

00 disebut bentuk tak tentu).

Pada fungsi f(x) = 3

322

−−−

xxx .=

)3()1)(3(

−+−

xxx

Untuk x 3→ , maka nilai fungsi:

f(2,9999) = 39999,2

)9999,2)(39999,2(−

− = 3,9999

f(3,0001) = 30001,3

)10001,3)(30001,3(−

+− = 4,0001.

Dapat disimpulkan , untuk f(x) = 3

322

−−−

xxx ., maka :

3lim→x 3

322

−−−

xxx = 4.

Artinya untuk x→3, nilai f(x) = 4. Secara umum: LmendekatixfaxjikaartinyaLxf

ax)(,,)(lim →=

→

B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi

Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu: 1. Bentuk Tentu : Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini

merupakan jawaban dari semua soal-soal limit. 2. Bentuk Tak Tentu.

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk: ,00

∞−∞∞∞∞ ,.0, dan

lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban. Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu.

77

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan


3. Bentuk yang tidak didefinisikan

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk 0a

C.Teorema Limit 1. cc

ax=

→lim

2. nnax

ax =→lim

3. )(lim)(lim xfcxfcaxax →→

=

4. [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡±⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=±

→→→)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

axaxax

5. [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

→→→)(lim)(lim)().(lim xgxfxgxf

axaxax

6. )(lim

)(lim

)()(

limxg

xf

xgxf

ax

axax

→

→→

=

7. [ ]n

ax

nax

xfxf⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

→→)(lim)(lim

8. nax

nax

xfxf )(lim)(lim→→

=

Penggunaan teorema limit Contoh. Carilah nilai dari:

a. 22

6lim xx→

b. )3(lim 23

+→

xxx

Jawaban: a. 96)16(6)4(6lim66lim 22

22

2====

→→xx

xx

b. )3(lim 23

+→

xxx

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

→→→3limlim.lim

332

3 xxxxx = 9(3+3) = 54

Latihan 1

1. 24

6limx

xx

−

→

2. 4 32

8lim +→

xx

3. 4231

)5(lim xxx

+→

78



D Penyelesaian Limit I. Penyelesaian limit aljabar di x a→

a. Subtitusi langsung. Contoh: Tentukan nilai limit fungsi berikut: 1. )83(lim

3−

→x

x

2. 562lim

2 +−

→ xx

x

3. )34(lim 31

−+→

xxx

4. xx

−→

3lim3

Jawaban: 1. )83(lim

3−

→x

x= 3(3)-8 = 1

2. 562lim

2 +−

→ xx

x=

526)2(2

+− =

72

−

3. 231.41)34(lim 33

1=−+=−+

→xx

x 4. 0333lim

3=−=−

→x

x b. Pemfaktoran dan menyederhanakan

Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu 00 ,maka dapat

diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk:

)().()().(lim

xvaxxuax

ax −−

→ =

)()(

limxvxu

ax→=

)()(

avau

Contoh : Tentukan nilai dari limit berikut:

1. 1

2lim2

1 +−−

−→ xxx

x 2.

23 1

21

1limxxx −

−−→

3. 525lim

2

2 −−

→ xx

x

Jawaban:

1. Dengan subtitusi langsung: 00

112)1()1( 2=

+−−−−− (bentuk tak tentu)

12lim

2

1 +−−

−→ xxx

x=

)1()2)(1(lim

1 +−+

−→ xxx

x= -3

2. 21 1

21

1limxxx −

−−→

= 21 1

21limx

xx −

−+

→=

)1)(1(1lim

1 xxx

x +−−

→=

21

−

3. 525lim

2

2 −−

→ xx

x=

)5()5)(5(lim

2 −+−

→ xxx

x = 10.

79



Pemfaktoran bentuk khusus: • ))((22 bababa −+=− • 2233 )(( babababa ++−=− ) • 2233 )(( babababa +−+=+ ) Latihan 2 Tentukan nilai setiap limit berikut:

1. 23

4lim2

2

2 +−

−

→ xx

xx

7. 33

2lim

ax

axxax −

−

→

2. 6

44lim2

2

2 −+

+−

→ xx

xxx

8. 3

3lim3 −

−

→ xx

x

3. 2

8lim2

3

2 −+

+

−→ xx

xx

9. 4

42

1lim22 −

−−→ xxx

4. 1

1lim2

3

1 −

−

→ x

xx

10.3)31(

3)3(lim2

2

−−+

++−

→ xaax

axaxax

5. 9

1253lim2

2

3 −

−−

→ x

xxx

11. xx

xxx 3

183lim2

2

3 −

−+

→

6. jika f(x) = 4

22

2

−

−

x

xx , maka nilai dari: )(lim2

xfx→

=…

c.Mengalikan dengan faktor sekawan Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limit bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan. Bentuk kawan: x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari ax + , dan sebaliknya bax −+ bentuk kawan dari bax ++ , dan sebaliknya Contoh soal: Tentukan nilai limit dari:

1. 11lim

1 −−

→ xx

x 2.

xx

x

442lim0

+−

→ 3.

2

2

1 1

13limx

xxx −

−−+

→

Jawaban:

1. 11lim

2 −−

→ xx

x .

)1)(1()1(lim

11

1 +−

−=

+

+

→ xxx

xx

x=

21

111

=+

2. )442()442(.)442(lim

0 ++

+++−

→ xx

xx

x.=

)442()44(4lim

0 ++

+−

→ xxx

x=

)442(4lim

0 ++

−

→ xxx

x

= 122

4−=

+−

80



3. 2

2

1 1

13limx

xxx −

−−+

→=

2

2

1 1

)1(3limx

xxx −

+−+

→.

)1(3

)1(32

2

+++

+++

xx

xx =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++−

+−+

→ ))1(3)(1(

)1(3lim22

22

1 xxx

xxx

=))1(3)(1(

123lim22

22

1 +++−

−−−+

→ xxx

xxxx

=41

)4(22

)1(3)(1)(1(1

)1(2lim21

==++++−−

−−

→ xxxx

xx

Latihan 3. Tentukan nilai limit berikut!

1. 3

9lim9 −

−

→ xx

x

2. x

xx −−→ 42lim

0

3. 2

143lim2 −

+−

→ xx

x

4. h

xhxh

−+

→0lim

5. 315133lim

1 +−−

−−−

→ xxxx

x

II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x ∞→ a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat ∞→x dan ditemui bentuk

tak tentu ∞∞ .

Diselesaikan dengan ketentuan: nx x

a∞→

lim = 0

Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap limit berikut:

1. xxx

xxxx 876

553lim23

23

−+

+−

∞→=

33

2

3

3

33

2

3

3

876

553

lim

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x−+

+−

∞→=

2

2

876

553lim

xx

xx

x −+

+−

∞→=

006003

−++− =

21

2. xxx

xxxx ++

−+

∞→ 24

23

53

1042lim =

44

2

4

4

44

2

4

3

53

1042

lim

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x++

−+

∞→=

003000

++−+ = 0

81



3. 32

132lim2

23

+−

+−

∞→ xx

xxx

=

333

2

33

2

3

3

32

132

lim

xx

x

x

xxx

x

x

x

x+−

+−

∞→ =

000002

+−+− = ∞=

02

b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat ba − ) Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu ∞−∞ Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi

bentuk ∞∞ dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a.


1. 1426lim 22 +−−++∞→

xxxxx

2. xxxxx

32lim 22 +−−∞→

3. 13212lim 22 ++−−+∞→

xxxxx

Jawaban:

1. 1426lim 22 +−−++∞→

xxxxx

. )1426(

)1426(22

22

+−+++

+−+++

xxxx

xxxx =

1426

)14()26(lim22

22

+−+++

+−−++

∞→ xxxx

xxxxx

= 1426

110lim22 +−+++

+

∞→ xxxx

xx

, karena

pangkat tertinggi pembilang = 1 Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena xx =2 , maka:

=

22141261

110lim

xxxx

xx

+−+++

+

∞→= 5

210

=

2 xxxxx

32lim 22 +−−∞→

. )32(

)32(22

22

xxxx

xxxx

++−

++− =

xxxx

xxxxx 32

)3()2(lim22

22

++−

+−−

∞→ =

xxxx

xxx 32

4lim22

2

++−

−

∞→, karena pangkat tertinggi

pembilang = 2x , dan pangkat tinggi penyebut1 ( 2x = x ), maka:

32323112

41lim

xxxx

xx

++−

−

∞→=

01 =∞

82



3. 13212lim 22 ++−−+∞→

xxxxx

. )13212()13212(

22

22

+++−+

+++−+

xxxxxxxx

13212

)132()12(lim22

22

+++−+

++−−+

∞→ xxxx

xxxxx

= 13212

2lim22

2

+++−+

−−−

∞→ xxxx

xxx

=

432432

2

132121

211lim

xxxxxx

xxx

+++−+

−−−

∞→=

01− = -∞

4. rqxpxcbxax

x++−++

∞→

22lim , dengan cara yang sama seperti diatas di

peroleh hasil (3 kemungkinan):

• Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya = aqb

2−

• Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = ∞− • Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya = ∞

Latihan 4. Tentukan nilai dari setiap limit berikut:

1. 2

2

3410576lim

xxxx

x +−+−

∞→ 5. 142lim 22 +−−+

∞→xxxx

x

2. )34)(13(

)32(lim2

−+−

∞→ xxx

x 6. 23lim 2 +−+

∞→xxx

x

3. 323

57lim 2 −++

∞→ xxx

x 7. 729)13(lim 2 +−−+

∞→xxx

x

4. xxx

xx 412

6lim2 +−+∞→

8. xxxx

x 7)43()32(lim 5

32

+−+

∞→

. II. Limit Fungsi Trigonometri

Teorema:

• 1sin

limsinlim00

==→→ x

xx

xxx

• 1tan

limtanlim00

==→→ x

xx

xxx

a. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk 00


1. xx

x 3sinlim

0→ 2.

xx

x 3sinlim

0→ 3.

xx

x 26sinlim

0→ 4.

xx

x 24tanlim

0→

83



5. xx

x 3sin2sinlim

0→ 6.

xx

x 4sin3tanlim

0→ 7.

xxx

x sin32cos1lim

0

−

→ 8

axax

x −−

→

sinsinlim0

Jawab:

1. xx

x 3sinlim

0→= )

31(1

31sinlim

0=

→ xx

x=

31

2. x

xx 3sinlim

0→= )

31(1

31.

3sin3lim

0=

→ xx

x=

31

5. xx

x 3sin2sinlim

0→= )1)(1(

32

3sin3

22sinlim

32

32

23.

3sin2sinlim

00==

→→ xx

xx

xx

xx

xx=

32

7. xxx

x sin32cos1lim

0

−

→=

32)1)(1(

32

sinsinsinlim

32

sin3sin2lim

0

2

0===

→→ xx

xx

xxx

xx

b. menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk ( ∞−∞ )

Limit bentuk ( ∞−∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 00

contoh soal: Tentukan nilai dari limit berikut:

)tan(seclim

2

xxx

−→

π =

)

2sin(

)2

(21sin).

2(

21cos2

lim)

2sin(

sin2

sinlim

cossin1lim)

cossin

cos1(lim

2222x

xx

x

x

xx

xx

x xxxx −

−+=

−

−=

−=−

→→→→π

ππ

π

π

ππππ

=2 cos 021cos

21).

22(

21

==+ πππ

c. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0.∞ ) dapat diselesaikan dengan

mengubahnya ke bentuk 00 .

Contoh soal:

1. xxx

π21tan)1(lim

1−

→= =

−

−=

−

→→ )21

21sin(

21sin)1(

lim

21cos

21sin)1(

lim11 x

xx

x

xx

xx ππ

π

π

π

2. ππ

π

π

π 2

21

1.21sin1

)1(21sin

21sin)1(

lim1

−=−

=−

−

→ x

xx

x

== oOo ==

84



LATIHAN SOAL Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!

1. Nilai 4

65lim 2

2

2 −+−

→ xxx

x =…

A. –41

B. –81

C. 81

D. 1 E.

45

2. Nilai xx

x + xx 3

1833

im 2

2l

−−

→ adalah …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6

3. Nilai6

82

Lim2

3

−−

→ + ttt

t = …

A. 0 B.

34

C. 5

12

D. 45

E. ∞

4 Nilai ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

−→ 823

42lim 222 xxxx

=

A. 127−

B. 41−

C. 121−

D. 241−

E. 0

5 Jika f (x) = 4

22

2

−−

xxx maka

2lim

→xf (x)

= … A. 0 B. ∞ C. –2 D.

21

E. 2

6. Nilai 42

4lim

−−

→ tt

t = …

A. 1 B. 4

1 C.

31

D. 21

E 43

7. Nilai 74

9lim2

2

3 +−

−→ x

xx

= ...

A. 0 B. 5 C. 6,5 D. 8 E. ∞

8 Nilai 3

124lim3 −

+−+→ x

xxx

adalah

… A. – 7

71

B. – 7141

C. 0 D. 7

71

E. 7141

9 Nilai xxxx

x +−

→0lim = …

A. 0 B. 2

1 C. 1 D. 2 E. ∞

10 Nilai 2

2

0 11lim

x

xx +−→

= …

A. 2 B. 0 C. –1 D. –2 E. -3

85



11 Nilai dari xxxx

x5434 22lim −−+

∞→

adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

12 Nilai ∞→x

lim (3x – 2) – 529 2 +− xx

= … A. 0 B. –

31

C. –1 D. –

34

E. –35

13. Nilai Nilai ( )7315lim +−+

∞→xx

x= …

A. ∞ B. 8 C. 6 D. 2 E. 0

14 Nilai xx

x 3sin 5sin Lim

0→ = …

A. 1 B. 0 C. –1 D.

53

E. 35

15 Nilai t

t t 2

3tan0 Lim

→ adalah …

A. 0 B. 1 C. 3 D.

32

E. 23

16 Nilai Nilai ( ) ( )103

2sin6lim 22 −−++

→ xxxx

x =..

A. 34−

B. 74−

C. 52−

D. 0

E. 1

17 Nilai =+

→ xxxx

x cos3sinsin

0lim …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

18 Nilai 21 1

1limx

xx −

−→

= …

A. –21

B. 0 C.

41

D. 1 E. 4

19 Jika f(x) = x2 – 1, maka ( ) ( )

px - f x+pf

p 0lim

→ sama dengan

… A. 0 B. 1 C. 2 D. 2x E. x3

20 Diketahui f(x) =31

5

2

x

, maka

pxfpxf

p

)()(lim0

−+→

= …

A. 34

5

2

x

−

B. 32

5

2

x

−

C. 32

15

2

x

−

D. 32

15

2

x

E 34

15

2

x

86



Mengapa Cina Sangat Berprestasi Dalam Olimpiade Matematika Internasional?

Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International Mathematical Olympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswa-siswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5 perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul.

Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika. Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika. Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO

2 teknik bab 6 limitfungsi mgmpmtkpas

Documents