1_kalkulus diktat kuliah_sistem bil real
DESCRIPTION
diktat kuliah sist. bil. realTRANSCRIPT
-
1. Sistem Bilangan Real
Kalkulus didasarkan pada pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Oleh sebab itu penting
untuk mengetahui konsep iystem bilangan riil. Apakah bilangan riil dan bagaimana sifat-sifatnya?
Mari disimak berikut ini.
Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Dengan bilangan asli ini kita dapat menghitung banyaknya buku yang dimiliki, jumlah mobil yang
melewati suatu jalan, banyaknya orang-orang dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan
semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi,
N = {1, 2, 3, 4, }
Jika himpunan semua bilangan asli ditambahkan semua negatifnya dan nol, maka diperoleh
bilangan-bilangan bulat, yaitu:
, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Himpunan semua bilangan bulat disimbolkan dengan Z. Jadi,
Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }
Namun bila kita berusaha mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka
bilangan bulat tidak memadai karena bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup.
Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional, seperti :
2
5,21
57,18
47,9
1 dan
18
15
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan
dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b 0.
Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 5
merupakan bilangan rasional sebab 5 dapat ditulis sebagai 10
2 . Himpunan semua bilangan
rasional biasa dinotasikan dengan Q.
Jadi,
0,,, bZbab
aQ
-
Bilangan rasional dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup, namun masih tidak dapat
menjadi ukuran semua besaran, misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi 1.
Seperti yang ditunjukkan gambar berikut:
Panjang sisi miring dari segitiga siku-siku dengan panjang 1, yaitu 2, adalah bilangan
irrasional. Bilangan irrasional yang lain misalnya:
3, 5 , 73
, dan
Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol dinamakan bilangan-
bilangan real (bilangan nyata).
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).
Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan
R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram berikut.
Ada berbagai jenis interval pada bilangan real. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua
bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (, ) = {| < < }. Sedangkan
interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a
dan kurang atau sama dengan b. Jadi [, ] = {| }. Beberapa interval
1 2
1
-
ditunjukkan dalam daftar berikut.
Sifat-sifat urutan pada bilangan real:
1. Trikotomi:
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau
x > y atau x = y
2. Ketransitifan:
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan:
< + < +
4. Perkalian:
Jika z positif maka < <
Jika z negatif maka < >
-
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi , atau .
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga sebagai Himpunan
Penyelesaian (HP). Cara menentukan HP adalah sebagai berikut:
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
0)(
)(
xQ
xP
2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear). Gambarkan titik-titik pemecah
tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, ) pertidaksamaan di setiap
selang bagian yang muncul
Latihan Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :
1. 13 2 3 5
2. 2 < 6 4 8
3. 22 5 3 < 0
4. 2 4 6 7 3 + 6
5. 1
+1