6. presentation bil kompleks

BILANGAN KOMPLEKS

Definisi

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x,y yang dituliskan sebagai :

Dituliskan :

Re z = x Im z = y

z = (x, y)

Bagian nyata (real part)dari z Bagian khayal (imaginarypart)

dari z

1.Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1,2,3 dst, bilangan nyata pecahan ; ; dst.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata.

1. Bilangan Nyata

Tinjaulah suatu fungsi : y =

Tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif namun untuk x yang negatif dapat di definisikan suatu bilangan imajiner (khayal).

1 = 9 = 3

1. Bilangan Nyata

Kita dapat memandang j sebagai sebuah

operator, artinya jika j dioperasikan dengan bilangan nyata misalnya 4 maka diperoleh bilangan imajiner j4.

Sumbu yang tegak lurus pada sumbu nyata untuk (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im), dan disebut bidang kompleks.

Setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan kompleks (x,y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

2. Bilangan Imajiner

Akar kuadrat negatif bilangan real dinamakan bilangan imajiner.

Contoh : 1 , 6, dst. Semua bilangan imajiner dapat dinyatakan sebagai

titik pada garis lurus dan dinamakan garis bilangan imajiner seperti pada gambar berikut :

Garis bilangan imajiner

3. Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan :

z = x + jy

Bagian Nyata

Bilangan kompleks Bagian Imajiner


b = r sin

Modulus z = r = 2 + 2

a = r cos

z = r (cos + j sin )

z = 2 + 2 (cos + j sin )

Argumen z = = 1


Bila x=0; maka bilangan kompleks adalah imajiner murni dan terletak pada sumbu j, bila y=0 maka bilangan kompleks adalah bilangan real dan terletak pada sumbu real.

4. Bentuk Rektangular dan Polar

Format untuk bentuk rektangular adalah :

dan diperlihatkan seperti pada Gambar 4.

4.1 Bentuk Rektangular / Tegak

Z = X + j Y

Gambar 4. Bentuk rektangular


Format untuk bentuk rektangular adalah : dimana R menunjukkan magnituda dan adalah sudut yang diukur berlawanan dengan arah jarum dari sumbu real positif dan diperlihatkan seperti pada Gambar 5. Bentuk polar sangat luas penggunaannya dalam analisis rangkaian listrik.

4.2 Bentuk Polar/Sudut

Z = R


4.3 Konversi antara bentuk Polar dan Rektangular

Bentuk polar dan rektangular dihubungkan oleh suatu persamaan ,dan sebagai illustrasi ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar 6. Konversi antara bentuk polar dan rektangular


Rektangular ke Polar

4.3 Konversi antara bentuk Polar dan Rektangular

Polar ke Rektangular


Konversi bentuk berikut ini dari rektangular ke polar :

a. Z = 3 + j4 b. Z = -6 + j3

Jawab

Contoh 1


Konversi bentuk berikut ini dari polar ke rektangular :

a. Z = 10

5. Operasi Matematika Dengan Bilangan Kompleks

Definisi

Simbol j dihubungkan dengan bilangan imajiner, dengan definisi sebagai berikut :

= 1 maka 2 = 1

dan

j3 = j2 . j = (-1) . j = -j

j4 = j2 . j2 = (-1) .(-1) = +1 dst

selanjutnya :


Konyugat Konyugat bilangan kompleks diperoleh dengan

mengubah tanda dari bagian imajiner baik dalam bentuk polar maupun bentuk rektangular.

Simbol konyugat adalah menambah bentuk * pada variabelnya.

Contoh 3 : a. Z = -3 + j6 konyugatnya adalah Z* = -3 j6 b. Z = -4 < 30 konyugatnya adalah Z* = -4 < -30


Konyugat

5.1 Penjumlahan dan Pengurangan bilangan kompleks

Penjumlahan maupun pengurangan bilangan kompleks harus dalam bentuk rektangular. Jika bilangan dinyatakan dalam bentuk polar maka terlebih dahulu mengkonversi bilangan tersebut ke bentuk rektangular. Penjumlahan atau pengurangan dua buah bilangan kompleks dilakukan dengan menjumlah atau mengurangi bagian real dan bagian imajiner secara terpisah.

5.1 Penjumlahan dan Pengurangan bilangan kompleks

Contoh 4 :

Jumlahkan Z1 = -2 + j3 dan Z2 = 4 + j1 Kurangkan Z1 = 6 - j6 dan Z2 = -10 - j4

Jawab

Z1 + Z2 = (-2 + j3) + (4 + j1) = (-2+4) + j(3+1) = 2 + j4 Z1 - Z2 = (6 - j6) - (-10 j4) = (6-(-10)) - j(-6+4) = 16 j2

5.2 Perkalian bilangan kompleks

Perkalian bilangan kompleks dapat dilakukan baik dalam bentuk polar maupun bentuk rektangular.

Dalam banyak kasus bahwa lebih mudah melakukan operasi perkalian dalam bentuk polar sehingga apabila bilangannya dalam bentuk rektangular terlebih dahulu mengkonversi ke bentuk polar, tetapi hal ini tidak selamanya menguntungkan tergantung dari nilai bilangan kompleks.


Contoh 5 : a) Kalikan nilai Z1 = -6 + j3 dan Z2 = 4 + j7 b) Kalikan nilai Z1 = 2,37 + j3,65 dan Z2 = 4,23 - j1,25 c) Kalikan nilai Z1 = 2


Jawab b) Z1 . Z2 = (2,37 + j3,65) . (4,23 - j1,25) = (4,35 57) . ( 4,41 -16) = 19,18 57+(-16) = 19,18 41 c) Z1 . Z2 = (2

5.3 Pembagian bilangan kompleks

Pembagian bilangan kompleks dapat

dilakukan baik dalam bentuk polar maupun bentuk rektangular. Sama seperti pada perkalian yaitu lebih mudah melakukan operasi pembagian dalam bentuk polar. Pembagian dua bilangan kompleks dalam bentuk rektangular, dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konyugat dari penyebut bilangan kompleks tersebut.

5.3 Pembagian bilangan kompleks

Contoh 6 : Bagi nilai Z1 = -6 + j3 dan Z2 = 4 + j7 Bagi nilai Z1 = 3 -30 dan Z2 = -6 40 Jawab :

6. Bentuk lain dari bilangan kompleks

Bentuk Trigonometri Z = R Cos + j R Sin = R (Cos + jSin ) Bentuk Eksponensial / Formula Euler Z = R Cos + j R Sin = R e j

Latihan Soal-Soal

6. presentation bil kompleks

Documents