ANALISIS MATEMATIKA

NAMA : NURUL CHAIRUNNISA UTAMI PUTRI

NIM : 1620070008

FAK / JUR : SAINS & TEKNOLOGI / MATEMATIKA

http://roelcup.wordpress.com

UNIVERSITAS ISLAM AS-SYAFI’IYAH

JAKARTA TIMUR

2010

1. Buktikan : Jika P = { 풙ퟎ , 풙ퟏ , 풙ퟐ , … ,풙풏 } adalah sebuah partisi pada interval

[풂,풃] dan 퐭퐢 ∈ [풙풊 ퟏ,풙풊] untuk 풊 = ퟏ,ퟐ, ퟑ, … ,풏, maka untuk sembarang fungsi

풇 풑풂풅풂 [풂, 풃]

푳(푷,풇) ≤ 풇(풕풊)풏

풊 ퟏ

. (풙풊 − 풙풊 ퟏ) ≤ 푼(푷,풇)

Jawab :

Dimisalkan selang tertutup [푎, 푏] → selang yang di berikan.

Sebelumnya, Partisi P dari interval selang [a,b] adalah sebuah himpunan berhingga dari titik-titik

풙ퟎ , 풙ퟏ ,풙ퟐ , … ,풙풏 , dimana

풂 = 풙ퟎ , 풙ퟎ ≤ 풙ퟏ ≤ ⋯ ≤ 풙풏 ퟏ ≤ 풙풏 = 풃

Dapat di ilustrasikan dengan gambar.

Paling sedikit anggota partisi adalah 2 . Anggotanya bisa a dan b. atau 푥 푑푎푛 푥

Jarak antara dua partisi terdekat ialah : ∆풙풊 = 풙풊 − 풙풊 ퟏ ( 풊 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, … ,풏)

Contoh → ∆풙ퟑ = 풙ퟑ − 풙ퟐ

Dan 푡 adalah anggota dari [풙풊 ퟏ,풙풊] , atau 퐭 퐢 ∈ [풙풊 ퟏ,풙풊]

a=푋 푋 푋 푋 b=푋

Contoh → 풕ퟐ ∈ [풙ퟏ, 풙ퟐ]

untuk 풊 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, … ,풏

Dan terdapat titik 푡 anggota dari [풙풊 ퟏ,풙풊] , atau 풕풊 ∈ [풙풊 ퟏ,풙풊]

Contoh → 풕ퟐ ∈ [풙ퟏ, 풙ퟐ]

untuk 풊 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, … ,풏

풕풊 ∈ [풙풊 ퟏ,풙풊] 풇(풕풊) ≤ 푴풊풇(풕풊) ≥ 풎풊

푳(푷,풇) ≤ 풇(풕풊)풏

풊 ퟏ

. (풙풊 − 풙풊 ퟏ) ≤ 푼(푷,풇)

Dapat di ilustrasikan dalam bentuk kurva.

Dari fungsi ƒ.

Batas atas → di atas 푀 tak berhingga banyak. Kalau continue, berarti batas atasnya di 푀

.

푓(푥 ) ƒ

푓(푥 )

푀 = 푓(푥 )

푚 = 푓(푥 )

푀

ƒ(푥 )

a=푋 푋 푡 푋 푋 푏 = 푋

a=푋 푋 푋 푋 b=푋 푡

푴풊 = 풔풖풑ƒ(풙) 풖풏풕풖풌 (풙풊 ퟏ ≤ 풙 ≤ 풙풊)

풎풊 = 풊풏풇ƒ(풙) 풖풏풕풖풌 (풙풊 ퟏ ≤ 풙 ≤ 풙풊)

Misalkan 푴ퟐ = 풔풖풑ƒ(풙) 풖풏풕풖풌 (풙ퟏ ≤ 풙 ≤ 풙ퟐ)

풎ퟐ = 풊풏풇ƒ(풙) 풖풏풕풖풌 (풙ퟏ ≤ 풙 ≤ 풙ퟐ)

Maka

푼(풑, ƒ) = 푴풊휟풙풊 = 풏

풊 ퟏ

푴ퟏ휟풙ퟏ + 푴ퟐ휟풙ퟐ + ⋯+푴풏휟풙풏

푳(풑, ƒ) = 풎풊휟풙풊 = 풏

풊 ퟏ

풎ퟏ휟풙ퟏ + 풎ퟐ휟풙ퟐ + ⋯+풎풏휟풙풏

푳(풑, ƒ) ≤ 푼(풑, ƒ)

ƒ

P = {풙ퟎ,풙ퟏ}

→퐔(퐩, ƒ) = 퐌ퟏ횫풙ퟏ

→퐋(퐩, ƒ) = 퐦퐢횫풙풊

푎 푏

P = {풙ퟎ,풙ퟏ} ƒ

푓(푥 )

푓(푥 )

푓(푥 )

풂 = 풙ퟎ 풙ퟏ 풕ퟏ 풃 = 풙ퟐ

퐔(퐩, ƒ) = 퐌ퟏ횫풙ퟏ+퐌ퟐ횫풙ퟐ = 푳

퐋(퐩, ƒ) = 퐦ퟏ횫풙ퟏ+퐦ퟐ횫풙ퟐ = 푳

퐭 퐢 ∈ [풙풊 ퟏ,풙풊] 퐟(퐭 퐢) ≤ 퐌퐢퐟(퐭 퐢) ≥ 퐦퐢

Maka makin sedikit partisinya

푳(풑, ƒ) 풌풆풄풊풍 ,푼(풑, ƒ) 풃풆풔풂풓.

Maka :

푳(푷,풇) ≤ 풇(풕풊)풏

풊 ퟏ

. (풙풊 − 풙풊 ퟏ) ≤ 푼(푷,풇)

Integral atas

풇(풙)풅풙풃

풂

= 풊풏풇 푼(푷, ƒ)

Integral bawah

퐟(퐱)퐝퐱퐛

퐚

= 퐬퐮퐩퐋(퐏, ƒ)

Jika

퐟(퐱)퐝퐱퐛

퐚

= 퐟(퐱)퐝퐱퐛

퐚

퐢퐧퐟 퐔(퐏, ƒ) = 퐬퐮퐩 퐋(퐏, ƒ), maka sebagai ƒ terintegral Riemann, yang di tulis dengan ƒ∈ 퓡(훂)

Dengan ℛ = Himpunan fungsi-fungsi yang terintegral Riemann

M 풎 ≤ ƒ(풙) ≤ 푴 (풂 ≤ 풙 ≤ 풃)

ƒ

ƒ(b)

ƒ(x)

ƒ(a)

푚(푏 − 푎)

0

a b

Untuk setiap P

풎(풃− 풂) ≤ 푳(풑, ƒ) ≤ 푼(풑, ƒ) ≤ 푴(풃 − 풂)

Dan

푳(푷,풇) ≤ 풇(풕풊)풏

풊 ퟏ

. (풙풊 − 풙풊 ퟏ) ≤ 푼(푷,풇)

2. Buktikan : Jika fungsi f kontinu di 풕 ∈ [풂,풃], maka

풇(풖)− 풇(풕)풒 − 풑

풒

풑

풅풖 < 휺

untuk setiap bilangan positif 휺.

Jawab :

Sekarang Jika fungsi 푓 kontinue di 풕 ∈ [풂, 풃] , diberikan sembarang 휺 > 0 pilih 휹 > 0 sedemikian sehingga

|풇(풖)− 풇(풕)| < 휺

Jika |풒 − 풑| < 휹,푑푎푛 풂 ≤ 풙 ≤ 풃. sehingga , jika

풙 − 휹 < 푢 ≤ 푥 ≤ 푡 < 푥 + 훿 푑푎푛 풂 ≤ 풖 < 푡 ≤ 푏

u t

푥 − 훿 푥 푥 + 훿

푭(풖)− 푭(풕)풒 − 풑 − 풇(풕) =

ퟏ풒 − 풑

[풇(풚) − 풇(풕)]

풒

풑

풅풖 < 휀

Pembuktian :

푭(풖)− 푭(풕)풒 − 풑 − 풇(풕) =

ퟏ풒 − 풑

(푭(풖)− 푭(풕))− 풇(풕)

푭(풖)− 푭(풔풕)풒 − 풑 − 풇(풕) =

ퟏ풒 − 풑 풇(풖)

풒

풑

풅풖 −ퟏ

풒 − 풑 풇(풕)

풒

풑

풅풖

푭(풖)− 푭(풕)풒 − 풑 − 풇(풕) =

ퟏ풒 − 풑

[풇(풖)− 풇(풕)]

풒

풑

풅풖

풇(풕) = 푘표푛푠푡푎푛

Bukti bahwa

풇(풕) = ퟏ

풒− 풑 풇(풕)

풒

풑

풅풖

풇(풕) = ퟏ

풒 − 풑 [ 풇(풕) 풖 ]풑풒

풇(풕) = ퟏ

풒 − 풑( 풇(풕)풒− 풇(풕)풑 )

풇(풕) = ퟏ

풒− 풑풇(풕) (풒 − 풑)

풇(풕) = (풒 − 풑)(풒 − 풑) 풇(풕)

풇(풕) = 풇(풕)

Kembali lagi ke atas,

푭(풖)− 푭(풕)풒 − 풑

− 풇(풕) =ퟏ

풒 − 풑[풇(풖)− 풇(풕)]

풒

풑

풅풖 < 휺

= ퟏ

풒 − 풑[ 풇(풖)풖− 풇(풕)풖 ]풑

풒

= ퟏ

풒 − 풑[(풇(풖)풒− 풇(풕)풒)− (풇(풖)풑− 풇(풕)풑)]

= ퟏ

풒 − 풑[(풇(풖) − 풇(풕))풒− (풇(풖)− 풇(풕))풑]

= ퟏ

풒 − 풑[(풇(풖)− 풇(풕))(풒 − 풑)]

= [풇(풖) − 풇(풕)] < 휺

Menurut pengertian kontinue |풇(풖)− 풇(풕)| < 휺

Maka terbukti bahwa

푭(풖)− 푭(풕)풒 − 풑 − 풇(풕) =

ퟏ풒− 풑

[풇(풖) − 풇(풕)]

풒

풑

풅풖 < 휺

Sehingga,

풇(풖)− 풇(풕)풒 − 풑

풒

풑

풅풖 < 휺

3. Buktikan bahwa Integral Riemann adalah Integral Riemann-Stieltjes Khusus !

Jawab :

풇(풙)풅휶(풙)풃

풂

Ini disebut Integral Riemann Stieltjes ( bentuk sederhana dari integral Steiltjes ) dari ƒ dengan

α di [a,b]. jika ∫ 풇풅휶풃풂 ada,. Jika ∫ 풇풅휶풃

풂 = 풊풏풇 푼(푷, ƒ,휶) dan ∫ 풇풅휶풃풂 = 풔풖풑푳(푷, ƒ,휶)

bernilai Sama, dikatakan bahwa ƒ itu terintegral terhadap α,di persamaan Riemann, dan ditulis ƒ∈ 퓡(휶).

Jika ∫ 풇풅휶풃풂 = ∫ 풇풅휶풃

풂 , maka ƒ terintegral Stieltjes atau Riemann-Stieltjes terhadap α. Ditulis :

ƒ∈ 퓡(휶).

Keterengan : 퓡(휶) = himpunan fungsi-fungsi Riemann-Stieltjes

Jika 휶(풙) = 풙, maka integral Riemann-Stieltjes akan menjadi antegral Riemann. Disebutkan dengan jelas, bahwa bentuk umum tidak continue.

Bebeapa kata mengatakan tentang notasi. Biasanya digunakan pada ∫ 풇풅휶풃풂 untuk

∫ 풇(풙)풅휶(풙)풃풂 karena 풙 jika nampak di ∫ 풇(풙)풅휶(풙)풃

풂 tidak meambah pengertian apapun di

∫ 풇풅휶풃풂 . Itu tidaklah penting Karen hanya sebuah variable integral. Sebagai contoh pada

∫ 풇(풙)풅휶(풙)풃풂 yaitu

풇(풚)풅휶(풚)풃

풂

Integral yang tergantung pada ƒ, α, a dan b, tapi tidak pada vaiabel integral yang boleh di hilangkan

Peran variable integral yaitu hanya sebagai tambahan ; terdapat 2 simbol

풄풊

풏

풊 ퟏ

, 풄풌

풏

풌 ퟏ

Yaitu sama, karena 풄ퟏ + 풄ퟐ + … + 풄풏.

Tentu saja tidaklah sulit memasukkan variable di integral dan dalam banyak bentuk mudah untuk di kerjakan.

Kita akan menyelidki adanya integral pada ∫ 풇풅휶풃풂 kita asumsikan ƒ nyata dan terbatas,

dan α monoton naik di [a,b], jika kita tulis ∫,maka di tulis ∫ .풃풂

4. Berikan 3 contoh ( tidak boleh sama persis dengan yang ada di buku ) fungsi terintegral Riemann-Stieltjes beserta buktinya !

Jawab :

(a) 퐽푖푘푎 풇ퟏ ∈ 퓡(휶) 푑푎푛 풇ퟐ ∈ 퓡(휶) 푝푎푑푎 [풂, 풃],푚푎푘푎 풇ퟏ + 풇ퟐ ∈ 퓡(휶)

풄풇 ∈ 퓡(휶) 푢푛푡푢푘 푠푒푡푖푎푝 푐 푘표푛푠푡푎푛 ,푑푎푛

(풇ퟏ + 풇ퟐ)풃

풂

풅휶 = 풇ퟏ

풃

풂

풅휶+ 풇ퟐ

풃

풂

풅휶 ,

풄풇풃

풂

풅휶 = 풄 풇풃

풂

풅휶 .

Contoh 1:

(ퟐ풙ퟐ + ퟒ풙)ퟏ

ퟎ

풅풙 = ퟐ풙ퟐퟏ

ퟎ

풅풙+ ퟒ풙ퟏ

ퟎ

풅휶

ퟐ . (풙ퟐ + ퟐ풙)ퟏ

ퟎ

풅풙 = ퟐ (풙ퟐ + ퟐ풙)ퟏ

ퟎ

풅풙 = ퟐ 풙ퟐퟏ

ퟎ

풅풙+ ퟒ 풙ퟏ

ퟎ

풅풙

Diketahui dari atas: 푪 = ퟐ = 풌풐풏풔풕풂풏. 풇 = (풙ퟐ + ퟐ풙)

(b) Jika 풇 ∈ 퓡(휶ퟏ) 푑푎푛 풇 ∈ 퓡(휶ퟐ), maka 풇 ∈ 퓡(휶ퟏ + 휶ퟐ), dan

풇풃

풂

풅(휶ퟏ + 휶ퟐ) = 풇풃

풂

풅휶ퟏ + 풇풃

풂

풅휶ퟐ

Jika 풇 ∈ 퓡(휶) dan c adalah bilangan konstan positif, maka 풇 ∈ 퓡(풄휶) dan

풇풃

풂

풅(풄휶) = 풄 풇풃

풂

풅휶

Contoh 2 :

ퟑ풙ퟐퟐ

ퟏ

풅(풙ퟏ + 풙ퟐ) = ퟑ풙ퟐퟐ

ퟏ

풅풙ퟏ + ퟑ풙ퟐퟐ

ퟏ

풅풙ퟐ

ퟑ풙ퟐퟐ

ퟏ

풅(풙ퟏ + 풙ퟐ) = 풙ퟐퟐ

ퟏ

풅(ퟑ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ)

= 풙ퟐퟐ

ퟏ

풅ퟑ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐퟐ

ퟏ

풅ퟑ풙ퟐ

= ퟑ 풙ퟐퟐ

ퟏ

풅풙ퟏ + ퟑ 풙ퟐퟐ

ퟏ

풅ퟑ풙ퟐ

(c) Jika 풇 ∈ 퓡(휶) 푝푎푑푎 [풂,풃] dan jika 풂 < 푐 < 푏, maka 푓 ∈ ℛ(훼) pada [풂, 풄] dan pada

[풄,풃] , dan

풇풄

풂

풅휶+ 풇풃

풄

풅휶 = 풇풃

풂

풅휶

푌 ƒ 푋 a b c

Contoh 3 :

ퟓ풙ퟐퟑ

ퟏ

풅풙+ ퟓ풙ퟐퟓ

ퟑ

풅풙 = ퟓ풙ퟐퟓ

ퟏ

풅풙

ퟏퟎ풙]ퟏퟑ + ퟏퟎ풙]ퟑퟓ = ퟏퟎ풙]ퟏퟓ { ퟏퟎ(ퟑ)− ퟏퟎ(ퟏ) } + { ퟏퟎ(ퟓ)− ퟏퟎ(ퟑ)} = { ퟏퟎ(ퟓ)−ퟏퟎ(ퟏ)} (ퟑퟎ − ퟏퟎ) + (ퟓퟎ − ퟑퟎ) = (ퟓퟎ − ퟏퟎ) ퟒퟎ = ퟒퟎ

Contoh 4.

Misal f(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3],

Dari teorema 6.12 a kita buktikan bahwa

(푥 + 2푥) 푑푥 = 푥 푑푥 + 2푥 푑푥

13푥 + 푥 =

13푥 + [푥 ]

13 3 + 3 −

13 1 + 1 =

13 3 −

13 1 + (3 − 1 )

9 + 9−13

+ 1 = 9−13

+ 9 − 1

18−43 =

263 + 8

543 −

43 =

263 +

243

503 =

503

Terbukti...!!!

Contoh 5

Jika f(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3] dan 1 < 2 < 3 dan jika f(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,2] dan di [2,3]

Sehingga dari teorema 6.12 c kita buktikan bahwa

(푥 + 2푥) 푑푥 + ( 푥 + 2푥) 푑푥 = (푥 + 2푥) 푑푥

13푥 + 푥 +

13푥 + 푥 =

13푥 + 푥

13 2 + 2 −

13 1 + 1 +

13 3 + 3 −

13 2 + 2 =

13 3 + 3 −

13 1 + 1

83 +

123 −

13 +

33 +

273 +

273 −

83 +

123 =

273 +

273 −

13 +

33

503 =

503

Terbukti...!!!

Contoh 6

Jika f1(x) = x + 2 ≤ f2(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3]

Sehingga dari teorema 6.12 b kita buktikan bahwa

(푥 + 2) 푑푥 ≤ (푥 + 2푥) 푑푥

12푥 + 2푥 ≤

13푥 + 푥

12 3 + 2.3−

12 1 + 2.1 ≤

13 3 + 3 −

13 1 + 1

92 +

122 −

12 +

42 ≤

273 +

273 −

13 +

33

162 ≤

503

Terbukti...!!!

5. Buktikan : Jika h terintegral Riemann pada [풑, 풕] dan didefinisikan

푯(풓) = 풉(풙)풓

풑풅풙.

untuk ∈ [풑, 풕] , maka

a. 푯 kontinu pada [풑, 풕].

b. Jika 풉 kontinu di 풌 ∈ [풑, 풕] , maka 푯 terdiferensial di 풌 dan 푯’(풌) = 풉(풌).

Jawab :

Penjelasan berupa gambar :

푌 ℎ

푝 푟 푠 푡 푋

keterangan :

푯(풔) →

푯(풓) →

|푯(풔)−푯(풓)| = ∫ 풉(풙)풅풙풔풓 →

Bukti :

Saat 풉 ∈ 퓡(휶),풉 adalah suatu pembatas. Misalkan |풇(풙)| ≤ 푴 untuk 풑 ≤ 풙 ≤ 풕 . jika 풑 ≤ 풓 <풔 ≤ 풕, maka

|푯(풔)−푯(풓)| = 풉(풙)풅풙풔

풓

≤ 푴(풔 − 풓)

퐻(푟)

Dari teorema 6.1(c) dan (d). diberikan sembarang 휀 > 0, kita dapat melihat bahwa

|푯(풔)−푯(풓)| < 휀,

|풉(풙)| ≤ 푴

|푯(풔)−푯(풓)| = 풉(풙)풅풙풔

풓

≤ |풉(풙)|풔

풓

풅풙 ≤ 푴풔

풓

풅풙 = 푴. 풙 = 푴(풚− 풙)

|푯(풔)−푯(풓)| < 휀

Hal ini membuktikan bahwa 푢푛푡푢푘 |풔 − 풓| < 휹 = 휺푴

terbukti kontinue pada 푯.

∴ Terbukti bahwa 퐻 kontinue Seragam.

Sekarang , Jika terdapat fungsi 풉 kontinue di 풌, diberikan sembarang 휺 > 0 pilih 휹 > 0 sedemikian sehingga

|풉(풙)−풉(풌)| < 휺

Jika |풙 − 풌| < 휹,푑푎푛 풑 ≤ 풙 ≤ 풕. sehingga , jika

풌− 휹 < 푟 ≤ 푘 ≤ 푠 < 푘 + 훿 푑푎푛 풑 ≤ 풓 < 푠 ≤ 푡

r s

풌 − 휹 풌 풌 + 휹

푯(풔)− 푯(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풓

[풉(풙)− 풉(풌)]풔

풓

풅풙 < 휀

Pembuktian :

푯(풔)−푯(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풕

(푯(풔) −푯(풕))−풉(풌)

푯(풔)−푯(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풕 풉(풙)

풔

풓

풅풙 −ퟏ

풔 − 풓 풉(풌)풔

풓

풅풙

Teo. 6.13 Teo. 6.12(d)

푯(풔)−푯(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풓

[풉(풙) −풉(풌)]풔

풓

풅풙

풉(풌) = 푘표푛푠푡푎푛

Bukti bahwa

풉(풌) = ퟏ

풔 − 풓풉(풌)

풔

풓

풅풙

풉(풌) = ퟏ

풔 − 풓 [ 풉(풌) 풅풙 ]풓풔

풉(풌) = ퟏ

풔 − 풓( 풉(풌). 풔 − 풉(풌).풓 )

풉(풌) = ퟏ

풔 − 풓 풉(풌) (풔 − 풓)

풉(풌) = (풔 − 풓)(풔 − 풓) 풉

(풌)

풉(풌) = 풉(풌)

Kembali lagi ke atas,

푯(풔)−푯(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풓

[풉(풙) −풉(풌)]풔

풓

풅풙 < 휀

Bukti bahwa

ퟏ풔 − 풓

[풉(풙)− 풉(풌)]풔

풓

풅풙 = [풉(풙) − 풉(풌)] < 휀

Yaitu :

= ퟏ

풔 − 풓[ 풉(풙).풙 − 풉(풌).풙 ]풓풔

= ퟏ

풔 − 풓[ ( 풉(풙).풔 − 풉(풌). 풔 )− ( 풉(풙).풓 − 풉(풌).풓 ) ]

= ퟏ

풔 − 풓 풉(풙)− 풉(풌) 풔 − 풉(풙)− 풉(풌) 풓

= ퟏ

풔 − 풓 풉(풙)− 풉(풌) (풔 − 풓)

= [풉(풙) −풉(풌)] < 휀

Menurut pengertian kontinue |풉(풙) − 풉(풌)| < 휺

Maka terbukti bahwa

푯(풔)− 푭(풓)풔 − 풓 − 풉(풌) =

ퟏ풔 − 풓

[풉(풙) − 풉(풌)]풔

풓

풅풙 < 휀

푯(풔)−푭(풓)풔 − 풓 = 풉(풌)

Berdasarkan teorema nilai tengah

∴ Setiap ℎ kontinue dan setiap ada 2 titik yang berbeda , maka ada titik diantara 2 titik yang berbeda itu, sedemikian sehingga adalah 푯′(풌). Maka

푯(풔)− 푭(풓)풔 − 풓 = 풉(풌) = 푯 (풌)

Maka 푯 terdefferensial di k dan 푯’(풌) = 풉(풌)

Dan TERBUKTI …!!!

6. Jika 푬 adalah ruang metric kompak dan ⟨풇풏⟩ adalah barisan fungsi-fungsi real yang

kontinue seragam dan terbatas titik demi titik pada 푬, maka terdapat bilangan

푴 sedemikian hingga |풇풏(풙)| ≤ 푴 untuk semua 풙 di dalam 푬 dan 풏 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, . ..

Buktikan !

Jawab :

Notasi :

{풇풏} adalah barisan fungsi-fungsi real yang kontinue seragam dan terbatas titik demi titik

pada E.

{풇풏} = 풇ퟏ,풇ퟐ,풇ퟑ, …

푓 (푦)

푓 (푥) 퐹

퐹

...

푓 (푥)

퐹

0

{풇풏(풙)} adalah barisan bilangan

Terdapat bilangan 푴 sedemikian sehingga |풇풏(풙)| ≤ 푴

Untuk semua 풙 푑푖 푑푎푙푎푚 푬 푑푒푛푔푎푛 풏 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, . ..

b y x

퐹

푓 (푥)

푓 (푥)

...

Kurva disini berupa fungsi barisan bilangan sebanyak anggota yang dimiliki interval [풂,풃]

{풇풏(풙)} → 풇ퟏ(풙),풇ퟐ(풙),풇ퟑ(풙), …

setiap titik 풙 ∈ 푬 akan menghasilkan suatu barisan bilangan dan titiklain juga akan

menghasilkan suatu barisan bilangan (misal y)

apabila semua barisan bilangan yang terbentuk adalah konvergen maka dapat didefiniskan

suatu fungsi 풇 dimana

풇(풙) = 풍풊풎풏→

풇풏(풙) … (풙 ∈ 푬)

Sehingga terdapat fungsi baru yang dinamakan fungsi 풇.

fungsi 풇 → fungsi konvergensi dari fungsi barisan bilangan {풇풏(풙)}. Maka,dikatakan bahwa

barisan fungsi {풇풏(풙)} konvergen pada 푬 푑푎푛 풇 adalah limit atau fungsilimit dari barisan {풇풏}

dan jenis konvergennya adalah titik demi titik

jika ∑ 풇풏(풙) 풏 ퟏ adalah suau deret bilangan yang konvergen untuk setiap 풙 ∈ 푬 , dan jika

didefinisikan

풇(풙) = 풇풏(풙) 풏 ퟏ

; … (풙 ∈ 푬)

Maka fungsi 푓 dinamakan jumlah dari deret ∑풇풏 (deret fungsi)

Dan TERBUKTI...!!!

7. Jelaskan manfaat Teorema Pendekatan Weierstrass !

Jawab :

Jika 풇 adalah sebuah fungsi komplex kontinue pada [풂, 풃], dimana sebuah barisan polinomial푷풏 sedemikian sehingga

풍풊풎풏→∞

푷풏(풙) = 풇(풙)

Seragam pada [풂,풃], jika 풇 Real , 푷풏 mungkin juga dapat Real.

Manfaatnya adalah untuk pembuatan pesawat terbang. Mulai dengan perhitungan berapa panjang sayap pesawat agar bisa seimbang dalam penerbangan, seimbang dalam putar haluan atau arah. Berat pesawat yang ideal juga dapat diperhitungkan agar pesawat tidang terlalu berat dan tidak terlalu ringan.

8. Buktikan bahwa norma supremum adalah suatu metrik ! Jawab :

Misal f terbatas di selang [a,b] dan p adalah partisi dari selang [a,b]

푠푢푝푓(푥) = 푀 (푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

푈(푝,푓) = 푀 훥푥 = 푀 훥푥 + 푀 훥푥 + ⋯+푀 훥푥

Dapat dirubah menjadi

푀 훥푥 = 푀 훥푥 + 푀 훥푥 + ⋯+푀 훥푥

푀 훥푥 = [푀 푀 … 푀 ]훥푥…훥푥

Maka terbukti bahwa supremum adalah metrik

Nurul Chairunnisa Utami Putri :

http://roelcup.wordpress.com

roelcup@gmail.com

cup_13@yahoo.co.id