www.matematika-sma.com - 1

15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL

EBTANAS2000

1. Turunan pertama dari f(x) = 6x 23

adalah f ′(x) = …

A. 3x 21

B. 5x 21

C. 6x 21

D. 9x 21

E. 12x 21

jawab:

f(x) = 6x 23

f ′(x) = 23 .6 x

123−

= 9x 21

Jawabannya adalah D EBTANAS1999

2. Turunan pertama f(x)= (2x - x1 ) 2 adalah f ' (x) = ….

A. 8x - x2 C. 8x +

x2 E. 8x + 3

2x

B. 8x + x1 D. 8x - 3

2x

Jawab:

f(x)=(2x - x1 ) 2

f ' (x) = 2 (2x - x1 ) . (2 – (-x 2− ))

= 2 (2x - x1 ). (2 + 2

1x

)

= 2 (4x + {( 2

2x

x -x2 ) - 3

1x

} )

= 2 (4x - 3

1x

) = 8x - 3

2x

jawabannya adalah D

EBTANAS1995

3. Diketahui f(x) = 231x

, maka 0

lim→t t

xftxf )()( −+

adalah….

A. 3

6x− C.

x32− E.

x61−

C. 332

x− D. 22

3x

Jawab:

Cara 1: f(x) = 231x

= 31 x 2−

f ' (x) = 31 . -2 x 3− = 33

2x−

Cara 2: Merupakan pembuktian dari:

f ' (x) = 0

lim→t t

xftxf )()( −+

= 0

lim→t

t

xtx 22 31

)(31

−+

= 0

lim→t t

xtxtxx

22

22

)(3)(

++−

= 0

lim→t

t

xtxtxtxx

22

222

)(3)2(

+++−

= 0

lim→t

t

xtxtxtxt

222

2

)2(3)2(

+++−

= 0

lim→t

t

txtxxtxt

)2(3)2(

2234 +++−

= 0

lim→t

)2(3

)2(2234 txtxx

txt+++− .

t1

= 0

lim→t

)2(3

)2(2234 txtxx

tx+++−

= )0.0.2(3

)02(234 xxx

x++

+− = 432x

x− = 332

x−

Jawabannya adalah C

www.matematika-sma.com - 2

EBTANAS1995 4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh

f(x) = (2-3x) 35

adalah f ' (x) = …..

A. 35 (2-3x) 3

5

D. -5 (2-3x) 32

B. 83

− (2-3x) 38

E. 5 (2-3x) 32

C. 83 (2-3x) 3

8

(2-3x) 38

jawab:

f(x) = (2-3x) 35

f ' (x) = 35 (2-3x)

135−

. -3

= - 5 (2-3x) 32

jawabannya adalah D UN2006

5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1) 21

adalah….

A. 14

2−x

C. 142

3−

−x

x E. 142

52−

−x

x

B. 14

52−−

xx D.

1476−−

xx

Jawab: y = u. v → y ' = u ' v + v ' u

y = (x-3)(4x-1) 21

y ' = 1 .(4x-1) 21

+ 21 (4x-1) 2

1−

. 4 . (x-3)

= (4x-1) 21

+ 21

)14(

)3(2

−

−

x

x

= 21

)14(

)3(2)14(

−

−+−

x

xx = 14

6214−

−+−x

xx

= 14

76−−

xx

Jawabannya adalah D EBTANAS1999

6. Diketahui fungsi f(x) = x

x 62 +

Turunan pertama fungsi f(x) adalah f ′(x) = …

A. xx

x 2

6+ D. x

xx 23

123

+

B. xx

x 2

3− E. x

xx 2

323

−

C. xx

x 231

−

Jawab:

y = vu → y ' = 2

''v

uvvu −

f(x) = x

x 62 +

f ' (x) = 2

221

)(

)6(21.2

x

xxxx +−−

= x

xxxx 21

23

321..2

−−−

= 2 x - 21 x - 3 x 2

3−

= 23 x -

xx3

= 23 x - (

xx3 .

xx )

= 23 x - ( 2

3x

x ) = 23 x - 2

3x

x

jawabannya adalah E

www.matematika-sma.com - 3

EBTANAS1998 7. Diketahui fungsi f(x) = sin 2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) Jawab: . y = sin n f(x) → y ' = n sin 1−n f(x). cos f(x) . f ' (x) f(x) = sin 2 (2x + 3) f ' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2 = 4 sin (2x+3) . cos(2x+3) jawabannya adalah A EBTANAS1997 8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos 3 (3-2x) adalah f ' (x) =….

A. -3 cos 2 (3-2x) sin (3-2x) B. 3 cos 2 (3-2x) sin (3-2) C. -6 cos (3-2x) sin (3-2x) D. -3 cos (3-2x) sin (6-4x) E. 3 cos (3-2x) sin (6-4x)

Jawab: y = cos n f(x) → y ' =- n cos 1−n f(x). sin f(x) f ' (x) f(x) = cos 3 (3-2x) f ' (x) = - 3 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) . -2 = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) (jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!) Ingat rumus trigonometri: sin 2A = 2 sin A cosA terapkan dalam soal ini : f ' (x) = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) = 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x) = 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawabannya adalah E

EBTANAS1986 9. Persamaan garis singgung pada kurva x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah … A. 3x+ y - 1 = 0

B. 2x - y = 0 C. –x + 2y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x – y – 3 = 0

jawab: Persamaan garis singgung y – b = m(x –a) Diketahui a = 1 dan b = -2 x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 2y = x 2 - 4x – 1

y = 21 x 2 - 2x –

21

m(gradien) = y ' = x - 2 (di titik (1,-2) x = 1 ) = 1 - 2 = -1 persamaan garis singgungya adalah : y – (- 2) =-1 (x – 1) y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0 jawabannya adalah D EBTANAS2000 10. Garis singgung pada kurva x 2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan … A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0 jawab: x 2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x 2 + 2x – 3 Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3

y = 21 x +

23

didapat m1 = 21

www.matematika-sma.com - 4

garis singgung tegak lurus maka : m1 . m 2 = -1

21 . m 2 = -1 m 2 = -2

kurva y = x 2 + 2x – 3 y ' = 2x + 2 = m 2 = -2 2x + 2 = -2 2x = -4 x = -2 jika x = -2 maka y = (-2) 2 + 2 . (-2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 didapat (x1 , y1 ) = (-2,-3) sehingga garis singgungnya adalah: y - y1 = m 2 ( x - x1 ) y +3 = -2 ( x + 2) y + 3 = -2x – 4 y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0 jawabannya adalah D EBTANAS1991 11. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 naik dalam interval … A. x < –3 atau x > 1 B. x < –1 atau x > 1 C. –3 < x < 1 D. –1 < x < 1 E. x < –3 atau x > –1 Jawab: f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9 = x 2 + 2x – 3 ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x1 = -3, x 2 = 1 + + -- - - - - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f ' (x) >0 maka f(x) naik (bertanda +) yaitu x < -3 atau x > 1 Jawabannya adalah A

EBTANAS2003 12. Fungsi f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 turun pada interval .. A. 1 < x < 3 B. –1 < x < 3 C. –3 < x < 1 D. x < –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3 Jawab : fungsi turun jika f ' (x) < 0 f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9 = x 2 + 2x – 3 ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x1 = -3, x 2 = 1 + + -- - - - - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 jika f ' (x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -) yaitu x > -3 dan x < 1 dapat ditulis dengan -3< x < 1 jawabannya adalah C EBTANAS2000 13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x 4 – 12x pada interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah … A. 16 B. 9 C. 0 D. -9 E. -16 Jawab: Tentukan nilai stasioner yaitu f ' (a) = 0 f(x) = x 4 – 12x f ' (x) = 4x 3 -12x ⇔ x 3 - 3x ⇔ x (x 2 - 3) ⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 - - + + - - + +

• • • - 3 0 3

max min Jika x < - 3 - . - . - = - - 3 < x < 0 - . - . + = + 0 < x < 3 +. - . + = - x > 3 +. + . + = +

www.matematika-sma.com - 5

terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0 (interval –3 ≤ x ≤ 1) sehingga nilai maksimumnya : f(x) = x 4 – 12x f(0) = 0 – 0 = 0 jawabannya adalah C EBTANAS2000 14. Nilai minimum fungsi f(x) = x 3 - 27x pada interval -1 ≤ x ≤ 4 adalah…. A. 26 B. 0 C. -26 D. -46 E. -54 jawab: f(x) = x 3 - 27x f ' (x) = 3x 2 - 27 ⇔ x 2 - 9 ⇔ (x – 3 ) (x + 3) = 0 x = 3 ; x = -3 +++ - - - - +++ • • -3 3

max min nilai minimum jika nilai x = 3 (interval -1 ≤ x ≤ 4) sehingga nilai minimumnya adalah: f(x) = x 3 - 27x f(3) = 3 3 - 27. 3 = 27 - 81 = -54 jawabannya adalah E UN2005 15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka(p) tersebut, adalah : l l p

A. 16m B. 18m C. 20m D. 22m E. 24m jawab: Luas = L = p l + p . l = 2 p. l Panjang kawat = 120 m 120 = 3. p + 4. l 3p = 120 – 4. l

p = 40 - 34 . l

L = 2. l (40 - 34 . l )

= 80 l - 38 . l 2

Luas maksimum jika L ' = 0

L = 80 l - 38 . l 2

L ' = 80 - 3

16 . l = 0

316

l = 80

l = 16240 = 15

agar luas maksimum maka p =

p = 40 - 34 . l

= 40 - 34 . 15

= 40 -20 = 20 m Jawabannya adalah C

UN2005 16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam

(4x - 800 + x

120 ) ratus ribu rupiah . Agar biaya

minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu ........ A . 40 jam B . 60 jam C . 100 jam D . 120 jam E . 150 jam

www.matematika-sma.com - 6

Jawab:

Diketahui biaya perjam = (4x - 800 + x

120 )

ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ? Waktu pengerjaan = x Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan

= (4x - 800 + x

120 ) . x

= 4x 2 - 800 x + 120 agar biaya minimum maka B ' = 0 B ' = 8 x – 800 = 0 8x = 800 x = 100 jam jawabannya adalah C