Gerak Harmonik

1

GERAK HARMONIK

Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini

berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila

gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.

Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik

ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut

Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang

sama disebut Getaran atau Osilasi.

Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan

banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan

frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah : Tf

=1

Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan

gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.

Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah

panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya

sama dengan nol, beban diam.

Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini

cenderung menggerakkan beban keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal

gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.

F = - k y ; k tetapan pegas.

Gerak Harmonik

2

Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang

gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).

Tanda negatif ( - ) harus digunakan karena arah F dan Y selalu berlawanan.

Menurut Hukum Newton II, pada gerak benda ini berlaku :

F = m .a

Gaya pemulih pada gerak benda ini adalah : F = - k . y

- = + =k y md ydt

ataud ydt

k ym

..2

2

2

2 0

Persamaan ini disebut persamaan differensial gerak harmonik sederhana.

GERAK HARMONIK SEDERHANA.

Untuk mencari persamaan gerak harmonik sederhana dengan jalan mencari penyelesaian

persamaan diferensial gerak harmonik sederhana yaitu suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga

diturunkan dua kali terhadap t diperoleh negatif dari fungsi tersebut dikalikan dengan suatu.

Fungsi yang mempunyai sifat demikian adalah fungsi Sinus atau fungsi Cosinus.

Misalkan diambil fungsi sinus sebagai penyelesaian : y = A sin ( w t + q )

dengan A, w, dan q masih harus dicari harganya.

Bila persamaan di atas diturunkan dua kali terhadap waktu t maka diperoleh :

d ydt

A t2

22= - +w w qsin ( )

Bila persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan differensial gerak harmonik sederhana,

diperoleh :

- + = - +w w q w q2 A tkm

A tsin ( ) sin ( )

Jadi agar fungsi sin tersebut benar-benar menjadi penyelesaian persamaan differensial gerak

harmonik sederhana, diperoleh :

w 2 =km

atau w =km

Jika waktu t dalam persamaan y = A sin ( w t + q ) ditambah dengan 2pw

maka,

Gerak Harmonik

3

diperoleh :

y A t= + +sin [ ( / ) ]w p w q2

= + +A tsin ( )w p q2

y A t= +sin ( )w q

Jadi fungsi tersebut berulang kembali setelah selang waktu 2pw

. Oleh sebab itu,2pw

adalah

periode geraknya, atau T =2pw

Karena w 2 =km

maka diperoleh :

Tmk

= =2

2p

wp

dan mk

fp

wp 2

121

==

jadi : w pp

= =22

fT

Besaran w disebut juga frekwensi sudut (anguler), karena dapat diartikan sebagai besar sudut

(dalam radian) yang dikelilingi perdetik.

Persamaan simpangan gerak harmonis adalah : y = A sin ( w t + q )

Perhatikan persamaan di atas.

Sinus mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1, simpangan y mempunyai maksimum A diukur

dari posisi seimbang y = 0. A (y maksimum) disebut Amplitudo.

Besaran ( w t + q ) disebut fase gerak dan w disebut konstanta fase.

Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana dicari dengan jalan mendeferensialkan

persamaan geraknya terhadap waktu.

Simpangan gerak harmonik sederhana : y = A sin ( w t + q )

Kecepatannya : vdydt

A t= = +w w qcos ( )

percepatannya : advdt

A t= = - +w w q2 sin ( )

Gerak Harmonik

4

PHASE ( j )

Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya).

Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang

dibagi dengan periodenya.

Bila titik Q telah bergetar t detik maka phasenya : jq

QtT

= =360

Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya : ( )

j =+

= +t T

TtT

1

Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q dalam hal yang pertama.

Mudah dipahami bahwa titik-titik yang phasenya tT

tT

tT

dst, , .......1 2+ + keadaannya

sama.

Perbedaan phase.

Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 , 4 , ..... dst.

Titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai perbedaan phase : 12

112

212

312

, , , ............dst

SUPERPOSISI 2 GERAK HARMONIK SEDERHANA YANG

FREKWENSINYA SAMA.

Misalkan sebuah benda melakukan 2 gerak harmonik secara bersama-sama dengan persamaan

:

y1 = A1 sin ( w t + q1 ) dan y2 = A2 sin ( w t + q2 )

Gerak resultannya : y = y1 + y2

A sin ( w t + q ) = A1 sin ( w t + q1 ) = A2 sin ( w t + q2 )

Menurut rumus trigonometri :

A sin ( w t + q ) = A sin w t cos q + A cos w t sin q

Gerak Harmonik

5

A1 sin ( w t + q1 ) = A1 sin w t cos q1 + A1 cos w t sin q1

A2 sin ( w t + q2 ) = A2 sin w t cos q2 + A2 cos w t sin q2

Maka diperoleh hubungan :

A cos q = A1 cos q1 + A2 cos q2

A sin q = A1 sin q1 + A2 sin q2

jadi tg qq qq q

=++

A AA A

1 2

1 2

sin sincos cos

1 2

1 2

Sedangkan amplitudo gerak resultan di dapat dengan mengkuadratkan persamaan di atas.

Diperoleh :

A2 = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos ( q1 - q2 )

atau

( )A A A A A= + + -12 2 2 1 2 1 22 cos q q

Cara di atas adalah cara penyelesaian dengan matematis.

Berikut dapat diselesaikan dengan cara grafis.

yaitu dengan menggambar masing-masing persamaan gerak harmonis kemudian dijumlahkan

secara aljabar dari masing-masing amplitudo setiap detik getarannya untuk dilukis.

Misal dua buah gerak harmonis masing-masing :

y1 = 3 sin ( w t + 30o ) dan y2 = 2 sin ( w t + 60o )

Cara matematis.

A1 = 3 cm dan A2 = 2 cm

( )A A A A A= + + -12 2 2 1 2 1 22 cos q q

( )A = + + -3 2 2 3 2 30 602 2 . . cos

A = + +9 4 1212

3

A = ....................

qq qq q

=++

arc tag A AA A

1 2

1 2

sin sincos cos

1 2

1 2

q = .......

Persamaan gerak superposisinya : y = ............ sin ( t + ....... )

Gerak Harmonik

6

ENERGI PADA GERAK HARMONIS SEDERHANA.

Pada gerak harmonik sederhana energi mekaniknya KEKAL.

E(total) = Ep + Ek

Ep = 12

k y2

= 12

m w 2 A2 sin2 (w t + q )

Ek = 12

m v2

= 12

m {w A cos (w t + q )}2

= 12

m w 2 A2 cos2 (w t + q )

E(total) = Ep + Ek

= 12

m w 2 A2 sin2 (w t + q ) + 12

m w 2 A2 cos2 (w t + q )

=12

m w 2 A2 ( sin2 (w t + q ) + cos2 (w t + q ))

=12

m w 2 A2 atau E(total) = 12

k A2

-----o0o--o0o--o0o--o0o-----

CONTOH SOAL

(Di Diskusikan di kelas)

Contoh 1.

Suatu pegas jika diberi beban 1 kg bertambah panjang cm2

40p

, kemudian beban di tarik lagi ke

bawah sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitunglah besar energi kinetik pada saat 1/3 detik. g = 10

m/s2.

Contoh 2.

Sebuah benda melakukan GHS dalam 11 detik melakukan 220 getaran. Pada saat simpangan

30 cm kecepatannya kali kecepatan maksimumnya. Hitunglah amplitudo getaran ini.

Contoh 3.

Gerak Harmonik

7

Sebuah benda melakukan GHS pada saat simpangannya 5 cm kecepatannya 3 m/s pada saat

simpangannya 3 cm kecepatannya 5 m/s. Hitunglah amplitudo GHS tersebut.

Contoh 4.

Suatu benda melakukan GHS, suatu saat perbandingan energi potensial dan energi kinetiknya

adalah 1. Pada saat itu geraknya ke atas dan simpangan berada di bawah titik setimbang. Jika

amplitudo GHS 10 cm dan waktu untuk mencapai keadaan itu ikdet161

Hitunglah kecepatan GHS saat itu.

Contoh 5.

Suatu benda melakukan GHS, pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang

percepatannya 1000 p2 cm/s2 arah menuju titik setimbang dan arah geraknya ke bawah.

Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan itu jika pada saat itu kecepatannya

100p 3 cm/s.

TUGAS SOAL-SOAL

1. Sebuah benda bergetar harmonik sederhana dengan persamaan y = 5 sin ( 3p t + p /6)

y dalam meter, t dalam detik, dan besaran sudut dalam radian. Tentukan :

a. Amplitudo, frekwensi dan periode geraknya.

b. Kecepatan dan percepatan sesaat.

c. Posisi, kecepatan dan percepatan pada saat t = 2 detik.

d. Kecepatan dan percepatan maksimumnya.

e. Energi kinetik dan energi potensialnya saat t = 1 detik jika m = 100 gram.

f. Energi totalnya.

2. Sebuah benda yang massanya 0,75 kg dihubungkan dengan pegas ideal yang konstanta

pegasnya 25 N/m, bergetar pada bidang horisontal yang licin tanpa gesekan. Tentukan :

a. Energi sistem dan kecepatan maksimum benda apabila amplitudo = 4 cm.

b. Kecepatan benda pada saat simpangannya 3 cm.

c. Energi kinetik dan energi potensial sistem pada saat simpangannya 3 cm.

Gerak Harmonik

8

3. Sebuah benda serentak melakukan dua gerak harmonik sederhana dengan persamaan:

y1 = 20 sin ( 30p t + p /3)

y2 = 25 sin ( 30p t + p /6)

y dalam cm dan besaran sudut dalam radian)

Tentukanlah :

a. Persamaan gerak resultan.

b. Simpangan gerak resultan pada saat t = 0,2 detik.

4. Sebuah pegas dapat memanjang hingga 30 cm jika di tarik gaya 0,5 N. Sebuah benda yang

massanya 50 gram digantungkan pada ujung pegas kemudian diberi simpangan 30 cm dari

titik seimbangnya setelah itu dilepaskan, tentukanlah :

a. Periodenya.

b. Persamaan gerak dari benda tersebut.

c. Kecepatan, percepatan, energi kinetik, energi potensial pada saat simpangannya

20 cm.

9. Dua getaran selaras masing-masing dinyatakan dengan persaman :

y1 = 15 sin 8t dan y2 = 18 sin (8t + p /4) amplitudo dalam cm. Tentukanlah :

a. Periode masing-masing getaran.

b. Beda fase kedua getaran.

c. Kecepatan dan percepatan maksimum masing-masing getaran selaras tersebut.

d. Persamaan getaran resultan dari dua getaran selaras tersebut.

10. Berapa simpangan getaran selaras yang menggetar vertikal, agar pada saat itu energi

potensialnya sama dengan energi kinetiknya, jika amplitudonya 10 cm.

11. Benda yang bermassa 100 gram bergetar selaras vertikal dengan amplitudo 5 cm dan

frekwensinya 10 cps. Pada suatu ketika fasenya 1/12, maka tentukan :

a. Simpangan pada saat itu.

b. Gaya yang bekerja pada saat itu.

c. Energi potensial terhadap kedudukan setimbang pada saat itu.

Gerak Harmonik

9

d. Kelajuan dan perlajuan benda pada saat itu.

e. Energi kinetik benda pada saat itu.

8. Ditentukan persaman gerak getar adalah y = 10 sin 50pt, y dalam cm dan t dalam detik.

Ditanyakan :

a. Persamaan percepatannya.

b. Percepatan maksimumnya.

c. Bila suatu saat fasenya = 1/5, telah berapa detik benda bergetar.

d. Hitung panjang simpangan pada saat soal 8c.

e. Hitung besarnya kecepatan getar pada saat t = 1/75 detik.

9. Kecepatan maksimum suatu gerak harmonis sederhana 7 m/s dan percepatan

maksimumnya 20 m/s2. Hitunglah amplitudonya.

10. Suatu benda melakukan GHS pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang

mempunyai kecepatan kali kecepatan maksimumnya arah geraknya ke bawah, sedang

percepatan maksimum GHS adalah 8000p2 3 cm/s2 Hitunglah waktu yang dibutuhkan

untuk mencapai itu.

KUNCI JAWABAN.

1. a) A = 5 m, f = 1,5 hz, T = 32

det

b) v = 15 p cos ( 3pt+30)

a = -45 p2 sin (3pt+30)

c) v = 32

15 m/s

a = - 22

45p m/s2

d) vmaks = 15 p m/s

amaks = -45 p2 m/s2

e) Ep = 11,25 p2 m/s2

Gerak Harmonik

10

Ek =16

135 p2 J

f) EM = 454

p2 J

2. a) EM = 0,02 J

vmaks = 3304

m/s

b) v = 1

3021 m/s

c) Ek = 7

800 J

Ep = 0.01125 J

3. a) y = 43.5 sin (30 p t + 43,3)

b) y = 29,9 cm 30 cm

4. a) T = 0,2 n 3

b) y = 30 sin ( 103

3 t + 34

)

c) v = 13

15 m/s, a = -263

m/s,

Ek = 1

24J, Ep =

130

J

5. a) T1 = 14

p det, T2 = 14

p det

b) D j =18

c) v maks = 120 cm/s

v maks = 144 cm/s

d) q = 24 60,

Resultan y = 30,5 sin ( 8t + 24,60 )

y = 30,5 sin ( 8t + 0,14p )

Gerak Harmonik

11

6. y = 5 2 cm dari titik seimbang

7. a) y = 2,5 cm

b) F = - p2 N

c) Ep = 1,25 . 10-2 p2 J

d) v = 0,5 p 3 m/s, a = -10p2 m/s

e) Ek = 0,0375 p2 J

8. a) a = -25.000 p2 sin 50 nt

b) a maks = -25.000 p2 cm/s2

c) t = 1

125det

d) y = 9,5 cm

e) v = -250 cm/s

9. 2,45 m

10. ikdet3901

====o0o======