13. limit fungsi smk n2 ds

LIMIT FUNGSILIMIT FUNGSI

Oleh: Drs. Manaek Lumban Gaol

12.1. PEENGERTIAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Defenisi Limit fungsiPerhatikan gambar di bawah ini

Df = {x | x Î R, x ¹ 2}

jika dicari nilai fungsi untuk x = 2,

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4

Hal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait

0 2-2

2

4

2

42

x

xxF

taktentubentukadalahF0

0

22

422

2

Tabel nilai – nilai fungsi untuk x dekat dengan 2

X F(x)

1,90 3,9

1,99 3,99

1,999 3,999

2 . . . ?

2,001 4,001

2,01 4,01

2.1 4,1

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Secara matematika , dituliskan sebagai berikut.


42

4lim

2

2

x

xx

Dari uraian ini timbullah pengertian limit secara intuisi, sehingga :

Pengertian limit fungsi secara intuitif : , mengandung arti

bahwa jika x mendekati { x } maka nilai

LxFax

lim

LmendekatixF

Secara umum, limit fungsi didefenisikan sebagai berikut

Dikatakan; adalah bahwa untuksetiap yang diberika betapapun kecilnya ,terdapat yang berpadanan sedemikian sehihingga untuk setiap

LxFax

lim 00

LxF ax0

LIMIT FUNGSI ALJABAR

I. Limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati nilai tertentu diselesaikan dengan Langkat-langkah sebagai berikutA. Substitusi langsungB. Faktorisasi.C. Mengalikan dengan bilangan sekawan.


PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Cara substitusi langgsungContoh 1:Hitunglah : Penyelesaian

Kerjakan soal derikut ini


13lim2

xx

51612313lim2

xx

1

1lim.4

2

2lim.3

110lim.2

4lim,1

2

2

2

2

1

2

2

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x


B. Cara FatorisasiJika dengan cara substitusi langsung

Maka perhitungan limit fungsi dilakukan dengan memfaktorkanContoh : 2Hitunglah :


taktentubentukag

afdiperoleh

xg

xfax 0

0lim

3

6lim

2

3

x

xxx

523

2lim3

23lim

3

6lim

33

2

3

x

x

xx

x

xx

nPeyelesaia

xxx


Contoh 2Hitunglah :

Contoh 3Hitunglah


1

1lim

3

x

xx

2

11lim

1

)1)(1(lim

1

1lim

1

11

xx

x

xx

x

x

anPenyelesai

x

xx

xx

xxx

2

3

0

2lim

12

2

)20(

)20(

)2(

)2(lim

)2(

)2(lim

2lim

22

0

2

02

3

0

x

x

xx

xx

xx

xx

anPenyelesai

x

xx


Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini


xxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

82

4lim..4

2lim..3

lim..2

2

4lim.1

3

234

0

2

3

0

20

2

2


c. Mengalikan dengan bentuk sekawan.Contoh 4Hitunglah nilai Penyelesaian :


47

9lim

2

2

3

x

xx

8416

473

47lim

9

479lim

167

479lim

47

47

47

9lim

47

9lim

2

2

3

2

22

3

2

22

3

2

2

2

2

32

2

3

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx


Contoh 5Hitunglah :

Penyelesaian :


x

xxx

44lim

0

2

122

1

0404

2

44

2lim

44

2lim

44

44lim

44

4444lim

44lim

0

00

00

xx

xxx

x

xxx

xxxx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx


Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini


x

xxxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1413lim.4

22lim.3

53

4lim.2

23

1lim.1

22

0

0

2

2

2

21


II. Limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati tak berhingga maka diselesaikan dengan :A. Mebagi dengan pangkat tertinggiB. Mengalikan dengan faktor lawan



A. Limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga

Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak

berhingga , dengan bentuk : maka untuk

menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan membagi pembilang

dan penyabut dengan variabel pangkat tertinggi ,perhahtikan

contoh berikut ini.

contoh 6

Tentukanlah nilai dari

Penyelesaian :


xgxf

x lim

x

xx

4

5lim

2

0

4

00

0114

51

lim4

5

lim4

5lim

2

2

22

22

2

2

xx

x

x

x

x

xx

x

x

xxxx


Contoh 7Tentukan nilai dari

Penyelesaian:


4x

9 - x - 1 - x lim

22

x

4

12

4

0102

4

91

12

lim

4

912

lim

4

912

lim

x4x

9 - x -

1 - 2x

lim4x

9 - x - 1 - 2x lim

22

x

22

2

22

2

x

2

2

2

2

x

22

x

22

x

xx

xxx

xxx

xx

xx

xx


B. Limit dungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga

Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak

berhingga , dengan bentuk : maka untuk

menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan cara mengali

dengan bentuk lawan,perhahtikan contoh berikut ini.

Adapun bentuk bentuk lawan dimaksud adalah:

Contoh 8


xgxfx

lim

5 6x 9x 7 8x 9x limit dari nilaiTentukan 22

~x

xgxf

xgxfadalahlawannybentukxgxf

xgxf

xgxfadalahlawannybentukxgxf

.2

.1


Penyelesaian :


5 6x 9x 7 8x 9x

5 6x 9x 7 8x 9x.5 6x 9x 7 8x 9x limit

22

2222

~x

5 6x 9x 7 8x 9x limit 22

~x

5 6x 9x 7 8x 9x

5) 6x (9x 7) 8x (9x limit

22

22

~x

5 6x 9x 7 8x 9x

12 14x - limit

22~x

222

2

222

2~x

x5

x6x

x

9x

x7

x8x

x

9xx

12

x14x-

limit

22

~x

x5

x6

9 x7

x8

9

x12

14- limit

0 0 9 0 0 9

0 14-

3 3

14-

6

14-

3

7-

Soal latihan1. Tentukan nilai limit fungsi berikut ini.



1312lim.

243lim.

12lim.

22

22

xxxxc

xxxxb

xxa

x

x

x

12.2.1.Fungsi Trigonometri Yang Variabelnya Mendekati Suatu Sudut tertentu

Jika dalam dengan f(x) merupakan fungsi

trigonometri , maka limit fungsi ini dinamakan limit fungsi

trigonometriUntuk mengerjakan limit fungsi trigonometri yang

variabelnya mendekati suatu sudut tertenru dalam beberapa hal dia mempunyai kemiripan dengan perhitungan limit fungsi aljabar .

Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka kita harus upayakan cara-cara lain ,yakni menyederhanakan dengan menggunakan rumus- rumus atau identitas trigono metritrigonometri yang sebelumnya telah kita pelajari.Adapun bentuk – bentu limit fungsi trigonometri misalnya:


12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

xfx lim

x

xc

x

xbxa

xxx

3tanlim.

2sinlim.3coslim.

Contoh 9Tentukanlah nilai

Penyelesaian :

=

=

=

=



π)3cos(4x

sinxlimit

090x

π)3cos(4x

sinxlimit

090x

)1803cos(4.90

90sin 00

0

0180 3cos

1

1)3(

1

3

1

Contoh 10Tentukanlah nilai

Penyelesaian :

=

=

=

=

sin2x1

cosxsinx limit

045x

sin2x1

cosxsinx limit

045x 0

00

sin2.451

cos45sin45

11

222

1

2

1

2

2

22

1

Contoh 11.Tentukanlah nilai

Penyelasaian :

= =

Karena dengan mensubstitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka terlebih dahulu fungsinya disederhanakan dengan menggunakan identitas trigonometri.

= =

= =

=

=



tgx1

cosxsinx limit

045x

tgx1

cosxsinx limit

045x

x

x

cos

sin1

xcos-xsin limit

045x

0

00

tg451

cos45sin45

0

0

11

222

1

2

1

tgx1

cosxsinx limit

045x

xcos

xsin

xcos

xcosxcosxsin

limit045x

cosx

xsin-xcoscosxsinx

limit045x

xx

xxx

x cossin

coscossinlim

045

)(coslim)cos(lim00 4545

xxxx

22

145cos 0

12.2.2 Rumus – rumus limit fungsi trigonometri



1tan

lim.

1tan

lim.

1sin

lim.

1sin

lim.

0

0

0

0

x

xa

x

xa

x

xb

x

xa

x

x

x

x

Contoh 12Tentukan nilai

Penyelesaian :

=

= = 5(1)

= 5

x

5xsin limit

0x

x

5xsin limit

0x

5

5.

x

5xsin limit

0x

.5x

5xsin limit5

0x

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.



3x tg

xlimit1.

0x

20x x

2x cos1limit2.

sin x

2xsin limit3.

0x

x.sin x

xcos1limit4.

2

0x

5xsin

3x 2tglimit5.

0x

2

2

0x x

xcos1limit6.

xcos1

xx.tglimit7.

20x

12.3. TEOREMA LIMIT

12.3. Teorema limit Dalam pembahasan limit fungsi di atas sebenarnya kita telah menggunakan beberapa teorema limit fungsi yang berikut ini akan dibahas lebih lanjut.

1. Jika f(x), maka konstanta bilangan riel.

2. Jika

3. Limit jumlah beberapa fungsi

4. Limit selisih beberapa fungsi

5. Jika k konstanta maka

6. Limit perkalian beberapa fungsi

7. Limit pebagian beberapa fungsi dengan

catatan


kkxfax

,lim

adank

axfmakaxxfax

lim

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

xfkxfkaxax

limlim

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

xgxf

xg

xf

ax

ax

ax

lim

limlim

0lim

xgax

8. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu dituliskan sebagai berikut :

9. Limit akar ke n dari sebuah fungsi : dengan catatan

Selanjutnya perhatikan pembahasan soal berikut iniContoh13

Penyelesaian :


12.3. TEOREMA LIMIT

nax

n

axxfxf

limlim

nax

n

axxfxf

limlim

genapnuntukoxfax

lim

43lim2

xHitunglahx

4lim3lim43lim222

xxx

xx

Teorema 4

4limlim322

xx

x

Teorema 5

2

423

Teorema 1 dan2

Contoh 14

Hitunglah

Penyelesaian : =

=

=

= =

=


PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

x

xx

5lim

2

2

x

xx

5lim

2

2

Teorema 7

2

5lim 2

2

x

x

Teorema 9

x

x

x

x

2

2

2

lim

5lim

Teorema 2

2

5limlim2

2

2

xx

x

Teorema 3

2

5limlim2

2

2 xx

x

Teorema 8

2

52 2

Teorema 8

2

3

Contoh 15Jika diketahui

Hitunglah

Penyelesaian :


243lim3lim22

xgdanxfxx

52

2lim xgxfx

52

2lim xgxfx

52

2

2

5

2

2

2

limlim

limlim

xgxf

xgxf

xx

xx

27

39

2433 52

Teorema 6

Teorema 8 dan 9

PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Contoh 16Hitunglah nilai dari

Penyelesaian :


x

xx 3sin

4tanlim

0

1

113

43sin

3lim

4

4tanlim

3

43sin

3lim

4

4tan

3

4lim

3sin

3

4

4tan

3

4lim

43

34

3sin

4tanlim

3sin

4tanlim

00

00

0

0

0

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

xx

x

x

x

Teorema 5 dan 6

Teorema 6

EMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Contoh 17Hitunglah

=

=

=

=

= =


TEOREMA LIMIT

20

12coslim

x

xx

20

12coslim

x

xx

2

2

0

1sin21lim

x

xx

2

2

0

sin2lim

x

xx

2

2

0

sinlim2

x

xx

2

0

sinlim2

x

xx

2

0

sinlim2

x

xx

Teorema 5

Teorema 8

212 2

Soal latihan Gunakan teorema limit untuk menyelesaikan soal – soal berikut ini


2

134

5

2

2

23

2

2

0

444lim.5

2

74lim.4

92

4lim.3

421lim.2

43lim.1

xx

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

5

33

0

0

0

4lim.

lim.

:

1lim2lim.44sin

6tanlim.3

tan

5sinlim.2

2sin

3sinlim.1

xgxfb

xgxfa

hTentukanla

xgdanxfJikax

xx

xx

x

ax

ax

axax

x

x

x

SOAL LATIHAN MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

12.4. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS

Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsiPerhatikan gambar berikut


x = a

X

Y

0

x = a

X

Y

Gambar 12.2 Gambar 12.3

Pada gambar 12.2 fungsi diskontinu ( tak sinambung)

maka adatidakxfax

lim

Pada gambar 12.3 fungsi juga diskontinu ( tak sinambung ) sebab

walaupun ada tetapi afxfax

lim

axdi

axdi xf

axlim

KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS

Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsiPerhatikan gambar berikut


x = a

X

Y

0Gambar 12.4

Pada gambar 12.3 fungsi kontinu ( sinambung ) sebab afxfax

limaxdi Defenisi :Misalkan fungsi f tertentu dalam suatu interval yang mengandung nilai , Maka fungsi f diskontinu jika dan hanya jika

aaxdi

afxfax

lim

Syarat yang harus dipenuhi agar sebuah fungsi f kontinu di di

Yakni :


SYARAT KONTINU SUATU FUNGSI

ax

afxf

adaharusxf

fdomaindalamaadaharusaf

ax

ax

lim.3

lim.2

.1

Contoh 18Periksa apakahPenyelesaian :

Dari (1) dan (2) Jelas bahwa

Karena ketiga syarat kontinuitas di penuhi maka


PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI

adaxfxxxfxxx 1

22

11lim...22112limlim.2

1lim31

fxfx

122 xdikontinuxxxf

122 xdikontinuxxxf

adaff 1...22111.1 2

Contoh 18Apakah kontinu di x = 2

Penyelesaian :

Karena tak tentu maka diskontinu di x= =2 Contoh 19

Apakah



2

42

x

xxf

tentutakf ........0

0

22

422.1

2

2f 2

42

x

xxf

13

1.1

13

xuntuk

xuntukx

xxf

Penyelesaian :1. F(1) = 3



3

111

1lim

1

11lim

1

1limlim.2

2

2

1

2

1

3

11

xx

x

xxx

x

xxf

x

x

xx

1lim.31

fxfx

Apa kesimpulan anda

Soal evaluasi akhir bab

Kerjakan soal berikut ini


4lim.1 2

2

xx

x

2

4lim.2

2

2

x

xx

1

1lim.33

x

x

x

x

xx

4

5lim,5

2

47

9lim.4

2

2

3

x

xx

4x

9 - x - 1 - x lim6.

22

x

π)3cos(4x

sinxlimit.7

090x

x.sin x

xcos1limit8.

2

0x

xgxfhTentukanla

xgdanxfJika

ax

axax

33lim:

1lim2lim.9

22

4.10

2

xdi

kotinux

xxffungsiApakah


SEKIAN

13. limit fungsi smk n2 ds

Documents