1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii

7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii

1/39

HMTI STT Telkom 2007-2008 .

By Arip Paryadi 1

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2006/2007

MATAKULIAH : MA1124 KALKULUS 2

HARI / TGL : SENIN / 4 JUNI 2007WAKTU : 120 MENIT

SIFAT : TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR

1. Tentukan nilai ekstrim beserta jenisnya dari2. Hitung volume benda padat di oktan pertama di bawah paraboloida z =x2 +y2 dan di dalam

tabungx2

+y2

= 4.

3. Hitung , C ruas garis dari (1,2) ke (2,1).

4. Hitung , dimana G bagian parabola yang terletak di atas kerucut

No 1 2 3 4

Korektor FDA SSI JDN ERW

Nilai 10 10 10 10

yyxyxyxf 44),(32

++=

( ) ++C

dyxdxyx 2

G

dsz 2 2222

=++ zyx

22yxz +=


2/39


By Arip Paryadi 2

UAS SEMESTER GENAP 2005/2006

MATA KULIAH / KODE : KALKULUS II / MA1124

TANGGAL : 5 JUNI 2006

WAKTU : 120 MENIT

SIFAT : TUTUP BUKU TANPA KALKULATOR

Kerjakan dengan teliti dan cermat.

1. Tentukan nilai maksimum dari dengan Kendal (batas)

2. Tentukan turunan berarah di P(-2,2,-1) dengan arah

3. Hitung

4. Diketahui benda pejal S di oktan pertama dibatasi oleh tabung dan bidangy = 1 x

a. Hitung volume Sb.

5. Hitung usaha yang dilakukan oleh untuk memindahkanpartikel sepanjang lintasan C yang berupa ruas garis dari (0,0) ke (1,0) dari (1,0) ke

(1,1) dan dari (1,1) ke .(2,0).

Nomor 1 2 3 4 5

Nilai 8 8 8 8 8

-o0o- Selamat mengerjakan o0o-

( ) 22, yxyxf += .14

22

=+y

x

( ) zyxezyxf 3,, ++=

kjia 5420 +=

dydxxex

y 1

0

1

2

2

12

422

=+ zx

S

dVz

( ) ( )jxyxixyyF 22 22 +++=


3/39


By Arip Paryadi 3



MATA KULIAH : KALKULUS II / MA1324

HARI / TGL : SENIN / 2 JUNI 2003

WAKTU : 120 MENIT

SIFAT : TUTUP BUKU, KALKULATOR TIDAK BOLEH

1. Hitung ,D seperti gambar di bawah

2. Hitung

3. Diketahui

a. Nyatakan S dalam koordinat bolab. Hitung

4. Diketahuia. Periksa apakah konservatifb. Hitung , C ruas garis dari (1,1) ke (2,1) ke (2,3)

5. Hitung dengan S bagian paraboloida yang terletak di bawahbidang z = 4

6. Diketahui , S adalah bagian kerucut yang terletakdiantara z = 1 dan z = 3. Hitung fluks yang menembus permukaan S ( vector normal

arah ke atas)

+D

dAyx

( ) +

0

1

1

0

2/122

2x

dydxyx

( ) 222222 44,44,20,, yxzyxyxyyzyxS =

++S

dVzyx 222

( ) jxeyei

xeyeyxF y

xyx lnln,

+

=

( )yxF ,

dyxey

edx

x

eye y

xyx

C

)ln()ln( +

++S

dsyx ,144 2222 yxz +=

( ) kzjyixzyxF ,, 222 ++=

22yxz +=

( )zyxF ,,

n

y= -2x +2

y = (x-1)2

2 D


4/39


By Arip Paryadi 4


MATA KULIAH / KODE : KALKULUS 11 / MA 1324 / DA 1324

WAKTU :120 MENIT

1. Hitung integral berikut :a.

b. , G adalah pada bidang XY yang dibatasi oleh y = x, sumbu X dan2. Diketahui S adalah benda pejal yang dibatasi dan bidang z = 1.

a. Hitung volume S

b.3. Diketahui

a. Periksa apakah konservatifb. Hitung , dengan C sembarang lintasan dari (0,0,0) ke (1,0,1)

4. Diketahui permukaan G adalah bagian bidang yang terletak di oktan pertamaa. Hitung

b. Hitung , dengan normal arah ke atas

1

0

13)sin(

y

dxdyx

G

ydA2 ( ) 11 22 =+ yx

225 yxz =

S dVxy

( ) ( ) kxyjexzieyzF yx +++=

F

C

rdF

.

42 =++ zyx

G

dsxz

dsnF

. n


5/39


By Arip Paryadi 5

UJIAN AKHIR SEMESTER 2000-2001

DA 1323 KALKULUS II

SABTU, 9 JUNI 2001

100 MENIT

TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR

1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi berikut :

2. a. Hitung , S adalah daerah yang dibatasi oleh , y = 1 dan x = 0 !

b. tentukan volume benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh fungsi permukaan

dan bidangz = 1

3. Diketahui merupakan medan vector konservatif . Tentukanusaha untuk memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke

a. Dengan menggunakan fungsi potensialnya !b. Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari (0,1) ke (1,0) sedangkan C2 lintasan dari

(1,0) ke

No 1 2.a 2.b 3.a 3.b

Bobot 7 6 6 6 5

kejujuran merupakan pangkal keberhasilan

-------o0o adw o0o-------

( ) 232

13, yxyxyxf +=

S

dAy )sin(3 xy =

2210 yxz =

( ) ( ) ( )jyeiyeyxF xx cossin, +=

2

,1

2,1


6/39


By Arip Paryadi 6


MATA KULIAH : DA-1323 KALKULUS 11

HARI / TGL : JUMAT / 2 JUNI 2000

WAKTU : 120 MENIT

SIFAT : TUTUP BUKU

1. Diketahui jika dan jikaa. Tentukan fx(1,2), fy(1,2)b. Tentukan turunan berarah dari f(x,y) di titik (1,2) dalam arah ke titik (2,3)

2. Diketahui permukaana. Tentukan persamaan bidang singgung di titik (2,1,1)b. Tentukan persamaan garis normal di titik (2,1,1)

3. Hitung

a.

b.

4. Diketahui S benda pejal di oktan 1 yang dibatasi oleh dan bidang z = 2xa. Hitung volume Sb. Hitung

5. a. Hitung , C adalah kurca y = x2 , 0 x 1

b. Hitung

2)2,1( =fDu jiu

5

4

5

3= 4)2,1( =fDv jiv

5

3

5

4+=

102222

=++ zyx

( ) +

1

1

1

0

2/122

2

4x

dydxyx

1

0

12

dydxex

y

22yxz +=

S

xydV

+C

dyxydx2

( ) ( ) ++ )1,1(

)0,0(

dyexdxey yx


7/39


By Arip Paryadi 7


MATA KULIAH / KODE : KALKULUS 11 / DA 1324

JURUSAN : TE - TMI

HARI / TANGGAL : JUMAT / 2 JUNI 2000

WAKTU : 120 MENIT

DILARANG MEMBAWA CATATAN DALAM BENTUK APAPUN

DAN TIDAK BOLEH MEMPERGUNAKAN KALKULATOR

1. Hitunga. dengan

b.

2. Hitung jika S adalah benda pejal yang terletak di oktan pertama yang dibatasi olehDan bidang y = 4.

3. Hitung besarnya usaha/kerja yang dilakukan oleh gayaUntuk memindahkan partikel

sepanjang C dengan C ruas garis dari titik ( 0,0,0) ke (2,3,0).

4. Diketahui :

a. Periksa apakah konservatifJika konservatif, tentukan fungsi potensial dari

b. Hitung dengan C berupa kurva y = x2 + 1 dari titik (0,1) ke (1,2).

5. Permukaan G adalah bagian dari paraboloida yang terletak di atas bidangXOY.

a. Hitung luas permukaan Gb. Tentukan fluks medan vector yang menembus G dengan

vector normal ke atas

01/06/00 22:05 Selamat Bekerja dengan Jujur - semoga sukses dma-cbs-fza-jdn-rmi-sss-syt-wdt

D

y dAe2

( ){ }1,10, = yxxyxD

++

=

1

1

1

122

2

2 1

1x

x

dydxyx

l

S

dVxyz

24 xz =

( ) ( ) ( ) ( )kzyxjzyxizyxzyxF 232,, ++++++=

( ) ( ) jxyiyxxyxF 3

1,323

+=

( )yxF ,

( )yxF ,

C

drF

221 yxz =

( ) kzjyixzyxF 2,, ++=

n


8/39


By Arip Paryadi 8


MATA KULIAH/KODE: KALKULUS II /DA1324

HARI / TGL : KAMIS 28 APRIL 1999

WAKTU : 150 MENIT

SIFAT : TUTUP BUKU

DILARANG MEMBAWA CATATAN DALAM BENTUK APAPUNDAN TIDAK BOLEH MEMPERGUNAKAN KALKULATOR

1. Diberikan :

a. Gambarkan daerah integrasinya !b. Ubah urutan integrasi dan hitungI

2. Hitung luas permukaan paraboloida yang terletak di antara silinderdan

3. Diketahui benda pejal S yang dibatasi oleh permukaan bola dana. Hitung volume Sb. Hitung

4. Hitung : dengan c adalah ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1)

5. Diketahuia. Tentukan f sehinggab. Hitung : jika c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke (2,-1,-1)

6. Hitung : dengan

Selamat Bekerja , Semoga Sukses

( ) dxdyysinIx

=1

0

13

22yxz += 4

22=+ yx

922

=+ yx

8222 =++ zyx22

yxz +=

S

dV

( ) ( ) ,dyyxdxyxc

22 ++

( ) ( ) ( ) kyjzxixyz,y,xF

4432 2 ++=

Ff

=

( ) ( ) ++c

ydzdyzxdxxy 44322

( ) C

dyxydxyxx223

922

=+ yx:C


9/39


By Arip Paryadi 9



MATAKULIAH : DA1324 KALKULUS 2

HARI / TGL : SENIN / 31 MEI 1999

WAKTU : 150 MENITSIFAT : TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR

1. Hitung

2. Dengan menggunakan teorema green , hitung : dengan C kurva tertutup yangdibentuk oleh y = 0, x = 2 dan y = x

2/2.

3. Diketahuia. Tunjukkan bahwa F medan vektor konservatifb. Tentukan fungsi potensialf(x,y,z) dari F(x,y,z)c. Dengan menggunakan hasil no b , hitung kerja yang dilakukan F (x,y,z) untuk menggerakkan

partikel dari titik (0,0,0 ke titik (1,1,1)

4. Hitung dimana G adalah permukaan kerucut antara bidang z = 1 dan z = 2

( )

+=

1

1

1

0

22

2

sinx

dxdyyxI

dyxdxyIC

+=

( ) ( ) ( ) ( )keyejexeiezezyxF xzzyyx ,, ++++=

G

dSz2 22

yxz +=


10/39


By Arip Paryadi 10

PEMBAHASAN UAS 2006 2007 KALKULUS II MA1124

1. Menentukan nilai ekstrim dari Menentukan titik kritis

Karena f terdefini maka titik kritis yang mungkin adalah pada titik stationer yaitu

jika

Menguji nilai pada titik kritis

Titik-kritis fxx fyy fxy D

(4/3,2/3) 2 4 -4 -8

(4,2) 2 12 -4 8

- Karena D = -8 < 0 maka titik (4/3,2/3) merupakan titik pelana- Karena D = 8 > 0 dan fxx = 2 > 0 maka titik (4,2) merupakan titik minimum lokal dengan

nilai f(4,2) = -32 (ans).

( ) yyxyxyxf 44, 32 ++=

yxfx 42 = 4432

+= xyfy

2=xxf

( ) 2, Ryx

0=f 0 =+ jfif yx

( ) ( ) 044342 2 =++ jxyiyx( ) ( )0443042 2 =+= xydanyx

( )1........2yx = ( ) ( )2.................0443 2 =+ xydan( ) ( ) :21 anmenghasilkkesubtitusi

04832

=+ yy

( )( ) 0223 = yy

23

2== yy

3

4

,3

2==

xyuntuk

4,2 == xyuntuk

( )2,43

2,

3

4dantitikpadaterjadinkemungkinaekstrimtitik

yfyy 6=

4=xyf


11/39


By Arip Paryadi 11

2. Menghitung volume benda padat di oktan pertama di bawah paraboloidaz =x2 +y2 dan di dalamtabungx

2+y

2= 4

Perhatikan gambar disamping

Perpotongan paraboloidaz =x2

+y2

dan tabung x2

+y2

= 4 adalah z = 4

Volume benda S adalah volume benda dibawah permukaanz = f(x,y) =x2

+y2

bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar.

3. Menghitung dengan C ruas garis dari (1,2) ke (2,1) Persamaan C, garis yang melalui (1,2) dan (2,1) adalah :

( ) =R

dAyxfV , ( ) ddrrrrfR

= sin,cos

ddrrr =2

0

2

0

2

ddrr =2

0

2

0

3

dr

=

2

0

2

0

4

4

1

d=2

0

4 [ ] )(24 20 ans

==

( )2

0,20, = rrR

( ) ++C

dyxdxyx 2

21

2

12

1

=

yx21 += yx

xy = 3

,3: xyCpersamaan = :sehinggadxdy =

( ) ++C

dyxdxyx2 ( ) +=

2

1

23 dxxdxxx

=

2

1

23 dxx

2

1

3

3

13

= xx

)(3

2

3

13

3

86 ans=

=


12/39


By Arip Paryadi 12

4. Menghitung dimana G bagian parabola yang terletak di atas kerucut

Perhatikan gambar disamping !

Kita dapat menuliskan

Kita rubah persamaan ini dalam koordinat kutub menjadi :

G

dsz2

2222

=++ zyx

22yxz +=

( )yxfyxz ,2 22 ==

,2 22 yx

xfx

= ,

2 22 yx

yfy

=

2222

2

22

222

2

21

221

yxyx

y

yx

xff yx

=+

+

=++

:jadi G

dsz2

:sin idari

( ) dydxyx

yxR

22

22

2

22

= ( )( ) dydxffyxf

R

yx ++= 1,222

( ) ddrrr

r2

2

0

1

0

2

2

22

ddrrr22

0

1

0

22 =

:misalkan duudrrdrrduururu ==== 222,2 222

11

2,0

==

==

ur

ur

:jadi

ddrrr2

2

0

1

0

22 duu2

2

0

1

2

2 =

=

2

0

1

2

3

3

12 du

( )=

2

0

22132 d

( ) 22213

2=

( )ans3

228 =


13/39


By Arip Paryadi 13


1. Menentukan nilai maksimum dari dengan kendala Menentukan titik kritis

Kita dapat menuliskan kendala sebagai

Untuk mendapatkan titik kritis, kita harus menyelesaikan persamaan

Persamaan-persamaan lagrange adalah :

- Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y keduanya tidak dapat bernilai 0 bersama-sama .

- Jika dari persamaan (1) memberikan , subtitusikan ke persamaan (2)menghasilkan y = 0. Kita simpulkan dari persamaan (3) bahwa . Jadi kita telah

memperoleh titik kritis

- Dengan cara yang sama, jika persamaan (2) menghasilkan , subtitusikan kepersamaan (1) menghasilkan x = 0. Kita simpulkan dari persamaan (3) bahwa . Jadi

kita memperoleh titik kritis .

Sekarang untuk- .- .- .- .

( ) 22, yxyxf += .14

22

=+y

x

gf =

( ) 044, 22 =+= yxyxg

gf =

( )jyixjyix 2822 +=+

jyixjyix 2822 +=+

( )1.............82 xx =

( )2............22 yy =

( )3......44 22 =+ yx

0x4

1=

1=x

)0,1(

0y 1=

2=y

( )2,0

( ) 22, yxyxf +=

( ) 10,1 =f( ) 10,1 =f

( ) 42,0 =f

( ) 42,0 =f

( ) 4, adalahdiberikanyangellipspadayxfmaksimumnilaijadi


14/39


By Arip Paryadi 14

2. Menentukan turunan berarah dari di titik P(-2 ,2, -1) dengan arah

vektor satuan pada arah adalah :

Turunan berarah dititik (-2, 2, -1) pada arah adalah :

3. Menghitung

Dengan bentuk integran yang seperti di atas kita sulit untuk melakukan pengintegralan, oleh

karena itu kita perlu merubah susunan batas integrasinya. Perhatikan gambar di samping !

( ) zyxezyxf 3,, ++=

kjia 5420 +=

kjia 5420 +=

u

kjikji

u

21

5

21

4

21

20

2516400

5420+=

++

+=

( ) kfjfifzyxf zyx ,, ++=

( ) ( ) ( )kejeie zyxzyxzyx 3 333 ++++++ ++=

( ) kejeief 31,2,2 333 ++=

( ) ( )1,2,21,2,2 = fufDu

kjia 5420 +=

( )kejeiekji 321

521

421

20 333 ++

+=

21

15

21

4

21

20333

+=eee

( )anse 321

31 =

dydxxex

y 1

0

1

2

2

12

( ){ }1,10, 2 = yxxyxD

( ) ;0,10, sehinggayxyyxD =

dydxxex

y 1

0

1

2

2

12 dydxxey

y

=1

0 0

2

12 [ ] dyex yy=1

0

02

2

6

dyeyy

=1

0

2

6 [ ] ( ) ( )anseey 1331

0

2

==


15/39


By Arip Paryadi 15

4. S benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh tabung dan bidang y = 1 xa. Menghitung volume S

Volume S adalah volume benda dibawah permukaan dan di atas

daerah R

422

=+ zx

( ) 24, xzyxf ==

( ){ }xyxyxR = 10,10,

( ) =R

s dAyxfV ,

=

1

0

1

0

24

x

dxdyx

[ ] dxyxx

=1

0

1

0

24

( ) dxxx =1

0

241

:misalkan ,sin2 =x ddx cos2=

00 == x

621sin1 1 =

== x

:sehingga ( ) dxxx 1

0

241 ( )

dcos2sin44sin212

6

0

=

( )

dcos2cos4sin21 26

0

=

( )

d26

0

cos4.sin21 =

dsincos8cos4

226

0

=

dsincos82

2cos14 2

6

0

+=

dsincos82cos222

6

0

+=

6

0

3cos

3

82sin2

++=

++=

3

83

2

1

3

83

2

1

3

3

32

3

3

8+

=

( )ansadalahSbendavolumejadi 32

3

3

8: +


16/39


By Arip Paryadi 16

b. Menghitung

5. Menghitung usaha yang dilakukan oleh untuk memindahkanpartikel sepanjang lintasan C yang berupa ruas garis dari (0,0) ke (1,0) dari (1,0) ke(1,1)

dan dari (1,1) ke .(2,0).

Misalkan :

Karena maka , Artinya F konservatif

Karena F konservatif maka harus ada fungsif sehingga

Dengan demikian

Sehingga usaha yang dilakukan gaya F untuk memindahkan partikel sepanjang kurva C adalah :

S

dVz

( )

=2

40,10,10,, xzxyxzyxS

S

dVz

=

1

0

1

0

4

0

2x x

dxdydzz

=

1

0

1

0

4

0

2

2

2

1x x

dxdyz

( )

=

1

0

1

0

24

2

1 xdxdyx

( )[ ] dxyxx

=1

0

1

0

24

2

1

( )( )dxxx =1

0

214

2

1

( )dxxxx +=1

0

32

442

1

1

0

432

4

1

3

14

2

1

+= xxxx

( )ans24

41

4

1

3

114

2

1=

+=

( ) ( )jxyxixyyF 22 22 +++=

, jNiMF +=

,22

xyyM += xyxN 22

+=

,22 xyy

M+=

yx

x

N22 +=

x

N

y

M

=

0=FCurl

Ff

=

jNiMjy

fi

x

f +=

+

Ff

=

)1........(M

x

f=

)2........(N

y

fdan =

( ) xyyx

f21

2+=

( ) ( ) ( )( )23......22 kesubtitusiyCyxxyf ++=

( ) ( ) xyxyCxxy 2'22 22 +=++ ( ) 0' = yC ( ) cyC =

( ) cyxxyyxf ++= 22,

( ) ( ) ( )ansffrdFC

00,00,2 ==


17/39


By Arip Paryadi 17


1. Menghitung dengan D seperti gambar di samping

2. Menghitung

Bentuk D dan fungsi integran menyarankan kita untuk menggunakan koordinat polar.

( ) ( ) 221,10, 2 += xyxxyxD

+D

dAyx

+D

dAyx ( )( )

dxdyyxx

x

+

+=

1

0

22

12

( )

+

+=

1

0

22

1

2

22

1dxyxy

x

x

( ) ( ) ( ) ( )

+

+++=

1

0

4221

2

1122

2

122 dxxxxxxx

( ) ( )

++

+++=

1

0

423221

2

1222

2

122 dxxxxxxxx

( ) ( ) +++=1

0

423

12

1222

1dxxxxx

( ) ( )1

0

53241

10

122

12

1

2

1

4

1

++= xxxx

( )ans60

49

10

1

12

8

2

1

4

1=

+

+=

( ) +

0

1

1

0

2/122

2x

dydxyx

( )

=2

10,01, xyxyxD

( )

=

2

,10, rrD

( ) +

0

1

1

0

2/122

2x

dydxyx =

2

1

0

. ddrrr =

2

1

0

2ddrr

=

2

1

0

3

3

1dr =

23

1d [ ] ( )ans

63

1

2

==


18/39


By Arip Paryadi 18

3. Diketahui

a. menyatakan S dalam koordinat bola

b. menghitung

4. Diketahui

a. memeriksa apakah konservatifmisalkan

akan kita periksa apakah atau dengan kata lain apakah

b. menghitung , C ruas garis dari (1,1) ke (2,1) ke (2,3)

( ) 222222 44,44,20,, yxzyxyxyyzyxS =

++S

dVzyx 222

( ){ } = 0,0,20,,S

++S

dVzyx222 =

0 0

2

0

2 sin. ddd

=

0 0

2

0

3sin ddd

=

0 0

2

0

4 sin4

1dd

=

0 0

sin4 dd [ ]

d=0 0

sin4

d=0

sin4 [ ] ( ) ( )ans

8114cos40

=+==

( )yxF ,

dyxey

edx

x

eye y

xyx

C

)ln()ln( +

( ) jxey

ei

x

eyeyxF y

xyx lnln,

+

=

jNiMF +=

danx

eyeMdengan

yx ,ln

=

= xe

y

eN

yx

ln

0=FCurl

xN

yM

=

,x

e

y

e

y

M yx=

x

e

y

e

x

N yx=

( )ansfkonservatiFnyakesimpulan

FCurlbahwaberartiinix

N

y

Mbahwaterlihat

.

.0.

=

=

( ) FfsehinggayxffungsiadaharusmakafkonservatiFkarena

=,,

jNiMjy

fi

x

f +=

+

Ff

=

)1........(Mx

f=

)2........(N

y

fdan =

( )x

eye

x

fy

x=

ln1 ( ) ( ) ( )2.3.........lnln kesubtitusiyCxeyef yx +=

( ) ( ) xey

eyCxe

y

e yx

yx

ln'ln2 =+ ( ) cyC =( ) 0' = yC


19/39


By Arip Paryadi 19

Dengan demikian (3) menjadi

Sehingga usaha yang dilakukan gaya F untuk memindahkan partikel sepanjang kurva C

adalah :

5. Hitung dengan S bagian paraboloida yang terletak di bawahbidang z = 4

kita dapat menuliskan dari sini:

( ) cxeyeyxf yx += lnln,

( ) ( ) ( )anseecceeffrdFC

2ln3ln)2ln3ln(1,13,23232

=+==

++S

dsyx ,14422 22 yxz +=

( )yxfyxz ,22 =+=

( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++

++S

dsyx ,14422

dAyxyxR

1441442222

++++=

dAffyx yxR

11442222

++++=

( )dAyxR

++= 14422

polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanRbentuk int

( ){ } :20,20, sehinggarrR =

( )dAyxR

++ 14422 ( )

ddrrr +=2

0

2

0

214

( )

ddrrr +=2

0

2

0

34

+=

2

0

2

0

24

2

1drr

[ ] ( )ansd

3618182

0

2

0

===


20/39


By Arip Paryadi 20

PEMBAHASAN UAS 2000 2001KALKULUS 11 DA1314

1. Menghitung integrala. .

Dengan urutan integrasi seperti ini, kita sulit untuk melakukan pengintegralan .

Oleh karena itu kita perlu merubah urutan integasinya.Langkah penting dalam

pengerjaan integral adalah menggambarkan daerah integrasinya

)sin(1

0

13

y

dxdyx

( ) 110 = xy,yx,yD

( ) 010 2xy,xx,yD =

)sin(1

0

13

y

dxdyx )sin(1

0 0

3

2

=x

dydxx ( ) dxsin1

0 0

3

2

=

=x

y

yx

( )( )dx0sin1

0

23

= xx ( )dxsin1

0

32

=

xx

1,1

0,0

33,:misalkan 223

==

==

===

ux

ux

dudxxdxxduxu

( )dxsin1

0

32

xx =1

0 3sin

duu =

1

0

sin3

1udu

( )1

0

cos3

1u= ( )11cos

3

1+= ( )1cos1

3

1=

)sin(1

0

13

y

dxdyx ( ) )(1cos13

1ans=

D

2xyyx ==

x

y

1

1


21/39


By Arip Paryadi 21

b. . G adalah pada bidang XY yang dibatasi oleh y = x, sumbu X danPerhatikan gambar disamping!

Persamaan lingkaran kita nyatakan dalam

koordinat polar dengan

G

ydA2 ( ) 1122

=+ yx

x

y xy =

( ) 11 22 =+ yx

r

polarbentukdalamdaerah

Ggambar

G

( )

=4

0,cos20,

rrG

G

ydA2

,maka

( ) =4

0

cos2

0

sin2

ddrrr

ddrr

=

4

0

cos2

0

2sin2

dr

=

4

0

cos2

0

3

3

1sin2

d

=

4

0

3cos8.3

1sin2

d=4

0

3cossin

3

16 4

0

4cos4

1

3

16

=

( )

= 0cos

4cos

3

4 44

= 12

2

1

3

44

)(14

3

3

4ans=

=

( ) 11 22 =+ yx

sincos rydanrx ==

( ) 11 22 =+ yx ( ) 1sin1cos 222

=+ rr

1sin1cos2cos 2222 =++ rrr

0cos2)sin(cos 222 =+ rr

0cos22 = rr

0)cos2( = rr

cos20 == rr


22/39


By Arip Paryadi 22

2. S adalah benda pejal yang dibatasi dan bidang z = 1.a. Menghitung volume S

Bentuk S menyarankan kita menggunakan koordinat tabung

Sehingga volume S adalah

b. MenghitungDalam koordinat tabung

Sehingga :

225 yxz =

S

dVxy

( ) 251,20,20,, rzrzrS =

==s s

s ddrrdzdVV

sin

cos

ry

danrx

=

=

S

dVxy

=

2

0

2

0

5

1

2r

ddrdzr [ ]

ddrzrr

25

1

2

0

2

0

=

( )

ddrrr =2

0

2

0

215 ( )

ddrrr =2

0

2

0

24

( )

ddrrr =2

0

2

0

34

drr

2

0

2

0

42

4

12

=

( )ansd

842

0

==

=

2

0

2

0

5

1

2

sincosr

ddrrdzrr

[ ]

=

2

0

2

0

5

1

3

2

cossin ddrzrr

( ) =

2

0

2

0

23cossin4 ddrrr

( ) =

2

0

2

0

53cossin4 ddrrr

=

2

0

2

0

64 cossin6

1drr

=

2

0cossin6

6416 d

( )ans0sin2

1

3

162

0

2=

=


23/39


By Arip Paryadi 23

3. DiketahuiMisalkan :

a. memeriksa apakah konservatifuntuk mengetahuinya akan kita periksa apakah

atau dengan kita lain akan kita periksa apakah

terlihat bahwa

ini menunjukkan bahwa atau F konservatif (ans).

b. Menghitung , dengan C sembarang lintasan dari (0,0,0) ke (1,0,1)karena F konservatif, maka ada fungsif(x,y,z) sehingga

( ) ( ) kxyjexzieyzF yx +++=

C rdF

.

0=FCurl

( ) ,xeyzM = ( ),yexzN += xyP =

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

=

=

=

,,

zy

M=

zx

N=

yz

M=

yx

P=

x

z

N=

xy

P=

,zx

N

y

M=

=

,y

x

P

z

M=

=

x

y

P

z

N=

=

0=FCurl

Ff =

kdz

fj

dy

fi

dx

ff

+

+

=

= Ff

),1.......(Mdx

f=

),2.........(N

dy

f=

)3.........(P

dz

fdan =

( ) Mdx

f=

1 xeyz

dx

f =

( ) ( )4.........,zyCeyzxf x ++=

( ) N

dy

f=

2 ( ) y

y exzzyCzx +=+ ,

( ) yy ezyC = ,

( ) ( )zCezyC y += ,

( ) Pdz

f=

3

( ) ( ) )5..(..........4 zCeexyzfmenjadisehingga yx +++=

( ) xyzCxy z =+

( ) 0= zCz

( ) czC =

( ) ceexyzzyxfmenjadisehingga yx +++= ),,(5

:makafkonservatiFkarena

( ) ( )cce ++++= 1111( ) ( )0,0,01,0,1 ffdrFC

=

)(11

anse =


24/39


By Arip Paryadi 24

4. Diketahui permukaan G adalah bagian bidang yang terletak di oktan pertamaa. Menghitung

misalkanf(x,y) = z = 4-x-2y

Perhatikan gambar di samping,

Sehingga

42 =++ zyx

G

dsxz

( )

=

2

40,40,

xyxyxR

42 =++ zyx

G

dsxz ( ) ++=R

yx dAffyxx 12422

( ) ( ) ( )

++=

4

0

2

4

0

2212124

x

dxdyyxx

=

4

0

2

4

0

2)24(6

x

dxdyxyxx

( )[ ] dxxyyxxx

y

2

4

0

4

0

2246

=

=

( ) dxxxxxx

=

4

0

2

2

24

2446

dxx

xx

x

=

4

0

22

4

)4(

2

)4(6

( ) dxxx =4

0

24

4

16 ( )dxxxx 2

4

0

8164

6+=

( )dxxxx 324

0

8164

6+=

4

0

432

4

1

3

88

4

6

+= xxx

( )ans6316

3

64

.4

6==


25/39


By Arip Paryadi 25

PEMBAHASAN UAS 2000 2001 KALKULUS II DA1323

1. Menentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya dari Menentukan titik kritis

Karena f terdefini maka titik kritis yang mungkin adalah pada titik stationer yaitu

jika

Jadi kita mempunyai 2 titik krtis yaitu (0,0) dan (3,9) (ans)

Menentukan nilai ekstrim dan jenisnyaUntuk menentukan perlu dilakukan pengujian

Titik kritis fxx fyy fxy D

(0,0) 0 1 -3 -9

(3,9) 18 1 -3 9

- Titik (0,0) bukan merupakan titik ekstrim, tetapi titik pelana (D < 0)- Titik (3,9) berupakan titik berupakan titik maksimum lokal karena D > 0 dan fxx > 0 (ans)

2. a. Menghitung dengan S adalah daerah yang dibatasi oleh , y = 1 danx = 0 .

( ) 2, Ryx

0=f 0 =+ jfif yx

( ) 03)33( 2 =++ jyxiyx

( ) 232

13, yxyxyxf +=

( ) ( ) ( )2......031.....0)33( 2 =+= yxdanyx

( ) ( )1.32 kesubstitusixydidapatdari =

0)93(2

= xx 0)3(3 = xx

30 == xx

93

00

==

==

yx

yx

3,1,6 === xyyyxx ffxf

S

dAy )sin(3

xy =

( ) 10,0, 2 = yyxyxS

S

dAy )sin(3 ( ) =

1

0 0

3

2

siny

dydxy

( )[ ] dyxyy

2

0

1

0

3sin=

( )dyyy=1

0

32sin

( ) ( ) ( )ansy 1cos13

1cos

3

1 1

0

3==


26/39


By Arip Paryadi 26

b. menentukan volume benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaandan bidang z = 1.

Bentuk S menyarankan kita menggunakan koordinat tabung

Sehingga volume S adalah

3. Diketahui merupakan medan vector konservatif . Tentukanusaha untuk memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke

a. Dengan menggunakan fungsi potensialnyaKita dapat menuliskan dengan dan

Fungsi potensial dari F adalahf(x,y) sehingga

Karena diketahui bahwa F konservatif, maka besarnya usaha yang dilakukan F untuk

memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke adalah :

b. Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari (0,1) ke (1,0) sedangkan C2 lintasan dari(1,0) ke

Karena menurut hipotesisnya F konservatif maka F bebas lintasan artinya usaha yang

dilakukan F untuk memindahkan partikel Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari

(0,1) ke (1,0) dan C2 lintasan dari (1,0) ke adalah :

2210 yxz =

( ) ( ) ( )jyeiyeyxF xx cossin, +=

( )2

,1

( )2

,1

( ) jNiMyxF , +=

( )yeM x sin= ( )yeN x cos=Ff

=

Ff

=

( ) yex

f x sin1 =

jNiMjy

fi

x

f +=

+

)1........(Mx

f=

)2........(N

y

fdan =

( ) ( ) ( )23......sin kesubstitusiyCyef x +=

( )( )

yey

yCye

xx coscos2 =

+

( )0=

y

yC( ) cyC =

( ) ( ) cyeyxf x += sin,3

( )2

,1

( ) ( ) ( ) ( )ansecceffdrFWC

=+=

== 0,0

2,1

2,1

( ) ( ) ( ) ( )ansecceffdrFWCC

=+=

==

+

0,12

,1

21

( )

=2

101,2

0,30,, rzrzrS

==s s

s ddrrdzdVV

=

2

0

3

0

10

1

2

r

ddrdzr [ ]

ddrzrr

210

1

2

0

3

0

=

( )

ddrrr =2

0

3

0

2 110 ( )

ddrrr =2

0

3

0

29

( )

ddrrr =2

0

3

0

39

drr

3

0

2

0

42

4

1

2

9

=

d

=

2

0 481

281 ( )ansd

881

481 2

0

==


27/39


By Arip Paryadi 27


1. Diketahui jika dan jikaa. Menentukan fx(1,2), fy(1,2)

Substitusi (1) ke (2) menghasilkan :

Substitusikan hasil ini ke (1) menghasilkan :

b. menentukan turunan berarah dari f(x,y) di titik (1,2) dalam arah ke titik (2,3)

2. Diketahui permukaana. menentukan persamaan bidang singgung di titik (2,1,1)

misalkan

maka persamaan bidang singgung di titik (2,1,1) adalah :

b. menentukan persamaan garis normal di titik (2,1,1)

2)2,1( =fDu jiu

5

4

5

3= 4)2,1( =fDv jiv

5

3

5

4+=

102222

=++ zyx

2)2,1( =fDu ( ) ( ) 22,1

5

4.2,1

5

3= yx ff

4)2,1( =fDv ( ) ( ) ( )2..........42,153

.2,15

4=+ yx ff

( ) ( ) ( )1.......2,15

42

3

52,1

+= yx ff

( ) ( ) 42,15

32,1

5

42

3

5.

5

4=+

+ yy ff

( ) ( ) 42,15

32,1

15

16

3

8=++ yy ff

( ) 3842,11525 =yf

( )3

42,1

3

5=yf

( ) ( )ansfy5

42,1 =

( ) ( )ansfx5

222,1 =

( ) ( )

( ) ( )ji

jiu

2

1

2

1

2312

2312

22

+=

+

+=

( ) ( ) ( ) ( )ansfffD yxu 25

132

10

42

10

222,1

2

12,1

2

12,1 =+=+=

( ) 102,, 222 =++= zyxzyxF

( ) xzyxFx 4,, =

( ) yzyxFy 2,, =

( ) zzyxFz 2,,=

( ) 81,1,2 =xF

( ) 21,1,2 =yF

( ) 21,1,2=

zF

( )( ) ( )( ) ( )( ) 011,1,211,1,221,1,2 =++ zFyFxF zyx

( ) ( ) ( ) ( )anszyx 0121228 =++

( )anszyx

2

1

2

1

8

2 =

=


28/39


By Arip Paryadi 28

3. menghitung

a.

bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar

Kasus tidak layak

b. .Dengan urutan integrasi seperti ini, kita sulit melakukan pengintegralan. Oleh karena itu kita

perlu merubah susunan integrasi menjadi

4. Diketahui S benda pejal di oktan 1 yang dibatasi oleh dan bidang z = 2xa. menghitung volume S

dalam koordinat tabung,

( ) +

1

1

1

0

2/122

2

4x

dydxyx

1

0

12

dydxex

y

22yxz +=

( )

=210,11, xyxyxR

( ){ } = 0,10, rrR

( ) +

1

1

1

0

2/122

2

4x

dydxyx ( ) drdrr

=

1

0 0

2

12

4

( ) [ ] drrr

0

1

0

2

12

4

= ( ) drrr

=

1

0

2

12

4

( ) ( )1

0

2

12

42

12 = r

( )1

0

2

12

4= r

( ) }10,0, = yyxyxR

1

0

12

dydxex

ydydxe

yy

=1

0 0

2

[ ] dyxey

y

0

1

0

2

=

dyyey

=1

0

2

( ) ( )anseey 12

1

2

11

0

2

=

=

( ) cos2,0,cos20,, 2 rxrrzrS =

=S

dVSvolume

ddrdzrr

r

=2

0

cos2

0

cos2

2

[ ]

ddrzrr

r

cos22

0

cos2

02

= ( )

ddrrrr =2

0

cos2

0

2cos2

( )

ddrrr =2

0

cos2

0

32 cos2

drr

cos2

0

2

0

43

41cos

32 =

d44

2

0

cos4cos3

16= =

2

0

4cos

3

4

d

+=

2

0

2

2

2cos1

3

4

d

( ) ++=2

0

22cos2cos21

3

1

d

+++=

2

0 2

4cos12cos21

3

1

d

( )ans4

4sin8

1

2

12sin

3

12

0

=

+++=


29/39


By Arip Paryadi 29

b. menghitung

5. a. Hitung , C adalah kurca y = x2 , 0 x 1

b. Hitung

kita dapat menuliskan

Karena bentuk lintasan dari (0,0) ke (1,1) maka kita harus periksa dulu periksa duluapakah F konserrvatif atau tidak. Artinya harus kita periksa apakah Curl F = 0 atau

dengan kita lain akan kita periksa apakah

Terlihat bahwa ini berarti bahwa Curl F = 0 artinya F konservatif.

+C

dyxydx 2

( ) ( ) ++ )1,1(

)0,0(

dyexdxey yx

S

xydV

S

xydV

ddrdzrrrr

r

=2

0

cos2

0

cos2

2

.sin.cos

[ ]

ddrzrr

r

cos22

0

cos2

0

3

2

cossin =

( )

ddrrrr =2

0

cos2

0

23cos2cossin

( )

ddrrr =2

0

cos2

0

524cossinsincos2

drr

r

cos2

0

2

0

625 cossin6

1sincos

5

2

=

=

d

=

2

0

77cossin

6

64sincos

5

64

d=2

0

7sincos

15

32( )ans

15

4cos

8

1.

15

32 2

0

8=

=

xdxdy

yxy

2

102

=

=

+C

dyxydx2

+=1

0

222. xdxxdxx

( )ansxxdxxx

6

5

2

1

3

1

2

1

3

1)2(

1

0

431

0

32=+=

+=+=

( ) ( ) ++ )1,1(

)0,0(

dyexdxey yx

yxexNeyM +==

,

jNiMFdengan +=

x

N

y

M

=

1=

y

M1=

x

N

x

N

y

M

=


30/39


By Arip Paryadi 30

Setelah kita mengetahui bahwa F konservatif , maka kita sekarang dapat memilihsembarang lintasan yang melalui (0,0) dan (1,1) misalnya y = x sehingga

NB : kita dapat menghitung dengan mencari fungsi

potensilnya terlebih dahulu.

dxdyxy ==

( ) ( ) ++ )1,1(

)0,0(

dyexdxey yx dxexdxex xx )()(1

0

++=

dxeexxx )2(

1

0

+=

[ ] ( ) ( )

( )ansee

eeeex xx

1

111

1

11

0

2

+=

+++=++=

( ) ( ) ++ )1,1(

)0,0(

dyexdxey yx


31/39


By Arip Paryadi 31


1. Menghitung :a. . dengan

Dengan susunan integrasi seperti di atas, kita silit melakukan pengintegralan, sehingga kita

harus merubah susunan integrasinya

Perhatikan gambar D disamping !

D dapat kita tulis menjadi :

b.

2. Menghitung dengan S adalah benda pejal yang terletak di oktan pertama yangdibatasi oleh Dan bidang y = 4.

D

ydAe

2

( ){ }1,10, = yxxyxD

++=

1

1

1

122

2

2 1

1x

x dydxyxl

( ){ } :10,0, sehinggayyxyxD =

D

y dAe2

=1

0 0

2y

ydydxe [ ] dyxe yy=

1

0

0

2

dyyey

=1

0

2

( ) ( )anseey 12

1

2

11

0

2

=

=

( ) :11,11, 22 menjadipolarkoordinatdalamxyxxyxD

=

( ){ } :20,10, sehinggarrD =

++

1

1

1

1

22

2

2 1

1x

x

dydxyx

+

=

2

0

1

02

1

1ddrr

r

misalkan

+

=

1

0

2

02

1

1

drdrr

[ ] drr

r

2

0

1

021

+

= drr

r

+=

1

02

1

2

,1 2ru += drrdu 2=

21

10

==

==

ur

ur

drr

r

+

1

021

2 [ ] 2lnln 21

2

1

=== uu

du

( )ansl 2ln=

S

dVxyz

24 xz =

( ) 240,40,20, xzyxyxS =

S

dVxyz

=2

0

4

0

4

0

2

x

dxdydzxyz dxdyzxyx

2

4

0

2

0

4

0

2

2

1

=

( ) dxdyxxy 222

0

4

0

42

1= ( )

=

2

0

4

0

222

2

14

2

1dxyxx

( ) =2

0

2244 dxxx ( )

2

0

3246

14

= x ( ) ( )ansx

3

1284

6

14

2

0

32=

=


32/39


By Arip Paryadi 32

3. menghitung besarnya usaha/kerja yang dilakukan oleh gayaUntuk memindahkan partikel

sepanjang C dengan C ruas garis dari titik ( 0,0,0) ke (2,3,0).

Persamaan posisi pada kurva C dapat dinyatakan sebagai :

4. Diketahui :a. memeriksa apakah konservatif dan menentukan fungsi potensial dari jika F

konservatif


Akan kita periksa apakah atau dengan kata lain apakah

Menentukan fungsi potensial bagi FKarena F konservatif, maka harus ada fungsi f(x,y) sehingga

( ) ( ) ( ) ( )kzyxjzyxizyxzyxF 232,, ++++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10,32

000302000

+=

+++++=

tjtit

kjitkjitr

( ) jdtidttrd 32 +=

0,3,2 === ztytx

( ) ktjtittF 745 +=

:adalahFdilakukanyangusahabesarnya

=C

rdFW

( ) ( ) ++=1

0

32745 jdtidtktjtit

joulettdtdttdtt 12

122)1210(

1

0

21

0

1

0

=

===

( )yxF ,

( )yxF ,

( ) ( ) jxyiyxxyxF 3

1,323

+=

0=FCurl

x

N

y

M

=

,2xy

M=

2x

x

N=

( )ansfkonservatiFnyakesimpulan

FCurlbahwaberartiinixN

yMbahwaterlihat

.

.0.

=

=

( ) denganjNiMyxF , +=

( ) danyxxM 23 =

=

3

3

1xyN

Ff =

jdy

fi

dx

ff

+

=

),1.......(Mdx

f=

),2.........(N

dy

f=

( ) Mdx

f=

1

= Ff

yxxdx

f 23=

( ) ( ) ( )23........34

1 34kesubtitusiyCx

yxf +=

( ) Ndy

f=

2 ( ) 33

3

1'

3

1yyyCx =+

( ) yyC = '

( ) cyyC += 22

1

( ) ( ) ( )anscyyxxyxfadalahFuntukpotensialfungsinbersasarka ++= 2342

1

3

1

4

1,:3


33/39


By Arip Paryadi 33

b. Menghitung dengan C berupa kurva y = x2 + 1 dari titik (0,1) ke (1,2).

5. Menghitung luas permukaan G jika G adalah bagian dari paraboloida yangterletak di atas bidang XOY.


C

drF

:)int(.

min,

sehinggaasanlbebasFlitasannyapadabergantungtidak

partikeldahkanmeuntukFdilakukanyangusahamakafkonservatiFkarena

C

drF

( ) ( )1,02,1 ff =

( )ansjoulecc 1213

2

12

3

2

4

1=

+

++=

221 yxz =

( )GAGpermukaanluas =

( ) dAffGAR

yx ++= 122

( )

=2

0,10,

rrR

( )yxfyxz ,1 22 ==

( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++

dAyx

R

++= 14422

polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk

dAyxR

++ 14422 drdrr

+=1

0

2

0

214

[ ] drrr2

0

1

0

214

+=

drrr +=1

0

2 142

( )1

0

23

2 143

2

8

1.

2

+= r

( )ans

= 15.

242

3


34/39


By Arip Paryadi 34


1. Diketahui

a. Gambar daerah integrasi

b. MenghitungIdengan urutan integrasi seperti di atas, kita sulit melakukan pengintegralan, maka kita harus

merubah urutan integrasi

2. Menghitung luas permukaan paraboloida yang terletak di antara silinderdan

kita dapat menuliskan dari sini :

( ) 1,10, = yxxyxD

( ) dxdyyIx

=1

0

13sin

( ) dxdyyIx

=1

0

13

sin ( ) =1

0 0

3

2

siny

dydxy

( ){ }10,0, 2 = yyxyxD

( )[ ] dyxy y=1

0 0

3

2

sin ( )dyyy=1

0

32 sin

( ) ( )ansy

3

2cos

3

1 1

0

3==

922 =+ yx

22yxz +=

422 =+ yx

( )yxfyxz ,22 =+=

( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++:adalahdicariyangpermukaanluas

dAffdsAS R

yx ++== 122

dAxxR

++= 14422

polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanRbentuk int

( ){ } :20,32, sehinggarrR =

dAxxR

++ 14422 +=

3

2

2

0

2 14

drdrr

[ ] drrr +=3

2

2

02

14

drrr +=3

2

2142

( )3

2

2

32 14

3

2

8

12

+= r ( )ans

= 2

3

2

3

17376


35/39


By Arip Paryadi 35

3. Diketahui benda pejal S yang dibatasi oleh permukaan bola dana. Hitung volume S

b. Menghitung

4. Menghitung dengan C adalah ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1)Ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1) dapat dinyatakan dengan :

S

dV

8222

=++ zyx22 yxz +=

( )

+=222222 8,44,2,, yxzyxxyxxzyxS

tabungkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanSbentuk int

( ) :8,20,20,, 2 sehinggarzrrzrS =

( )

ddrdzrdVSVr

rS

==

2

0

2

0

8 2

[ ]

ddrzrr

r

282

0

2

0

=

ddrrrr

=

2

0

2

0

28

ddrrrr =2

0

2

0

228

( )

drr

2

0

2

0

32

3

2

318

32.

21

=

d

+=

2

0

2

3

32

3

8243

1

( ) ( ) ( )ansd 123

3216216

3

12

0

==

( ) ( )ansSbendavolumemerupakandVS

123

32=

( ) ( ) ,dyyxdxyxc

22 ++

13

1

11

1

=

xy11 += xy

2+= xy

dxy =

( ) ( )dyyxdxyxc

22 ++ ( )( ) ( )( )( ) ++++=3

1

2222 dxxxdxxx

( )+=

3

184 dxx [ ]

3

1

2

82 xx +=

( ) ( ) ( )ans0822418 =++=


36/39


By Arip Paryadi 36

5. Diketahuia. menentukan f sehingga

Kita dapat menuliskan dengan

b. Menghitung jika c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke(2,1,-1)

Karena c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke (2,-1,-1) maka kita harus periksa duluperiksa dulu apakah F konserrvatif atau tidak. Artinya harus kita periksa apakah Curl F =

0 atau dengan kita lain akan kita periksa apakah

terlihat bahwa

ini menunjukkan bahwa atau F konservatif

Ff

=

( ) ( ) ++c

ydzdyzxdxxy 44322

( ) ( ) ( ) kyjzxixyz,y,xF

4432 2 ++=

( ) kPjNiMzyxF

++=,, ( ),32 += xyM ( ),42 zxN = yP 4=

kdz

fj

dy

fi

dx

ff

+

+

=

= Ff

),1.......(Mdxf = ),2.........(N

dy

f= )3.........(P

dz

fdan =

( ) Mdx

f=

1 32 +=

xy

dx

f

( ) ( ) ( ) ( )24.......,3, 2 kesubtitusizyCxyxyxf ++=

( ) Ndy

f=

2

( )zx

y

zyCx 4

, 22=

+

( )z

y

zyC4

,=

( ) ( )zCyzzyC += 4,

( ) ( ) ( )35.......432 kesubstitusizCyzxyxfsekarang ++=

( ) Pdz

f=

3

( )y

z

zCy 44 =

+

( )0=

z

zC

( ) czC =( )anscyzxyxf ++= 432

( ) ( ) ++c

ydzdyzxdxxy 4432 2 =c

drF

yPzxNxyM 4,4,32 2 ==+=

kPjNiMFdengan ++=

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

=

=

=

,,

xy

M2=

xx

N2=

0=

z

M

0=

x

P4=

z

N

4=

y

P

,2xx

N

y

M=

=

,0=

=

x

P

z

M4=

=

y

P

z

N

0=FCurl


37/39


By Arip Paryadi 37

Setelah kita mengetahui bahwa F konservatif, maka kita dapat menentukan sembaranglintasan r(t) yang melalui (3,-1,2) dan (2,1,-1) misalnya garis lurus yang melalui (3,-1,2)

dan (2,1,-1)

6.

menghitung : dengan

Terapkan teorema green!

.

( ) ( ) ( ) ( )( )kjitkjitr 21113223 +++++=

( ) 10

)32(12)3( ++= tktjtit),3( tx = ( ),12 = ty )32( tz =

dtdx = ,2dtdy = dtdz 3=

( ) ( ) ++c

ydzdyzxdxxy 44322

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) dttdtttdttt 31242324331232 21

0

+++=

( ) [ ] ( )anstttdttt 671127226 10231

0

2=+=+=

( )

C dyxydxyxx

223

922

=+ yx:C

( ) C

dyxydxyxx223

+=C

dyNdxM223

xyNdanyxxMdengan ==

+C

dyNdxM

=

R

dAy

M

x

N

( ) C

dyxydxyxx223 ( )( )

=

R

dAxy22 ( ) =

R

dAyx 22

polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk

( ){ } 20,30, = rrR

( ) R

dAyx 22 ( ) =

2

0

3

0

222 sincos ddrrr

=

2

0

3

0

32cos ddrr

=

2

0

3

0

4

4

12cos dr

=

2

0

2cos4

81d

( )ans02sin2

1

4

812

0

=

=


38/39


By Arip Paryadi 38


1. Menghitung

Bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar

2. Menghitung dengan C kurva tertutup yang dibentuk oleh y = 0, x = 2 dany = x

2/2.


Menurut teorema green

R adalah daerah yang dibentuk di dalam kurva C

3. Diketahuia. Akan kita tunjukkan bahwa F adalah medan konservatif

Kita dapat menuliskan dengan

dan

akan kita tunjukkan bahwa

terlihat bahwa artinya Curl F = 0 ,kesimpulannya F

konservatif (ans)

( )

+=

1

1

1

0

22

2

sinx

dxdyyxI

( ) ( ) +=+

R

x

dAyxdxdyyx 221

1

1

0

22 sinsin

2

( ){ } = 0,10, rrR

( ) =

0

1

0

2sin ddrrr( ) +

R

dAyx22

sin

( )=

=

0

1

0

2cos

2

1dr

r

( ) ( ) ( )ansd 1cos12

11cos2

1

0

==

dyxdxyIC

+=

xNdanyMdenganNdyMdxdyxdxyCC

==+=+

dyxdxyC

+ +=C

NdyMdx dAy

M

x

N

R

=

( )

=2

0,20,2

xyxyxR

dAy

M

x

N

R

dxdy

yx

x

=

2

0

2

0

2

2

1

2

1

dxyx

y

x

y

=

=

2

0

2

0

2

2dx

x

x

x

24

22

0

2

=

xdxx2

1

4

12

0

2

3

= ( )ansxx 25

322

10

1

22

1

5

2

4

12

52

0

22

5

==

=

( ) ( ) ( ) ( )keyejexeiezezyxF xzzyyx ,, ++++=

( ) kPjNiMzyxF

++=,, ( ),yx ezeM += ( )zy exeN =

( )xz

eyeP +=

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

=

=

=

,,

ye

y

M=

,ye

x

N=

,xe

z

M=

,xe

x

P=

,ze

z

N=

ze

y

P=

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

=

=

=

,,


39/39


b. Menentukan fungsi potensial dari FKarena F konserrvatif maka ada fungsi potensial f (x,y,z) sehingga

c. Menentukan usaha yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik (0,0,0) ketitik (1,1,1)

Karena F konservatif, maka usaha yang dilakukan adalah :

4. Menghitung dengan G adalah permukaan kerucut antara bidang z = 1dan z = 2

Kita dapat menuliskan . dari sini :

Ff

=

kdz

fj

dy

fi

dx

ff

+

+

=

),1.......(M

dx

f=

),2.........(N

dy

f=

)3.........(P

dz

fdan =

= Ff

( ) Mdx

f=

1 yx eze

dx

f+=

( ) ( ) ( ) ( )24.......,,, kesubstitusizyCxezezyxf yx ++=

( ) Ndy

f=

2

( ) zyyexe

y

zyCxe =

+

,

( ) ze

y

zyC=

,

( ) ( )zCyezyC z += ,

( ) ( ) ( ) ( )35.......,, kesubstitusizCyexezezyxfsekarang zyx ++=

( ) Pdz

f=

3

( ) zxzxyee

z

zCyee +=

+

( )0=

z

zC

( ) czC =

( ) ( )anscyexezezyxfsekarang zyx ++=,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ansjouleecceeeffdrFWc

=++=== 0,0,01,1,1

G

dSz2 22

yxz +=

( )yxfyxz ,22 =+=

211

2

22

2

22

22=+

+

+

+

=++

yx

y

yx

xff yx

G

dSz 2 ( ) +++=R

yx dAffyx 12222 ( ) +=

R

dAyx 222

( ){ } sehinggarrR 20,21, =

( ) +R

dAyx222 =

2

0

2

1

2.2 ddrrr =

2

0

2

1

32 ddrr

=

2

0

2

1

4

4

12 dr

polartubnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk

1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii

Documents