PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Persamaan Kuadrata. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk ax2+bx+c=0

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah

koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.

Contoh:1. x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -42. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 03. x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 24. x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2

b. Cara Menyelesaikan Persamaan KuadratPersamaan ax

2+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat ax

2+bx+c=0 .

Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara:1. Memfaktorkan2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna3. Menggunakan rumus kuadrat

1. MemfaktorkanContoh: Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!

a. x2 – 9 = 0b. x

2+3 x=2=0

c. 2 x2−x−1=0

Jawab:a. x2 – 9 = 0⇔( x+3 )( x−3 )=0⇔ x=−3 atau x=3

b. x2+3 x=2=0

x2+3 x+2=0

1

<=> ( x+2 ) (x+1 )=0

<=> ( x+2 )=0 atau ( x+1 )=0 <=> x=−2 atau x=−1

c. 2 x2−x−1=0

⇔(2x+1)( x−1 )=0⇔(2x+1)=0 atau ( x−1)=0

⇔ x=−12 atau x=1

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurnaBentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x – 3)2

merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk x2+2 x−7 dapat dimanipulasi aljabar sbb.

x2+2 x−7⇔( x2+2x+1 )−1+7⇔( x+1 )2−8 memuat bentuk kuadrat sempurna ( x+1)2

Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurnasemacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh:Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!a. x

2+3 x+2=0

b. x2−25=0

Jawab : a. x

2+3 x+2=0

<=> x2+3 x=−2

<=> (x+ 3

2 )2=−2+ 9

4

<=> (x+ 3

2 )2=−8

4+ 9

4

2

<=> (x+ 3

2 )2=1

4

<=> (x+ 3

2 )=±√ 14

<=> x=±1

2−3

2<=> x=−2 atau x=−1

b. x2−25=0

⇔ x2=25

⇔ x=±√25 ⇔ x=±5

3. Menggunakan rumus kuadratMetode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2+bx+c=0dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat ax 2+bx+c=0 .

Prosesnya sbb:ax 2+bx+c=0

⇔a(x2+ bax )+c=0

⇔a(x2+ bax+ b2

4 a2 )+(− b2

4 a )c=0

⇔a(x+ b2a )2− b2

4a+c=0

⇔a(x+ b2a )2= b2

4a−c

⇔(x+ b2a )

2=b

2−4ac4 a2

⇔(x+ b2a )

2=± 1

2a √b2−4ac

3

⇔ x=− b2a

± 12a √b2−4ac

⇔ x=−b±√b2−4ac2a

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.Misalkan a, b, c bilangan rela dan a≠0 maka akar-akar persamaan kuadrat ax 2+bx+c=0 ditentukan oleh:

x12=−b±√b2−4ac

2a

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!a. x2+3 x+2=0

b. 3 x2−6 x+2=0

Jawab :a. x2+3 x+2=0<=> a = 1, b = 3, c = 2

<=> x12=

−3±√32−4 .1 .22. 1

<=> x12=

−3±√12

<=> x=−2 atau x=−1

b. 3 x2−6 x+2=0

a = 3, b = -6, c =2

4

⇔ x12=6±√(−6 )2−4 .3 .2

2 . 3

⇔ x12=6±√36−24

6=6±√12

6=6±2√3

6

x=6+2√36

=1+ 13 √3

atau x=6−2√3

6=1−1

3 √3

c. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2+bx+c=0(a≠0 ) adalah

x12=−b±√b2−4ac

2a

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 – 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 , ditentukan oleh nilai

Diskriminannya (D) yaitu D =b2−4ac

Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbedaUntuk D berupa bilangan kuadrat (k

2) akarnya rasional

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

Contoh : Tanpa menyelesaikan persamaan 2 x

2+x−3=0 tentukan jenis akar-akarnya ! Jawab : 2 x

2+x−3=0<=> D=b−4ac

= 12−4 . 2 .(−3 )

= 25=52

Jadi 2 x2+x−3=0 mempunyai dua akar berlainan dan rasional

d. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax 2+bx+c=0 (a≠0 )adalah

5

x1=−b+√D

2a atau x2=

−b−√D2a

Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

x1+x2=−b+√D

2a+−b−√D

2a

=−b+√D−b−√D2a

=−ba

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

x1⋅x2=(−b+√D2a )(−b−√D

2a )=b

2−D4 a2

=b2−(b2−4 ac )

4 a2 =4 ac4 a2 = c

a

ContohJika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2 x2−3 x−5=0 , tentukan nilai dari :x12+x22

Jawab :

x12+x22=( x1+x2)

2−2 x1x2=( 32 )

2−2(−5

2 )=94+5=7 1

4

e. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua caraa. Memakai faktorApabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

6

Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus

( x−x1 )(x−x 2 )=0b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akarPersamaan kuadrat bila kedua ruas dibagi dengan a diperolehx2+ b

ax+ ca=0

⇔ x2−(−ba) x+ c

a=0

⇔ x2−( x1+x2 )x+x1 x2=0

Jadi persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk:

x2−( x1+x2 )x+x1x2=0

Contoh :Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 !Jawab :a. Cara 1

( x−5 )(x−(−2) )=0( x−5 )(x+2 )=0x2−3x−10=0

b. Cara 2x2−(5+(−2 )) x+(5.(−2 ))=0x2−3x−10=0

f. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainContoh :Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x

2+x−4=0

Jawab :a. Cara 1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2+x−4=0 adalah x1 dan x2 maka

x1+x2=−1 dan x1 .x2=−4 . Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x

2+x−4=0 dimisalkan α dan

β, maka α=2+x1 dan β=2+x2 . Jadi: didapat jumlah akar

7

α+β=2+x1+2+x2=4+( x1+x2 )=4+(−1 )=3 dan hasil kali akar α . β=(2+ x1 )(2+x2 )=4+2( x1+x2 )+x1 . x2=4+2 (−1 )+4=−2Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :x2−( jumlah akar )x+(hasil kali )=0

<=> x2−(3 )x+(−2)=0

<=> x2−3x−2=0

b. Cara 2( x−2 )2+( x−2 )−4=0

<=> x2−4 x+4+x−2−4=0

<=> x2−3x−2=0

II. Pertidaksamaan KuadratBentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:1. ax 2+bx+c<0

2. ax 2+bx+c≤0

3. ax 2+bx+c>0

4. ax 2+bx+c≥0

dengan a, b, c bilangan real dan a≠0 .

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadratFungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f ( x )=x

2−3 x−4 grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan y=x

2−3 x−4 . Sketsa grafik parabola y=x

2−3 x−4 diperlihatkan pada gambar berikut:

8

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.

Jadi x2−3x−4>0 dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

Jadi x2−3x−4=0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.Jadi x2−3x−4<0 dalam selang – 1 < x < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x )=x2−3 x−4

atau parabola y=x2−3 x−4 dapat digunakan untuk menentukan

penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a. Pertidaksamaan kuadrat x2−3x−4>0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|−1<x<4 , x∈ R}

9

b. Pertidaksamaan kuadrat x2−3x−4≥0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|−1≤x≤4 , x∈R }

c. Pertidaksamaan kuadrat x2−3x−4<0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|x<−1 atau x>4 , x∈R}

d. Pertidaksamaan kuadrat x2−3x−4<0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|x≤−1 atau x≥4 , x∈R}

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat f ( x )=ax

2+bx+c=0 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax 2+bx+c<0 ; ax 2+bx+c≤0 ; ax 2+bx+c>0 ; ax 2+bx+c≥0

Contoh:Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x )=x2−2x+1 , carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.a. x2−2x+1<0

b. x2−2x+1≤0

c. x2−2x+1>0

d. x2−2x+1≥0

10

Jawab:Sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x )=x

2−2x+1 , atau parabola y=x2−2 x+1 , diperlihatkan pada gambar berikut:

a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2−2x+1<0 adalah Himpunan kosong ditulis φ

b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2−2x+1≤0 adalah HP={x|x=1}

c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2−2x+1>0 adalah HP={x|x∈ R dan x≠1}

d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2−2x+1≥0 adalah HP={x|x≤1 atu x≥1 , x∈R } dapat juga ditulis HP={x|x∈ R}

b. Dengan garis bilanganSebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan x 2 −3 x−4>0

Langkah 1Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri

pertidaksamaan

x 2 −3 x−4=0⇔( x+1 )( x−4 )=0⇔ x=−1 atau x=4

11

Langkah 2Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan

Langkah 3Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.Misalnya:x=−2 maka nilai dari x

2 −3 x−4=(−2 )2−3(−2)−4=6 sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

x=1 maka nilai dari x2 −3 x−4=(1)2−3(1)−4=−6 sehingga tanda

dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0

x=5 maka nilai dari x2 −3 x−4=(5)2−3(5 )−4=6 sehingga tanda

dalam interval x > 4 (+) atau > 0

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x 2 −3 x−4>0 adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP=¿¿ atau x > 4}

III. Pertidaksamaan Rasional

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i. 1x−1

<0

ii. x+1x−2

≤0

iii. 2x−3x+1

>0

iv. x2−4x2−x−2

≥0

12

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional

x+1x−3

<0

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.

Langkah 1Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol

pada bagian penyebut: x – 3 = 0 x = 3.

Langkah 2Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada

diagram garis bilangan.

Langkah 3Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.

Misal x = -2 maka nilai dari x+1x−3

=−1−4

=14 sehingga tanda dalam

interval x < -1 (+) atau >0.

x = 0, maka nilai dari x+1x−3

= 1−3

=−13 sehingga tanda dalam interval -

1<x<3 (-) atau < 0.

x = 4, maka nilai dari x+1x−3

= 1−3

= 4+14−3

=5 sehingga tanda dalam

interval –x > 3 (+) atau > 0.

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

13

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan x+1x−3

<0 adalah -1 < x < 3 dan

himpunan penyelesaiannya adalah HP={x|−1<x<3}

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari x2−xx+2

>0 !

Jawab :

Harga nol pembilang Harga nol penyebutx2−x=0 x+2=0x ( x−1)=0 x=−2x1=0∨x2=1 Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0

atau x > 1

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari x2−4 x+3x2+x−6

≥0

Jawab:Harga nol pada pembilangx2−4 x+3=0⇔( x−3)( x−1 )=0⇔ x=3 atau x=1

Harga nol penyebutx2+x−6=0⇔( x+3 )( x−2)=0⇔ x=−3 atau x =2

14

Jadi himpunan penyelesaian dari x2−4 x+3x2+x−6

≥0 adalah HP=¿¿

atau 1≤x<2 atau x >3}

IV. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !Jawab :

A

x+4x

B x+2 C

AB2+BC2=AC 2

⇔ x2+( x+2)2=( x+4 )2

⇔ x2+x2+4 x+4=x2+8x+16⇔ x2−4 x−12=0⇔( x−6 )(x+2 )=0⇔ x=6 atau x=−2 (tidak memenuhi)

Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm

15

Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !

1. Akar-akar persamaan x2+3 x=m adalah α dan β. Bila diketahui α+3β = 5 maka nilai m

adalah .....

A. -28 C. 0 E. 28 NO. 1. AB. -20 D. 20

2. Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan 4 x2−3 x−2=0 . Persamaan

kuadrat lain yang akarnya (α+3) dan (β+3) adalah .....

A. 4 x2−27 x−43=0

B. 4 x2−27 x+43=0 NO. 2. B

C. 4 x2+27 x+43=0

D. 4 x2+27 x−43=0

E. −4 x2+27 x−43=0

3. Nilai maksimum fungsi f ( x )=( t−3) x2+2 tx+5adalah 9. Persamaan sumbu simetrinya x =…..

A.

23 atau 2 D.

32 atau -2

B.

23 atau -2 E.

32 atau 2 NO. 3. C

C. −2

3 atau 2

16

4. 4) Jika fungsi kuadrat 2ax2−4 x+3a mempunyai nilai maksimum 1 maka 27a3−9a=

A. -2 C. 3 E. 18 NO. 4. EB. -1 D. 6

5. Grafik f ( x )=ax2+(2a+6 )x+2a−2 menyinggung sumbu x maka koordinat titik balik

maksimum adalah.....

A. (-3,0) C. (2,0) E. (5,0) NO. 5. DB. (-2,0) D. (4,0)

6. Jika α dan β akar-akar persamaan x2+nx+n=0 maka α

2+β2 mencapai minimum

untuk ....

A. -1 C.

12 E.

32 NO. 6. D

B. 0 D. 1

7. Akar-akar persamaan kx2+(2k−4 )x+( k−8 )=0 adalah sama. Hasil kali kedua akar

persamaan tersebut adalah ….

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 E. 25 NO. 7. C

8. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar persamaan x

2+x−6=0 adalah ….

A. −x2−x−6=0

B. −x2−x+6=0

C. x2−x−6=0 NO. 8. C

D. x2+x+6=0

E. x2−x+6=0

9. Keliling suatu segiempat adalah 40cm dan luasnya 96 cm2 ukuran segiempat tersebut adalah …..

A. 12cm x 8cm C. 14cm x 6cm E. 16cm x 6cmB. 13cm x 7cm D. 15cm x 5cm NO.9. A

10. Akar-akar persamaan kuadrat 2 x2−qx+(q−1)=0 adalah m dan n. Jikam

2+n2=4 maka nilai q adalah ......

A. -6 dan 2 C. -4 dan 4 E. -2 dan 6B. -5 dan 3 D. -3 dan 5 NO.10. E

17

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 x2+7 x−15≤0 adalah

A. x<−5 atau x≥1 1

2

B. x≤−5 atau x≥1 1

2

C. x≤1 1

2 atau x≥5

D. 1 1

2≤x≤5

E. −1 1

2≤x≤5

Kunci: D12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 x

2−9x≤x2−4 adalah ....

A.

12≤x≤4

B.−1

2≤x≤4

C.−4≤x≤1

2

D.x≤1

2 atau x≥4

E. x≤−4 atau x≥ 1

2Kunci: A

13. Himpunan penyelesaian dari persamaan

x−2x+5

≥0 adalah ....

A. HP={x|−5<x≤2}

B. HP={x|−5≤x≤2}

C. HP=¿¿ atau x≥2¿¿D. HP=¿¿ atau x≥2¿¿E. HP=¿¿ atau x>1¿¿

Kunci: E

14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

x−1x+1

≥13 adalah ....

A. HP={x|1<x≤2}

B. HP={x|−1<x≤2}

18

C. HP=¿¿ atau x≥2¿¿D. HP=¿¿ atau x>2¿¿E. HP=¿¿ atau x>1¿¿

Kunci: C

15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

x2−4x2−8 x+15

≤0 adalah ....

A. HP=¿¿ atau 3<x<5¿¿B. HP=¿¿ atau 3<x<5¿¿C. HP=¿¿ atau 2<x<3¿¿D. HP=¿¿ atau 2<x<3 atau x>5¿¿E. HP=¿¿ atau x>5¿¿

Kunci: B

19