ATURAN PENCACAHAN

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK Oleh :

Saptana Surahmat

Perhatikan masalah berikut :

Dalam sebuak kotak kardus terdapat 12 buah lampu bohlam, tiga diantaranya rusak. Jika diamboil secara acak dua buah sekaligus, berapa peluang terambil satu baik dan satu rusak ?

Masalah di atas merupakan contoh dari masalah yang berhubungan dengan menentukan peluang dari suatu kejadian kompleks atau kejadian majemuk. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, kejadian majemuk adalah kejadian yang memuat satu atau lebih titik sampel. Dalam modul ini akan dibahas beberapa model kejadian majemuk dan cara menentukan peluangnya.

Gabungan Dua Kejadian Misalkan A dan B adalah dua kejadian sembarang yang terdapat dalam ruang sampel S, peluang terjadinya kejadian A atau B, ditulis A B, dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Contoh 1.

Dua keping uang logam dilampar sekaligus satu kali. Tentukan peluang munculnya sisi angka pada keping pertama atau sisi gambar pada keping kedua !

Penyelesaian :

Ruang sampel S dari percobaan tersebut adalah :

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1

ATURAN PENCACAHAN

S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

A : Kejadian munculnya sisi angka pada koin pertama A = {(A,A), (A,G)}

B : Kejadian munculnya sisi gambar pada koin kedua B = {(A,G), (G,G)}

A B : Kejadian munculnya sisi angka pada koin pertama dan sisi gambar pada koin kedua A B = {(A,G)}

P(A) = ( ) 2 0,5( ) 4

n An S

= = ; P(B) = ( ) 2 0,5( ) 4

n Bn S

= =

P(A B) = ( ) 1 0,25

( ) 4n A B

n S

= =

Peluang kejadian A atau B adalah :

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,5 + 0,5 0,25 = 0,75

Contoh 2.

Dua buah dadu yang berbeda warna (merah dan putih) dilempar sekaligus satu kali. Bila A menyatakan kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 dari dadu putih dan B menyatakan kejadian munculnya mata dadu genap dari dadu merah, tentukan peluang terjadinya A atau B !

Penyelesaian :

Ruang sampel S dari percobaan di atas adalah :

DADU MERAH

1 2 3 4 5 6

DADU PUTIH

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Dari tabel diatas tampak bahwa nS = 36 A : kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 dari dadu putih B : kejadian munculnya mata dadu genap dari dadu merah

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}

P(A) = 1236

= 13

B = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}

P(B) = 1836

= 12

A B = {(1,2), (2,2), (1,4), (2,4), (1,6), (2,6)}

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 2

ATURAN PENCACAHAN

P(A B) = 366 =

61

Peluang terjadinya A atau B adalah :

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 13

+ 12

16

= 46

= 0,67

Dua Kejadian Yang Saling Lepas (Mutualy Exclusive) Dua kejadian dikatakan saling lepas bila kedua kejadian itu tidak dapat muncul secara bersamaan (A B = 0), misalnya pada pelemparan sekeping uang logam, tidak mungkin diperoleh muncul sisi angka (A) bersamaan dengan munculnya sisi gambar (G) atau pada pelemparan sebuah dadu, tidak mungkin memperoleh mata dadu ganjil sekaligus genap.

Untuk menentukan peluang dari dua kejadian yang saling lepas dapat digunakan aturan berikut :

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah :

P(A B) = P(A) + P(B)

Contoh 3.

Sebuah dadu bersisi enam dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 atau lebih dari 5 ?

Penyelesaian :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

Misalkan,

A adalah kejadian muncul mata dadu kurang dari 3 A= {1, 2} n(A) = 2

B : kejadian muncul mata dadu lebih dari 5 B = {6} n(B) = 1

P(A) = ( ) 2( ) 6

n An S

= ; P(B) = ( ) 1( ) 6

n Bn S

=

Dari uraian di atas tampak bahwa tidak ada kejadian A yang dapat muncul bersamaan dengan kejadian B atau A B = 0 Dengan demikian, A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas. Peluang munculnya kejadian A atau B adalah :

P(A B) = P(A) + P(B) = 26

+ 16

= 36

= 0,5

Dua Kejadian Yang Saling Komplemen Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Dua kejadian tersebut dikatakan saling komplemen bila berlaku A B = S dan A B = . Dalam hal ini, kejadian B dinamakan komplemen dari kejadian A dan lazimnya ditulis sebagai AC atai A.

Bila peluang kejadian A diketahui sebesar P(A), maka peluang kejadian komplemen A, ditulis AC , dapat dihitung dengan menggunakan ketentuan :

P(AC) = 1 P(A)

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 3

ATURAN PENCACAHAN

Contoh 4.

Dua buah dadu dilempar sekaligus satu kali. Bila A adalah kejadian munculnya mata dadu yang bernilai sama, tentukan peluang munculnya mata dadu tidak sama !

Penyelesaian :

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} n(A) = 6.

Peluang dari kejadian A adalah : P(A) = 6 136 6

= .

Peluang munculnya mata dadu yang tidak sama adalah :

P(AC) = 1 P(A) = 1 16

= 56

Dua Kejadian Yang Saling Bebas Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya. Semisalnya seorang siswa yang tengah mengikuti SPMB dikabari bahwa neneknya sakit keras. Ternyata siswa tersebut tidak lulus. Sementara itu, neneknya meninggal dunia. Kejadian siswa gagal masuk PTN dan kejadian meninggalnya nenek siswa tersebut adalah merupakan dua kejadian yang saling bebas.

Untuk menentukan peluang terjadinya dua kejadian yang saling bebas dapat digunakan ketentuan :

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas dalam ruang sampel S, maka berlaku rumus :

P(A B) = P(A) P(B)

Contoh 5.

Sekeping uang logam dan sebuah dadu bersisi enam dilempar sekaligus satu kali. Hitunglah peluang munculnya sisi gambar (G) dan mata dadu bernilai kurang 3 !

Penyelesaian :

Dalam percobaan di atas, munculnya sisi manapun dari uang logam tidak akan di-pengaruhi oleh munculnya sisi manapun dari dadu. Dengan kata lain, jika A menyatakan kejadian munculnya sisi gambar (G) dan B menyatakan kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas.

A = {G} P(A) = 12

B = {1, 2} P(B) = 26

= 13

Peluang kejadian A dan B adalah :

P(A B) = 12

13

= 16

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 4

ATURAN PENCACAHAN

Kejadian Bersyarat Jika A dan B adalah dua kejadian dimana kejadian A terjadi bila kejadian B juga terjadi dinamakan kejadian bersyarat, misalnya seorang siswa dapat diterima di SMA dengan syarat ia telah lulus dari SLTP.

Untuk menentukan peluang dari kejadian bersyarat, dapat digunakan ketentuan sbb. :

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dimana A terjadi jika B terjadi terlebih dahulu, ditulis A | B, maka peluang dari A | B dirumuskan sbb. :

( )( | )

( )P A B

P A BP B

= dengan P(B) 0

Contoh 6.

Di sebuah sekolah akan dilakukan pemilihan ketua OSIS. Sekolah menyarankan agar ketua OSIS yang terpilih memiliki nilai matematika tidak kurang dari 7. Berikut adalah data siswa yang dicalonkan :

Nilai Matematika Jumlah

< 7 7

Siswa Laki-laki 4 8 12

Siswa Perempuan 4 6 10

8 14 22

Jika A adalah kejadian terpilihnya siswa perempuan menjadi ketua OSIS dan B adalah kejadian yang terpilih memiliki nilai matematika tidak kurang dari 7, tentukan peluang terpilihnya siswa perempuan dengan syarat memiliki nilai matematika tidak kurang dari 7 !

Penyelesaian :

Dengan memperhatikan data yang diberikan, akan diperoleh :

P(A) = 1022

dan P(B) = 1422

A B : kejadian terpilihnya siswa perempuan dan bernilai tidak kurang dari 7.

P(A B) = 622

Peluang terpilihnya siswa perempuan dengan syarat nilai matematika tidak kurang dari 7 adalah:

P(A | B) = ( )

( )P A B

P B

=

6221422

= 614

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 5

ATURAN PENCACAHAN

Soal Latihan

1. Sebuah dadu di lempar sekali. Tentukan peluang muncul angka prima atau genap.

2. Dua dadu dilempar bersama sekali. Tentukan peluang muncul : a. Mata dadu berjumlah 4 atau berjumlah 11 b. Mata dadu berjumlah 5 atau muncul mata dadu 3 di dadu pertama.

3. Seorang siswa yang baru lulus SMA mendaftarkan diri ke Perguruan Tinggi Negeri (PTN) dan Perguruan Tinggi Swasta (PTS). Peluang ia diterima di PTN adalah 0,45, peluang diterima di PTN dan juga PTS adalah 0,87 dan peluang diterima di PTN atau PTS adalah 0,34. Tentukan peluang ia diterima di PTS !

4. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu Bridge. Tentukan peluang yang terambil: a. Kartu King atau kartu berwarna hitam b. Kartu Keriting atau Kartu As merah c. Kartu bernomor 6 merah atau kartu As

5. Dua dadu dilempar bersama. Jika A kejadian muncul angka 4 pada dadu pertama dan B kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua. Apakah kejadian A dan B merupakan kejadian saling bebas ?

6. Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar bersama. A kejadian muncul gambar pada uang logam, B kejadian angka pada uang logam, C kejadian muncul angka prima pada dadu dan D kejadian muncul bilangan kelipatan 3 pada dadu. Tentukan peluang munculnya a. A atau B c. A dan C b. C atau D d. B dan D

7. Dari seperangkat karti Bridge diambil satu persatu sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang munculnya : a. Dua-duanya kartu As. b. Kartu pertama King dan kartu kedua Wajik.

8. Sebuah kantong berisi 10 kelereng biru, 8 kelereng kuning, dan 2 kelereng merah. Diambil dua kelereng sekaligus. Tentukan peluang terambil : a. Kereng biru dan kuning b. Kedua-duanya merah.

9. Dua dadu dilempar bersama. Jika A kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu adalah 7, B kejadian muncul selisih kedua mata dadu adalah 3, dan C kejadian muncul perkalian kedua mata dadu adalah 12. Tentukan P(A|B) dan P(A|C).

10. Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas. Jika P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 dan P(A B) = 0,8. Tentukanlah : a. P(A B) c. P(Ac Bc) b. P(A|B) d. P(Ac|Bc)

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 6