1

PELUANG

1. Definisi peluang

2. Permutasi dan kombinasi

3. Himpunan

4. Sifat dan syarat peluang

5. Sampling

6. Teorama Bayes

I. Definisi Peluang

a. Definisi peluang klasik

Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali

diantara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing-

masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka

peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N

Contoh :

1. Eksperimen dengan melantunkan koin Rp 100,-

sebanyak 1X menghasilkan peristiwa-peristiwa yang

terjadi :

1) muncul angka (G) = 12) muncul gambar (A) = 1 N = 2

P(G) = ½ ; P(A) = ½

2

2. Eksperiman dengan melantunkan dadu 1X

Menghasilkan peristiwa, peristiwa yang terjadi :

1)muncul mata dadu 1 = 12)muncul mata dadu 2 = 13)muncul mata dadu 3 = 14)muncul mata dadu 4 = 15)muncul mata dadu 5 =16)muncul mata dadu 6 =1 N = 6

P(MD1) = 1/6 ; P(MD2) = 1/6

3. Eksperimen mengambil sebuah bola kecil dalam kotak yang

berisi 2 merah, 8 hitam, 6 putih dan 4 kuning

Diambil 1 bola 4K 2M 8H 6P

Peristiwa yang terjadi :- terambil bola M = 2- terambil bola H = 8- terambil bola P = 6- terambil bola K = 4 N= 20

P(M) = 2/20 ; P(K) = 4/20

Sifat peluang klasik : saling eksklusif dan kesempatan yang sama

b. Definisi peluang empirik

3

Peluang empirik/frekuensi relatif terjadi apabila eksperimen

dilakukan berulang. Apabil kita perhatikan frekuensi absolut

(=m) tentang terjadinya peristiwa E untuk sejumlah

pengamatan (=n), maka peluang peristiwa itu adalah limit

dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan bertambah

sampai tak hingga P(E) = limit m/n

nN

Contoh

1. Eksperimen melantunkan sebuah dadu (1000X)

Peristiwa yang muncul : - muncul mata dadu 1

hingga

- muncul mata dadu 6

Event M1 M2 M3 M4 M5 M6 total

m 166 169 165 167 169 164 1000

P(M1) = 166/1000 ; P(M6) = 164/1000

c. Definisi peluang subjektif

1. Nilai peluang didasarkan kepada preferensi seseorang

yang diminta untuk menilai

2. Pada umumnya yang dinilai adalah peristiwa yang

belum terjadi

4

II. Permutasi dan kombinasi

A. Permutasi

- Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan objek

tersebut dalam suatu urutan yang tertentu

- Perrmutasi dari n objek yang berbeda tanpa

pemulihan yang terpilih

Contoh :

A, B, C ada berapa susunan yang dapat dibuat ?

ABC n = 3

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA = 6

Jika dibuat diagram pohon

Macam-macam permutasi

Permutasi sebanyak r dari n objek

r < n objek

5

Contoh :

A, B, C 2 objek dipermutasikan

n = 3 ; r = 2

3P2 =

Peristiwa/even = AB, AC, BA, BC, CA, CB

Permutasi keliling

Contoh :

3K3 = (3-1)! = 2! = 2

Permutasi r dari n objek dengan pemulihan objek yang

terpilih

nRr = nr

Contoh :

A, B, C 2 objek dipermutasikan dengan pemulihan

n = 3

r = 2

3R2 = 32 = 9

AB, AC, BA, BC, CA, CB, AA, BB, CC

Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat

dilakukan

6

Contoh

AABC dipermutasikan semua objek

n = 4 ; n1 = 2 ; n2 = 1 ; n3 = 1

AABC CAAB

ABAC CABA

ABCA CBAA

BAAC AACB

BACA ACBA

BCAA ACAB

B. Kombinasi

Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan

objek yang bersangkutan tanpa menghiraukan urutan objek itu

sendiri

Kombinasi r dari n objek dimana r < n

nCr =

Contoh :

1. A B C kombinasi 2 dari 3 objek

n = 3

r = 2

7

3C2 =

AB , AC, BC

2. A B C D E

r = 2

5C2 =

Contoh :

Berapa banyak peristiwa yang mungkin muncul dalam

pertandingan final sepak bola liga Indonesia dari tim yang

masuk semifinal ?

4 kesebelasan menjadi 2 kesebelasan

Kombinasi → 4C2 =

III. Himpunan

A. Himpunan (Set/populasi)

Adalah kumpulan dari objek yang dirumuskan secara tegas

dan dapat dibedakan

B. Elemen (unsur)

Adalah event/kejadian tiap objek yang secara kolektif

membentuk suatu kelompok (himpunan)

C. Bentuk himpunan

1. Himpunan dengan unsur yang tidak terbatas

8

2. Himpunan dengan unsur yang terbatas

3. Himpunan kosong

D. Cara mendefinisikan himpunan

1. Cara daftar : unsur dalam himpunan dinyatakan diantara

kurung kurawal

Contoh : eksperimen melantukan sebuah dadu

S = {1,2,3,4,5,6}

2. Cara kaedah dinyatakan dengan syarat yang harus

dipenuhi oleh setiap unsur

Eksperimen melantunkan dadu

S = {X; X adalah bilangan bulat dan 1≤ X ≤ 6}

E.Subset (himpunan bagian)

F.Operasi himpunan

1. Komplemen dari A adalah kelompok yang terdiri dari

unsur-unsur dalam “S” serta tidak terdapat dalam A.

=A’ = {X S, X A}

2. Interaksi/irisan dari A dan B

Dan , A B = {X ; X A dan X B}

3. Union/gabungan

Atau, A B = {X ; X A atau X B}

G. Diagram venn

Merupakan gambaran unsur dari linier dan operasi hitung

9

IV. Sifat dan syarat peluang

A. Sifat peluang

1. Peristiwa yang saling eksklusif secara bersama (mutually

exclusive). Dua peristiwa merupakan peristiwa yang ME

bila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada

waktu yang bersamaan.

P(A1 A2..... An) = P(A1) + P(A2) + ........+ P(An)

2. Peristiwa yang non ME

Dua peristiwa merupakan peristiwa yang non ME bila

kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah (disjoint)/ada

irisan.

P(A1 A2) = P(A1) + P (A2) – P(A1 A2)

3. Sekatan (partition)

Bila peristiwa A1, A2, …..An merupakan ME dan lengkap

terbatas sehingga A1 A2….. An = S

P(A1) + P (A2) + ……+ P(An) = 1

4. Komplementer

Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa dalam sebuah

ruang sampel yag sama dan bila meliputi semua unsur

dalam ruang sampel tersebut kecuali yang terdapat pada

10

A, maka merupakan peristiwa komplementer bagi

peristiwa A.

P(A) + P( ) = 1

5. Peristiwa yang independent

Dua peristiwa dikatakan independent bila dan hanya bila

terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak

mempengaruhi terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa

kedua.

P(A1 A2) = P(A1).P(A2)

6. Peristiwa yang dependent

P(A/B) = ; P(B) > 0

P(B/A) =

B. Syarat peluang

1. Nilai peluang berada pada selang nilai 0 ≤ P ≤ 1

2. P(A1) + P (A2) + ……+ P(An) = 1

3. P(A) + P( ) = 1

V. Sampling

Sampling merupakan proses pengambilan sampel dari

populasi

A. Sampling tanpa pengembalian

11

1. Sampling diambil satu persatu (peristiwa dependent)

Contoh :

Eksperimen mengambil 2 buah bola dari kotak yang berisi

5 putih dan 10 merah

Diambil 2 bola5 P 10M

Event: - PP P(PP) ?

- PM P(PM) ?

- MP P(MP) ?

- MM P(MM)?

P(PP) = P(P) x P(P/P) = 5/15 x 4/14 = 10/105

P(PM) = P(P) x P(M/P) = 5/15 x 10/14 = 25/105

P(MP) = P(M) x P(P/M) = 10/15 x 5/14 = 25/105

P(MM) = P(M) x P(M/M) = 10/15 x 9/14 = 45/105 +

1

2. Sampling diambil sekaligus

Eksperimen di atas tetapi sampel diambil sekaligus

Event : - PP P(PP) ?

- PM/MP P(PM) ?

- MM P(MM)?

12

P(PP) =

___________+

1

B. Sampling dengan pengembalian (peristiwa

independent)

Event: - PP P/PP

- PM P/PM

- MP M/MP

- MM M/MM

- P(PP) = P(P).P(P) = 5/15 x 5/15 = 25/225

- P(PM) = P(P).P(M) = 5/15 X 10/15 = 50/225

- P(MP) = P(M). P(P) = 10/15 X 5/15 = 50/225

- P(MM) = P(M).P(M) = 10/15 X 10/15 = 100/225 +

1

VI. Teorama bayes

13

Teori

1. P(A/B) = ; P(B) > 0

P(B/A) =

P(A B) = P(A/B).P(B)

= P(B/A).P(A)

2.

P(B1/A) =

P(A B1) = P(B1/A).P(A)

= P(A/B1).P(B1)

A = A B1 + A B2

P(A) = P(A B1)+ P(A B2)

= P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2)

P(B1/A) =

Contoh :

1. Dalam suatu ruang kelas yang terdiri dari 60 siswa (L+P)

ternyata berasal dari daerah :

14

- Sumut (A1) 10 (6L)

- Sulsel (A2) 12 (6L)

- Jabar (A3) 20 (12L)

- Kalbar (A4) 10 (4L)

- Bali (A5) 8 (4L)

Apabila ditunjuk salah seorang laki-laki untuk mewakili

kelas tersebut dalam pemilihan ketua kelas, berapa peluang

ia berasal dari daerah Jabar ? (gunakan pendekatan bayes).

P(A3/L) =

15

Berapa peluang seorang wanita menjadi ketua kelas dan dia

berasal dari daerah Sulsel ?

P(A2/P)

2. Sebuah pabrik yang memproduksi produk X dengan distribusi

pekerjaan pada 4 mesin (A, B, C, dan D) dengan proporsi

20%, 40%, 30%, dan 10%. Diketahui dari data masukan

bahwa produk gagal yang dihasilkan mesin-mesin tadi

mencapai 1½ %, 1%, 1½ % dan 2% masing-masing untuk

mesin A, B, C dan D.

a. Apabila suatu saat didapati produk gagal, berapakah

peluangnya bahwa produk itu berasal dari mesin B ?

b. Apabila didapati suatu saat didapati produk baik,

berapakah peluangnya bahwa produk tersebut berasal dari

mesin C ?

16

a. P(B/G) =

b. P(C/S) =

=

17

SOAL LATIHAN

1. Dalam suatu pertandingan atletik untuk lari 100 m diikuti oleh 8

orang peserta. Berapa susunan juara 1, 2 dan 3 yang dapat dibuat ?

2. Suatu pohon akan dihias dengan 9 bola lampu dirangkai seri. Ada

berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna

merah, 4 kuning dan 2 biru ?

3. Dengan berapa carakah dapat ditanam 4 pohon akasia, 5 bungur

dan 3 cemara dalam satu garis lurus bila pohon yang sejenis tidak

dibedakan ?

4. Terdapat 6 orang yang akan dipotret. Ada berapa cara susunan jika

susunan berpasangan

18

5. bila terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan carilah banyaknya

susunan panitia 3 orang yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1

fisikawan.

6. Jika ada 6 orang pria dan 3 wanita membentuk panitia HUT

kemerdekaan yang berjumlah 5 orang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita.

Ada berapa susunan yang dapat dibuat dari panitia tersebut ?

7. Jika 2 buah dadu dilemparkan, berapakah peluang jumlah mata

dadu 7 atau 11 muncul ?

8. Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar

sejarah, 35 belajar matematika dan sejarah. Bila seorang siswa dipilih

secara acak, hitunglah peluangnya :

a. dia belajar matematika atau sejarahb. dia tidak belajar keduanyac. dia belajar sejarah tetapi tidak matematika

9. Apabila diketahui dari 50 siswa ternyata 20 siswa menyukai renang

dan 30 orang menyukai basket sedangkan 10 orang siswa menyukai

keduanya. Berapa peluang siswa yang

a. menyukai renang atau basket.

b. tidak menyukai keduanya

c.menyukai renang tapi tidak basket

10. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah

kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil

adalah :

a. Kartu Hitam atau ♥

b. Kartu Queen atau ♦

19

Ket : Kartu terdiri dari 13♥ merah , 13♦ merah , 13♣ hitam, dan 13 ♠

hitam

11. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah

kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil

adalah :

a. Kartu King atau kartu angka 2

b. Kartu angka 5 atau kartu warna merah

12. Suatu kota mempuyai satu mobil pemadam dan satu ambulan.

Peluang mobil pemadam siap waktu adalah 0,98 dan ambulan siap

waktu dipanggil adalah 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena

kebakaran gedung cari peluang keduanya siap ?

13. Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak

kartu. Cari peluang bahwa kejadian A1 ∩ A2 ∩ A3 terjadi bila A1

kejadian kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian kartu

kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3

tapi lebih besar dari 7

14. Bila 3 buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi 5

novel, 3 buku syair dan 1 kamus, berapakah peluangnya bahwa dua

novel dan sebuah buku syair yang terpilih

15. Dari 4 buah kaset yang diambil secara bersamaan dari sebuah

lemari yang berisi 3 lagu Peterpan, 4 lagu Limpkin Park dan 2

lagu Rhoma Irama, berapakah peluang terambilnya 2 kaset

Peterpan, 1 kaset Limpkin Park dan 1 kaset Rhoma Irama ?

20

16. Dalam sebuah kantong plastic terdapat 15 buah-buahan yang

terdiri dari 5 buah apel, 8 buah jeruk dan 2 buah mangga.

Kemudian diambil 3 buah satu persatu dengan pengembalian.

Berapa peluang terambilnya buah apel, jeruk dan mangga ? dan

berapa peluang terambilnya apel,jeruk, mangga tanpa

pengembalian?

17. Hitunglah peluang dari kejadian-kejadian berikut ini :

a. Dalam sebuah kotak berisi 20 kancing, terdapat 5 kancing

warna kuning dan 15 kancing warna hijau. Kemudian diambil dua

kancing berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang

terambilnya kancing kuning dan hijau

b. Dari soal a apabila kancing diambil satu persatu tanpa

pengembalian, berapa peluang yang terambil kedua-duanya berwarna

kuning.

21