Materi

Hari, tanggal

Waktu

Sifat

Penguji

Soal Tes Pekan IIPembinaan Tahap I menuju IphO 2017

Kemagnetan Statik dan Dinamik dan Persamaan Maxwell

Sabtu" 8 Oktober 2016

5 jam, pukul08.00 - 13.00 WIB

Buku tertutup

Dr. Rinto Anugraha (Dosen Fisika UGM)

Kerjakan semua soal di bawah ini.

1. Fenomena Sunerkonduktor

Fenomena superkonduldor terjadi pada suhu sangat rendah mendekati 0 K (walaupun kinisudah banyak material superkonduktor suhu tinggi yang suhu kritisnya mencapai orde 100 K).Superkonduktor adalah suatu jenis material yang memiliki hambatan (resistivitas) mendekati

no[- Akibatny4 arus induksi yang mengalir pada suatu superkondukf,or akan nyaris konstan

dalam rentang waktu yang lama. Misalkan terdapat suatu material superkonduktor berbentuk

cincin yang diinduksi oleh medan magnet luar.

frf f"I"

Gambar 1. Cincin superkonduktor yang diinduksi oleh medan magnet luar

Gambar 2. Rangkaian RL yang ekivalen dengan cincin superkondullor

Pada suhu 7 di atas suhu kritis (T > T"), cincin tersebut belum berperilaku seperti

superkonduktor. Sistem tersebut kemudian didinginkan hingga suhu berada di bawah suhri

kritis (Z < T) dan material tersebut berperilaku sebagai cincin superkonduktor. Kemudian

medan magnet dihilangkan sehingga muncul arus induksi 1, yang mengalir pada cincintersebut. Cincin tersebut dapat diasumsikan seperti rangkaian tertutup yang mengandung

hambatan,R dan induktansi I seperti terdapat pada gambar 2.

a- Tuliskan persamaan diferensial yang menyatakan perubahan arus l sebagai fungsi waktu r.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, tentukan arus {r) yang mengru}ii

I

pada rangkaian di atas. Asumsikan bahwa orde penrbatran arus (yaitu perubahan arus

dibagi arus mula-mula) selama satu tahun adalah sekitar 10-5. Misalkan induktor tersebut

diasumsikan berbentuk loop tunggal dengan diameter a darLjari-jari loop r (r >> a)

sehingga induktansinya dirumuskan sebagai L x psrln(r / a). Tentukan orde besar

hambatan pada cincin superkonduktor tersebut, jilraa: 0,5 mm dan r: 5 cm.

b. Tuliskan hukum Ohm yang menyatakan hubungan antara kondultivitas dengan medan

listrik. Selanjutnya tunjukkan bahwa nilai medan magnet di dalam konduktor ideal

bemilai tetap (tidak harus nol).

Belakangan ditunjukkan oleh eksperimen Meissner batrwa medan magnet di dalam

superkonduktor bernilai nol (efek Meissner).

c. Dengan menerapkan efek Meissner di atas, jika superkondu*tor diberikan medan luar fI<.ltl., tentukan nilai susceptibilitas magnetik superkonduktor 7.. Selanjutrya gambarkan

kurva magnetisasi Msebagai fungsi medan ltaar H.

Untuk menjelaskan efek Meissner di atas, London membuat hipotesis bahwa hubungan antara

rapat arus j dengan potensial listrik A dirumuskan sebagai

.1l: - lro*r^

dimana ps adalah tetapan permeabilitas dalam vakum dan ),L adalah panjang penetrasi

London.

d. Tuliskan persarntuur diferensial untuk medan magnet B. Kemudian, tentukan solusi untuk

medan B pada kasus satu dimensi x dimana ,B dinyatakan sebagai fungsi jarak x dengan

tetapan positif ,Bs dan ),7. Gambarkan fungsi B tersebut sebagai firngsi x.

Unfuk menentukan orde panjang penetrasi London, dapat digunakan analisis dimensi sebagai

berikut. Ditinjau suatu arus London j yang terdiri dari kumpulan elektron bermuatan e dengan

rapat jumlah persatuan volume n yang masing-masing bermassa m yarLg bergerak dengan

kecepatan v. Panjang penetrasi London dapat dinyatakan sebagai

2t =monf ,'pou .

e. Gunakan analisis dimensi untuk menentukan nilai-nilai pangkat di atas. (Petunjulc; s:.ila.i

pangkat-pangkat tersebut dapat berupa nilai-nilai *1, -Yr, Yz alau 1, tetapi tidair iruJ)"

Kemudian tuliskan bentuk L, secara eksplisit. Jika besar m, e dan,nn masing-masing

dalam satuan Internasional adalah 9,1 x 10-31, 1,6 x 10-1e dan 1,26 x 10-6, serl.a orde ,c

adalah 1022 cm4,tentukan orde panjang penetasi London.

*****

2

2. Levitron

Pada soal ini akan dibahas physics of levitron Levihon adalah nama merek dagang mainanyang mampu melayang di atas udara dengan fenornena yang disebut sebagai sptn-stablizedmagnetic levitation. Lihat Gambar. Levibon terdiri dari dua bagian: magnet kecil bermassa tndan memiliki momen dipol magnet F yang melayang di atas suatu alas (di dalamnya terdapat

loop arus) yang menghasilkan medan magnet statik B yang simetri terhadap sumbu vertikal z.Magnet kecil tersebut berputar dengan kecepatan sudut ar yang sejajar dengan p. percepatan

gravitasi g ke bawah. Selar{utnya sistem akan ditinjau memenuhi simetri silinder dengan

koordinat polar r : (x2 + y2)rt2 dan koordinat vertikal z. Medan magnet statik di atas dapat

dituliskan sebagai B: B(r, z).

Levitron

a' Misalnya magret kecil tersebut berada pada ketinggrx, z. Tuliskan total energi potensialU(r,z) dari sistem tersebut dinyatakan dalam besaran-besaran tersebut di atas.

b' Untuk medan simetri silinder B : B(r, z), titrkkesetimbangan akan berad a padasumbu zdi koordinat (r = 0, , = to). Jika gaya bersimetri silinder dapat dinyatakan sebagai

F=(F,Fr)=-YU(r'z), tuliskan komponen gaya Fr(0,2s) dan Fr(0,2s) agar terjadi

kesetimbangan di (0,2e).

Syarat agar kesetimbangan (b) tersebut bersifat stabil adalah

o2ulorzl ,o o^ oru(o_r) ,0.Or2 Ar' '"'c' Tuliskan secara eksplisit syarat-syarat di atas dinyatakan dalam hubungan antara il,

dengan B.

Secara rata'tat4 p berlawanan arah dengan B. Syarat-syarat kesetimbangan seperti yang

terdapat dalam (c) tersebut akhimya dapat dituliskan dalam bentuk

ry" = ry^> o dan ry =up.+(**u)', o

dimana 82 = Bl + B: dan Bo = 8"(0,20)

d. Tuliskan persamaan dinarnika untuk momentum sudut L yang bekerja pada p karena

medan magnet luar B.

e. Anggap bahwa magnet kecil tersebut berotasi terhadap sumbunya dengan sangat cepat (ot

besar) dimana momen inersianya terhadap sumbu simetri yang paralel dengan p adalah

sebesar L Tentukan besar kecepatan presesi gerak magnet kecil dinyatakan dalam H,B,Idart at.

Misalnya medan B : B(r, z) yang memiliki dua komponen Br(r,z) dan B,(r,z) dapat

diekspansikan di sekitar titik (0, zs) hingga pada orde kedua dalam r maupun z berbentuk

B,(r, z) = Bo + Br(z * zo) + Br(z - zo)2 + Brr + Bnrz + Brr(z - zo)

B,(r, z) = Co + Cr(z - z ) + Cr(, - ro)' + Crr + C nr2 + C rr(z - zo)

dengan 86" 85

T;== n${ =;- :.ru.;:;""am&mf. Nyatakan tetapan-tetapan Cs,...,C5 dalam 80,...,8s serta tentukan tetapan mana sajakah

yang bernilai nol.

g. Dengan menggunakan syarat-syarat kesetimbangan di atas, tuliskan nilai atau syarat untuk

tetapan-tetapan yang tak nol yang telah ditentukan dari (0.

h. Kini akan ditinjau alas yang berisi loop arus yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari R.

JkaA adalah besar medan magnet di (0, 0), tuliskan medan B,(0,2) dinyatakan dalamA,

R dan z.

i. Dengan menerapkan syarat kesetimbangan (g) pada medan (h), maka syarat magnet kecil

tersebut setimbang adalah ketika berada pada ketinggian zo di atas alas yang memenuhi

syarat kR < zo < krR. Tenhrkan nilai fti dm b.,F *,F

3. Magnetron

Magnetron adalah suatu tabung untuk membangkitkan gelombang mikro, dimana aliran gerak

eleklron akan dikontrol oleh medan magnet. Sebuah magnetron dapat dimodelkan dengan

kapasitor keping sejajar yang dipasangpadabeda potensial Vo, dimana elekhon berrnuatan -e

dipancarkan dari O (pada salah satu pelat) dengan kecepatan awal nol. Tenlapat medan

magnet seragam B = 4 2 di antanpelat kapasitor tersebut. Abaikan medan listrik dan medan

4

magnet yang dihasilkan dari elekhon tersebut (iika dibandingkan dengan medan-medan di

atas). Lihat Gambar (krri).

a. Tentukan veldor kecepatan dan vektor posisi elektron setelah keluar dari salah satu pelat.

b. Tentukan besar medan magnet yang akan menghalangi elektron untuk mencapai pelat

kedua. Besar medan magnet ini disebut sebagai medan magnet cut-off.

Sebuah magnetron juga dapat dimodelkan dengan elektoda koaksial bersimetri silinder

dimana elekhon dilepaskan dari salah satu elekhoda berjari-jari r : a, i :0 tanpa kecepatan

awal menuju elektroda kedua berjari-jari b> a. Lihat Gambar (kanan).

c. Jika kecepatan elektron dapat dinyatakan sebagai y=vob+uof , tentukan percepatan

elektron tersebut.

d. Tentukan besar kecepatan elektron sebagai fungsi radial.

e. Tentukan besar medan magnet cut-affunfitkmodel ini.

f. Bandingkan jawaban (b) dengan (e) untuk limit D : a * s dimana s <1a.

(krri) (kanan)

***

4. Teori klasik efek Zeeman

Pada tahun 1896, Zeeman menemukan bahwa sebuah atom di dalam suatu medan magnet

akan mengalami pemisahan halus (fine splitting) pada garis spektrumnya. Sebuah teori klasik

dari efek Zeeman yang dikembangkan oleh Lorentz memodelkan elektron bermuatan --e,

bermassa m yang terikat pada inti dengan gaya bak-pegas / seperti-pegas (spring-like force)dengan tetapan pegas &, sehingga jika tidak ada medan magnet, elektron tersebut akan

berosilasi 3 dimensi dengan frekuensi alamiatr ots = Jm .

L Sebuah medan magnet B = Bo f Aibtit * pada sistem- Jika posisi elektron adalah (x,y, z)

dan kecepatannya (v*,vy,u"), tuliskan persammn-persam&m gaya Newton unfuk posisi

elekffon tersebut akibat adanya gaya pegas dan gaya magnet Lorentz.

5

(kanan)

b. Tuliskan frekuensi sudut pemisalran ar" dinyatakan dalam e, B0 dan m. Karena frekuensi

alamiah biasanya pada daerah optik (aoo1015radls;, tunjukkan bahwa frekuensi

pemisahan ini cukup kecil ar" jika dibandingkan dengan ars.

c. Karena persamazrn-persam&m tersebut bersifat linear, gunakan fungsi solusi eksponensial

yang berbentuk ett (atau boleh iuga ei't ), kemudian carilah nilai kharakteristik s atau at .

d. Akibat 0)s << ars, bagaimanakah bentuk s atau ctt?

. !F!f***

5. Masnetic Damnine

Sebuah loop kawat berbentuk persegi dengan sisi I mula-mula jatuh bebas tanpa kecepatan

awal dari ketinggian L di atas daerah medan B (diukur dari sisi bawah loop kawat), kemudian

memasuki medan B seragam seperti pada gambar. Tinggi daerah yang terkena medan B

adalah 2L. Percepatan gravitasi g mengarah ke bawah.

a. Susunlah persamuum gerak loop dalam bentuk persamaan gaya, baik ketika loop masih

berada di atas daerah medan magnet B, ketika sebagian masuk ke dalam daerah medan B,

seluruhnya masuk, sebagian mutai keluar, seluruh keluar dari medan (berada di bawah

daerah medan B).

b. Tentukan kecepatan gerak dan posisi loop pada setiap keadaan.

l"2L

iredan Bmcr*lte ddan

Selamat bekerja

LuaaSaaaSaaSaA

6